卫生统计学 方差分析
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第七章方差分析基础《卫生统计学》课件
方差分析简述方差分析也是统计检验的一种。
由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F检验。
190240290340分组正常钙组中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)1X 2X 3X X(2) 计算检验统计量可根据表7-5的公式来计算出离均差平方和、自由度、均方和F值。
从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了k=10组样本，每组样本的样本含量n i=20，可算出各组的均数和标准差，得表7-7的结果。
如果采用t检验作两两比较，其比较次数为(1)10(101)45 222k k km⎛⎫--====⎪⎝⎭从理论上讲10个样本均来自同一正态总体N(10,52)，应当无差异，但我们用两样本t检验时，已经规定犯第一类错误的概率不超过α=0.05，本次实验实际犯第一类错误的频率为5/45≈0.11，显然比所要控制的0.05要大。
因此不能直接用前面学过的两样本t检验对多样本均数作两两比较，而应采用专用的两两比较的方法。
(2) 计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：, =11()2A B A B A B X X A BX X X X q S MS n n νν---==+误差误差(3) 确定值并作出推断结论自由度ν误差和对比组内包含组数a查附表4的q界值表得q界值，将算得的q值与相应q界值进行比较得各组的p值。
(3) 确定P值并作出推断结论自由度ν误差和实验组数 (不含对照组)查附表5.2的Dunnett –t(q， )界值表,得q，临界值，用计算得到的q，与临界值进行比较，得P值 。
(2) 计算检验统计量=11()A B A B A B X X A BX X X X t S MS n n νν---==+误差误差。
卫生统计学简答题
卫生统计学简答题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除卫生统计学简答题方差分析的基本思想和应用条件是什么答：方差分析的基本思想是，对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。
不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。
具体来讲，根据试验设计的类型和研究目的，将全部观测值总的离均差平方和及其自由度分解为两个或多个部分，除随机误差作用外，每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，通过比较不同变异来源的均方，借助F 分布作出统计推断，从而推论各种研究因素对试验结果有无影响。
其应用条件是，①各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布；②各样本的总体方差相等，即方差齐性。
多组定量资料比较时，统计处理的基本流程是什么答：多组定量资料比较时首先应考虑用方差分析，对其应用条件进行检验，即方差齐性及各样本的正态性检验。
若方差齐性，且各样本均服从正态分布，选单因素方差分析。
若方差不齐，或某样本不服从正态分布，选Kruskal-Wallis 秩和检验，或通过某种形式的数据变换使其满足方差分析的条件。
若方差分析或秩和检验结果有统计学意义，则需选择合适的方法（如Bonferonni、LSD法等）进行两两比较。
简述秩和检验的优缺点秩和检验的优点是（1）不受总体分布限制，适用面广；（2）适用于等级资料及两端无确定值的资料；（3）易于理解，易于计算。
缺点是符合参数检验的资料，用秩和检验，则不能充分利用信息，检验效能低。
试述假设检验与置信区间的联系与区别。
答：区间估计与假设检验是由样本数据对总体参数作出统计学推断的两种主要方法。
置信区间用于说明量的大小，即推断总体参数的置信范围；而假设检验用于推断质的不同，即判断两总体参数是否不等。
试述两类错误的意义及其关系。
答：Ⅰ类错误（typeⅠerror）：如果检验假设0H实际是正确的，由样本数据计算获得的检验统计量得出拒绝0H的结论，此时就犯了错误，统计学上将这种拒绝了正确的零假设0H（弃真）的错误称为Ⅰ类错误。
卫生统计学-第八章 方差分析(一)
上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同
。
• 作一个电脑实验，该实验是从已知正态总 体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了K=10个 样本，每组样本的样本含量n=20,可以算出 各组的均数和标准差，如表2
表2 从已知正态总体随机抽取10个样本的结果
样本 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
编号
均数 12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
-1.20 2.76 1.40 .98 1.34 1.65 2.34 2.20 2.20 3.50
基本思想 到变异分解
要解决的问题是：
具有一个处理因素的多个样本（多组）是否来 自同一总体？即，多样本的总体均数是否相等？
试验设计的方法是：
完全随机分组设计(simple randomization design):同质的观察对象，不加任何条件限制， 随机的分配到各处理组中去。2组时用t检验，大 于等于2组时用单因素方差分析。
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA
又称变异数（variance）分析。
也称为 F 检验。
它是英国统计学家R. A. Fisher首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71
。
• 作一个电脑实验，该实验是从已知正态总 体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了K=10个 样本，每组样本的样本含量n=20,可以算出 各组的均数和标准差，如表2
表2 从已知正态总体随机抽取10个样本的结果
样本 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
编号
均数 12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
-1.20 2.76 1.40 .98 1.34 1.65 2.34 2.20 2.20 3.50
基本思想 到变异分解
要解决的问题是：
具有一个处理因素的多个样本（多组）是否来 自同一总体？即，多样本的总体均数是否相等？
试验设计的方法是：
完全随机分组设计(simple randomization design):同质的观察对象，不加任何条件限制， 随机的分配到各处理组中去。2组时用t检验，大 于等于2组时用单因素方差分析。
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA
又称变异数（variance）分析。
也称为 F 检验。
它是英国统计学家R. A. Fisher首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71
重复测量数据方差分析
74.4
77.0
75.2 77.4
82.6
80.4
81.2 79.6
68.6
65.0
63.2 63.4
79.0
77.0
73.8 72.5
69.4
66.8
64.4 60.8
72.6
71.0
68.2 70.2
72.4
72.6
72.8 72.6
75.6
73.4
73.4 72.2
80.0
78.0
76.4 74.8
7.90
9.75 8.02
经检验处理组与对照组的差值 d 方差不齐（F S12 / S22 6.58 ， P 0.01），不符合两均数比较 t 检验的前提条件。
设置对照旳前后测量设计
前后测量数据间存在明显差别时，并不能阐明这种差 别是由前后测量之间施加旳处理所产生，还是因为存 在于前后两次测量之间旳时间效应所致。
比较
表9-2 两种措施对乳酸饮料中脂肪含量旳测定成果(%)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
哥特里－罗紫法
0.840 0.591 0.674 0.632 0.687 0.978 0.750 0.730 1.200 0.870
脂肪酸水解法
0.580 0.509 0.500 0.316 0.337 0.517 0.454 0.512 0.997 0.506
受试 对象j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
剂型 k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
服药后测定时间i(周)
第八讲 卫生统计学 方差分析
Si
S i2
完全随机设计资料在进行统计分析时，需 根据数据的分布特征选择方法，对于正态分布 且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单 因素方差分析(one-way ANOVA)或成组资料的 t检验（k=2）；对于非正态分布或方差不齐的 资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon秩和检 验。
记总均数为 X X / N ，
MS组内= SS组内/υ组内=16466.65/33=498.99 F= MS组间／MS组内=15645.83/498.99=31.36
按表中的公式计算各离均差平方和SS、自由度、 均方MS和F值。
表 8-3 变异来源 df 35 总变异 2 组 间 组内（误差） 33 例 8-1 的方差分析表 SS MS F P 47758.32 31291.67 15645.83 31.36 <0.01 16466.65 498.99
Xij
正常钙（0.5%） 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42 12 293.37 24.62 606.15
全部数据 36 252.55 36.94 1364.52
ni
Xi
又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影 响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病 程等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象 随机分配到各处理或对照组。 与完全随机设计相比，随机区组设计的特点是随机分配的次数 要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且 各个处理组受试对象数量相同，区组内均衡。在进行统计分析时， 将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离 出来，从而减小组内平方和（误差平方和），提高了统计检验效率。 若将区组作为另一处理因素的不同水平，随机区组设计等同于无重 复观察的两因素设计。
卫生统计学 方差分析基础
随机区组设计又称配伍组设计，通常是将受试对象按
性质(如动物的窝别、性别、体重等非实验因素)相同或 相近者组成b个区组(又称配伍组)，再将每个区组中的 受试对象随机地分配到k个处理组中去。随机区组设计
的方差分析属无重复数据的两因素方差分析(two-way
ANOVA)。
例2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将30
1 2
本例：v1=3-1=2，v2=36-3=33。查附表3-1，得P<0.001。 所以按 =0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学上 显著意义。可以认为三组不同的喂养方式下大白鼠体重
改变总体水平不同或不全相同。
④. 确定概率P值 以求F值时分子的自由度v1=v组间，分母的自由 v2=v组内查附表3-1的F界值表，得到P值。 ⑤. 下结论 若F≥Fa(v1,v2)，则P≤ ，按水准，拒绝H0，接受 H1，差异有统计学意义。
本均数 X i 也不相同，这种变异称为组内变异。组内变异
反映了随机变异(含个体差异和测量误差),故又称随机误 差。组内变异大小可用(观察数据-组均数)2之和SS组内与
组内均方MS组内来描述。
SS组内 X ij X i ni 1 S
2 i j i
2 i
MS组内
确实有作用)，同时也包括了随机误差(含个体差异和测量
误差)。组间变异大小可用(组均数-总均数)2之和SS组间与组 间均方MS组间来描述。
SS组间 ni X i X
i
2
MS组间
SS组间
组间
组间 1 k 1，k 表示处理组数
3. 组内变异
各组内大白鼠体重差值Xij大小各不相同，与其本组的样
SS组间 31291.67 MS组间 15645.83 组间 2
性质(如动物的窝别、性别、体重等非实验因素)相同或 相近者组成b个区组(又称配伍组)，再将每个区组中的 受试对象随机地分配到k个处理组中去。随机区组设计
的方差分析属无重复数据的两因素方差分析(two-way
ANOVA)。
例2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将30
1 2
本例：v1=3-1=2，v2=36-3=33。查附表3-1，得P<0.001。 所以按 =0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学上 显著意义。可以认为三组不同的喂养方式下大白鼠体重
改变总体水平不同或不全相同。
④. 确定概率P值 以求F值时分子的自由度v1=v组间，分母的自由 v2=v组内查附表3-1的F界值表，得到P值。 ⑤. 下结论 若F≥Fa(v1,v2)，则P≤ ，按水准，拒绝H0，接受 H1，差异有统计学意义。
本均数 X i 也不相同，这种变异称为组内变异。组内变异
反映了随机变异(含个体差异和测量误差),故又称随机误 差。组内变异大小可用(观察数据-组均数)2之和SS组内与
组内均方MS组内来描述。
SS组内 X ij X i ni 1 S
2 i j i
2 i
MS组内
确实有作用)，同时也包括了随机误差(含个体差异和测量
误差)。组间变异大小可用(组均数-总均数)2之和SS组间与组 间均方MS组间来描述。
SS组间 ni X i X
i
2
MS组间
SS组间
组间
组间 1 k 1，k 表示处理组数
3. 组内变异
各组内大白鼠体重差值Xij大小各不相同，与其本组的样
SS组间 31291.67 MS组间 15645.83 组间 2
卫生统计学实习一
2
在完全随机设计中，每个实验对象被等量随机分 配到不同的处理组，每个处理组具有相同的样本 量和实验条件。
3
完全随机设计适用于处理组数较少且实验条件一 致的情况，可以有效地减少系统误差和随机误差。
随机区组设计
01
随机区组设计是一种将实验对象按照一定特征进行分组，并在 各组内随机分配处理的方法。
02
区组的设计旨在平衡实验对象的各种潜在影响因素，使得各处
正态分布与t分布
正态分布
一种常见的概率分布，描述连续随机变量的不确定性，其曲 线呈钟形。
t分布
基于正态分布的连续概率分布，用于描述小样本数据的分散 情况。
05
参数估计与假设检验
点估计与区间估计
点估计
用单一数值来表示总体参数的估计值，通常是 一个样本统计量。
区间估计
用一个区间范围来表示总体参数的可能取值， 基于样本统计量和样本标准误差计算得出。
条形图与饼图
用条形图或饼图展示分类 变量的频数分布，便于比 较不同类别的数据。
描述性统计指标
均值、中位数
描述数据的集中趋势。
标准差、变异系数
描述数据的离散程度。
偏度、峰度
描述数据的分布形态。
频数、比例、百分比
描述分类数据的分布情况。
04
概率与概率分布
概率基础
1 2
概率定义
概率是描述随机事件发生可能性的数学量，通常 表示为 P(事件)。
方差分析在卫生统计学中广泛应用于实验设计和数据分析，可以有效地比较不同处 理组之间的平均数差异，并确定差异是否具有统计学显著性。
THANKS
感谢观看
数据来源
确定研究目的，选择合适的调查方法，如普查、抽样调查等，确 保数据来源可靠。
卫生统计学第八版李晓松第八章 多个均数比较的方差分析
1
1，
2，
3，
4
α=0.05 （2）检验统计量的选择与计算
变异来源
组间变异 组内变异 总变异
离均差平方和
20415.012 11197.215 31609.660
自由度
3 76 79
均方
6805.004 147.332
F值
46.188
P值
<0.001
（3）计算 P 值，作出统计推断
P<0.001，按照α=0.05的检验水准，拒绝 H 0，接受 H 1 ，差异有统计学意 义，可以认为多个总体均数不全相等，即至少有两个总体均数不等 。
第一节 完全随机设计的方差分析
第一节 完全随机设计的方差分析
总变异的分解
1. 总变异(total variance) 所有个体值总的离均差平方和
SS总 ( X ij X )
i 1 j 1
k
ni
2
总 N 1
总均方：MS SS总 总 SS总 ( N 1)
2. 组间变异(variation between groups) 每组均数与总均数的离均差平方和
以例3为例：
（1）建立检验假设，确定检验水准
对于处理组
H ：3种烫伤药膏治愈面积百分比的总体均数相同
0
H ：3种烫伤药膏治愈面积百分比的总体均数不全相同
1
对于区组
H ：12个区组治愈面积百分比的总体均数相同
0
H ： 12个区组治愈面积百分比的总体均数不全相同
1
α=0.05
第二节 随机区组设计的方差分析
均数的比较，SNK法、Bonfferoni t 等检验。探索性研究
设计阶段根据专业知识计划好的某些均数间的两两比较，一个对照与多个实验
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5.1 同一组内的 4.9 观测值不同
4.7 4.8 4.3 8 4.6875 0.3469
不同组间的各 个观测值不同
24（N ）
x 4.2458
0.3260 S 2
总变异 组内变异 组间变异
各组样本均数差异可能原因：
随机误差:包括抽样误差、测量误差等
即各样本来自同一总体，但由于随 机误差使得样本均数各不相等。
当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义时，可以认为三组总体 均数不等或不全相等，即至少有两组总体 均数不同。如果要进一步判断三组中究竟 哪两组总体均数有差别，不能直接用t检验 进行比较，需进行多个样本均数的两两比 较。
本节介绍常用的两种：SNK-q 检验和LSD-t检验
➢ SNK-q 检验
60.220 180.131
nj 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 56.293 108.406
xj
66.267 55.133 72.567 42.267 57.267 44.067 62.133 57.067 56.067 50.100
N
x
S2
变异分解
SS总 = SS处理+SS区组+SSe
∑x2 - C
[C (∑x)2 / N ]
总 N -1
组间变异（variation between groups）
SS组间 ni (xi x)2
i
组间 k 1
引起原因： 1.处理因素 2.随机误差（个体差异和测量误差）
组内变异（variation between groups）
总 30 1 29
SS处理 ni (xi x )2
i
10(53.400-56.293)2 10(55.260 56.293)2 10(60.220 56.293)2
248.579
处理 3 1 2
SS区组 nj(xj x)2 j 3(66.2767-56.293)2 3(55.133 56.293)2 ,, 3(50.100 56.293)2 2357.799 区组 10 1 9
SNK（Student-Newman-Keuls）检验， 也称q检验，适用于探索性研究，对任意 两个样本均数都进行检验。检验统计量q
q xA xB SxA xB
xA xB MS误差 ( 1 1 )
2 nA nB
误差
【检验步骤】 1.建立检验假设，确定检验水准
H0： A B ，即任两对比组的总体均数相等 H1： A B ，即任两对比组的总体均数不等 a 0.05
【检验步骤】
3.确定P值，做出统计推断
（2）对区组：
查附表7（F界值表）, P<0.01。按 a 0.05 水
准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，可 认为不同窝别对小白鼠体重增加有影响 。
第四节 多个样本均数的两两比较
【例9-3】
例9-1中，研究者对甲、乙、丙三组均数 采用了两样本均数t 检验进行两两比较，得 出结论：除乙组和丙组差异无统计学意义 以外（P>0.05），其余各两组间差异均有 统计学意义（P<0.05）。
3.063
组间 3 1 2
SS组内 SS总 SS组间 7.498 3.063 4.435
组内 24 3 21
表9-4 方差分析结果
变异来源 组间 组内 总
SS 3.063 4.435 7.498
MS
F
P
2 1.532 7.250 <0.01
21 0.211
②能否采用 t 检验比较不同作业环境 中的大鼠全肺湿重是否有差异？
对于小样本多组均数的比较不能采用t检 验进行两两比较
原因： • 割裂整体设计，只见树木，不见森林 • 增大一型错误的概率
可以采用方差分析的方法进行分析
第一节 ANOVA基本思想和应用条件
基本概念的复习
方差： 2 X - 2 ，S 2 X X 2
x2
( x)2
N
b-1 N-k-b+1 或 （k-1）（b-1）
N-1
SS区组 b 1
SS 误差 N-k-b 1
SS总 N 1
F
MS 处理 MS误差
MS 区组 MS误差
【检验步骤】
1.建立检验假设，确定检验水准 对于处理组：
H0 : 1 2 3 3种营养素对小白鼠体重增加作用相同 H1 : 1, 2 , 3 不等或不全相等 a＝0.05
MS误差 537.186 /18 29.844
F MS处理 124.290 4.165 MS误差 29.844
F MS区组 261.978 8.778 MS误差 29.844
【检验步骤】
2.计算检验统计量F值
（3）列方差分析表
表 9-8 例 9-2 的方差分析表
变异来源
23
3.确定P值，做出统计推断
查附表7（F界值表）, P<0.01。按
a 0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异有 统计学意义，可认为不同粉尘环境影响大 鼠的全肺湿重。
第三节 随机区组设计的 ANOVA
表9-6 3种营养素喂养小白鼠所增体重（g）方差分析计算表
区组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
变异分解 SST = SS A + SSB + + SSe
νT = νA + νB + + νe
构造检验统计量 F = MS因素 MS 误 差
总变异（total variation） 以完全随机设计为例
∑∑ ∑ ∑ SS总
(xij - x)2 x2 - ( x)2 / N
i1 j 1
∑∑ SS组内
(xij - xi )2
i1 j1
组内 N - k
引起原因： 随机误差（个体差异和测量误差）
三种变异及相应自由度的关系为
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
总
构造检验统计量F
F SS组间 / 组间 MS组间 SS组内 / 组内 MS组内
SS误差 SS总 SS处理 SS区组 3143.744 248.759 2357.799 537.186
误差 29 9 2 18
【检验步骤】 2.计算检验统计量F值 （2）计算均方与F值
MS处理 248.579 / 2 124.290
MS区组 2357.799 / 9 261.978
Chapter 9 方差分析
AnalysisBiblioteka of Variance, ANOVA
案例分析
【例9-1】 为研究煤矿粉尘作业环境对 尘肺的影响，将24只Wistar 大鼠随机分 到甲、乙、丙三个组，每组8只，分别 在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘， 12周后测量大鼠全肺湿重（g）。
表9-1 三组大鼠的全肺湿重（g）
不能拒绝H0
拒绝H0
a
0
F
Fa(k-1,n-k)
F 分布
➢ ANOVA应用条件
各观察值相互独立（独立性） 各样本来自正态分布总体（正态性） 各个样本的总体方差齐（方差齐性）
第二节 完全随机设计的 ANOVA
完全随机设计（completely random design）
又称成组设计，按随机化原则将受试 对象随机分配到某一研究因素的多个水平 中去，然后观察实验效应。其目的都是推 断不同水平下各组均数之间的差别是否有 统计学意义。
H0 : 1 2 3 H1 : 1, 2 , 3 不等或不全相等 a＝0.05
2.计算检验统计量F值
SS总 S2(N -1) 0.326 0 (24 -1) 7.498 总 24 1 23
SS组间 ni (xi x )2 i 8(3.8125-4.2458)2 8(4.2375 4.2458)2 8(4.6875 4.2458)2
表9-2 三组大鼠的全肺湿重（g）
甲组
4.2
3.3
3.7
观
察 xij
值
4.3 4.1
3.3
3.5
4.1
ni 8
xi 3.8125
Si 2 0.1698
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2 4.1 4.4 8 4.2375
0.1170
丙组
合计
5.6
24个观测值 3.6 彼此不同
4.5
ni xi
Si 2
A营养素 62.1 53.2 71.2 41.3 50.4 42.5 52.6 49.8 62.6 48.3 10
53.400 87.893
B营养素 63.5 54.1 67.8 46.6 56.9 43.1 58.7 56.1 51.0 54.8 10
55.260 53.660
C营养素 73.2 58.1 78.7 38.9 64.5 46.6 75.1 65.3 54.6 47.2 10
SS
MS
F
P
处理组
248.579
2
124.290
4.165
<0.05
区组
2357.799
9
261.978
8.778
<0.01
误差
537.186
18
总变异 3143.774
29
【检验步骤】
3.确定P值，做出统计推断
（1）对处理组：
查附表7（F界值表）, P<0.05。按 a 0.05 水
准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，可 认为3种营养素对小白鼠体重增加作用不同或不 全相同。
4.7 4.8 4.3 8 4.6875 0.3469
不同组间的各 个观测值不同
24（N ）
x 4.2458
0.3260 S 2
总变异 组内变异 组间变异
各组样本均数差异可能原因：
随机误差:包括抽样误差、测量误差等
即各样本来自同一总体，但由于随 机误差使得样本均数各不相等。
当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义时，可以认为三组总体 均数不等或不全相等，即至少有两组总体 均数不同。如果要进一步判断三组中究竟 哪两组总体均数有差别，不能直接用t检验 进行比较，需进行多个样本均数的两两比 较。
本节介绍常用的两种：SNK-q 检验和LSD-t检验
➢ SNK-q 检验
60.220 180.131
nj 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 56.293 108.406
xj
66.267 55.133 72.567 42.267 57.267 44.067 62.133 57.067 56.067 50.100
N
x
S2
变异分解
SS总 = SS处理+SS区组+SSe
∑x2 - C
[C (∑x)2 / N ]
总 N -1
组间变异（variation between groups）
SS组间 ni (xi x)2
i
组间 k 1
引起原因： 1.处理因素 2.随机误差（个体差异和测量误差）
组内变异（variation between groups）
总 30 1 29
SS处理 ni (xi x )2
i
10(53.400-56.293)2 10(55.260 56.293)2 10(60.220 56.293)2
248.579
处理 3 1 2
SS区组 nj(xj x)2 j 3(66.2767-56.293)2 3(55.133 56.293)2 ,, 3(50.100 56.293)2 2357.799 区组 10 1 9
SNK（Student-Newman-Keuls）检验， 也称q检验，适用于探索性研究，对任意 两个样本均数都进行检验。检验统计量q
q xA xB SxA xB
xA xB MS误差 ( 1 1 )
2 nA nB
误差
【检验步骤】 1.建立检验假设，确定检验水准
H0： A B ，即任两对比组的总体均数相等 H1： A B ，即任两对比组的总体均数不等 a 0.05
【检验步骤】
3.确定P值，做出统计推断
（2）对区组：
查附表7（F界值表）, P<0.01。按 a 0.05 水
准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，可 认为不同窝别对小白鼠体重增加有影响 。
第四节 多个样本均数的两两比较
【例9-3】
例9-1中，研究者对甲、乙、丙三组均数 采用了两样本均数t 检验进行两两比较，得 出结论：除乙组和丙组差异无统计学意义 以外（P>0.05），其余各两组间差异均有 统计学意义（P<0.05）。
3.063
组间 3 1 2
SS组内 SS总 SS组间 7.498 3.063 4.435
组内 24 3 21
表9-4 方差分析结果
变异来源 组间 组内 总
SS 3.063 4.435 7.498
MS
F
P
2 1.532 7.250 <0.01
21 0.211
②能否采用 t 检验比较不同作业环境 中的大鼠全肺湿重是否有差异？
对于小样本多组均数的比较不能采用t检 验进行两两比较
原因： • 割裂整体设计，只见树木，不见森林 • 增大一型错误的概率
可以采用方差分析的方法进行分析
第一节 ANOVA基本思想和应用条件
基本概念的复习
方差： 2 X - 2 ，S 2 X X 2
x2
( x)2
N
b-1 N-k-b+1 或 （k-1）（b-1）
N-1
SS区组 b 1
SS 误差 N-k-b 1
SS总 N 1
F
MS 处理 MS误差
MS 区组 MS误差
【检验步骤】
1.建立检验假设，确定检验水准 对于处理组：
H0 : 1 2 3 3种营养素对小白鼠体重增加作用相同 H1 : 1, 2 , 3 不等或不全相等 a＝0.05
MS误差 537.186 /18 29.844
F MS处理 124.290 4.165 MS误差 29.844
F MS区组 261.978 8.778 MS误差 29.844
【检验步骤】
2.计算检验统计量F值
（3）列方差分析表
表 9-8 例 9-2 的方差分析表
变异来源
23
3.确定P值，做出统计推断
查附表7（F界值表）, P<0.01。按
a 0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异有 统计学意义，可认为不同粉尘环境影响大 鼠的全肺湿重。
第三节 随机区组设计的 ANOVA
表9-6 3种营养素喂养小白鼠所增体重（g）方差分析计算表
区组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
变异分解 SST = SS A + SSB + + SSe
νT = νA + νB + + νe
构造检验统计量 F = MS因素 MS 误 差
总变异（total variation） 以完全随机设计为例
∑∑ ∑ ∑ SS总
(xij - x)2 x2 - ( x)2 / N
i1 j 1
∑∑ SS组内
(xij - xi )2
i1 j1
组内 N - k
引起原因： 随机误差（个体差异和测量误差）
三种变异及相应自由度的关系为
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
总
构造检验统计量F
F SS组间 / 组间 MS组间 SS组内 / 组内 MS组内
SS误差 SS总 SS处理 SS区组 3143.744 248.759 2357.799 537.186
误差 29 9 2 18
【检验步骤】 2.计算检验统计量F值 （2）计算均方与F值
MS处理 248.579 / 2 124.290
MS区组 2357.799 / 9 261.978
Chapter 9 方差分析
AnalysisBiblioteka of Variance, ANOVA
案例分析
【例9-1】 为研究煤矿粉尘作业环境对 尘肺的影响，将24只Wistar 大鼠随机分 到甲、乙、丙三个组，每组8只，分别 在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘， 12周后测量大鼠全肺湿重（g）。
表9-1 三组大鼠的全肺湿重（g）
不能拒绝H0
拒绝H0
a
0
F
Fa(k-1,n-k)
F 分布
➢ ANOVA应用条件
各观察值相互独立（独立性） 各样本来自正态分布总体（正态性） 各个样本的总体方差齐（方差齐性）
第二节 完全随机设计的 ANOVA
完全随机设计（completely random design）
又称成组设计，按随机化原则将受试 对象随机分配到某一研究因素的多个水平 中去，然后观察实验效应。其目的都是推 断不同水平下各组均数之间的差别是否有 统计学意义。
H0 : 1 2 3 H1 : 1, 2 , 3 不等或不全相等 a＝0.05
2.计算检验统计量F值
SS总 S2(N -1) 0.326 0 (24 -1) 7.498 总 24 1 23
SS组间 ni (xi x )2 i 8(3.8125-4.2458)2 8(4.2375 4.2458)2 8(4.6875 4.2458)2
表9-2 三组大鼠的全肺湿重（g）
甲组
4.2
3.3
3.7
观
察 xij
值
4.3 4.1
3.3
3.5
4.1
ni 8
xi 3.8125
Si 2 0.1698
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2 4.1 4.4 8 4.2375
0.1170
丙组
合计
5.6
24个观测值 3.6 彼此不同
4.5
ni xi
Si 2
A营养素 62.1 53.2 71.2 41.3 50.4 42.5 52.6 49.8 62.6 48.3 10
53.400 87.893
B营养素 63.5 54.1 67.8 46.6 56.9 43.1 58.7 56.1 51.0 54.8 10
55.260 53.660
C营养素 73.2 58.1 78.7 38.9 64.5 46.6 75.1 65.3 54.6 47.2 10
SS
MS
F
P
处理组
248.579
2
124.290
4.165
<0.05
区组
2357.799
9
261.978
8.778
<0.01
误差
537.186
18
总变异 3143.774
29
【检验步骤】
3.确定P值，做出统计推断
（1）对处理组：
查附表7（F界值表）, P<0.05。按 a 0.05 水
准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，可 认为3种营养素对小白鼠体重增加作用不同或不 全相同。