最新人教版高中数学选修2-2第一章定积分的概念1

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人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容

由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S

数学选修2-2人教新课标A版1-5-3定积分的概念课件(32张)

解析答案
(3)ʃ1－1(x3＋3x)dx.
解
∵y＝x3＋3x 为奇函数，∴
1 1
(x3＋3x)dx＝0.
解析答案
类型三定积分的性质例 3 计算ʃ3－3( 9－x2－x3)dx 的值. 解如图，由定积分的几何意义得 ʃ3－3 9－x2dx＝π×232＝92π，ʃ3－3x3dx＝0，由定积分性质得 ʃ3－3( 9－x2－x3)dx＝ʃ3－3 9－x2dx－ʃ3－3x3dx＝92π.
答案
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题型探究
类型一定积分的概念
例1 (1)定积分ʃbaf(x)dx的大小( A ) A.与f(x)和积分区间有关，与ξi的取法无关 B.与f(x)有关，与区间及ξi的取法无关 C.与f(x)及ξ1的取法有关，与区间无关 D.与f(x)、积分区间和ξi的取法都有关解析由定积分的概念可得.
重点难点个个击破
解析答案
(2)用定积分的定义计算ʃ30x2dx.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 用定义计算 ʃ21(1＋x)dx .
解析答案
类型二定积分的几何意义例2 (1)如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为( ) A.ʃbaf(x)dx B.ʃcaf(x)dx－ʃbcf(x)dx C.－ʃcaf(x)dx－ʃbcf(x)dx D.－ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx
第一章 §1.5定积分的概念
1.5.3 定积分的概念
学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实
知识点一定积分的概念
思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点. 答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.

【高中数学选修2-2】1.5.3定积分的概念

b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
b f ( x )dx c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
小结
1、求曲边梯形面积分割-----近似代替-----求和-----取极限
2、定积分定义 3、定积分几何意义 4、定积分计算性质
为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx
y
近似之; (3)求和:求n个小矩形面积的和
y=f(x)
Sn(为曲边梯形n 面积的近似值)；
s sn f xi Dx
i 1
(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为
n
s
lim
Dx0
sn
lim Dx0 i1
f
nO
xi
Dx lim n i1
a
三、定积分的计算性质性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
y
y=f(x)
思考：从定积分的几何
意义解释性质⑶
b
f
b
(xf)(dxx)dx
c
c
f
(fx)(xd)bxdfx(bx)bdfx(fx()xdc)xdf。 x(。 x)dx
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?
y
yf (x)
b
S1
f (x)dx
a
y g(x)
b
S2
g ( x)dx
a
Oa

最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》示范教案

1．5.3 定积分的概念教材分析《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念，它是学生学习定积分的基础，为学习定积分的应用作好铺垫．因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一．本节课的重点是：理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义．理解定积分的概念是难点．主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在．课时分配 1课时．教学目标知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解定积分的概念．过程与方法目标培养学生的逻辑思维能力和创新意识．情感、态度与价值观激发学生主动探索学习的精神．重点难点重点：定积分的概念、定积分的几何意义．难点：定积分概念的理解．教学过程引入新课提出问题：回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤．活动成果：分割→近似代替→求和→取极限活动设计：将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上．物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下： (1)分割：用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将时间区间[a ，b]等分成n 个小区间[t i －1，t i ](i ＝1,2，…，n)，其中第i 个时间区间的长度为Δt ＝t i －t i －1，物体在此时间段内经过的路程为Δs i .(2)近似代替：当Δt 很小时，在[t i －1，t i ]上任取一点ξi ，以v(ξi )来代替[t i －1，t i ]上各时刻的速度，则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .(3)求和：s ＝1nii S=∆∑≈∑i ＝1nv(ξi )Δt. (4)取极限：Δt →0时，上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0，因此s ＝0lim t ∆→∑i ＝1nv(ξi )Δt.探究新知提出问题1：请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．活动设计：先让学生独立思考，再分小组讨论、交流．活动成果：1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题； 2．解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想．总结：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．提出问题2：你能不能类似地将在区间[a ，b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在教师的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点 a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n)，作和式：∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分．记为⎠⎛a bf(x)dx ，即⎠⎛abf(x)dx ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf(ξi )，其中f(x)称为被积函数，x 叫做积分变量，[a ，b]叫做积分区间，b 叫做积分上限，a 叫做积分下限，f(x)dx 叫做被积式．教师补充以下几点：(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数；(2)定积分⎠⎛ab f(x)dx 是一种特定形式的和式∑i ＝1nb －a n f(ξi )的极限，即⎠⎛a bf(x)dx 表示当n →∞时，和式∑i ＝1n b －a n f(ξi )所趋向的定值；(3)对区间[a ，b]的分割是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了；(4)考虑到定义的一般性，ξi 是第i 个小区间上任意取定的点，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)，以便得出结果．设计意图通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．提出问题3：你能说说定积分的几何意义吗？活动设计：学生独立解决，必要时，教师指导、提示．学情预测：如果学生回答此问题有困难，可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子．活动成果：结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛ab f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．提出问题4：思考课本本节的探究问题．活动设计：学生独立思考，并给出答案．活动成果：通过对定积分几何意义的理解，学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y ＝f 1(x)，y ＝f 2(x)与直线x ＝a ，x ＝b 围成的平面图形面积．由于图中用虚线给出了辅助线，学生易得到阴影部分的面积为S ＝⎠⎛a b f 1(x)dx －⎠⎛ab f 2(x)dx.教师引导学生根据定积分的定义，可以得出定积分的如下性质：性质1：⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛ab f(x)dx(k 为常数)；性质2：⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛abf 2(x)dx ；性质3：⎠⎛ab f(x)dx ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx(其中a<c<b)．提出问题5：性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么？活动设计：以提问的形式让学生直接作答．提出问题6：你能从定积分的几何意义解释性质3吗？活动设计：学生思考、交流、探索解决问题．学情预测：若学生解决问题有困难，教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立．活动成果：教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性，它对把区间[a ，b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立．给出以上3个性质，便于我们计算定积分．理解新知1．用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1nb －an f(ξi )；④取极限：⎠⎛ab f(x)dx ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f(ξi )．2．一般情况下，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．即∫b a f(x)dx ＝x 轴上方面积－x 轴下方的面积．运用新知例1利用定积分的定义，计算定积分∫10x 3dx 的值．解：令f(x)＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n (i n )3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·n 2(n ＋1)24＝14(1＋1n)2.(3)取极限∫10x 3dx ＝lim n →∞S n＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值．(1)∫10xdx ；(2)∫R 0R 2－x 2dx.思路分析：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(1)中的定积分的值即为由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形的面积；(2)中的定积分的值为由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形的面积．解：(1)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形为一个直角三角形，两条直角边边长均为1，则面积为12×1×1＝12，所以∫10xdx ＝12. (2)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形面积即为圆x 2＋y 2＝R 2面积的14，则面积为14πR 2，所以∫R 0R 2－x 2dx ＝14πR 2. 变练演编例计算定积分∫20x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？解：计算定积分∫20x 3dx 的值： (1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n)，则∫20x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n(2i n )3·2n ＝16n 4∑i ＝1n i 3＝16n 4·n 2(n ＋1)24＝4(1＋1n)2. (3)取极限∫20x 3dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞4(1＋1n )2＝4. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝0，x ＝0，x ＝2和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．活动设计：学生在理解例1和例2的基础上，独立完成此例练习．设计意图设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义，训练学生思维的灵活性．达标检测1. lim n →∞ 1n[cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos (n －1)πn ＋cos nπn ]写成定积分的形式，可记为( )A ．∫π0cosxdx B.1π∫π0cosxdxC ．∫10cosxdx D ．∫π0cosx xdx2．用定积分表示由曲线y ＝x 3和直线y ＝x 所围成的图形面积． 3．当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________；当f(x)≤0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________．4．根据定积分的几何意义，求∫2－24－x 2dx 的值．答案：1.B 2.∫10(x －x 3)dx.3．由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数4．2π. 课堂小结1．知识收获：(1)定积分的概念；(2)定义法求简单的定积分；(3)定积分的几何意义． 2．方法收获：联想、归纳、总结的思想方法． 3．思维收获：从特殊到一般．布置作业习题1.5A 组3、4题．补充练习基础练习1．将和式的极限lim n →∞ 1α＋2α＋…＋n αn α＋1(α>0)表示成定积分为( ) A ．∫101xdx B ．∫10x αdx C ．∫101x αdx D ．∫10(x n)αdx 2．将和式lim n →∞(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分__________．3．曲线y ＝x 2，y ＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．拓展练习4．用定积分定义求∫10|x 2－4|dx 的值．答案：1.B 2.∫101x ＋1dx 3.∫1－1(1－x 2)dx 4.233. 设计说明通过两个实例让学生自己总结出定积分的概念，这符合思维认识发展的一般规律，也符合数学发展的一般规律，同时激发学生进一步学习的浓厚兴趣，学生也从中学到了联想、猜测的归纳、总结的思想方法．例题的设置，主要是为了强化本节课的重点，通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法．本节的设计既符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求．备课资料备选例题：利用定义计算定积分∫10(2x －x 2)dx ，并从几何上解释这个值表示什么？思路分析：利用定积分性质1、2，可将∫10(2x －x 2)dx 转化为2∫10xdx －∫10x 2dx ，利用定积分的定义分别求出∫10xdx ，∫10x 2dx ，就能得到定积分∫10(2x －x 2)dx 的值．解：∫10(2x －x 2)dx ＝∫102xdx －∫10x 2dx ＝2∫10xdx －∫10x 2dx ，用定义求∫10xdx 的值．(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间 [i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10xdx ≈S n ＝∑i ＝1n i n ·1n ＝1n 2·n (n ＋1)2＝n ＋12n.(3)取极限∫10xdx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞n ＋12n ＝12. 同理可求得∫10x 2dx ＝13，所以∫10(2x －x 2)dx ＝2×12－13＝23. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝2x ，x ＝1和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积．(设计者：孙娜)。

高中数学选修2-2第1章1.5.3定积分的概念课件人教A版

�� (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ��(��t)·Δx,而
n →∞i=1
�� a
��(x)dx 只是这种极限的一种记号.
-7-
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题型一题型二
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典例透析
利用定义计算定积分
【例 1】利用定积分的定义,计算 1 (3x + 2)dx 的值. 分析:将区间[1,2]等分为 n 个小区间,利用函数在每个小区间上的左端点值求出 Sn,其极限即为所求. 解:令 f(x)=3x+2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n 个小区间
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ��n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
�� g(x)dx na
解析:利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 例如
1
xdx = 2 ,
1 0
1
1 0
x2dx = 3 ,
1
1
1 0
x3dx = 4.
-6-
1
但 0 x3dx ≠ 答案:C
xdx · 0 x2dx, 故选C.
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典例透析
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
-3-
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典例透析

人教课标版高中数学选修2-2《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()ba f x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.问题探究二定积分的几何意义．学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质定积分的性质：（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题3．课堂总结【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数 )（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6. 4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0.而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业基础型自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)．答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx . 答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p n p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________．答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N .自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x－4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________．答案：f (x )＝65x ＋25解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2. 10．已知f (x )=错误！未找到引用源。

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��
a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区
间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.
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S 随堂练习
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��
kf(x)dx=k f(x)dx=
[f1(x)± f2(x)]dx=
b b f (x)dx± f (x)dx; 1 a a 2 �� f ( x )d x+ f(x)dx(其中 a<c<b). ��
��
f(x)dx 表示的含义
是什么? 提示:如果在区间[a,b]上,函数 f(x)<0,那么曲边梯形位于 x 轴的下方,如图所示.
由于 Δxi>0,f(ξi)<0,故 f(ξi)·Δxi<0,从而定积分于图中所示曲边梯形面积 S 的相反数,即
��
f(x)dx<0,这时它等
3 0
(x +1)dx 的值就不同.
2
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2.定积分的几何意义如果在区间[a, b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分
��
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思考 2 定积分
间有关系吗 ?
��
f(x)dx 中,定极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
f(x)dx 表
示由直线 x=a,x=b(a ≠ b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.
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思考 3 在区间[a,b]上函数 f(x)<0 时,
1.5.3 定积分的概念
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课程目标 1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
学习脉络
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��
f(x)dx(k 为常数);
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探究四
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探究一
探究二
探究三
利用定义计算定积分
用定义法求定积分的四个步骤是 :(1)分割 ;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.其中分割通常都是对积分区间进行等分,近似代替时通常取区间的左端点或右端点,求和时要注意一些求和公式的灵活运用. 【典型例题 1】利用定积分的定义,计算解:把区间[0,1]分成 n 等份,分别为 0, 小区间的长度为 Δx= , 取 ξi= (i=1,2,…,n),
��
f(x)dx=
��
f(u)du=
��
f(t)dt=…(称为积分形式的不变性),另外定积分
1 0
f(x)dx 与积分区间[a, b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上限与 (x +1)dx 与
2
下限不同,所得的值也就不同,例如
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1.定积分的概念一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<x2<…<xi…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间 [xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式∑ f(ξi)Δx= ∑
�� =1 ��
��-�� f(ξi),当 �� =1
��
n→∞时,上
述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作
��
f(x)dx= lim ∑
��-�� f(ξi),这里 �� →∞�� =1 ��
��
�� f(x)dx. f(x)dx=-S 或 S=- �� -7-
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3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
思考 1 在定积分的定义中,对区间[a ,b]的分法是否是任意
的?ξi 的取法是否是任意的 ? 提示:定积分定义中,对于区间[a,b]的分法是任意的,不一定是等分,只要保证每一个小区间的长度都趋向于 0 就可以,采用等分的方式是为了便于作和.另外,关于 ξi 的取法也是任意的,实际用定积分定义计算定积分时为了方便,常把 ξi 都取为每个小区间的左(或右)端点.
-91 0
(x +2)dx. ,…,
��-1 �� , ��
2
1 ��
,
1 2 , ��
,…,
��-1 ,1 ��
,
1 ��
��
1.1 DNA重组技术的基本工具
探究四
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