Lagrange插值法
数值分析Chapter4_1_Lagrange插值
6 , x1
利用 x0
0
4
5 sin 50 L1 ( ) 0.77614 18 (2) f ( x ) 1 3 R1 ( x) ( x )( x ), sin x 2! 6 4 2 2
L1 ( x ) x / 4 1 + x / 6 1 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2
f ( n+1) ( ) u ( x) (n + 1) !
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 2 3 2 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算
sin 50， 并估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察
(t ) Rn (t ) u ( x) (t xi ) f (t ) Ln (t ) u ( x) (t xi )
i 0 i 0
n
n
(t)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x
( n+1)
( x ) 0, x (a, b)
l0 ( x0 ) l1 ( x0 ) l0 ( x1 ) l1 ( x1 ) l0 ( xn ) l1 ( xn )
ln ( x0 ) c0 f ( x0 ) ln ( x1 ) c1 f ( x1 ) ln ( xn ) cn f ( xn )
因此得到插值多项式 pn(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x)
拉格朗日(Lagrange)插值
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
计算方法 插值法Lagrange插值
上的插值多项式。 则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数
ai, i 0, 1, . . . ,n
由插值条件
p(xi ) f(xi )，i = 0,1,2, … , n
可得:
n+1个未知数a0 , a1 ,…, an
an
x
n 0
an1x
n1 0
(2.1)式为插值条件。 越简单越好
插值函数
y (x)
y=f(x)
a x0
x1 x2
xn b
目的：使得 y ( x) 近似等于f(x).
而误差函数
R(x) f(x) (x)
称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间.
评论：
用 ( x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 ( x)能
较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
– 若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组 数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为
改写为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
lagrange插值的原理
lagrange插值的原理
Lagrange插值是一种数值分析方法，用于在已知一些点上的函数值的情况下，通过一个多项式来近似这个函数。
其基本原理如下：
1. 首先，根据给定的插值节点和函数值，构造一个n次多项式。
2. 利用插值基函数的概念，构造n次Lagrange插值多项式。
插值基函数是n个线性无关的n次多项式，它们在插值节点上的值等于相应的函数值。
3. 通过插值基函数，构建一个关于待求点x的n次多项式。
待求点的近似值可以通过求解这个多项式在x处的值来得到。
Lagrange插值的优势在于，它可以根据给定的插值节点和函数值精确地构造出一个多项式，从而在插值节点附近实现较高的近似精度。
然而，Lagrange插值也存在一定的局限性，例如在插值节点外的预测精度可能会降低，而且计算复杂度较高。
需要注意的是，Lagrange插值不仅适用于一元函数的插值，还适用于多元函数的插值。
在实际应用中，Lagrange插值被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解。
拉格朗日（Lagrange）插值算法
拉格朗⽇（Lagrange）插值算法拉格朗⽇插值（Lagrange interpolation）是⼀种多项式插值⽅法，指插值条件中不出现被插函数导数值，过n+1个样点，满⾜如下图的插值条件的多项式。
也叫做拉格朗⽇公式。
这⾥以拉格朗⽇3次插值为例，利⽤C++进⾏实现：1//利⽤lagrange插值公式2 #include<iostream>3using namespace std;45double Lx(int i,double x,double* Arr)6 {7double fenzi=1,fenmu=1;8for (int k=0;k<4;k++)9 {10if (k==i)11continue;12 fenzi*=x-Arr[k];13 fenmu*=Arr[i]-Arr[k];14 }15return fenzi/fenmu;16 }1718int main()19 {20double xArr[4]={};21double yArr[4]={};22//输⼊4个节点坐标23 cout<<"请依次输⼊4个节点的坐标:"<<endl;24for (int i=0;i<4;i++)25 cin>>xArr[i]>>yArr[i];2627//输⼊要求解的节点的横坐标28 cout<<"请输⼊要求解的节点的横坐标:";29double x;30 cin>>x;31double y=0;32for (int i=0;i<4;i++)33 y+=Lx(i,x,xArr)*yArr[i];34 printf("x=%lf时，y=%lf\n",x,y);3536//分界，下⾯为已知y求x37 cout<<"请输⼊要求解的节点的纵坐标:";38 cin>>y;39 x=0;40for (int i=0;i<4;i++)41 x+=Lx(i,y,yArr)*xArr[i];42 printf("y=%lf时，x=%lf\n",y,x);4344 system("pause");45return0;46 }作者：耑新新，发布于转载请注明出处，欢迎邮件交流：zhuanxinxin@。
插值法(lagrange插值,牛顿插值)概要
对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类
似的推导方法，可得到n次插值基函数为：
( x x0 )(x x1 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
拉格朗日（ Lagrange ）插值公式 ( 以下统称 • 此插值问题可表述为如下： n 多项式 Lagrange 插值公式 ) 的基本思想是，把 Ln ( x) ，使满足条件 • 为 问题 求作次数 Ln xi yi , (i 0,1,, n) pn(x) 的构造问题转化为 n+1 个插值基函数
且满足
Pn ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
其中 a i为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段 插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念， 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、 牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.
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§ 2.1 引言
一、插值问题
对函数f ( x),其函数形式可能很复杂 , 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测 量, 可以获得f ( x)在区间 [ a , b] 上的一组n 1个不同的点
--------(2) --------(3)
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且满足
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拉格朗日(Lagrange)插值
li ( x) = Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) = Ci ( x x j ) ji j =0 1 li ( xi ) = 1 Ci = j i ( xi xj )
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
i=0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
一. 插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1 : 在 n 1 个互异节点 xk 处满足插值条件 Pn ( xk ) = yk
n
f
( n 1)
( n 1 ) ( x0 ) = = ( xn ) = 0( n 1 ) ( x ) Ln ( x ) K ( x )( n 1) ! = Rn ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( n) 存在 (a, b) 使得 ( ) = 0 ( n 1 ) n ( n 1 ) f ( ) x f ( x) Rn ( x ) = ( x xi ) = K ( x) (n 1) ! i =0 ( n 1) !
6-1 lagrange插值
其中a=(x0-x1)(x0-x2)
b=(x1-x0)(x1-x2) c=(x2-x0)(x2-x1)
3.三点二次插值多项式为：
总结：三点二次插值就是用过三点（x0,y0）、 （x1,y1）、（x2,y2）的抛物线来近似曲线y=f(x), 因此也称三点二次插值为抛物线插值。
3. 4点3次插值
3. 5点4次插值如何写？
二、Hermite (埃尔米特)插值
特点：不但节点处值相同，一阶导数也相同。 Hermite 插值多项式为: n
H(x)= ∑{[1-2(x-xi)*li’(xi)]*li2(x)*yi+(x-xi)*li2(x) *y’i} i=0
用hi(x)表示1-2(x-xi)*li’(xi)]*li2(x) 用ki(x)表示(x-xi)*li2 (x) 当n=1时，即两个节点x0、x1 Hermite 插值多项式为(分 段三次插值法)：
x0-x1
x0-x1
将a0和a1的值带到插值多项中得到：
2点1次插值也叫线性插值。
4x)=a0+a1x+a2x2 , 满足： a0+a1x0+a2x02=y0 a0+a1x1+a2x12=y1
a0+a1x2+a2x22=y2
a0=x1x2y0/a+x0x2y1/b+x0x1y2/c a1=-(x1+x2)y0/a-(x0+x2)y1/b-(x0+x1)y2/c a2=y0/a+y1/b+y2/c
得 到 ： H3(x)=2(1+2(x-1)(x-2)2+3(1-2(x-2))(x-1)2-(x-2)(x-1) 2=-3x3+13x2-17x+9 当x=1.5时函数值为：2.625 当x=1.7时函数值为:2.931
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《Lagrange插值法》实验报告
1.实验名称
实验5 Lagrange插值法与最小二乘拟合法
2.实验题目
3.实验目的
验证Lagrange插值法对求插值多项式与近似值的数值结果，并用C++程序设计来实现该算法，加深对Lagrange插值法的优缺点的理解。
4.基础理论
5实验环境
Visual C++ 语言
6.实验过程
#include<iostream.h>
int main()
{
int n;
cout<<"节点的个数n=";cin>>n;
int i,j;
double x[20],y[20];
for( i=0;i<n;i++)
{
cout<<"节点"<<i+1<<":坐标x=";
cin>>x[i];
cout<<" 函数值y=";
cin>>y[i];
}
cout<<endl;
double yy=0,t=1;
double xx;
cout<<"xx="; cin>>xx;
for(i=0;i<n;i++)
{
t=y[i];
for(j=0;j<n;j++)
{
if(i!=j)
t=t*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
}
yy=yy+t;
}
cout<<"节点"<<xx<<"处的函数值yy="<<yy<<endl;
return 0;
}。