浙江省台州温岭市第三中学九年级数学期中复习之六(与圆有关的位置关系) 浙教版精品

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浙江省台州温岭市第三中学九年级数学第二十四章圆复

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学第二十四章圆复习作业浙教版2．如图1所示，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则AE长为（）A．2 B．3 C．4 D．5(1) (2) (3)3．如图2所示，A是半径为5的⊙O内一点，且O A=3，过点A且长等于7的弦有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条4．同圆内两条互相平行且相等的弦所对的圆心角为65°，•则此两弦所夹的两条劣弧所对的圆周角之和是（）A．65° B．130° C．230° D．115°5．下列说法正确的是（）A．经过三个点有且只有一个圆; B．经过两点的圆的圆心是这两点连线的中点 C．钝角三角形的外心在三角形外部; D．等腰三角形的外心即为其中心6．已知⊙O半径为4，直线L与⊙O不相交，则圆心到直线L的距离d（）A．d>4 B．d=4 C．d≥4 D．d≤47．如图3所示，AB为⊙O直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，PB=a，则△PMB周长是（）．A．（a B．．（a D．8．圆的一条弦把直径分成4cm和8cm两部分，并且弦和直径相交成60°，则该弦的长为9．直角三角形的外心是________中点，锐角三角形外心在三角形________，钝角三角形外心在三角形________．10．如果大圆半径是小圆半径的2倍，当两圆内切时，圆心距为5cm，•那么这两圆外切时，圆心距是_______c m．11．•直角三角形的两条直角边的长为6cm•和8cm，•则该三角形内切圆的周长为12（R为半径），则此弓形的面积为_________．13．已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积为________．14．已知圆锥的侧面展开图的面积是15 cm2，母线长为5cm，则圆锥的高为_____cm．15．△ABC中，AB=AC=13，△ABC面积为60，求△ABC的内切圆的半径．16．已知四边形ABCD是⊙O内接梯形，如图，⊙O•半径等于5cm，•求梯形ABCD面积17．如图，已知AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP•与⊙O•相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8．（1）求BC的长；（2）以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式．18．有一跑道如图（单位：m），若起点设在A处，一同学沿着图中虚线跑300m，估算终点在A、B、C、D的哪一处？29．如图AB是半圆O的直径，点M是直径OA的中点，点P在线段AM上运动（•不与点M重合），点Q在半圆上运动，且总保持PQ=PO过Q点作⊙O的切线交BA延长线于点C．（1）当∠QPA=60°，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明．（2）当QP⊥AB时，△QCP形状__________三角形．（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想点P在线段AM上运动到任何位置时，∠QCP 一定是_______三角形．。

浙教版九年级上册《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学直线和圆的位置关系同步作业浙教版精品

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学直线和圆的位置关系同步作业浙教版二、探索、学习新知识1、直线和圆的位置关系① 在太阳升起的过程中，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线和圆运动变化过程，圆和直线的位置关系在哪些方面发生了变化？② 思考1：通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各是什么？③ 直线和圆的位置关系的定义：2、直线和圆的位置关系的判定和性质引导：观察下列图形，你能利用圆心到直线的距离d 和半径r 大小关系来判定相应的直线和圆位置关系吗？定理1：直线l 与⊙O 相交错误！未找到引用源。

d r 直线l 与⊙O 相切错误！未找到引用源。

d r 直线l 与⊙O 相离错误！未找到引用源。

d r思考2：运用数量关系判定“直线与圆的位置关系”以及“点和圆的位置关系”有何区别与联系呢？ 3、小结直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。

直线和圆没有有公共点时，叫做直线和圆相离。

直线和圆有一个公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫切点。

三、例题和练习：1、填空：(1)⊙o 与直线l 至少有一个公共点，则半径r 与d 的关系 (2)⊙o 的半径为5cm ，A 在直线l 上，且oA=5cm ，则l 与⊙o 的关系 (3)⊙o 直径为5cm ，o 到直线l 的距离为4cm ，则l 与⊙o 的关系(4)已知圆的半径是8cm ，若圆心到直线的距离分别是①3cm ②8cm ③13cm ，那么直线与圆的位置分别是2、△ABC 中，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,若以C 为圆，2cm 长为半径画⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是，若要使AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径应是。

变式：要使直线AB 成为⊙C 的割线，⊙C 的半径应在什么范围内取值？3、半径为5的⊙O 中，点A 与圆心O 距离为2，直线L 与点A 的距离为3，则直线L 与⊙O 的位置关系是。

浙江省台州市温岭市三中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题(wd无答案)

浙江省台州市温岭市三中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是(）A．B．C．D．(★★) 2. 方程经过配方后，其结果正确的是( )A．B．C．D．(★★) 3. 关于二次函数，下列说法正确的是()A．图像开口向下B．图像经过点C．图像的对称轴是直线D．最小值是(★★) 4. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=114°，则=()A．66°B．114°C．132°D．134°(★★) 5. 烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为()A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ A＝35°，以 C为旅转中心，将△ ABC旋转到△ A′ B′ C的位置，点 B在边A′ B′上，则∠ BDC为（）A．70°B．90°C．100°D．105°(★★) 7. 已知⊙O的半径r=3，点P和圆心O之间的距离为d，且方程没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是()A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．不能确定(★★★) 8. 如图，将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为，则点A′的坐标为( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，当为整数时，的值为( )A．或1B．或1C．或D．或(★★★) 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是A．1B．C．2D．二、填空题(★★) 11. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，所得到的图象的解析式为______________．(★★) 12. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．(★★) 13. 如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．(★★★) 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________．(★★★★) 15. 如图，的图像交 x轴于 O点和 A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y 2，y 2与 x轴交于 O点和 B点.（1）若，则 y2=_____________________（2）设的顶点为 C，则当△ ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的的表达式_________________(★★★★) 16. 如图，已知∠ MON＝120°，点 A、 B分别在 OM， ON上，且 OA＝ OB＝ a，将射线 OM绕点 O逆时针旋转得到 OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点 A关于直线OM′的对称点 C，画直线 BC交OM′与点 D，连接 AC， AD，有下列结论：①点 C始终在以 O为圆心， OB长为半径的圆上；②∠ ADB的大小随α的变化而变化；③当α＝30°时，四边形 OADC为菱形；④△ ACD面积的最大值为 a 2，其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题(★★) 17. 解方程：(1) (2)(★★★) 18. 已知 m是方程的一个实数根，求代数式的值．对于代数式，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A. 特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．(1)代数式的不变值是________，A=________．(2)已知代数式，若A=0，求b的值．(★★★★) 19. 如图，在边长为1的正方形网格中， A（1，7）、 B（5，5）、 C（7，5）、 D （5，1）．（1）将线段 AB绕点 B逆时针旋转，得到对应线段 BE．当 BE与 CD第一次平行时，画出点 A 运动的路径，并直接写出点 A运动的路径长；（2）线段 AB与线段 CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．(★★★) 20. 如图，Rt△OAB中,∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△ ．(1)求以A为顶点，且经过点的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．(★★★) 21. 新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%．(1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？(★★★) 22. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，∠C=90°，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A、D的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F的半径；(3)请直接写出线段AG、AD、CD三者之间满足的数量关系：___________________．(★★★★) 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A ，P ，Q (m≠0)．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．(1)如图，若m=1，则点M，N的坐标分别为_________，_________；(2)对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；(3)已知点B ，C ，以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，①当半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，求t的值；②若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．(★★★★) 24. 如图，等边ABC，边长为4，点P是边AB上一动点(不与A，B重合)，过点A，P，C三点作圆，交边BC于点D，作∠PCQ＝60°，交圆于点Q，连接DQ交AC于点E．(1)连接PQ，求证：PCQ是等边三角形；(2)求证：DQ//AB；(3)连接AQ，设BP＝x，APQ的面积为y，当x为何值时，y的值最大；(4)取BP中点F，连接PE，FE，当∠PEF的值最大时，直接写出BP的值．。

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学《直线和圆的位置关系》同步作业(无答案) 浙教版

知识回顾：1、点和圆的位置关系：点和圆的位置关系有：点在_________，_________，_________。

设⊙O 的半径为r ，点P 到直线l 的距离OP=d ，则有点P 在⊙O 外 d ____ r ，点P 在⊙O 上 d ____ r ，点P 在⊙O 内 d ____ r ，2、平面上有一点可确定_______圆；两个点可确定______圆，其中圆心在____________上；__________________可确定一个圆。

3、三个顶点在圆上的三角形是圆的_________________三角形；圆心是三角形的_________的交点，这个点到__________________的距离相等。

4、直线和圆有三种位置关系，即____________，____________，____________。

设⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，则有直线l 和⊙O 相交外 d ____ r ，直线l 和⊙O 相切外 d ____ r ，直线l 和⊙O 相离外 d ____ r ，5、切线的判定和性质经过半径的_______端，并且__________这条直径的直线是圆的切线。

圆的____________垂直于____________的半径。

6、切线长定理和三角形的内切圆从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线___________的夹角。

与三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形。

内切圆的圆心是三角形___________的交点，叫做三角形的_______心。

直角三角形的两条直角边的长为a 、b ，斜边长为c ，则此直角三角形的内切圆的半径为 __________________。

典型例题：1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，O 为AB 上的一点，BO=m ，⊙O 的半径r=12，当m 分别在什么范围内取值时，BC 与⊙O 相离、相交、相切？2、如图，以△ABD 的边AB 为直径，作半圆O ，交AD 于点C ，过点C 的切线CE 和BD 互相垂直，垂足为E ，用两种不同的方法，证明AB=BD 。

2022-2023 数学浙教版新中考考点24与圆有关的位置关系(解析版)

考点24与圆有关的位置关系考点总结1.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下:①点P在圆内⇔d＜r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆外⇔d＞r．2. 直线与圆的位置关系（1）相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.（2）相切:如果直线和圆有唯一的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做圆的切点.（3）.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.（4）直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O 的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:3.切线的判定和性质（1）切线的判定方法①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(切线的定义); ②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; ③经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).（2）切线的性质①切线与圆只有一个公共点; ②圆心到切线的距离等于半径; ③切线垂直于过切点的半径.（3）切线长①定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.②性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.4．三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，内切圆的半径是内心到三边的距离．真题演练一、单选题A=︒，连结BO，1．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O是ABC的外心，∠40∠的度数是（）．CO，则BOCA．60︒B．70︒C．80︒D．90︒【答案】C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABC的外接圆如下图∵∵40A=︒∵280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定∵ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可．【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ，∵AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∵AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∵∵AOG ∵∵BOM ，∵∵CAB =∵CBA ，∵∵ACB =90°，∵∵CAB =∵CBA =45°，12OC AB ∴=，2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵∵O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ∵点A 在∵O 外．点B 在∵O 上，∵直线AB 与∵O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．4．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A 的坐标为（﹣3，2），∠A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切∠A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ 、P A ，如图，利用切线的性质得到∵AQP =90°，再根据勾股定理得到PQ =AP ∵x 轴时，AP 的长度最小，利用垂线段最短可确定P 点坐标．【详解】解：连接AQ 、P A ，如图，∵PQ 切∵A 于点Q ，∵AQ ∵PQ ，∵∵AQP ＝90°，∵PQ当AP 的长度最小时，PQ 的长度最小，∵AP ∵x 轴时，AP 的长度最小，∵AP ∵x 轴时，PQ 的长度最小，∵A （﹣3，2），∵此时P 点坐标为（﹣3，0）．故选：D ．5．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，O 是等边ABC 的外接圆，点D 是弧BC 上的点，且20CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】D【分析】根据等边三角形的性质得到∵ACB =∵ABC =∵BAC =60°，根据圆周角定理得到∵BCD =∵BAD =40°，进而可求出∵ACD 的度数．【详解】解：∵∵ABC 是等边三角形，∵∵ACB =∵ABC =∵BAC =60°，∵∵CAD =20°，∵∵BAD =∵BAC -∵CAD =40°，∵BD BD =，∵∵BCD =∵BAD =40°，∵∵ACD =∵ACB +∵BCD =100°，故选：D ．6．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，点E 为Rt ∠ABC 的直角边AC 上一点，以CE 为直径的半圆与斜边AB 相切于点D ，连结DE ．若∠B ＝70°，则∠CED 为（）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°【答案】C【分析】连接CD ，根据切线长定理可得BC BD =，即可得出55BCD ∠=︒，根据圆周角定理可得90CDE ∠=︒，结果可得．【详解】解：连接CD ，∵90ACB ∠=︒，∵BC 与半圆相切与点C ，∵半圆与斜边AB 相切于点D ，∵BC BD =，∵∵B ＝70°， ∵18070552BCD BDC ︒-︒∠=∠==︒， ∵905535DCE ∠=︒-︒=︒，∵CE 为直径，∵90CDE ∠=︒,∵∵CED 90903555DCE =︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．7．（2021·浙江鹿城·二模）如图，直线AB 与O 相切于点C ，AO 交O 于点D ，连接CD ，OC ．若50AOC ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】B【分析】先根据切线的性质得到∵OCA ＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∵OCD＝65°，然后计算∵OCA−∵OCD即可．【详解】解：∵直线AB与∵O相切于点C，∵OC∵AB，∵∵OCA＝90°，∵OC＝OD，∵∵OCD＝∵ODC＝12（180°−∵COD）＝12×（180°−50°）＝65°，∵∵ACD＝∵OCA−∵OCD＝90°−65°＝25°．故选：B．8．（2021·浙江余杭·二模）如图，∠O是Rt∠ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作∠O的切线，交AB的延长线于点D．设∠A＝α，∠D＝β，则（）A．α﹣βB．α+β＝90°C．2α+β＝90°D．α+2β＝90°【答案】C【分析】连接OC，由∵BOC是∵AOC的外角，可得∵BOC＝2∵A＝2α，由CD是∵O的切线，可求∵OCD＝90°，可得∵D＝90°﹣2α＝β即可．【详解】连接OC，如图，∵∵O是Rt∵ABC的外接圆，∵ACB＝90°，∵AB是直径，∵∵A＝α，OA=OC，∵BOC是∵AOC的外角，∵∵A=∵ACO，∵∵BOC=∵A+∵ACO＝2∵A＝2α，∵CD是∵O的切线，∵OC∵CD，∵∵OCD＝90°，∵∵D＝90°﹣∵BOC＝90°﹣2α＝β，∵2α+β＝90°．故选：C．9．（2021·浙江余杭·三模）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】B【分析】根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直，进而进行选择即可得解．【详解】根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直∵PB l⊥∵PB是与圆半径相等的线段，故选：B．10．（2021·浙江桐乡·一模）如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于点C．若30∠=︒，CD=AC等于（）．DA．6B．4C．D．3【答案】C【分析】连结BC，OC，根据CD为切线，可得OC∵DC，利用锐角三角函数可求OC=CD tan∵OAC==2，可求∵DOC=60°根据三角形外角性质∵A=∵OCA=30，由AB为直径，可得∵BCA=90°，利用AC=AB cos30°=【详解】解：连结BC，OC，∵CD为切线，∵OC∵DC，在Rt∵DOC中，∵30D∠=︒，CD=∵OC=CD tan∵OAC=，∵OB=OA=OC=2，∵DOC=90°-∵D=90°-30°=60°∵∵A=∵OCA=130 2DOC∠=︒∵AB为直径，∵∵BCA=90°在Rt∵ABC中，∵AB=2OA=4，∵A=30°，∵AC=AB cos30°=4故选择C．二、填空题11．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，PB与∠O相切于点B，OP 与∠O相交于点A，若∠O的半径为2，∠P＝30°，则AB的长为______．【答案】2π3【分析】连接OB，根据切线的性质得到∵OBP=90°，从而得到∵BOA=60°，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB，∵PB是圆O的切线，∵∵OBP=90°，∵∵P=30°，∵∵BOA=60°，∵23602326ABππ⨯==，故答案为：23π．12．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是∠ABC的内心，AO的延长线交∠ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设AB ACBC+＝a，则OEDE＝___．（用含a的代数式表示）【答案】1a - 【分析】过点O 作OF ∵BD 交AB 于点F ，连接BD ，通过三角形内心的性质可得出∵F AO =∵EAC ，然后证明∵FBO ∵∵EBO ，然后根据成比例线段的性质，根据AB ACBC+＝a ，得出BF AF a BE +=，BF =BE ，1AF a BE =-，从而得到OEDE＝1a -．【详解】解：过点O 作OF ∵BD 交AB 于点F ，连接BD ，∵∵AOF =∵ADB =∵ACE ， ∵点O 是∵ABC 的内心， ∵∵F AO =∵EAC ，∵∵AFO =180°-∵F AO -∵AOF =180°-∵EAC -∵ACE =∵AEC ， ∵∵BFO =∵BEO ，在∵FBO 和∵EBO 中，BFO BEO FBO EBO BO BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵FBO ∵∵EBO （AAS ）， ∵OF =OE ，BF =BE ，∵∵OBD =∵OBE +∵CBD =∵ABO +∵CAD ， ∵OBD =∵ABO +∵BAO =∵BOD ， ∵OD =OB ，∵OE OF AFOD BD AB ==， ∵QE AFOD OE AB AF =--，∵QE AF AFED BF BE==， ∵∵BAE =∵OAE ，∵AB ACBE EC=， ∵AB AC AB ACBE EC BE EC+==+，∵AB ACBC +＝a ， ∵ABa BE=， ∵BF AFa BE+=， ∵BF =BE ， ∵1AFa BE=-， ∵OEDE＝1a -．故答案为1a -．13．（2021·浙江永康·一模）如图，图1是某滑动模具示意图，转动飞轮A 时，圆上固定点B 随之在连杆OD 上的滑道MN 滑动，并带动连杆OD 绕端点O 左右摆动．图2是某平台侧面示意图，平台高8dm 3OE =，上底宽 1.5dm EF =，下底宽8dm OH =，GH OH ⊥，以图2所示方式建立平面直角坐标系xOy ，点H 的坐标为(8,0)-，侧曲面FG 恰好完全落在反比例函数(0)ky k x=<的图象上．（1）则k 的值为__________．（2）若飞轮半径为0.5dm ，转动飞轮从顶端F 经侧曲面向地面x 轴无滑动滚动，为保证模具在平台上顺利滑动，滑道MN 的长度至少为__________dm ．【答案】4- 172【分析】(1)根据EF =32,OE =83可确定点F 的坐标为(-32，83)，代入函数(0)k y k x =<中求解即可；(2)根据圆在F 处,计算最短的OM 长,根据圆在水平面OH 上,计算最长的ON ,其差即为MN 的最短长度. 【详解】（1）∵EF =32,OE =83，点F 在第二象限，∵点F 的坐标为(-32，83)，∵点F 在函数(0)ky k x=<的图像上， ∵k =83×(-32)= -4；故答案为：-4；(2)如图，当∵A 恰好在F 处，作AB ∵x 轴，垂足为B ，EF ∵y 轴，OE ∵x 轴，故四边形BOEF 是矩形， ∵BF =OE ，∵BA =BF +F A =OE +F A =83+12=196，根据题意，得点A (-32，196)，∵OA ，作∵A 的切线OM ，连接AM ，则AM ∵OM ，则OM =当∵A 恰好在最低端时，根据题意，得点A (-172，12)，∵OA作∵A 的切线ON ，连接AN ，则AN ∵ON ，则ON ===172，∵MN =ON -OM =172故答案为：17214．（2021·浙江婺城·二模）现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AD 和BC 平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC ＝4米，AB ＝2米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加__平方米．（结果保留π）【答案】83π-【分析】首先将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE ∵AD 于点E ，进而得出AD ，EO 的长以及∵1，∵AOD 的度数，进而得出S 弓形AD 面积＝S 扇形AOD ﹣S ∵AOD 求出即可．【详解】解：将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE ∵AD 于点E ，由AD 和BC 平行且相等，则四边形ABCD 是平行四边形， ∵平行四边形ABCD 内接与圆， ∵∵DAB ＝∵ABC ＝90°， ∵AC 为圆的直径， ∵AC ＝4米，AB ＝2米， ∵∵ACB ＝30°，∵餐桌两边AB 和CD 平行且相等， ∵∵C ＝∵1＝30°， ∵EO ＝12AO ＝1，∵AE∵AD ＝ ∵AO ＝DO ， ∵∵1＝∵D ＝30°， ∵∵AOD ＝120°， ∵S 弓形AD 面积＝S 扇形AOD ﹣S ∵AOD＝21202360π⋅⨯﹣12×1×＝43π∵桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（83π-故答案为：83π-．15．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，等边三角形ABC 的边长为4，E 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，连接EF ，以EF 为直径作圆O ．当圆O 与AC 边相切时，AE 的长为_____．【分析】证明OH 是梯形EMNF 的中位线，则EM ＋FN ＝EF ，分别计算EM 、FN 、EF 的长度即可求解．【详解】解：分别过点E 、O 、F 作AC 的垂线，垂足分别为点M 、H 、N ，∵O 是EF 的中点，而EM ∵OH ∵FN ，∵OH 是梯形EMNF 的中位线，则OH ＝12（EM ＋FN ），当圆O 与AC 边相切时，OH ＝12（EM ＋FN ）＝12EF ，即EM ＋FN ＝EF ，设AE ＝BF ＝x ，则FC ＝BE ＝4﹣x ，在∵AEM 中，EM ＝AE sin A ，在∵FCN 中，同理FN 4﹣x ）；在∵BEF 中，BF ＝x ，BE ＝4﹣x ，∵B ＝60°，过点E 作EK ∵BC 于点K ，同理可得：EF 2＝EK 2＋FK 24﹣x ）2＋[12（4﹣x ）﹣x ]2， ∵OH ＝12（EM ＋FN ）＝12EF ， ∵EF 2＝（EM ＋FN ）2，4﹣x ）2＋[12（4﹣x ）﹣x ]2＝4﹣x ）]2，解得：x三、解答题16．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ．（1）如图∠，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若66ABC ∠=︒，求ACM ∠；（2）如图∠，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE EC =；（3）如图∠，在（1）（2）的条件下，若3tan 4A =，求:ADE ACM S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明()EDO ECO SAS ∆≅∆，则DE CE =，得到A ADE ∠=∠，即可求解；（3）设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，由AMH ABC ∆∆∽，得到21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯=，同理可得：21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，即可求解．【详解】解：（1）由题意知，BC BM =， 66ABC ∠=︒，67BMC BCM ∴∠=∠=︒，又90ACB ∠=︒， 906733ACM ACB BCM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图2，DE 为圆O 的切线，连接OE ，则90EDO ECO ∠=∠=︒，OD OC =，OE OE =，()EDO ECO SAS ∴∆≅∆，DE CE ∴=，90BDO ADE ∠+∠=︒，90DBC A ∠+∠=︒，且DBO BDO ∠=∠．A ADE ∴∠=∠． AE DE ∴=，AE CE ∴=；（3）过M 作AC 的垂线交AC 于H ，过D 作AC 的垂线交AC 于I ，连接CD ，90ACD A ∠+∠=︒，90ACD DCB ∠+∠=︒，3tan tan 4DCB A ∴∠=∠=，设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，而532AM AB MB AB BC x x x =-=-=-=，//MH BC ，则AMH ABC ∆∆∽，65MH x ∴=，则21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯⨯=， //DI BC ， ADI ABC ∴∆∆∽，同理可得：4825DI x =，则21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，所以4:5ADE ACM S S ∆∆=．17．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）如图，AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：ADC AOF ∠=∠；（2）若1sin 3C =，8BD =，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）连接OD ，由切线的性质得到90ADC ADO ∠+∠=︒，由等腰三角形的性质得到DAO ADO ∠=∠，根据90AOF DAO ∠+∠=︒，由等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到118422OE BD ==⨯=，设OD x =，3OC x =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OF AD ⊥，90AOF DAO ∴∠+∠=︒，CD 是O 的切线，D 为切点， 90CDO ∴∠=︒，90ADC ADO ∴∠+∠=︒，OA OD =，DAO ADO ∴∠=∠，AOF ADC ∴∠=∠；（2）//OF BD ，AO OB =，AE DE ∴=，118422OE BD ∴==⨯=， 1sin 3OD C OC ==， ∴设OD x =，3OC x =，OB x ∴=，4CB x ∴=，//OF BD ，COFCBD ∴∆∆， OC OF BC BD ∴=， 348x OF x ∴=， 6OF ∴=，642EF OF OE ∴=-=-=．18．（2021·浙江·翠苑中学二模）如果三角形的两个内角α与β满足90αβ-=︒，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）如图1，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，且AC AD =．求证：DCB 是“准直角三角形”．（2）如图2，ABC 中，3tan 4B =，5BC =，BAC ∠为钝角，若BAC 为“准直角三角形”，求AC 的长．（3）如图3，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连结AC ，BD ，AC 为O 的直径，ABD △为“准直角三角形”．若5AB =，12BC =，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）154；（3）12 【分析】（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可推得90CDB DCB ∠-∠=︒，符合“准直角三角形”定义，判定DCB ∆是“准直角三角形”；（2）在BC 边上取一点F ，使BAF B ∠=∠或CAF C ∠=∠，作AE BC ⊥于点E ，设3AE m =，由相似三角形的性质和勾股定理，将BF 、EF 、CE 都用含m 的式子表示，先求出m 的值，再求AC 的值；（3）作AE BD ⊥于点E ，可得AED ABC ∆∆∽，得到::::5:12:13AE ED AD AB BC AC ==，再用（2）中的方法即可求出BD 的值．【详解】解：（1）证明：如图1，AC AD =，ACD ADC ∴∠=∠，180180CDB ADC ACD ∴∠=︒-∠=︒-∠；90ACB ∠=︒，90ACD DCB ∴∠=︒-∠，180(90)90CDB DCB DCB ∴∠=︒-︒-∠=︒+∠，90CDB DCB ∴∠-∠=︒，DCB ∴∆是“准直角三角形” .（2）如图2，90BAC B ∠-∠=︒，作AF AC ⊥，交边BC 于点F ，作AE BC ⊥于点E ，则90FAC AEB AEC ∠=∠=∠=︒．由90BAC B BAC BAF ∠-∠=∠-∠=︒，得B BAF ∠=∠， AF BF ∴=．设3(0)AE m m =>，AF BF x ==．3tan 4AE B BE =∠=， 443BE AE m ∴==， 222(3)(4)x m m x ∴=+-，解得258x m =，则258AF BF m ==， 257488EF m m m ∴=-=； 90EAF EAC C ∠=︒-∠=∠， ∴778tan 324m AE EF EAF CE AF m ==∠==， 2424723777CE AE m m ∴==⨯=；由72457m m +=，得720m =；778sin 25258m AE EF EAF AC AF m ==∠==， 2525757153777204AC AE m ∴==⨯=⨯=；如图3，90BAC C ∠-∠=︒，作AG AB ⊥，交边BC 于点G ，作AE BC ⊥于点E ，则90BAG AEB AEC ∠=∠=∠=︒．由90BAC C BAC CAG ∠-∠=∠-∠=︒，得C CAG ∠=∠， AG CG ∴=．设3(0)AE m m =>，则4BE m =．90GAE BAE B ∠=︒-∠=∠， ∴3tan 4EG B AE =∠=， 3393444EG AE m m ∴==⨯=，154AG CG m ∴==，解得2m =， 13322AE ∴=⨯=，9151663442CE m m m =+==⨯=，AC ∴综上所述，AC 的长为154 （3）如图4，90BAD ABD ∠-∠=︒．作AF AD ⊥交BD 于点F ，作AE BD ⊥于点E ，则90FAD AEB AED ∠=∠=∠=︒，由（2）得AF BF =． AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，5AB =，12BC =，13AC ∴，::5:12:13AB BC AC ∴=；ADE ACB ∠=∠，90AED ABC ∠=∠=︒， ADE ABC ∴∆∆∽，::5:12:13AE ED AD ∴=．设5(0)AE n n =>，则12DE n =90EAF EAD EDA ∠=︒-∠=∠，90AEF DEA ∠=∠=︒， FEA AED ∴∆∆∽，55255121212EF AE n n ∴==⨯=， 1313655121212AF BF AE n n ∴===⨯=，222(5)()52n n ∴+=，解得n =，153********BD n n n ∴=+=== 如图5，90BAD ADB ∠-∠=︒．作AG AB ⊥交BD 于点G ，作AE BD ⊥于点E ，则90GAB AEB AED ∠=∠=∠=︒，由（2）得AG DG =．同理可得::5:12:13AE ED AD =．设5(0)AE n n =>，则12DE n =；设AG DG y ==，则12EG n y =-， 222(5)(12)y n n y ∴=+-，解得16924y n =，则16924AG DG n ==， 169119122424EG n n n ∴=-=． 90BAE EAG AGE ∠=︒-∠=∠， ∴5120tan 11911924BE AE n AGE AE EG n ==∠==， 1201206005119119119BE AE n n ∴==⨯=，sin BE AE AGE AB AG==∠， AB AE BE AG ∴⋅=⋅，6001695511924n n n ∴⨯=⨯，解得119169n =，600600119119121212119119169169BD n n ∴=+=⨯+⨯=．综上所述，BD 的长为12．。

浙教九上3[1].3_圆与圆的位置关系

热身训练你能判断⊙O1和⊙O2的位置关系吗？
⊙O1和⊙O2半径分别为3厘米和4厘米，设
（1） O1O2 =8厘米答：（ 1 ）两圆外离
（2） O1O2 =7厘米
（ 2 ）两圆外切
（3） O1O2 =5厘米（4） O1O2 =1厘米（5） O1O2 =0.5厘米（6） O1和O2重合
（ 3 ）两圆相交
（ 4 ）两圆内切（ 5 ）两圆内含（ 6 ）两圆内含
（同心圆）
例1 ⊙O的半径为5厘米，
点P是外一点，OP=8厘米. 求（1）以 P为圆心，作思⊙考P与：⊙若O作外⊙切P，与小⊙圆O相⊙切P的，半径是多求少⊙？P的半径是多少？
（2）以P为圆心，作⊙P 与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
d
O1 O2
dr R
R-r<d<R+r (R>r) d<R-r (R>r)
相
.Ro1 d ro.2 两圆外离
d＞R+r
离
dro. 2.o1 R
两圆内含
d＜R-r
相交
d .Ro1
or. 2
两圆相交
R-r＜d＜R+r
相
.Ro1 d
ro. 2
两圆外切
d=R+r
切
dro. 2.Ro1
两圆内切 d=R-r
圆与
系
圆
关
的
置位
直线和圆的位置关系
rB
A
d
rB
A
d
两个公共点
唯一公共点
rB
A
d
l
没有公共点
圆与圆的交点情况又如何？
· ·O A ·O

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浙江省台州温岭市第三中学九年级数学期中复习之六（与圆有关的
位置关系）浙教版
班级姓名
1．如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m ，并且X Y ⊥WY ，
这个油桶的底面半径是__________。

2．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ
进攻。

当他带球冲到A 点时，同伴乙已经助攻冲到B 点。

有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，
由乙射门。

仅从射门角度考虑，应选择第种射门方式。

3 半径等于3cm 的⊙O 中,那么1200的圆心角所对的弧长为 cm 。

4．如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC =40°，D 是弧AC 上任意一点，那么∠D 的度数是；
5、如图所示，⊙O 为△ABC 的内切圆，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

°
6．如图，圆和圆的位置关系是( )
A 相切
B 外离 C.相交 D.内含
7、⊙O 1与⊙O 2的半径分别为4cm 和5cm ，若O 1O 2＝10cm ，则两圆的位置关系是（）
A 、外离
B 、外切
C 、相交
D 、内切
8、一正多边形的一个外角为90°，则它的边心距与半径之比为（
A 、1:2
B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

9．如图，一圆内切四边形ABC
D ，且AB=16，CD=10，则四边形
的周长为（） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56
10、下列说法正确的是（
） A 、与圆有公共点的直线是圆的切线 B 、过三点一定能作一个圆
C 、垂直于弦的直径一定平分这条弦
D 、三角形的外心到三边的距离相等
11．如图，已知直线BC 切⊙O 于点C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的
延长线与CD 的延长线交于点A ，∠A ＝28°，∠B ＝26°，
则∠PDC 等于（）
A ．34°
B ．36°
C ．38°
D ．40°
12．已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径为（）
A ．错误！未找到引用源。

B ．3
C ．错误！未找到引用源。

D ．1
13．已知△ABC 内接于⊙O ，∠BOC=100°，则∠A=( )
A ．50°
B ．130°
C ．50°或100°
D ．5014 如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB 第2题图第1题图
第6题图 B C O D A C 第5题第4题图⌒
B A 、B ，若PA= 5cm ，
C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不
重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，
求△PED 的周长是多少?
15、如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且ED 是⊙O 的切线。

（1）求证：DE ⊥AC. （2）若∠C ＝30°，CD ＝8cm ，求⊙O 的半径。

16．如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x 、y 是方程2t 2-30t+m=0的两根，求△COD 的面积．（３）在（2）的条件下，以B 为坐标原点，BC 为X 轴的正
半轴，BA 为Y 轴的正半轴，建立坐标系，求直线CD 的解析式。

17、如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为错误！未找到引用源。

，直线错误！未找到引用源。

与坐标轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为(4,1)，⊙B 与x 轴相切于点M 。

（1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数；
（2）⊙B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，若直线错误！未找到引用源。

绕点A 顺时针匀速旋转，当⊙B 第一次与⊙O 相切时，直线错误！未找到引用源。

也恰好与⊙B 第一次相切，见图（2）求B 1的坐标以及直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？
（3）若直线错误！未找到引用源。

不动，⊙B 沿x 轴负方向平移过程中，能否与⊙O 与直线错误！未找到引用源。

同时相切。

若相切，说明理由。

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