2012年民族传统体育专业单独统一招生考试数学答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国卷)理
课标全国(理)1.(2012课标全国,理1)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( ).A.3B.6C.8D.10D 由x ∈A ,y ∈A 得x -y ∈A ,得(x ,y )可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B 中所含元素的个数为10.2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ). A.12种B.10种C.9种D.8种A 将4名学生均分为2个小组共有224222C C A =3种分法, 将2个小组的同学分给两名教师带有22A =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22A =2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种.3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z =21i-+的四个命题:p 1:|z |=2, p 2:z 2=2i,p 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ). A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 2,p 4 D.p 3,p 4C z =2(-1i)(-1i)(-1i)-+-=-1-i,故|zp 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.4.(2012课标全国,理4)设F 1,F 2是椭圆E :22x a +22y b =1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =32a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ). A.12B.23C.34D.45C 设直线x =32a 与x 轴交于点M ,则∠PF 2M =60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =32a -c ,故cos 60°=22M F PF =3a c22c -=12,解得c a=34,故离心率e =34.5.(2012课标全国,理5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ). A.7B.5C.-5D.-7D ∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8,联立47472,8a a a a +=⎧⎨=-⎩可解得474,2a a =⎧⎨=-⎩或472,4,a a =-⎧⎨=⎩ 当474,2a a =⎧⎨=-⎩时,q 3=-12,故a 1+a 10=43a q +a 7q 3=-7; 当472,4a a =-⎧⎨=⎩时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则( ).A.A +B 为a 1,a 2,…,a N 的和B.2A B +为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数C 随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A ,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A ,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为().A.6B.9C.12D.18B 由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB =6,CD =3,PC =3,CD 垂直平分AB ,且PC ⊥平面ACB ,故所求几何体的体积为13×1632⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×3=9.8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B两点,|AB 则C 的实轴长为( ).C.4D.8C 设双曲线的方程为22x a -22y a=1,抛物线的准线为x =-4,且|AB 故可得A B 将点A 坐标代入双曲线方程得a 2=4,故a =2,故实轴长为4.9.(2012课标全国,理9)已知ω>0,函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,则ω的取值范围是( ).A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.(0,2]A 结合y =sin ωx 的图像可知y =sin ωx 在π3π,22ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,而y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π4x ωω⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,可知y =sin ωx 的图像向左平移π4ω个单位之后可得y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像,故y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故应有π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦,解得12≤ω≤54.10.(2012课标全国,理10)已知函数f (x )=1ln(1)-x x+,则y =f (x )的图像大致为( ).B当x=1时,y=1ln21-<0,排除A;当x=0时,y不存在,排除D;f'(x)=1ln(1)-x x⎡⎤⎢⎥+⎣⎦'=21[ln(1)-]xxx x++,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A∵SC是球O的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD.在△CDS中,CDDS,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS=222S S2?CD D CCD SD+-故sin∠CDS∴S△CDS=12∴V=V B-CDS+V A-CDS=13×S△CDS×BD+13S△CDS×AD=13S△CDS×BA=1312.(2012课标全国,理12)设点P在曲线y=12e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().A.1-ln22)C.1+ln22)B 由题意知函数y =12e x 与y =ln(2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y =x 与y =12e x 最小距离的2倍,设y =12e x 上点(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有01e 2x =1,x 0=ln2,y 0=1,∴y =x 与y =12e x2),∴|PQ |2)×2).13.(2012课标全国,理13)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b,则|b |= .∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1,∴a ·b =|a |×|b |cos 45°b |,|2a -b |2b |+|b |2=10,∴|b14.(2012课标全国,理14)设x ,y 满足约束条件1,3,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =x -2y 的取值范围为 .[-3,3] 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x -2y =0,在可行域内平移知过点A 时,z =x -2y 取得最大值,过点B 时,z =x -2y 取最小值.由10,30,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 点坐标为(1,2), 由0,30,y x y =⎧⎨+-=⎩得A 点坐标为(3,0). ∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3. ∴z ∈[-3,3].15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .38 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12, ∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B +A B +AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P =12⎛ ⎝×12+12×12+12×12⎫⎪⎭×12=38.16.(2012课标全国,理16)数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为 . 1 830 ∵a n +1+(-1)n a n =2n -1,∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15(10234)2⨯+=1 830.17.(2012课标全国,理17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC 求b ,c .解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0. 因为B =π-A -C ,A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12.又0<A <π,故A =π3.(2)△ABC 的面积S =12bc sin A 故bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差;②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y =80.当日需求量n <16时,利润y =10n -80. 所以y 关于n 的函数解析式为 y =1080,16,80,16n n n -<⎧⎨≥⎩(n ∈N). (2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7. X 的分布列为X 的数学期望为EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X 的方差为DX =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y 的方差为DY =(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX <DY ,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然EX <EY ,但两者相差不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX <EY ,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1. 又AC =12AA 1,可得D 21C +DC 2=C 21C ,所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ,DC ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ,故DC 1⊥BC . (2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1, 则BC ⊥平面ACC 1,所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴的正方向,|CA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2). 则1D A =(0,0,-1),BD =(1,-1,1),1DC =(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则1·BD 0,·A D 0,n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0.x y z z -+=⎧⎨=⎩ 可取n =(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,则1·BD 0,·DC 0.m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取m =(1,2,1). 从而cos<n ,m >=·||||n m n m故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°.20.(2012课标全国,理20)设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(1)若∠BFD =90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD |=2p ,圆F 的半径|FA .由抛物线定义可知A 到l 的距离d =|FA .因为△ABD 的面积为,所以12|BD |·d即12·2p 解得p =-2(舍去),p =2.所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y -1)2=8. (2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径,∠ADB =90°. 由抛物线定义知|AD |=|FA |=12|AB |,所以∠ABD =30°,m当m ,由已知可设n :y +b ,代入x 2=2py 得x 2-2pb =0.由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb =0.解得b =-6p .因为m 的截距b 1=2p ,1||||b b =3,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.当m 的斜率为,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3.21.(2012课标全国,理21)已知函数f (x )满足f (x )=f '(1)e x -1-f (0)x +12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间;(2)若f (x )≥12x 2+ax +b ,求(a +1)b 的最大值.解:(1)由已知得f '(x )=f '(1)e x -1-f (0)+x .所以f '(1)=f '(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f '(1)e -1,所以f '(1)=e.从而f (x )=e x -x +12x 2.由于f '(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f '(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0.从而,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .①(ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且x <11b a -+时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立.(ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. (ⅲ)若a +1>0,设g (x )=e x -(a +1)x , 则g '(x )=e x -(a +1).当x ∈(-∞,ln(a +1))时,g '(x )<0; 当x ∈(ln(a +1),+∞)时,g '(x )>0.从而g (x )在(-∞,ln(a +1))单调递减,在(ln(a +1),+∞)单调递增. 故g (x )有最小值g (ln(a +1))=a +1-(a +1)ln(a +1). 所以f (x )≥12x 2+ax +b 等价于b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).②因此(a +1)b ≤(a +1)2-(a +1)2ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2-(a +1)2ln(a +1), 则h '(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,12e -1)单调递增, 在(12e -1,+∞)单调递减,故h (a )在a =12e -1处取得最大值. 从而h (a )≤e 2,即(a +1)b ≤e 2.当a =12e -1,b =12e 2时,②式成立,故f (x )≥12x 2+ax +b .综合得,(a +1)b 的最大值为e 2.22.(2012课标全国,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:11(1)CD =BC ;(2)△BCD ∽△GBD .证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形,所以CF =BD =AD .而CF ∥AD ,连结AF ,所以ADCF 是平行四边形,故CD =AF .因为CF ∥AB ,所以BC =AF ,故CD =BC .(2)因为FG ∥BC ,故GB =CF .由(1)可知BD =CF ,所以GB =BD .而∠DGB =∠EFC =∠DBC ,故△BCD ∽△GBD .23.(2012课标全国,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围.解:(1)由已知可得A ππ2cos ,2sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭, B ππππ2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, C ππ2cos π,2sin π33⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, D π3ππ3π2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即ABCD(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2,则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].24.(2012课标全国,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=25,2, 1,23, 25, 3.x xxx x-+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].12。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【考点】相关系数．【专题】规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（）（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．8【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）（2012•新课标）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin （A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(数学文)word有答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分·答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上·2.问答第Ⅰ卷时·选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑·如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号·写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时·将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回· 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分·第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答·二．填空题：本大题共4小题，每小题5分·(13)曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______(15)已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=(16)设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤· （17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA(1)求A(2)若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售·如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理·（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式·（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率·（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比·B 1 DC 1A 1（20）（本小题满分12分）设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点·（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值·（21）（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号·（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FG(Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBD(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围·（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围·。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷含答案(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种3.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2, p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1.其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p44.设F1,F2是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.12B.23C.34D.455.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-76.如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.A+B2为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4√3,则C的实轴长为( )A.√2B.2√2C.4D.89.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是( )A.[12,54] B.[12,34] C.(0,12] D.(0,2]10.已知函数f(x)=1ln (x+1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )11.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( ) A.√26B.√36C.√23D.√2212.设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.√2(1-ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 14.设x,y 满足约束条件{x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z=x-2y 的取值范围为 .15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .16.数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为 . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,acos C+√3asin C-b-c=0. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.2(Ⅰ)证明:DC1⊥BC;(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4√2,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+12x 2. (Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥12x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲如图,D,E 分别为△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F,G 两点.若CF∥AB,证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3).(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D 解法一:由x-y ∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x 可取2,3,4,5,有4个;y=2时,x 可取3,4,5,有3个;y=3时,x 可取4,5,有2个;y=4时,x 可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D.解法二:因为A 中元素均为正整数,所以从A 中任取两个元素作为x,y,满足x>y 的(x,y)即为集合B 中的元素,故共有C 52=10个,选D.评析 考查了分类讨论的思想,由x-y ∈A 得x>y 是解题关键.2.A 2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C 42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A 22种方案,故不同的安排方案共有C 42A 22=12种,选A.评析 本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.3.C z=2-1+i =2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以|z|=√2,p 1为假命题;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2为真命题;z =-1+i,p 3为假命题;p 4为真命题.故选C.评析 本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力. 4.C 设直线x=32a 与x 轴交于点Q,由题意得∠PF 2Q=60°,|F 2P|=|F 1F 2|=2c,|F 2Q|=32a-c,∴32a-c=12×2c,e=c a =34,故选C.评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.D 由a 5a 6=a 4a 7,得a 4a 7=-8,又a 4+a 7=2,∴a 4=4,a 7=-2或a 4=-2,a 7=4,∴q 3=-12或q 3=-2. 当q 3=-12时,a 1+a 10=a 4q3+a 4q 6=4-12+4×(-12)2=-7,当q 3=-2时,a 1+a 10=a 4q 3+a 4q 6=-2-2+(-2)·(-2)2=-7,故选D.评析 本题考查了等比数列的基本运算,掌握等比数列的性质可简化计算.6.C 不妨令N=3,a 1<a 2<a 3,则有k=1,A=a 1,B=a 1,x=a 1;k=2,x=a 2,A=a 2;k=3,x=a 3,A=a 3,结束.故A=a 3,B=a 1,选C.评析 本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC 为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC 边上的高为3,SB ⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.评析 本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.C 如图,AB 为抛物线y 2=16x 的准线, 由题意可得A(-4,2√3).设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2(a>0),则有16-12=a 2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a. 9.A 由π2<x<π得ωπ2+π4<ωx+π4<ωπ+π4,又y=sin α在(π2,32π)上递减,所以{ωπ2+π4≥π2,ωπ+π4≤32π,解得12≤ω≤54,故选A.评析 本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题. 10.B 令g(x)=ln(x+1)-x,g'(x)=1x+1-1=-xx+1, ∴当-1<x<0时,g'(x)>0,当x>0时,g'(x)<0, ∴g(x)max =g(0)=0.∴f(x)<0,排除A 、C,又由定义域可排除D,故选B.评析 本题考查了函数的图象,考查了利用导数判断单调性,求值域,考查了数形结合的数学思想.11.A 设△ABC 外接圆的圆心为O 1,则|OO 1|=√OC 2-O 1C 2=√1-13=√63. 三棱锥S-ABC 的高为2|OO 1|=2√63. 所以三棱锥S-ABC 的体积V=13×√34×2√63=√26.故选A.评析 本题考查了三棱锥和球的基本知识,考查了空间想象能力.12.B 由y=12e x 得e x =2y,所以x=ln 2y,所以y=12e x 的反函数为y=ln 2x,所以y=12e x 与y=ln 2x的图象关于直线y=x 对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln 2x)'=1x =1,解得x 1=1,令(12e x )'=1,解得x 2=ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=√2(1-ln 2),选B.评析 本题考查了导数的应用,互为反函数图象的性质,考查了数形结合的思想. 二、填空题 13.答案 3√2解析 |2a -b |=√10两边平方得 4|a |2-4|a |·|b |cos 45°+|b |2=10. ∵|a |=1,∴|b |2-2√2|b |-6=0.∴|b |=3√2或|b |=-√2(舍去).评析 本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量积问题是求解的关键.14.答案 [-3,3]解析 由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,z min =-3;过点A(3,0)时,z max =3.∴z=x -2y 的取值范围是[-3,3].评析 本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.15.答案 38 解析 由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12,元件1或元件2正常工作的概率为1-12×12=34,所以该部件使用寿命超过1 000小时的概率为12×34=38.评析 本题考查了正态分布及相互独立事件的概率.16.答案 1 830解析 当n=2k 时,a 2k+1+a 2k =4k-1,当n=2k-1时,a 2k -a 2k-1=4k-3,∴a 2k+1+a 2k-1=2,∴a 2k+3+a 2k+1=2,∴a 2k-1=a 2k+3,∴a 1=a 5=…=a 61.∴a 1+a 2+a 3+…+a 60=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 60+a 61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.三、解答题17.解析(Ⅰ)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C- sin B-sin C=0.因为B=π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin(A-π6)=12.又0<A<π,故A=π3.(Ⅱ)△ABC的面积S=12bcsin A=√3,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y={10n-80,n<16,80,n≥16(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.评析 本题考查了利用样本频率估计总体概率以及离散型随机变量的期望与方差,掌握期望与方差的意义是解题关键,考查了运算求解能力.19.解析 (Ⅰ)由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC=DC 1.又AC=12AA 1,可得D C 12+DC 2=C C 12,所以DC 1⊥DC. 而DC 1⊥BD,DC ∩BD=D,所以DC 1⊥平面BCD.BC ⊂平面BCD,故DC 1⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,则BC ⊥平面ACC 1,所以CA,CB,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,0,2).则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1).设n =(x,y,z)是平面A 1B 1BD 的法向量,则{n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x -y +z =0,z =0.可取n =(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,则{m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.可取m =(1,2,1).从而cos<n,m >=n ·m |n|·|m|=√32.故二面角A 1-BD-C 1的大小为30°.评析 本题考查了直线与平面垂直的证明及二面角的求法.属中等难度题,运算要准确.20.解析 (Ⅰ)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2, 解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|, 所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33.当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0,解得b=-p 6.因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值为3.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析 (Ⅰ)由已知得f '(x)=f '(1)e x-1-f(0)+x,所以f '(1)=f '(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f '(1)e -1,所以f '(1)=e.从而f(x)=e x -x+12x 2.由于f '(x)=e x -1+x,故当x ∈(-∞,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.从而, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由已知条件得e x -(a+1)x ≥b.①(i)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<1-b a+1时,可得e x -(a+1)x<b,因此①式不成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x -(a+1)x,则g'(x)=e x -(a+1).当x ∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x ∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥12x 2+ax+b 等价于b ≤a+1-(a+1)ln(a+1).② 因此(a+1)b ≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以h(a)在(-1,e 12-1)上单调递增,在(e 12-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=e 12-1处取得最大值. 从而h(a)≤e 2,即(a+1)b ≤e 2.当a=e 12-1,b=e 122时,②式成立,故f(x)≥12x 2+ax+b.综合得,(a+1)b 的最大值为e 2.评析 本题考查了函数与导数的综合应用,难度较大,考查了分类讨论和函数与方程的思想方法,直线斜率以零为分界点进行分类是解题关键.22.证明 (Ⅰ)因为D,E 分别为AB,AC 的中点,所以DE ∥BC.又已知CF ∥AB,故四边形BCFD 是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF ∥AD,连结AF,所以ADCF 是平行四边形,故CD=AF.因为CF ∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG ∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD ∽△GBD.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,处理好两条线段平行的关系是解题的关键.23.解析 (Ⅰ)由已知可得A (2cos π3,2sin π3), B 2cos π3+π2,2sin π3+π2, C 2cos π3+π,2sin π3+π, D 2cos π3+3π2,2sin π3+3π2, 即A(1,√3),B(-√3,1),C(-1,-√3),D(√3,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].评析 本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解题的关键.难点是建立函数S=f(φ).24.解析 (Ⅰ)当a=-3时,f(x)={-2x +5, x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x ≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x ≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x ≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1}∪{x|x ≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a.由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].评析 本题考查了含绝对值不等式的解法,运用了零点法分类讨论解含绝对值不等式的方法,考查了学生的运算求解能力.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷pdf版含答案
解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ． 14．已知正数 a ，b ，c 满足：5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ，c ln b ≥ a + c ln c ，则 b 的取值范围是
a
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．
同于点 C），且 AD ⊥ DE ，F 为 B1C1 的中点．
A1
C1
求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC1B1 ； （2）直线 A1F // 平面 ADE．
B1 F E
A
C
D B （第 16 题）
17．（本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx − 1 (1 + k 2 )x2 (k > 0) 表示的曲线上， 20 其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不 超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
已知实数 x, y 满足： x + y < 1 , 2x − y < 1 , 求证： y < 5 .
3
6
18
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答．题．卡．指．定．区．域．内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2.(本小题满分 10 分) 设 ξ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ = 0 ；
2012体育单招英语试题及答案
2012年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试英语真题第一卷（三大题,共120分)I单项选择1、—I need someone to help out at the study center.-OK，I ______ .A。
may B. must C。
will D。
should2、The fish taste good，I mean its _______ .A. available B。
delicious C。
warm D. cheap3、Excuse me，__________ I cannot reach those boxes on the top shelf .A。
because B。
and C. so D。
but4、This is the third prize she_____ this year。
A. winsB. wonC. is winning D。
has won5、—Could you drop some books off at the library for me？- _________。
A。
go ahead B。
with pleasure C。
I do D。
thank you6、Some people prefer eating vegetable，while_______ prefer eating meat.A. the other B。
the others C .others D。
another7、I will have Hudson ________ you to your room。
A .take B. took C. taken D。
to take8、Have you ever been to the city ________ they talked about the other day？A .when B. what C。
where D。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={|x x 是平行四边形},B ={|x x 矩形},C ={|x x 是正方形},D ={|x x 是菱形},则( )A.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆ 2.函数(1)y x =≥-的反函数为( )A.()210y x x =-≥B.()211y x x =-≥C.()210y x x =+≥D.()211y x x =+≥3.若函数()[]()sin0,2π3x f x ϕϕ+=∈是偶函数,则ϕ=( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3 4.已知α为第二象限角,3sin ,5α=则sin2α=( )A.2425-B.1225-C.1225D.24255.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为( )A.2211612x y +=B.221128x y +=C.22184x y +=D.221124x y += 6.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( )A.12n -B.13()2n -C. 12()3n -D.112n - 7.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A.240种B.360种C.480种D.720种8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A.2D.19.ABC ∆中,AB 边的高为CD .若,,0,||1,||2,CB CA ==⋅===a b a b a b 则AD =( )A. 1133-a bB.2233-a bC.3355-a bD.4455-a b10.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||,PF PF =则12cos F PF ∠=( )A.14B.35C.34D.45 11.已知125ln π,log 2,x y z e -===,则( ) A.x y z << B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,1,3AE BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.81()2x x+的展开式中2x 的系数为________14.若,x y 满足约束条件10x 30,x 330x y y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =-的最小值为________15.当函数()sin 02πy x x x =≤<取得最大值时,x =________16.已知正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为11,BB CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)ABC ∆中,内角,,A B C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .18.(本小题12分)已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和23n n n S a +=.(1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.19.(本小题12分)如图,四棱锥P A B C D -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD,2,AC PA E ==是PC 上的一点,2.PE EC =(1)证明:PC ⊥平面BED ;(2)设二面角A PB C --为90︒,求PD 与平面PBC 所成角的大小.20.(本小题12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲,乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲,乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲,乙的比分为1比2的概率; (2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.21.(本小题12分)已知函数()3213f x x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点()()()()1122,,,x f x x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.22.(本小题12分)已知抛物线()2:1C y x =+与圆()2221:(1)()02M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ;(2)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,,m n 的交点为D ,求D 到l 的距离.P E DC B ABACAC BCDDC DB 13.7 14.1- 15.5π6 16.3517. 【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac =与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=，由27023666A A ππππ<<⇒-<-<，故 266A ππ-=或5266A ππ-=，于是可得到6A π=或2A π=。
2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷(答案解析)
2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,12.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.23.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n - B.122n -C.112n-D.122n-8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为212.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷答案解析一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,1【分析】集合{}22|1A x x y =+=是x 的取值范围，{}2|B y y x ==是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x ===+∞A B = [][)[]1,10,+=0,1=-∞ 故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<【分析】先由221b b ->得，20b b ->，又由0b >，可得1b >，而log 0a b <，可得01a <<【详解】解：因为221b b ->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D 【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，可求出d ，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-= 秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C 【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-【答案】D 【解析】【分析】设向量OP与x 轴的夹角为α，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得cos ,sin ,cos(),454si (5n )αααα++︒︒，得到点P '的坐标，进而求得'OP.【详解】由题意，向量OP =，则OP =设向量OP与x 轴的夹角为α，则cos αα==，所以4545sin sin 452210cos()cos cos ααα︒︒-︒=-+=223104545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒=++=，可得cos()(14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n -B.122n -C.112n-D.122n-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴111011001(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑ ，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=【答案】D 【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到α和β，将α和β放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，∴111AA B D ⊥∵底面1111D C B A 是正方形∴1111B D AC ⊥又∵1111AA AC A ⋂=∴11BD ⊥平面1111D C B A ∴1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠∵11CD A B∥∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BA C β∠∵11A B B A =，11A O B O =，OA OB =∴11A BO B AO △≌△∴111=BA C AB O β∠∠=∵11B D ⊥平面1111D C B A ∴1B O OA⊥∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高【答案】BC 【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求得2ω=，6π=ϕ，进而求得()cos 4g x x =，()sin(26f x x π=+，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位后变为：sin 6x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后变为：sin 26x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()sin 26g x x ωπωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为()g x 的最小正周期为2π，所以222ππω=，解得：2ω=.所以()sin 43g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为()g x 为偶函数，所以,32ππφkπk Z +=+∈，所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ.所以()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()sin(26f x x π=+.对于选项A ，因为()sin 2()sin 0012126f πππ⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦，所以()y f x =图像关于点(,0)12π-对称，故A 正确.对于选项B ，因为x ∈5(0,)12π时，2,66x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设26t x π=+，则()sin ,,6f t t t ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为()f t 在,6π⎛⎫π⎪⎝⎭不是单调递增，所以()f x 在5(0,)12π不单调递增，故B 错误.对于选项C ，()cos 22x g x =，()sin(2)6f x x π=+，画出(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像如图所示:从图中可以看出：(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像有三个交点，所以()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解，故C 正确.对于选项D ，()cos 4g x x =在5()124ππ,的图像如图所示：从图中可以看出()g x 在5(124ππ,有且仅有2个极大值点，故D 选项错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及0FA FB FC ++=，可得122x x +=，从而可证得2FA FC FB += ；由A ，F ，C 三点共线，得121211y y x x =--，结合22112211,44x y x y ==，化简即可得到本题答案；设AC 的中点为00(,)M x y ，由AF CF AC +≥，结合1201122AF CF x x x +=+++=+，即可得到本题答案.【详解】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB = ，22(1,)FC x y =- ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++== ，即FA ，FB，FC 成等差数列，故B 正确；因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x x x x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭∴()ln f x x x x '⎛⎫=⎪⎝⎭∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数）∴()21ln 2f x x x bx=+∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =∴()211ln 22f x x x x =+∴()112f =，满足()011f <<∴C 正确∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴B 错误，A、D 正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交.【详解】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．【答案】32【解析】【分析】首先求,P Q 两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得2b a =，最后再求双曲线的离心率.【详解】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b ---++=，c b > ，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即52b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =.故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】(1).278sin cos θθ+(2).【解析】【分析】分别计算出OE 、OF ，相加可得EF 的长；设()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()f θ的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=，在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=，所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan27cos8sin8sin27cos8 sin cos sin cos sin cosfθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭=-+='=，令()00fθ'=，得327tan8θ=，得03tan2θ=，由22003tan2sin cos1sin0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin13cos13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当00θθ<<时，()0fθ'<；当02πθθ<<时，()0fθ'>.则()()min1313f fθθ===.故答案为：278sin cosθθ+；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.。
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2012年全国普通高等学校运动训练、民族传统
体育专业
单独统一招生考试
数学试题参考答案
一．选择题：
（1） D （2）A （3）A （4）B （5）C
（6）D （7）B （8）C （9）C （10）D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题6分，满分36分．
（11）[]1,0- （12）83
π （13）[)1,3- （14）2227
（15）73 （16）()3,0
三．解答题
（17）解：
证明：
2222cos2cos sin 12sin 2cos 1sin22sin cos A A A A A A A A
=-=-=-= 因为 +=C π-B A
21cos()1cos()1cos sin 2222B C B C π+-+--+===A A 所以
()22221cos 13cos2sin 2cos 1(4cos cos )2222
12cos 122B C A A A A A ++-=--=--=--A
0<A<90因为度 所以cos A 0<<1 所以()212cos 1202
A --< 即2cos2sin 02
B C A +-<
（18）解：
（1）要证明+AF AQ AF AQ BF BQ +++为定值，可以转换为证明为定值 证明 取00(,)Q x y 利用Q 点到焦点的距离转换为Q 点到准线的距离。
则+AF BF 转换为到准线的距离之和，而AQ BQ AB += 在联立方程组，即可证明，+AF
AQ BF BQ ++证明为定值， 即得AF AQ +证明为定值
（2）设直线AB 为y=kx+b,因为直线AB 和圆相切，联立两个方程可得
221{
y kx b x y =++= 222210x bx b ++-=即 又因为因为直线AB 和圆相切，所以0= 即22(2)42(1)0b b =-⨯⨯-=
解得b =
由题意得b =
将直线带入y x =-
可得
230y +=
所以123
y y +=- 120y y =
而三角形AOB
的面积121122233
s y y =-== （19）解：
（1）以D 点位原点，分别以1DC, DA, DD 建立空间直角坐标系，
111(,,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0),D (0,0,1)22
M B A C ,所以11(,,1),(1,1,0)22
BM AC =--=- , 111(1)10022
BM AC ⨯=-⨯-⨯-+⨯= 所以BM 垂直 AC
（2）设直线BM 与1D C 的夹角为θ，那么
11
3cos 2BM CD BM CD θ⨯===⨯ 所以6πθ= （3）用等体积法 11B AB M M ABB S S --= 所以1111133
AB M ABB S h S MB ⨯=⨯
1111113222322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
所以3h =。