2019-2020学年北京市昌平区高一上期末数学试卷((含答案))

北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．CU （M∪N）D．CU（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1）C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x9．（5分）函数 y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x 的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B． C． D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（ ） A ．300° B ．240° C ．120° D ．60° 12．（5分）已知集合{α|2k π+≤α≤2k π+，k ∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上． 13．（5分）比较大小：sin1 cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为 ． 15．（5分）已知函数f （x ）=cosx （x ∈[0，2π]）与函数g （x ）=tanx 的图象交于M ，N 两点，则|+|= ．16．（5分）定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f （x 0）=，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f （x ）=x 2﹣mx ﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数f （x ）=lg （x+1）﹣lg （1﹣x ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域； （Ⅱ）判断函数f （x ）的奇偶性．18．（12分）已知集合 A={x|2sin x ﹣1＞0，0＜x ＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和 B ； （2）求 A ∩B ．19．（12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f （x ）的解析式．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．CU （M∪N）D．CU（M∩N）【解答】解：CU M={1，4，6}，CUN={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，CU（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，CU（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1）C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x【解答】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数 y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x 的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数 y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B． C． D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120°D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成 k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1 ＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|= π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f （x 0）=，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f （x ）=x 2﹣mx ﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 （0，2） ．【解答】解：∵函数f （x ）=x 2﹣mx ﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数， ∴关于x 的方程x 2﹣mx ﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x 2﹣mx ﹣1=﹣m 在（﹣1，1）内有实数根． 即x 2﹣mx+m ﹣1=0，解得x=m ﹣1，x=1． 又1∉（﹣1，1） ∴x=m ﹣1必为均值点， 即﹣1＜m ﹣1＜1⇒0＜m ＜2．∴所求实数m 的取值范围是（0，2）． 故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数f （x ）=lg （x+1）﹣lg （1﹣x ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域； （Ⅱ）判断函数f （x ）的奇偶性． 【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜x ＜1故函数的定义域为（﹣1，1） （2）∵f （﹣x ）=lg （1﹣x ）﹣lg （1+x ）=﹣f （x ） ∴f （x ）为奇函数．18．（12分）已知集合 A={x|2sin x ﹣1＞0，0＜x ＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和 B ； （2）求 A ∩B ．【解答】解：（1）集合A={x|2sin x ﹣1＞0，0＜x ＜2π}={x|sinx＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2﹣x＞2}={x|x＜﹣1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为﹣1，当即时，f（x）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（ I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣（4分）又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x∈A，则由x＜，故f（x）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。