模糊环境下粗糙近似算子的表示
模糊粗糙集理论介绍和研究综述
Ξ 收稿日期:2006-03-10作者简介:姚红霞(1979-),女,硕士研究生,主要从事粗糙集理论和模糊集理论研究.【数理科学】模糊粗糙集理论介绍和研究综述Ξ姚红霞(西北师范大学数学与信息科学学院,兰州 730070)摘要:回顾了粗糙集理论,引出了模糊粗糙集的产生背景,介绍了模糊粗糙集模型的一些主要概念和性质,并给出了模糊粗糙集属性重要性的定义,探讨了模糊粗糙集合的应用和发展现状.关 键 词:粗糙集;模糊集;模糊粗糙集中图分类号:TH164 文献标识码:A 文章编号:1671-0924(2006)08-0132-04I ntroduction to and Survey for the Studies of Fuzzy R ough Sets TheoryY AO H ong-xia(Department of Mathematics and In formation Sciences ,N orthwest N ormal University ,Lanzhou 730070,China )Abstract :This paper firstly reviews the theory of rough set and brings out the generation background aboutfuzzy rough sets ,secondly ,introduces the main concept and property of fuzzy rough sets and proposes its significance ,and finally ,discusses the application and recent studies for this theory.K ey w ords :rough sets ;fuzzy sets ;fuzzy rough sets0 引言 粗糙集(R ough Sets )理论最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年[1]提出的,是一种处理不完整和不确定性知识的数学工具[1-2].经过多年的发展,该理论已被成功的用于决策支持系统、人工智能、模式识别与分类、故障检测、金融、医学、知识发现、数据挖掘和专家系统等领域.但由于其严格的等价关系,限制了粗糙模型的发展和应用.针对这个问题,Dub ois 和Prade [3-4]提出模糊粗糙集的概念,作为粗糙集的一个模糊推广.模糊集理论首先是由美国控制论专家L ・A ・扎德(L.A.Z adeh )教授于1965年[5]提出的.也是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,它已成功的应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.虽然2者都可以用来处理模糊和不确定问题,但2者的着眼点不同.粗糙集理论在处理模糊和不确定性问题方面着眼于知识的粗糙性,强调的是集合对象间的不可分辨性;而模糊集在处理不确定性问题时,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.由于这2种理论在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性,因此把它们结合起来的研究前景或许更有实际价值,Dubois 和Prade 是最早研究粗糙模糊集和模糊粗糙集问题的代表人物之一.当知识库中的知识模块是清晰概念,而被近似的概念是一个模糊概念时,就得到粗糙模糊集;当知识库中的知识模块是模糊概念,而被近似的概念是模糊概念时,则可得到模糊粗糙集.粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情况,因此一般只讨论模糊粗糙集.于是根据问题的实际需要,在文献[3-4]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.第20卷 第8期Vol.20 No.8重 庆 工 学 院 学 报Journal of Chongqing Institute of T echnology2006年8月Aug.20061 粗糙集理论的发展 自1992年在波兰召开了RS理论的第一届国际学术会议以来,现在每年都召开以RS为主题的国际会议,大大推动了RS理论的发展.参加的成员主要来自波兰、美国、加拿大、日本、俄罗斯等国家.在Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键概念,等价类是构成上下近似结构的构造性知识块,用任意的二元关系取代等价关系,就得到Pawlak粗糙集模型的不同推广,即一般关系下的RS模型、变精度RS模型、概率RS模型、基于随机集的RS模型[9],而且在一个分明的,自反和传递关系下,一对上下近似算子正好是一个拓扑空间的内部封闭的算子[10-12].在RS集理论中,基本的运算符是近似的.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.在构造性方法下,论域上的二元关系、论域的划分、领域体系、布尔代数都是最原始的概念.文献[1,13-15]用这些概念构造了下近似和上近似算子,构造性方法尤其对RS的实际应用有重要的实用价值.另一方面,公理化方法,是一种研究粗糙代数结构近似的,用上下近似算子作为最初的概念,在这种方法下,用一个公理化集合刻画的近似算子和用构造性方法产生的算子是一样[15-16].比较构造性和公理化这2种方法,对分明粗糙集最典型的公理化研究是文献[15],在文献[17]中,用不同的公理化集合刻画了不同类型的粗糙集代数.2 模糊粗糙集的产生背景 粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,文献[12-13,18]用非等价二元关系推广了粗集近似算子,这一成果的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用U上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个推广的概念,称为粗糙模糊集[4,17,19],相反的,用模糊相似关系代替等价关系,就得到模糊粗糙集合[4-8,19].因此后来有很多模糊粗糙集合的类型,如基于模糊T相似关系的一般结构[21],基于U上弱模糊划分的结构[22-23],以及基于模糊集合上的布尔子代数[7],等等.3 模糊粗糙集合的基本概念和理论3.1 等价关系下的模糊粗糙集定义定义1[9] 设(U,R)是Pawlak近似空间,R是论域U 上的一个等价关系,若A是U上的一个模糊集合,则A关于(U,R)的一对下近似A R和上近似 A R定义为U上的一对模糊集合,其隶属度函数分别定义为:A R(x)=in f{A(y)|y∈[x]R},x∈U,A R(x)=sup{A(y)|y∈[x]R},x∈U,其中[x]R为元素x在关系R下的等价类.若A R= A R,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集(Fuzzy rough set).称A R是A关于(U,R)的正域,称 A R是A关于(U,R)的负域,称 A R∩( A R)为A的边界.3.2 一般关系下的模糊粗糙集合及其属性重要性定义2[24] 称I=(U,A)是一个决策表信息系统,若有:①U是一个非空对象集合;②A={C,D}是一个有限非空属性集合,其中C是条件属性的非空集合,D是决策属性的非空集合;③对每个属性a∈A,定义了一个从U到V a的映射: a:U→V a,其中V a是属性a的值集.定义3[25] 设U是一个非空集合,称U上的模糊二元关系是相似关系,当且仅当R是:①自反的:R(x,x)=1对所有x∈U;②对称的:R(x,y)=R(y,x),对所有x,y∈U,U上的每个条件属性子集决定了一个U上的相似关系;③传递的:R(x,y)∧R(y,z)ΦR(x,z),对所有x, y,z∈U.则称R是U上的一个等价关系.在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,粗糙集合研究对象是分明的等价类,而模糊粗糙集合研究对象是模糊等价类.将论域U上的元素在相似关系下划分模糊等价类,以下记论域U上的模糊关系为S,对象x和y之间的相似度记为u s(x,y)=u s(y,x),它同样满足定义3的条件,即自反性:u s(x,x)=1;对称性u s(x,y)=u s(y,x);传递性u s (x,z)Εu s(x,y)∧u s(y,z).因此对对象x∈U的等价类[x]s定义为:u[x]s(y)=u s(x,y)定义4[26] 模糊P上近似和P下近似定义为:uP X(F i)=sup x min{u Fi(x),u X(x)}Πi. uPX(F i)=in f x max{1-u Fi(x),u X(x)}Πi.其中F i是属于U/P的模糊等价类,PΑA,XΑU,u X (x)是对象x属于U上的任意模糊集合X的程度,则称序对(u P X(F i),u PX(F i))为模糊粗糙集合.由于模糊上下近似的定义和分明的定义有一些差异,个体对象的隶属度的近似不是十分有用的,由于这个原因,模糊上下近似可以定义为:uP X(x)=sup F∈U/P min(u F(x),sup y∈U min{u F(y),u x (y)})uPX(x)=sup F∈U/P min(u F(x),in f y∈U max{1-u F(y),u x (y)})定义5[26] 条件属性C关于决策属性D的正域为:uPOSC(D)(x)=sup u CX(x) X∈U/D定义6[26] 根据模糊正域的定义,可以求出模糊粗糙集合条件下决策属性D对条件属性集合C的依赖性:331姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述γC (D)=∑x∈U uPOSC(D)(x)|U|定义7 令C和D分别为模糊粗糙集的条件属性和决策属性集,属性子集C′ΑC关于D的重要性定义为:σCD(C′)=γC(D)-γC-C′(D)特别当C′={a}时,属性a∈C关于D的重要性为σCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D).4 模糊粗糙集属性约简 为了对模糊粗糙集合进行属性约简,必须先对属性模糊化.在粗糙集合中,属性对应的等价类是普通集合,而在模糊粗糙集合中,属性对应的等价类是模糊集,因此,往往把属性的等价类划分过程称为属性模糊化过程.在粗糙集中,每个对象属于且仅属于一个等价类,在模糊粗糙集中,每个对象可以属于多个模糊等价类.为了进行属性约简,必须求出复合属性的模糊等价类,具体模糊化的过程见文献[26].在文献[17]中给出了模糊粗糙集基于属性依赖性的属性约简的降维算法和例子,在文献[24]中研究了一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简算法.5 模糊粗糙集发展现状 在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.在RS集理论中,基本的运算符是近似.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.因此对模糊粗糙集的研究很多也是建立在这2种方法上的.在文献[17]中研究了模糊粗糙集上的一系列公理化集合,但他们的研究局限与用模糊T相似关系定义的模糊T 粗糙集上,而当模糊关系退化为分明关系时,就是一般的等价关系.然而,到目前为止,对一般关系下模糊粗糙集公理化方法的研究还不是很多,在文献[21]中给出了公理化的模糊粗糙集模型,在文献[25]中运用构造性和公理化方法,给出了模糊粗糙集研究的一般结构.在构造性方法下,基于一个任意的模糊关系定义了一对一般关系下的模糊粗糙集上下近似算子,在公理化方法下,用不同的公理集合刻画了不同类型的模糊粗糙近似算子,这些公理保证了确定类型的模糊关系的存在产生相同的算子.在文献[28]中,应用扩展原理,定义了依靠模糊关联和模糊隐含算子的模糊粗糙集合,并考虑了3个常用的算子,即S-,R-,Q L-算子,用其定义了3种类型的模糊粗糙集,并讨论了各自的性质,使其更好的用于不完全和不确定信息系统.在文献[27]中,讨论了在有限论域上模糊粗糙集模型和模糊拓扑空间之间的关系,提出了模糊拓扑空间上的T C 公理,并证明了所有基于自反和对称模糊关系的上下近似集合包含了一个满足T C公理的模糊拓扑空间,并且相反的,一个满足T C公理的模糊拓扑空间正好是在自反和对称模糊关系下的所有的上下近似集合.即在所有自反和对称模糊关系下的集合和所有满足T C公理的模糊拓扑空间之间,存在一个一对一的关系.但这只是在有限论域情况下的结论,在无限论域上的还不确定成立,需要进一步探讨.粗糙集理论已经被广泛和成功的应用许多领域,主要是由于它能发现隐藏在数据中的事实,而不需要额外的如专家系统或者阈值之类的信息,能在无监督条件下,挖掘出数据库里的最小知识表示.但粗糙理论在应用过程中,主要的载体是信息表,信息表中的对象是处理和挖掘的对象,而信息表中的对象的属性值要么是分明的,或者是实值的,虽然连续的属性值可以通过属性离散化方法离散,但势必会丢失一些重要信息,而且在粗糙理论下,无法判断2个属性值是相似的,或者在某种扩展意义下是相同的.因此,针对这个问题,文献[29-30]用模糊粗糙集来解决这些不确定问题,并将这个理论用于网络数据分类和挖掘上,收到了很好的效果.文献[26]将其进行了推广和完善.目前,国外学者主要从不同角度考虑模糊粗糙集的性质,根据模糊集近似推理方式的不同,主要形成了从3种不同角度研究的模糊粗糙集:基于形式逻辑的模糊粗糙集,基于三角模的模糊粗糙集,基于-截集的模糊粗糙集.6 模糊粗糙集发展展望 虽然模糊粗糙集已经发展了十几年,但作为一种理论,它还有很多的不完善,尤其是目前研究属性约简的算法还是相当少,而属性约简在实际生活中具有重要的意义.今后,模糊粗糙集还有很大的发展空间,它可能更广泛的应用于数据挖掘,知识发现等重要领域.参考文献:[1] Pawlak Z.R ough[J].International Journal of C omputerand in formation Science,1982,11:341-356.[2] Pawlak Z.R ough sets:theoretical aspects of reas oning aboutdata[M].Boston:K luwer Academic Publishers,1991:66-90.[3] Dubois D,Prade H.R ough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of G eneral System,1990,17:191-208.[4] Dubois D,Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets to2gether[C]∥S lowinski R,Intelligent Decision Support.[S.l.]:K luwer Academic,D ordrecht,1992:203-232. [5] Z adeh L A.Fuzzy sets[J].In formation and C ontrol,1965(8):338-353.[6] Nakamura A.Fuzzy rough sets[J].N ote on Multiple-Val2ued Logic in Japan,1988,9(8):1-8.[7] Nanda S.fuzzy rough sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1992(45):157-160.[8] Thiele H.on the definition of m odel operators in fuzzy logic[C]∥Proc.IS M V L-93.Sacramento,C A:[s.n.],1993:62-67.431重庆工学院学报[9] 张文修.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[10]K ortelainen J.on the relationship beween m odified sets,topological spaces and rough sets[J].Fuzzy Sets and Sys2tem,1994(61):91-95.[11]Y ao Y Y.T w o views of the theory of rough sets in finiteuni2verses[J].InternetJ.Approx.Reas ons,1996(15):291-317.[12]Y ao Y Y,Lin T Y.G eneralization of rough sets using m odallogics[J].Intell.Automat.S oft C omputer,1996(2):103-120.[13]K ryszkiewicz M.R ough set approach to incomplete in forma2tion systems[J].In formation Sciences,1998(112):39-49.[14]P omykala J A.Approximation operations in Approximationspaces[J].Bullerin of the P olish Academy of sciences:Mathmatics,1987(35):653-662.[15]Y ao Y Y.C onstrctive and algebraic methods of the theory ofrough sets[J].Journal of In formation Sciences,1998(109):21-27.[16]Lin T Y,Liu Q.R ough approximate operators:axiomaticrough sets theory[M]∥Z iarko W,R ough Sets,Fuzzy Setsand K nowledge Discovery.Berlin:S pringer,1994:256-260.[17]Pal S K.R oughness of a fuzzy set[J].In formation Sciences,1996(93):235-246.[18]Y ao Y Y.Relational interpretations of neighborhood opera2tors and rough set approximation operators[J].In formationSciences,1998(111):239-259.[19]Chakrabarty K,Biswas R,Nanda S.Fuzziness in rough sets[J].Fuzzy Sets And Systems,2000(110):247-251. [20]Y ao Y Y.C ombination of rough and fuzzy sets based on-level sets[C]∥Lin T Y,Cercone N.R ough Sets and DataMining:Analysis for Imprecise Data.Boston:K luwer Aca2demic Publishers,1997:301-321.[21]M orsi N N,Y akout M M.Axiomatics for fuzzy rough sets[J].Fuzzy sets And Systemss,1998(100):327-342. [22]Bodjanova S.Approximation of a fuzzy concepts in decisionmaking[J].Fuzzy Ses and Systems,1997(85):23-29.[23]K uncheva L I.Fuzzy rough sets:Application to feature selec2tion[J].Fuzzy Sets and System,1992(51):147-153. [24]聂作先,刘建成.一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简[J].计算机工程,2005,31(6):88-90.[25]WeiZhi Wu,JuSheng Mi,WenX iu Zhang.G eneralized fuzzyrough sets[J].In formation Sciences,2003(151):263-282.[26]Richard Jensen,Qiang Shen.Fuzzy rough attribute reductinwith application to web categ orization[J].Fuzzy sets andSystem,2004(141):469-485.[27]K eyun Qin,Zheng Pei.On the topological properties of fuzzyrough sets[J].Fuzzy Sets and System,2005(151)601-613.[28]K erre E,E tienne A.Anna Maria Radzikowska[J].C om2parative study of fuzzy rough sets,2002(126):137-155.[29]Jensen R,Shen Q.A rough set-aided system for s ortingWWW bookmarks[M]∥Zhong N.Web Intelligence:Re2search and Development.[S.l.]:[s.n.],2001:95-105.[30]Jensen R,Shen Q.Fuzzy-rough sets for descriptive dimen2sionality reduction[C]∥Proc,11th Internat.C on f.onFuzzy Systems.[S.l.]:[s.n.],2002,29-34.(责任编辑 刘 舸)(上接第129页)systems with product recovery[J].C omputers&IndustrialEngineering,2004,46:431-441.[4] 陈秋双,刘东红.再制造系统的库存控制研究[J].南开大学学报:自然科学版,2003,36(3):67-72. [5] Inderfurth K.Optimal policies in hybrid manu facturing/re2manu facturing systems with product substitution[J].Inter2 national Journal of Production economics,2004,90:325-343.[6] 赵昱卿,王东,奚立峰.制造与再制造决策的优化[J].工业工程与管理,2003,8(2):18-21.[7] 厉以宁.西方经济学[M].北京:高等教育出版社,2000,33-37.[8] Petruzzi N,Dada M.Pricing and the new-vendor problem:A review with extension[J].Operations Research,1999,47(2):183-194.[9] Jinn-Tsair T eng,Chun-T ao Chang.Economic productionquantity m odels for deteriorating items with price and stock-dependent demand[J].C omputers&operations research, 2005(32):297-308.[10]G upate D,Arthur V H,T atiana Bouzdine-Chameeva.Apricing m odel for clearing end-of-seas on retail inventory [J].European Journal of Operational Research,2006(170):518-540.(责任编辑 刘 舸)531姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述。
粗糙集理论的基本概念与原理
粗糙集理论的基本概念与原理粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它的提出源于20世纪80年代初期的波兰学者Zdzisław Pawlak。
粗糙集理论的核心思想是通过将数据划分成不同的等价类，来描述和处理不完全和不确知的信息。
本文将介绍粗糙集理论的基本概念与原理。
1. 粗糙集的定义与等价关系粗糙集是指将一个数据集划分成若干个等价类，其中每个等价类称为一个粗糙集。
在粗糙集理论中，等价关系是一个重要的概念。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
在粗糙集理论中，等价关系用来描述数据中的相似性和差异性。
2. 上近似集与下近似集上近似集是指在一个粗糙集中，包含了所有与该粗糙集中的元素相似的元素。
下近似集是指在一个粗糙集中，包含了所有与该粗糙集中的元素不相似的元素。
上近似集和下近似集是粗糙集理论中的两个重要概念，它们用来描述数据的粗糙性和不确定性。
3. 约简与精确度约简是粗糙集理论中的一个重要操作，它的目的是通过删除一些不必要的属性或条件，从而减少数据集的复杂性，提高数据的处理效率。
约简可以通过删除一些不重要或不相关的属性来实现。
精确度是用来评估数据集的质量和可靠性的指标，粗糙集理论通过约简来提高数据集的精确度。
4. 粗糙集与模糊集粗糙集理论与模糊集理论有一些相似之处，但也存在一些差异。
模糊集理论是一种用来处理模糊和不确定性问题的数学工具，它通过给每个元素赋予一个隶属度来描述元素的模糊性。
而粗糙集理论是一种用来处理不完全和不确知信息的数学工具，它通过将数据划分成不同的等价类来描述数据的粗糙性。
5. 粗糙集的应用领域粗糙集理论在许多领域中都有广泛的应用。
在数据挖掘领域，粗糙集理论可以用来处理不完全和不确定的数据。
在人工智能领域，粗糙集理论可以用来处理模糊和不确定性问题。
在决策支持系统领域，粗糙集理论可以用来辅助决策过程。
在模式识别领域，粗糙集理论可以用来提取和分类模式。
总结：粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它通过将数据划分成不同的等价类来描述和处理不完全和不确知的信息。
基于模糊集值映射的粗糙近似算子
的推 广是 模糊 粗糙 集理 论研 究 的重要 方 向之 一 ． 文 ［ ］ 到 的 Ｒ ｄ ｉｏ ｓ ａ 型 中利用 论 域 ｕ 上 的 在 １提 ａｚ ｗ ｋ 模 ｋ
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［ 摘
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Ｔ（ ０ 一 ０． ａ， ）
定 义 ２３ 设 （ ＿ Ｌ，Ｖ，八， ， ） 一 个完备 Ｂ ｏ ｗｅｉ ０１ 是 ｒ ｕ ｒ ｎ格 ， ａ Ｔ是 Ｌ上 的 ｔ 模 ， 一 定义 Ｌ上 的一个 二元
算子 ａ 为 ： ， ∈Ｌ ａ （ ，）＝ ３ｊ Ｖ ｂ ａ ， ａ ６ ＝Ｖ｛ ＝ Ｃ ｚ∈Ｌ， （ ，） ） 称为 Ｔ的广义逆算子． Ｔ ａｚ ≤ｂ ， 特别地， Ｔ一＾ 当
（ｉ ｉ）单调性 由 ｂ≤ Ｃ 出 ａ ｂ≤ ａ ｃ； ｉ 推 Ｔ Ｔ （ ）边 界条 件 丁（ ， ） ｉ ｖ １ ａ 一ａ，
称 Ｔ 为 Ｌ 上 的 三 角 模 ． 称 ｔ模 ． 简 一
由定义 易知 Ｔ（ ， ）一 ０ 事 实 上 ，ＶⅡ Ｅ Ｌ，０≤ ａ≤ １ ０≤ Ｔ ａ ｏ ａｏ ． ， （ ， ）≤ １（ ，）一 ０， 是 得 １１Ｏ 于
模糊算法的算子
模糊算法的算子
模糊算法是一种基于模糊逻辑的计算方法，它可以处理模糊信息，使得计算结果更加准确。
在模糊算法中，算子是一种基本的运算符号，它可以用来表示模糊逻辑中的各种运算。
1. 模糊交算子
模糊交算子是模糊逻辑中的一种基本运算符号，它用来表示两个模糊集合之间的交集运算。
在模糊交算子中，两个模糊集合的交集结果是一个新的模糊集合，它的隶属度函数是两个原始模糊集合隶属度函数的最小值。
2. 模糊并算子
模糊并算子是模糊逻辑中的一种基本运算符号，它用来表示两个模糊集合之间的并集运算。
在模糊并算子中，两个模糊集合的并集结果是一个新的模糊集合，它的隶属度函数是两个原始模糊集合隶属度函数的最大值。
3. 模糊补算子
模糊补算子是模糊逻辑中的一种基本运算符号，它用来表示一个模糊集合的补集运算。
在模糊补算子中，一个模糊集合的补集结果是一个新的模糊集合，它的隶属度函数是原始模糊集合隶属度函数的补数。
4. 模糊积算子
模糊积算子是模糊逻辑中的一种基本运算符号，它用来表示两个模糊集合之间的积运算。
在模糊积算子中，两个模糊集合的积结果是一个新的模糊集合，它的隶属度函数是两个原始模糊集合隶属度函数的乘积。
5. 模糊除算子
模糊除算子是模糊逻辑中的一种基本运算符号，它用来表示两个模糊集合之间的除运算。
在模糊除算子中，两个模糊集合的除结果是一个新的模糊集合，它的隶属度函数是两个原始模糊集合隶属度函数的商。
模糊算法的算子是模糊逻辑中的基本运算符号，它们可以用来表示各种模糊运算，从而实现对模糊信息的处理和分析。
在实际应用中，模糊算法的算子可以用来解决各种模糊问题，如模糊控制、模糊决策等。
基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)
㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０４Ｇ１６;㊀[修改日期]２０１８Ｇ０５Ｇ２４㊀[基金项目]国家自然科学基金资助课题(１１５０１２７８,１１４７１１５２);山东省自然科学基金资助课题(Z R ２０１３A Q ０１１,Z R ２０１４A Q ０１１);聊城大学成人教育科研立项项目(l d c j ２０１２１６);聊城大学大学生科技文化创新基金(２６３１２１７０７１４)㊀[作者简介]金秋(１９７９－),女,硕士,讲师,从事模糊数学理论的教学与研究．E m a i l :j i n q i u ＠l c u ．e d u ．c n ㊀[通讯作者]李令强(１９８０－),男,博士,副教授,从事模糊数学的研究．E m a i l :l i l i n g q i a n g＠l c u ．e d u ．c n 第３４卷第４期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３４,ɴ．４２０１８年８月C O L L E G E MA T H E MA T I C SA u g．２０１８基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)金㊀秋,㊀蒋惜珂,㊀李令强(聊城大学数学科学学院,山东聊城２５２０５９)㊀㊀[摘㊀要]模糊化邻域系源自模糊化拓扑空间．以模糊化邻域系为工具,定义了一对粗糙近似算子,研究了其基本性质．证明了这对算子涵盖一些常见粗糙近似算子作为其特殊情形,从而扩大了粗糙集理论的研究范围．此外,还研究了由串行的㊁反身的㊁一元的和传递的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子．[关键词]粗糙集;模糊集;模糊化邻域系;近似算子[中图分类号]O １５９．１,T P １８㊀㊀[文献标识码]A㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０４Ｇ０００１Ｇ０５１㊀引㊀㊀言粗糙集理论是由P a w l a k [１]引入的一种处理不确定现象的数学工具,其理论与应用的基础是一对近似算子．P a w l a k 粗糙近似算子是基于等价关系的,后来把等价关系推广为二元关系或覆盖[２],或者更一般的模糊关系或模糊覆盖[３－８],人们引入了更广泛的粗糙集理论．２０１５年,文献[９]研究了一种基于邻域系的粗糙集理论,并证明了该理论涵盖基于二元关系和覆盖的粗糙集作为其特殊情形．２０１７年,作者在文献[１０]中研究了基于邻域系的粗糙近似算子的公理化问题(即通过一组公理集来描述近似算子),并将之应用于不完备信息系统决策问题的研究．模糊化(F u z z i f y i n g)邻域系是邻域系的广义化,它源自模糊化拓扑理论[１１－１３]．旨在以模糊化邻域系为工具定义一对粗糙近似算子,并研究其基本性质．设U 为非空论域,I ＝[０,１]为单位区间．记２U 为U 的幂集,IU 为U 的模糊集之集．任意A ɪ２U都可以看做U 上的模糊集１A ʒ∀x ɪU ,若x ɪA ,则１A (x )＝１;否则１A (x )＝０．通常称１A 为A 的特征函数．对于任意的E ⊆[０,１],记ᶱE (ɡE )为E 的上(下)确界．特别地,当E ＝{a ,b }时,把它们记作a ᶱb和a ɡb ．任取{A t }t ɪT ⊆I U ,定义ᶱt ɪTA t ,ɡt ɪTA t ɪI U为:(ᶱt ɪTA t )(x )＝ᶱt ɪTA t (x ),㊀(ɡt ɪTA t )(x )＝ɡt ɪTA t (x )．任取A ɪI U和a ɪI ,定义A [a ]＝{x ɪU A (x )ȡa }和A (a )＝{x ɪU A (x )＞a };分别称为A 的a Ｇ截集和强a Ｇ截集．对于任意的X ɪ２U ,记X ᶄ＝{x ɪU x ∉X }为X 的补集．对于任意的A ,B ɪI U ,定义(A －B )ɪIU 为∀x ɪU ,(A －B )(x )＝A (x )－B (x )．定义１[９－１０]㊀设n ʒU ң２２U 为论域U 上的函数．若∀x ɪX ,n (x )是非空的,则称n 为U 上的一个邻域系．称序对(U ,n )为一个邻域空间,n (x )中的每个成员为x 的一个邻域．(i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x )都有K ʂ∅,则称n 是串行．(i i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x )都有x ɪK ,则称n 是自反的．(i i i )如果∀x ɪU ,∀K ɪn (x ),∃V ɪn (x )使得对任意y ɪV ,有V y ɪn (y )且V y ⊆K ．则称n 是传递的．(i v )如果∀x ɪU ,∀K ,V ɪn (x ),∃M ɪn (x )使得M ⊆K ɘV ,则称n 是一元的．定义２[９－１０]㊀设(U ,n )为一个邻域空间．X 为U 的任意子集,其上㊁下近似 n (X )和n (X )分别定义为: n (X )＝{x ɪU ∀K ɪn (x ),K ɘX ʂ∅},㊀n (X )＝{x ɪU ∃K ɪn (x ),K ⊆X }．２㊀基于模糊化邻域系的粗糙近似算子本章将引入一对基于模糊化邻域系的粗糙近似算子,研究其基本性质,并说明这对近似算子包含基于邻域系的粗糙近似算子作为其特殊情形．由文献[９,１０]知基于二元关系(覆盖)的粗糙近似算子可视为特殊的基于邻域系的粗糙近似算子．现在,又证明了基于邻域系的粗糙近似算子又可以看做基于模糊化邻域系的粗糙近似算子的特殊情形．因此,对基于模糊化邻域系的粗糙近似算子进行研究,所取得的结果更具普遍意义．２．１㊀模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义３[１１－１２]㊀设N ʒU ңI ２U 为论域U 上的一个函数．若∀x ɪU ,N (x )ʒ２UңI 是非空的,即ᶱK ɪ２UN (x )(K )＝１,则称N 为U 上的模糊化邻域系．并称序(U ,N )为一个模糊化邻域空间．这里,N (x )(K )解释为K 是x 的一个邻域的程度．定义４㊀设(U ,N )为一个模糊化邻域空间．X 为U 中任意子集,其上㊁下近似 N (X ),N (X )ɪI U 定义为:∀x ɪU , N (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ));㊀N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )．设n 为论域U 上的邻域系,定义N n ʒU ңI２U为∀x ɪU ,N n (x )(K )＝１,K ɪn (x ),０,K ∉n (x )．{则N n 为X 上的模糊化邻域系．下面的引理表明基于邻域系的近似算子可以视为基于模糊化邻域系的近似算子的特例．定理１㊀设(U ,n )是一个邻域空间．则∀X ɪ２U,N n (X )＝１ n (X ),N n (X )＝１ n (X )．证㊀注意到∀x ɪU ,N n (X )(x )和N n (X )(x )的取值为０或１．则１n (X )(x )＝１⇔x ɪn (X )⇔∃K ɪn (x ),K ⊆X ⇔∃K ⊆X ,N n (x )(K )＝１⇔N n (X )(x )＝ᶱK ⊆XN n (x )(K )＝１．１ n (X )(x )＝０⇔x ∉ n (X )⇔∃K ɪn (x ),K ɘX ＝∅⇔∃K ɘX ＝∅,N n (x )(K )＝１⇔N n (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N n (x )(K ))＝０．由x 的任意性得N n (X )＝１n (X )和N n (X )＝１ n (X )．定理２㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则(i )N (∅)＝１∅,㊀N (U )＝１U ,(i i )X ⊆Y ⇒N (X )ɤN (Y ),㊀ N (X )ɤ N (Y )．证㊀(i )对于任意的x ɪU ,由N (x )是非空的知 N (∅)(x )＝ɡK ɘ∅＝∅(１－N (x )(K ))＝ɡK ɪ２U(１－N (x )(K ))＝１－(ᶱK ɪ２UN (x )(K ))＝１－１＝０,N (U )(x )＝ᶱK ɪ２UN (x )(K )＝１．(i i )设X ⊆Y ,x ɪU ．任取K ɪ２U ,由X ⊆Y 知若K ⊆X ,则K ⊆Y ．从而N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )ɤᶱK ⊆YN (x )(K )＝N (Y )(x )．任取K ⊆X ,由X ⊆Y 知若K ɘY ＝∅,则K ɘX ＝∅．因此 N (X )(x )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ))ɤɡK ɘY ＝∅(１－N (x )(K ))＝ N (Y )(x )．定理３㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,∀X ⊆U ,∀a ɪI ,有２大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷(i )１U －N (X ᶄ)＝ N (X ),(i i )１U － N (X ᶄ)＝N (X ),(i i i )N (X ᶄ)(１－a )＝( N (X )[a ])ᶄ,(i v ) N (X )[a ]＝( N (X ᶄ)(１－a ))ᶄ,N (X )(１－a )＝( N (X ᶄ)[a ])ᶄ．证㊀(i )任取K ɪ２U ,注意到K ⊆X ᶄ⇔K ɘX ＝∅．因此,对于∀x ɪU ,(１U －N (X ᶄ))(x )＝１－ᶱK ⊆X ᶄN (x )(K )＝ɡK ɘX ＝∅(１－N (x )(K ))＝ N (X )(x )．(i i )和(i )类似．(i i i)由以下等价可得x ɪN (X ᶄ)(１－a )⇔N (X ᶄ)(x )＞１－a ⇔(i) N (X )(x )＝１－N (X ᶄ)(x )＜a ⇔x ∉ N (X )[a ]⇔x ɪ( N (X )[a ])ᶄ．(i v )由(i i i)推得．最近,在文献[１０]中,研究了串行的㊁自反的㊁传递的㊁一元的邻域系生成的近似算子．接下来,将对基于模糊化邻域系的近似算子展开类似的研究．２．２㊀串行的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义５㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU 都有N (x )(∅)＝０,则称N 是串行的．定理４㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则下述三个条件等价．(i )N 是串行的,(i i )N (∅)＝１∅,(i i i ) N (U )＝１U ．证㊀(i )⇔(i i )．注意到条件(i i )成立当且仅当∀x ɪU ,N (∅)(x )＝ᶱK ⊆∅N (x )(K )＝N (x )(∅)＝０,当且仅当N 是串行的．(i )⇔(i i i )．注意到条件(i i i )成立当且仅当∀x ɪU ,N (U )(x )＝ɡK ɘU ＝∅(１－N (x )(K ))＝１－N (x )(∅)＝１,当且仅当N (x )(∅)＝０,即N 是串行的．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易证得N n 是串行的当且仅当n 是串行的．２．３㊀自反的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义６㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU ,K ɪ２U都有N (x )(K )＞０蕴涵着x ɪK ,则称N 是自反的．容易看出 N (x )(K )＞０蕴涵着x ɪK 与 x ∉K 蕴涵着N (x )(K )＝０ 是等价的．定理５㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则下列条件等价．(i )N 是自反的,(i i )∀X ⊆U ,N (X )ɤ１X ,(i i i )∀X ⊆U , N (X )ȡ１X ．证㊀(i )⇒(i i )．设X ⊆U ,x ɪU ．若x ɪX ,则N (X )(x )ɤ１＝１X (x )．若x ∉X ,则对任意的K ⊆X ,x ∉K ,由N 的自反性得N (x )(K )＝０．所以N (X )(x )＝ᶱK ⊆XN (x )(K )＝０ɤ０＝１X (x )．因此,N (X )(x )ɤ１X ．(i i )⇒(i )．设x ∉K ．由(i i )得N (K )(x )＝ᶱL ⊆XN (x )(L )ɤ１K (x )＝０．故N (x )(K )＝０．(i i )⇒(i i i )．由(i i )和定理３(i i)知N (X ᶄ)ɤ１X ᶄ⇒１U － N (X )ɤ１U －１X ⇒ N (X )ȡ１X ．(i i i )⇒(i i )．由(i i i )和定理３(i)知 N (X ᶄ)ȡ１X ᶄ⇒１U －N (X )ȡ１U －１X ⇒N (X )ɤ１X ．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 是自反的当且仅当N n 是自反的．２．４㊀传递的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子引理１㊀设a ,b ɪI ,则a ɤb 当且仅当∀c ＜a 有c ɤb ．定义７㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU ,K ɪ２U,有３第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀金秋,等:基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)N (x )(K )ɤᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]},则称N 是传递的．定理６㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则以下条件等价．(i )N 是可传递的,(i i )∀X ⊆U ,∀a ɪI ,N (X )(a )⊆N (N (X )(a ))(a ),(i i i )∀X ⊆U ,∀a ɪI , N (X )[a ]⊇ N ( N (X )[a ])[a ]．证㊀(i )⇒(i i )．设x ɪN (X )(a ),即,a ＜N (X )(x )＝ᶱK ⊆X N (x )(K )．则∃K ⊆X 使得a ＜N (x )(K )ɤ(i)ᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]}．这意味着存在一个V ɪ２U,使得a ＜N (x )(V )且a ＜ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )．由a ＜ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y ),知对于任意的y ɪV ,存在V y ⊆K 使得a ＜N (y )(V y )．然而,V y ⊆K 和a ＜N (y )(V y )又意味着对于任意的y ɪV ,有a ＜N (y )(V y )ɤᶱM ⊆KN (y )(M )＝N (K )(y ),即y ɪN (K )(a ),由此得V ⊆N (K )(a )．由a ＜N (x )(V )和V ⊆N (K )(a )知a ＜N (x )(V )ɤᶱM ⊆ N (K )(a )N (x )(M )＝N (N (X )(a ))(x ),即x ɪN (N (X )(a ))(a )．因此条件(i i )成立．(i i )⇒(i )．对于任意的x ɪU ,K ɪ２U,设N (x )(K )＝a ,ᶱV ɪ２U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )]}＝b ,只需验证a ɤb ．如果a ＝０,那么a ɤb 显然成立．如果a ＞０,那么任取c ＜a ＝N (x )(K )．由N (K )的定义知c ＜N (K )(x ),即x ɪN (K )(c ),再由(i i )得x ɪN (N (K )(c ))(c),所以c ＜N (N (K )(c ))(x )＝ᶱV ⊆ N (K )(c )N (x )(V )．因此,存在V ⊆N (K )(c)使得c ＜N (x )(V )．由V ⊆N (K )(c )和N (K )的定义知对于任意的y ɪV ,存在K y ⊆K 使得c ＜N (y )(K y )．由此得对于任意的y ɪV ,有c ＜ᶱV y⊆K N (y )(V y )成立,所以c ɤɡy ɪV ᶱV y⊆K N (y )(V y )．进一步,由c ＜N (x )(V )知c ɤᶱV ⊆U{N (x )(V )ɡ[ɡy ɪV ᶱV y ⊆K N (y )(V y )]}＝b ．由引理１得a ɤb ．(i i )⇒(i i i )．根据(i i )和定理３(i i i)有N (X ᶄ)(１－a )⊆N (N (X ᶄ)(１－a ))(１－a )⇒(N (X ᶄ)(１－a ))ᶄ⊇(N (N (X ᶄ)(１－a ))(１－a ))ᶄ⇒ N (X )[a ]⊇(N (( N (X )[a ])ᶄ)(１－a ))ᶄ⇒ N (X )[a ]⊇ N ( N (X )[a ])[a ]．(i i i )⇒(i i )．根据(i i i )和定理３(i v )有 N (X ᶄ)[１－a ]⊇ N ( N (X ᶄ)[１－a ])[１－a ]⇒(N (X )(a ))ᶄ⊇ N ((N (X )(a ))ᶄ)[１－a ]⇒(N (X )(a ))ᶄ⊇(N (N (X )(a ))(a ))ᶄ⇒N (X )(a )⊆N (N (X )(a ))(a )．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 传递当且仅当N n 传递．２．５㊀一元的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子定义８㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系．如果对于任意的x ɪU 和任意的K ,V ⊆X ,有N (x )(K )ɡN (x )(V )ɤᶱM ⊆K ɘVN (x )(M ),则称N 是一元的．定理７㊀设N 为U 上的一个模糊化邻域系,则以下条件等价．(i )N 是一元的,(i i )∀X ,Y ⊆U ,N (X ɘY )＝N (X )ɡN (Y ),(i i i )∀X ,Y ⊆U , N (X ɣY )＝ N (X )ᶱ N (Y )．４大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷证㊀(i )⇒(i i )．由X ɘY ⊆X ,Y ,得N (X ɘY )ɤN (X )ɡN (Y )．另一方面,∀x ɪU ,N (X )(x )ɡN (Y )(x )＝(ᶱK ⊆XN (x )(K ))ɡ(ᶱL ⊆YN (x )(L ))＝ᶱK ⊆X ,L ⊆Y(N (x )(K )ɡN (x )(L ))ɤᶱK ɘL ⊆X ɘY(N (x )(K )ɡN (x )(L ))ɤ(i)ᶱK ɘL ⊆X ɘY ᶱM ⊆K ɘLN (x )(M )ɤᶱM ⊆X ɘYN (x )(M )＝N (X ɘY ),其中第一个不等成立是因为{K ,L ⊆X K ⊆X ,L ⊆Y }⊆{K ,L ⊆X K ɘL ⊆X ɘY },最后一个不等式也类似成立．(i i )⇒(i )．令a ＝N (x )(K )ɡN (x )(V )．则a ɤN (K )(x ),a ɤN (V )(x ),由条件(i i)知a ɤN (K ɘV )(x )＝ᶱM ⊆K ɘVN (x )(M ),即条件(i)成立．(i i )⇔(i i i )．可由定理３(i ),(i i)得到．注㊀设n 为U 上的一个邻域系,容易验证n 是一元的当且仅当N n 是一元的．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀P a w l a kZ ．R o u g hs e t s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fC o m p u t e r a n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,１９８２,１１:３４１－３５６．[２]㊀Y a oYY ．C o n s t r u c t i v e a n d a l g e b r a i cm e t h o d s o f t h e t h e o r y o f r o u gh s e t s [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,１９９８,１０９:２１－４７．[３]㊀杨云．基于模糊集值映射的粗糙近似算子[J ]．大学数学,２０１０,２６(４):４３－４８．[４]㊀Z h u W．R e l a t i o n s h i p b e t w e e n g e n e r a l i z e dr o u g h s e t s b a s e d o n b i n a r y r e l a t i o n a n dc o v e r i n g [J ]．I n f o r m a t i o n S c i e n c e s ,２００９,１７９:２１０－２２５．[５]㊀W u W Z ,Z h a n g W X．C o n s t r u c t i v ea n da x i o m a t i ca p p r o a c h e so f f u z z y a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s [J ]．I n f o r m a t i o n S c i e n c e s ,２００４,１５９:２３３－２５４．[６]㊀李令强,金秋,孙守斌,等．多值近似空间的上下近似诱导的拓扑结构[J ]．系统科学与数学,２０１２,３２(２):２２６－２３６．[７]㊀S h eY H ,W a n g GJ ．A na x i o m a t i ca p p r o a c ho f f u z z y r o u g hs e t sb a s e do nr e s i d u a t e d l a t t i c e s [J ]．C o m pu t e r sa n d M a t h e m a t i c sw i t hA p pl i c a t i o n s ,２００９,５８:１８９－２０１．[８]㊀L i L Q ,J i n Q ,H u K ,e t a l ．T h ea x i o m a t i cc h a r a c t e r i z a t i o n so n L Ｇf u z z y c o v e r i n g Ｇb a s e da p p r o x i m a t i o no pe r a t o r s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fG e n e r a l S y s t e m s ,２０１７,４６(４)３３２－３５３．[９]㊀Z h a n g YL ,L iC Q ,L i n M L ,e t a l ．R e l a t i o n s h i p sb e t w e e n g e n e r a l i z e dr o u g hs e t sb a s e do nc o v e r i n g an dr e f l e x i v e n e i g h b o r h o o d s y s t e m [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,２０１５,３１９:５６－６７．[１０]㊀Z h a oFF ,L i LQ．A x i o m a t i z a t i o n o n g e n e r a l i z e d n e i g h b o r h o o d s y s t e m Ｇb a s e d r o u g h s e t s [J ]．S o f t C o m p u t i n g DO I :１０．１００７/s ００５００Ｇ０１７Ｇ２９５７Ｇ０．[１１]㊀Y i n g M．An e wa p p r o a c h f o r f u z z y t o p o l o g y (I )[J ]．F u z z y s e t s a n d s ys t e m s ,１９９１,３９(３):３０３－３２１．[１２]㊀F a n g JM ,Y u eYLK．F a n s t h e o r e mi n f u z z i f y i n g t o p o l o g y [J ]．I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,２００４,１６２(３):１３９－１４６．[１３]㊀杨利军,斯钦孟克．L F 中的Q Ｇ闭空间[J ]．大学数学,２０１７,３３(６):２７－３２．F u z z i f y i n g N e i g h b o r h o o dS y s t e m s Ｇb a s e dR o u g hA p p r o x i m a t i o nO pe r a t o r s (I )J I NQ i u ,㊀J I A N GX i Ｇk e ,㊀L IL i n g Ｇq i a n g(D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s ,L i a o c h e n g U n i v e r s i t y ,L i a o c h e n g S h a n d o n g ２５２０５９,C h i n a )A b s t r a c t :T h en o t i o no f f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s i s i n i t i a t e d f r o mt h e n o t i o no f f u z z i f y i n g t o p o l o g i c a l s pa c e s ．I n t h i s p a p e r ,w e i n t r o d u c e a p a i r o f r o u g h a p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r sb y t h e n o t i o n o f f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s ,a n d t h e n s t u d y t h e i rb a s ic p r o p e r t i e s ．W e p r o v e t h a t t h i s p a i ro f a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s i n c l ude sm a n y w e l l Ｇk n o w nr o u gh a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s a s t h e i r s p e c i a l c a s e ．T h e r e f o r e ,i t e n l a r g e s t h e r e s e a r c h s c o p e o f r o u g h s e t t h e o r y ．F u r t h e r m o r e ,w e a l s os t u d y t h ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s g e n e r a t e db y s e r i a l ,r e f l e x i v e ,u n a r y a n dt r a n s i t i v ef u z z i f y i n g n e i gh b o r h o o d s ys t e m s ．K e y wo r d s :r o u g hs e t ;f u z z y s e t ;f u z z i f y i n g n e i g h b o r h o o d s y s t e m s ;a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s ５第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀金秋,等:基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(I)。
模糊划分及其模糊粗糙近似算子
模糊划分及其模糊粗糙近似算子姚卫; 陈晓庆【期刊名称】《《聊城大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2020(033)001【总页数】4页(P1-4)【关键词】含幺序半群; 模糊划分; 模糊等价关系; 模糊粗糙近似算子【作者】姚卫; 陈晓庆【作者单位】河北科技大学理学院河北石家庄050018【正文语种】中文【中图分类】O1590 引言与预备知识粗糙集理论由Pawlak于1982年提出[1,2],是基于不可分辨关系的一种聚类方法.经过几十年的发展,粗糙集理论与方法已成功地应用到了过程控制、社会经济、医疗诊断、生物化学、环境科学、心理学和冲突分析等领域中.最初的粗糙集的基本结构是等价关系,然而这并不能描述信息系统中的一些粒化问题,于是基于广义关系的粗糙集模型得到了快速发展.除关系型粗糙集外,覆盖型和邻域型(包括邻域系统和邻域算子)粗糙集也应运而生.邻域型粗糙集可以看做是覆盖型粗糙集的一种特殊情形，而覆盖型粗糙集可以看做是关系型粗糙集的扩展,二者都具有明显的粒化思想.粗糙集和模糊集的交叉结合也是粗糙集理论的一个重要组成部分.在关系型模糊粗糙集模型方面,从模糊二元关系和赋值格的扩展两方面涌现了大量的研究论文,如:基于单位区间的模糊粗糙集[3-12],基于剩余格的模糊粗糙集[13-16]; 在覆盖型和邻域型模糊粗糙集模型方面,由于模糊覆盖诱导的不同类型的邻域系统及其上下近似算子,因此也就诱导了很多不同的粗糙近似算子模型[17-20].此外，文[21]提出了具有分析学背景的度量型粗糙集，研究了这种模型在模糊聚类中的应用.由于等价关系和划分是两个相互等价的概念，因此二者在研究粗糙集时是等价的.对于模糊情形，通常的模糊等价关系是利用格值上的三角模对经典等价关系的逻辑扩展，其定义方式较为固定.是否存在与模糊等价关系一一对应的模糊划分的概念，一直是模糊数学界关注的问题.2004，Belohavek基于完备剩余格、利用模糊等同价系引入了一种模糊划分的概念[22]，并证明了模糊等价关系和模糊划分之间一一对应性.在此之前的模糊粗糙集的相关结构都是建立在模糊覆盖的基础上的，模糊覆盖虽然是划分的一种弱化后的模糊扩展，但是无论如何它始终无法与模糊等价关系相对应.本文将以含幺序半群(不必交换)为取值域，引入一种模糊划分的定义，推广Belohavek的相关定义，并证明它与模糊等价关系的一一对应性，最后以交换单位quantale为取值格研究模糊划分诱导的模糊粗糙近似算子的基本性质.下面给出本文所需要的预备知识.定义1 设L是一个偏序集,*是L上的一个半群运算，e是L中关于运算*的单位元.如果运算*与偏序相互协调，即a≤b,c≤d蕴含a*c≤b*d(∀a,b,c,d∈L)，则称(L,*,e)是一个含幺序半群.定义2[23] 设(L,*,e)是一个交换的含幺序半群，其中L是完备格，如果运算*对任意并分配，即a*或等价地，存在蕴含算子→:L×L→L使得a*b≤c⟺a≤b→c(∀a,b,c∈L)，则称(L,*,e)是一个交换的单位quantale.例1 (1) ([0，+∞),×,1])和([0，+∞)op,+,1])都是交换的含幺序半群.(2) ([0,1],×,1)和([0,1],min,1)是交换的单位quantale.(3) 设L={0,a,b,1}是一个菱形格,即0<a,b<1,a‖b，规定0*x=x*0=0，a*x=x*a=x(∀x∈L),b*b=b*1=1*b=b,1*1=1,则(L,*,a)是一个交换单位的quantale(还是幂等的且严格双侧的).用LX表示集合X上的L-模糊子集(即从X到L的映射)的全体[24].1 模糊划分与模糊等价关系的一一对应性在本节中，我们假定(L,*,e)是一个交换的含幺序半群.定义3 设X是一个非空集,映射R:X×X→L称为X上的一个模糊等价关系,如果(R1) 自反性:∀x∈X,R(x,x)≥e;(R2) 对称性:∀x,y∈X,R(x,y)=R(y,x);(R3) 传递性:∀x,y,z∈X,R(x,y)*R(y,z)≤R(x,z).定义4 非空集X的模糊子集族Φ⊆LX称为X上的一个模糊划分,如果(P1) 对于任意的C∈Φ,存在x∈X使得C(x)≥e;(P2) 对于任意的x∈X,存在C∈Φ使得C(x)≥e;(P3) 对于任意的C1,C2∈Φ和x1,x2∈X,有C1(x1)*C2(x1)*C1(x2)≤C2(x2).注1 设Φ是非空集X上的一个模糊划分,则(P3′) 对于任意的C1,C2∈Φ和x1,x2∈X,C1(x1)*C2(x1)*C2(x2)≤C1(x2).证明我们只需要交换C1和C2就完成了(P3)和(P3′)的相互转化.我们称 (P3)和(P3′)为“三换一”规则.命题1 设Φ是非空集X上的一个模糊划分,则对任意的x∈X都存在唯一的Cx∈Φ使得Cx(x)≥e.证明对任意的x∈X，设有C1,C2∈Φ使得C2(x)≥e和C1(x)≥e.对任意的y∈X,由三换一规则,C1(y)=e*e*C1(y)≤C1(x)*C1(x)*C2(y)≤C2(y).则C1≤C2.同理,C2≤C1.因此C1=C2.在下文中,我们假设R是非空集X上的一个模糊等价关系.对于任意的x∈X,定义映射[x]R:X→L为[x]R(y)=R(x,y),称为x在R下的模糊等价类.命题2 设R是非空集X上的一个模糊等价关系,则ΦR={[x]R|x∈X}是一个模糊划分.证明显然,[x]R(x)=R(x,x)≥e,则(P1)和(P2)成立.由R的对称性和传递性,对于任意的a,b,x,y∈X有,[x]R(a)*[y]R(a)*[x]R(b)=R(x,a)*R(y,a)*R(x,b)≤R(y,b)=[y]R(b)，从而(P3)成立.因此ΦR={[x]R|∀x∈X}是一个模糊划分.命题3 设Φ是非空集X上的一个模糊划分,则对于任意的x,y∈X都有Cx(y)=Cy(x). 证明由三换一规则,Cx(y)=Cx(y)*e*e≤Cx(y)*Cy(y)*Cx(x)≤Cy(x).同理,Cx(y)≥Cy(x)因此,Cx(y)=Cy(x).设Φ⊆LX是一个模糊划分,定义RΦ:X×X→L为RΦ(x,y)=Cx(y)(∀x,y∈X).命题4 设Φ是非空集X上的一个模糊划分,则RΦ是一个模糊等价关系.证明 (R1) 由命题1易得.(R2) 由命题3易得.(R3) 对于任意的x,y,z∈X,RΦ(x,y)*RΦ(y,z)=Cy(x)*Cy(z)=Cy(x)*e*Cy(z)≤Cy(x)*Cx(a)*Cy(z)≤Cx(z)=RΦ(x,z ).因此,RΦ是一个模糊等价关系.引理1 设ΦR是非空集X上的一个模糊划分,有Cx=[x]R,其中Cx为命题1中模糊划分对应的模糊子集.证明对于任意x∈X,有[x]R(x)=R(x,x)≥e,由命题1中的唯一性可知,Cx=[x]R.引理2 设ΦRΦ是非空集X上的一个模糊划分,有Cx=[x]RΦ其中Cx为命题1中模糊划分对应的模糊子集.证明对于任意的y∈X,有[x]RΦ(y)=RΦ(x,y)=Cx(y).因此，[x]RΦ=Cx.定理1 设R是非空集X上的一个模糊等价关系,Φ是非空集X上的一个模糊划分,则(1) RΦR=R；(2) ΦRΦ=Φ.因此，模糊等价关系和模糊划分之间存在一一对应性. 证明 (1) 对于任意的x,y∈X,在ΦR中,由于[x]R(x)=R(x,x)≥e,由命题1中的唯一性知故因此,CΦR=R.(2) 首先,ΦRΦ={[x]RΦ|x∈X}.由引理2,对于任意的x∈X,[x]RΦ=Cx.则ΦRΦ⊆Φ.其次,对于任意的C∈Φ，存在x∈X使得C(x)≥e,我们有C=Cx=[x]RΦ.从而ΦRΦ⊇Φ.因此,ΦRΦ=Φ.2 模糊划分诱导的模糊粗糙近似算子在本节中，我们研究由模糊划分诱导的粗糙近似算子的性质.虽然由模糊等价关系和模糊划分的等价性可以知道，模糊划分诱导粗糙近似算子在本质上和模糊等价关系诱导的粗糙近似算子在本质上没有差别，但是由模糊划分诱导粗糙近似算子有它们独特的性质，这些性质可以应用到覆盖型模糊粗糙集理论的研究中去.我们假设L是一个交换的单位quantale.设C,A∈LX，令其取值描述为C是A的子集的程度；令其取值描述为C和A有非空的交的程度.定义5 设X是一个非空集,Φ是X上的一个模糊划分.定义两个映射分别为称为由模糊划分Φ诱导的上、下粗糙近似算子.有意思地是,这两个粗糙近似算子还有如下描述方式.定理2 设Φ是非空集X上的一个模糊划分,则对于任意的A∈LX和x∈X,有证明 (O3) 首先,对于任意的C1,C2∈Φ和y∈X,由三换一规则有从而因此,其次,对于任意的C∈Φ,y∈X,由Cx(x)≥e得因此,(O4) 首先,对于任意的C1,C2∈Φ和y∈X,由三换一规则有从而故其次,对于任意的C∈Φ,y∈X,由Cx(x)≥e得,因此,注2 公式(O1，O3)解释为：x∈aprΦ(A)当且仅当[x]⊆A，当且仅当对于任意的C∈Φ，x∈C蕴含C⊆A，当且仅当存在C∈Φ使得x∈C且C⊆A(注意C其实就是[x]).公式(O2，O4)解释为：当且仅当[x]∩A≠∅，当且仅当存在C∈Φ使得x∈C且含C∩A≠∅，当且仅当对于任意的C∈Φ，x∈C蕴含C∩A≠∅(注意C其实就是[x]). 参考文献【相关文献】[1] Pawlak Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11:341-356.[2] Pawlak Z.Rough Set:Theoretical Aspects of Reasoning about Data[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1991.[3] Liu G L.The axiomatization of the rough set upper approximationoperations[J].Fundamenta Informaticae,2006,69:331-342.[4] Mi J S,Zhang W X.An axiomatic characterization of a fuzzy generalization of rough sets[J].Information Sciences,2004,160:235-249.[5] Thiele H.On axiomatic characterization of fuzzy approximation operatorsI[C].∥Proceedings of the 2nd International Confer ence Rough Sets and Current Trends in Computing,Canada,2000,pp.239-247.[6] Thiele H.On axiomatic characterization of fuzzy approximation operatorsII[C].∥Proceedings of the 31st IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic,2001.[7] Wu W Z,Mi J S,Zhang W X.Generalized fuzzy rough sets[J].InformationSciences,2003,151:263-282.[8] Wu W Z,Li T J,Gu S ing one axiom to characterize fuzzy rough approximation operators determined by a fuzzy implication operator [J].FundamentaInformaticae,2015,142:87-104.[9] Wu W Z,Zhang W X.Constructive and axiomatic approaches of fuzzy approximation operators[J].Information Sciences,2004,159:233-254.[10] Wu W Z,Leung Y,Mi J S.On characterizations of (I,T)-fuzzy rough approximation operators[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,154:76-102.[11] Wu W Z,Xu Y H,Shao M W,et al.Axiomatic characterizations of (S,T)-fuzzy rough approximation operators[J].Information Sciences,2016,334/335:17-43.[12] Morsi N N,Yakout M M.Axiomatics for fuzzy rough sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1998,100:327-342.[13] Radzikowska A M.On lattice-based fuzzy rough sets[C].∥35 Years of Fuzzy Set Theory,Springer,2010.[14] Radzikowska A M,Kerre E E.Fuzzy rough sets based on residuated lattices[J].Lecture Notes in Computer Science,2004,3135:278-296.[15] Wang C Y,Hu B Q.Fuzzy rough sets based on generalized residuatedlattices[J].Information Sciences,2013,248:31-49.[16] She Y H,Wang G J.An axiomatic approach of fuzzy rough sets based on residuated lattices[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,58:189-201.[17] Deng T Q,Chen Y M,Xu W L,et al.A novel approach to fuzzy rough sets based on a fuzzy covering[J].Information Sciences,2007,177:2308-2326.[18] Ma L W.Two fuzzy covering rough set models and their generalizations over fuzzy lattices[J].Fuzzy Sets and Systems,2015,294:1-17.[19] Feng T,Zhang S P,Mi J S.The reduction and fusion of fuzzy covering systems based on the evidence theory[J].International Journal of Approximate Reasoning,2012,53:87-103. [20] Li T J,Leung Y,Zhang W X.Generalized fuzzy rough approximation operators based on fuzzy coverings[J].International Journal of Approximate Reasoning,2008,48:836-856. [21] Yao W,She Y H,Lu L X.Metric-based L-fuzzy rough sets:Approximation operators and definable sets[J].Knowledge-Based Systems,2019,163:91-102.[22] Belohlavek R.Fuzzy Relational Systems:Foundations and Principles[M].NewYork:Kluwer Academic Publishers,2002.[23] Rosenthal K I.Quantales and Their Applications[M].Harlow:Longman House,1990.[24] Yao W,Zhao B.A duality between Omega-categories and algebraic Omega-categories[J].Electronic Notes in Theoretical Computer Science,2014,301:153-168.。
基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(Ⅱ)——公理刻画
基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(Ⅱ)——公理刻画金秋;蒋惜珂;李令强【摘要】研究了基于模糊化邻域系的粗糙近似算子的公理刻画问题.特别地,通过一组公理集分别刻画了由串行的、反身的、一元的和传递的模糊化邻域系生成的粗糙近似算子.%In this paper, we present an axiomatic study on fuzzifying neighborhood system-based rough approximation operators.In particular, by an axiomatic set, we characterize the rough approximation operators generated by serial, reflexive, unary and transitive fuzzifying neighborhood systems, respectively.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(031)004【总页数】5页(P72-76)【关键词】模糊集;粗糙集;模糊化邻域系;近似算子;公理化【作者】金秋;蒋惜珂;李令强【作者单位】聊城大学数学科学学院, 山东聊城 252059;聊城大学数学科学学院, 山东聊城 252059;聊城大学数学科学学院, 山东聊城 252059【正文语种】中文【中图分类】O159.10 引言粗糙集理论是由Pawlak[1]引入的一种处理不确定现象的数学工具，其理论与应用的基础是一对近似算子.Pawlak粗糙近似算子是基于等价关系的，后来把等价关系推广为二元(模糊)关系或(模糊)覆盖[2-9]以及更一般的邻域系[10,11]，人们引入了更为广泛的粗糙近似算子.一般的，有两种方法来研究近似算子——构造性方法和公理化方法.在构造性方法中，通过把论域上的二元(模糊)关系、(模糊)覆盖和邻域系视为原始的概念来构造、研究粗糙近似算子[2-5,10].另一方面，在公理化方法中，把抽象的算子作为初始概念, 通过一个公理集来刻画构造方式定义的近似算子[2,6,8,9,11]. 2018年，作者在文献[12]中构造了基于模糊化邻域系的粗糙近似算子，并证明了该理论涵盖基于邻域系的粗糙近似算子作为其特殊情形.而由文献[10,11]知基于二元关系(覆盖)的粗糙近似算子可视为特殊的基于邻域系的粗糙近似算子.因此，基于模糊化邻域系的粗糙近似算子涵盖众多的粗糙近似算子作为其特殊情形，故对此展开研究所取得的结果更具普遍意义.本文是文献[12]中工作的继续，具体来说，我们将研究基于模糊化邻域系的粗糙近似算子的公理化问题.设U为非空论域，I=[0,1]为单位区间.记2U为U的幂集，IU为U的模糊集之集. 任意A∈2U都可以看做U上的模糊集1A：∀x∈U,若x∈A，则1A(x)=1;否则1A(x)=0.通常称1A为A的特征函数.对于任意的E⊆[0，1],我们记∨E(∧E)为E的上(下)确界. 特别地，当E={a,b}时，我们把它们记作a∨b和a∧b.任取{At}t∈T⊆IU，定义为：任取A∈IU和a∈I，定义A[a]={x∈U|A(x)≥a}和A(a)={x∈U|A(x)>a}；分别称为A的a-截集和强a-截集.对于任意的X∈2U，记X′={x∈U|x∉X}为X的补集.对于任意的A,B∈IU,定义(A-B)∈IU为∀x∈U，(A-B)(x)=A(x)-B(x).1 基于模糊化邻域系的粗糙近似算子定义1[12] 设N:U→I2U为论域U上的一个函数.若∀x∈U，N(x):2U→I是非空的，即则称N为U上的模糊化邻域系.并称序对(U,N)为一个模糊化邻域空间.这里,N(x)(K)解释为K是x的一个邻域的程度.定义2[12] 设(U,N)为一个模糊化邻域空间.X为U中任意子集，其上、下近似分别定义为∀定理1[12] 设N为U上的一个模糊化邻域系,则∀X⊆U,∀a∈I有(1)(∅)=1∅,⊆Y⟹(3)(6)定义3[12] 设N为U上的一个模糊化邻域系(1)如果对于任意的x∈U都有N(x)(∅)=0，则称N是串行的.(2)如果对于任意的x∈U，K∈2U都有N(x)(K)>0蕴涵着x∈K，则称N是反身的.易见“N(x)(K)>0蕴涵着x∈K”与“x∉K蕴涵着N(x)(K)=0”是等价的.(3)如果对于任意的x∈U，K∈2U，有则称N是传递的.(4)如果对于任意的x∈U和任意的K,V⊆X，有则称N是一元的.定理2[12] 设N为U上的一个模糊化邻域系(1)N是串行的⟹(∅)=1∅⟹(2)N是反身的⟹∀X⊆⟹∀X⊆(3)N是传递的⟹∀X⊆U,∀⊆⟹∀X⊆U，∀⊇(4)N是一元的⟹∀X,Y⊆⟹∀X,Y⊆注记1 本文中串行、反身、传递和一元条件分别是文献[11]中邻域系相应概念的自然推广.2 上近似算子的公理刻画本节，我们将用一个公理集来刻画基于模糊化邻域系的粗糙上近似算子.定理3 设f:2U→IU为一个算子(或者称为函数).则存在模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(U1)：f(∅)=1∅，(U2)：A⊆B⟹f(A)≤f(B).证明 (⟹)由定理1得到.(⟹)设f:2U→IU为一个满足(U1)和(U2)的算子.定义函数Nf:U→I2U∀由(U1)知对于任意的x∈U，有Nf(x)(U)≥1-f(U′)(x)=1-f(∅)(x)=1.故Nf(x)是非空的.因此Nf是U上的一个模糊化邻域系.接下来，我们验证事实上，对于任意的x∈U和任意的A∈2U，定理4 设f:2U→IU为一个算子.则存在一个串行的模糊化邻域系N，使得当且仅当f满足条件(U1)，(U2)和(U3)：f(U)=1U.证明 (⟹)设N为U上的一个串行的模糊化邻域系且由定理2(1)和定理3得满足(U1)，(U2)和(U3).(⟹)设f为满足(U1)，(U2)和(U3)的一个算子，Nf如同定理3所定义.只需检验(U3)蕴涵着串行条件.事实上，对于每一个x∈U，由f(∅′)=f(U)=1U知Nf(x)(∅)(∅′)(x)=0,即Nf是串行的.定理5 设f:2U→IU为一个算子.则存在一个反身的模糊化邻域系N使得当且仅当f 满足(U1)，(U2)和(U4)：∀A∈2U,1A≤f(A).证明 (⟹)令N为U上的一个反身的模糊化邻域系，且那么由定理2(2)和定理2.1可得满足(U1)，(U2)和(U4).(⟹)设f为一个满足(U1)，(U2)和(U4)的算子，Nf如同定理3中所定义.易见只需验证(U4)蕴涵着反身条件.事实上，假设x∉A，由Nf的定义知因此Nf(x)(A)=0，即Nf是反身的.引理1 设a,b∈I,则a≤b当且仅当∀c<a有c≤b.定理6 设f:2U→IU为一个算子.则存在传递的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(U1)，(U2)和(U5)：∀a∈I,∀A∈2U,f(A)[a]⊇f(f(A)[a])[a].证明 (⟹)设N为U上的一个传递的模糊化邻域系，且那么由定理2(3)和定理3可得满足(U1)，(U2)和(U5).(⟹)设f为一个满足(U1)，(U2)和(U5)的算子，Nf如同定理3中所定义.易见只需验证(U5)蕴涵着传递条件.对于任意的x∈U和A∈2U，令a=Nf(x)(A)，我们只需验证a≤b即可.如果a=0，那么a≤b自然成立.如果a≠0，任取c<a=Nf(x)(A).由A∩A′=∅得即，x∉由(U5)得x∉由定义2得即由此知存在一个K∈2U使得c<Nf(x)(K)且∅.因此，∀y∈K有y∉由定义2得即由此得对于任意的y∈K，∃Vy∈2U使得Vy⊆A且c<Nf(y)(Vy).综上得再由引理3得a≤b.定理7 设f:2U→IU为一个算子.则存在一元的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(U1)，(U2)和(U6)：∀X,Y∈2U,f(X∪Y)=f(X)∨f(Y).证明 (⟹)设N为U上的一个一元模糊化邻域系且则由定理2(4)和定理3可得满足(U1)，(U2)和(U6).(⟹)设f为一个满足(U1)，(U2)和(U6)的算子，Nf如同定理3中所定义.易见我们只需验证(U6)蕴涵着一元条件.对于任意的x∈U和K,V∈2U，设a=Nf(x)(K)∧Nf(x)(V)和我们只需检验a≤b.如果a=0，那么a≤b显然成立.如果a≠0，那么任取c<a.由知存在B⊆K，C⊆V使得c<1-f(B′)(x)且c<1-f(C′)(x)，由(U6)得再由Nf的定义和B∩C⊆K∩V得由引理3得a≤b.3 下近似算子的公理刻画根据上近似算子的公理化刻画，类似可得下近似算子的公理化刻画.在此，我们只给出主要结论而略去了相似的证明.定理8 设f:2U→IU为一个算子.则存在模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(L1)：f(U)=1U,(L2):A⊆B⟹f(A)≤f(B).证明我们只给出f诱导的模糊化邻域系N的定义∀定理9 设f:2U→IU为一个算子，则(1)存在串行的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(L1)，(L2)和(L3):f(∅)=1∅.(2)存在反身的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(L1)，(L2)和(L4):∀X∈2U,f(X)≤1X.(3)存在传递的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(L1)，(L2)和(L5):∀X∈2U,∀⊆(4)存在一元的模糊化邻域系N使得当且仅当f满足(L1)，(L2)和(L6):∀X,Y∈2U,f(X∩Y)=f(X)∧f(Y).4 结语本文接文献[10]建立了一个基于模糊化邻域系的粗糙集模型，研究了其基本性质和公理化问题.证明了该模型包含一些重要的粗糙集，特别是基于邻域系的粗糙集作为其特例.基于邻域系的粗糙近似算子具有很好的应用背景.在未来的工作中，我们将探索基于模糊化邻域系的粗糙近似算子潜在的应用.此外，文献[14]和[15]指出基于二元关系(覆盖)的近似算子与模态逻辑中的模态算子密切相关.在未来的工作中，我们也将尝试建立基于(模糊化)邻域系的近似算子与模态逻辑之间的联系.参考文献【相关文献】[1] Pawlak Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11: 341-356.[2] Yao Y Y. Constructive and algebraic methods of the theory of rough sets[J].Information Sciences,1998, 109:21-47.[3] Zhu W. Relationship between generalized rough sets based on binary relation and covering[J]. Information Sciences,2009, 179:210-225.[4] Wu W Z, Zhang W X.Constructive and axiomatic approaches of fuzzy approximation operators[J]. Information Sciences,2004,159: 233-254.[5] 李令强,金秋,孙守斌，等. 多值近似空间的上下近似诱导的拓扑结构[J].系统科学与数学, 2012,32(2): 226-236.[6] She Y H, Wang G J. An axiomatic approach of fuzzy rough sets based on residuated lattices[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,58:189-201.[7] 苏庆雪,李令强,孟广武. k阶区间值模糊粗集[J]. 聊城大学学报(自然科学版),2013,26(1)：16-20+25.[8] 李令强, 李庆国. 格值模糊下近似算子的唯一公理刻画[J]. 山东大学学报(理学版), 2014, 49(10): 78-82.[9] Li L Q, Jin Q, Hu Kai,et al. The axiomatic characterizations on L-fuzzy covering-based approximation operators[J]. International Journal of General Systems,2017,46 (4): 332-353.[10] Zhang Y L, Li C Q, Lin M L,et al.Relationships between generalized rough sets based on covering and reflexive neighborhood system[J].Information Sciences,2015, 319:56-67.[11] Zhao F F, Li L Q. Axiomatization on generalized neighborhood system-based rough sets[J]. Soft Computing, 2018,22(18):6099-6110.[12] 金秋,蒋惜珂,李令强. 基于模糊化邻域系的粗糙近似算子(Ⅰ)[J]. 大学数学, 2018,(4):1-5.[13] 黄丽萍.不完备序信息系统的集对优势度粗糙集模型[J].聊城大学学报(自然科学版), 2017, 30(1): 97-101.[14] Yao Y Y , Lin T Y. Generalization of rough sets using modal logic[J]. Intelligent Automation and Soft Computing, an International Journal, 1996,2:103-120.[15] Ma M H,Chakraborty M K.Covering-based rough sets and modal logic Part I[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2016, 77:55-65.。
模糊蕴涵算子
模糊蕴涵算子是一种基于模糊逻辑的运算符号，用于描述两个模糊集合之间的蕴涵关系。
在模糊逻辑中，模糊集合表示事物的隶属度，而模糊蕴涵算子则用于描述两个模糊集合之间的逻辑关系。
模糊蕴涵算子的定义方式有多种，常见的包括“Min-Max”模糊蕴涵算子、“积-和”模糊蕴涵算子、“Min/积-和”模糊蕴涵算子、“Min-积”模糊蕴涵算子、“Min-和”模糊蕴涵算子等。
这些算子各有特点，适用于不同的应用场景。
模糊蕴涵算子的应用非常广泛，例如在模糊控制、模糊推理、模式识别等领域都有应用。
通过使用模糊蕴涵算子，能够将不确定的信息转化为数学形式，便于进行计算和分析。
同时，模糊蕴涵算子还能够处理一些传统逻辑无法处理的复杂问题，例如含糊性、不确定性和不完全性等问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的模糊蕴涵算子。
同时，也需要考虑模糊蕴涵算子的特性和限制，以及与其他运算符号的兼容性等问题。
因此，对于模糊蕴涵算子的研究和应用还需要不断深入和完善。
以上内容仅供参考，建议查阅关于模糊蕴涵算子的书籍、文献获取更专业的信息。