问题哪得新如许,为有高数渗透来——2013年高考高观点试题的评析
2013年福建省数学高考试题带来的启示
２ ０ １ ３ 年 福 建 省 数 学 高 考 试 题 带 来 的 启 示
●宋 建华 （ 永安市第一中学 福建永安 ３ ６ ６ ０ ０ ０ ）
一
年一 度 的高考 如期 而 至 ， 新鲜 出炉 的高 考试 题 令人 赏 心悦 目， 这些 试 题凝 聚着 命 题 者 的 心 血 ， 完 美
地诠释了《 高考数学考纲》 与《 高考数学考试说 明》 的要求 ， 给我们带来颇多的启示． １ 数学 探 究是福 建 省数 学高 考试题 的特 色 《 高 中数学课程标准》 要求在教学过程中注重数学探究 ， 这是 由于数学探究有助于学生了解数学概念
（ １ ） ， （ ２ ） （ 略）
（ ３ ） 现将 与 四棱 柱 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ－ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 形 状 和 大小 完 全 相 同 的 ２个 四棱 柱 拼成 一 个新 的 四棱 柱 ， 规定 ： 若 拼成 的新 四棱 柱形 状 和大 小 完全 相 同 ， 则 视 为 同一 种 拼 接 方 案， 问共 有 几种 不 同的拼 接方 案 ？在 这 些 拼 接 成 的新 四棱 柱 中 ， 记其 中最 小 的表 面
１ ６ ／ 概 率与 统计 ； １ ７ ／ 三角 ； １ ８ ／ 立 体几 何 ； １ ９ ／ 解析 几何 １ ６ ／ 概 率 与统计 ； １ ９ ／ 立体几 何 ； ２ ０ ／ 三 角 函数
２ ０ １ １年
２ ０１ ２芷 ２ ０１ ３正
第１ ０期
宋建华 ： ２ ０ １ ３年福建省数 学高考试题 带来的启示
年份
２ ０ ０ ９正
２ ０１ ０芷
解答题 中涉及数学探究的试题（ 题号／ 题型）
１ ７ ／ 立 体几 何 ； １ ８ ／ 三 角 函数 ； １ ９ ／ 解析 几何
2013年江苏高考数学各题批阅简评
2013年江苏高考数学均分：89 （160）27（40）15题，宁连华教授主要错误，第一问计算推理不到位，简单的数量积平方展开就有好几种错误；第二问没有突出关键，要让人看得清解题思路在哪里，不能只是看看、猜猜，关键要说明理由。
这里尤其强调计算推理过程。
16题周敏泽表达过程不规范严谨，其中错误中有百分之四十定理把握不清。
特别强调要数学地交流，要完整地、严密地证。
不承认笔误；教师的师范作用非常重要，严格地要求，不能随意地表达17题解析几何令人耳目一新，较为欣赏。
建议多考这样一些题。
考查了较为本质的东西，用坐标研究曲线方程，用方程研究曲线关系；这里的第二问考查等价转化思想，要归类的话，属考参数范围，这里的问题关键是不等关系何来？由定圆动圆有公共点来，这比较隐蔽，考查思维能力提高了；美中不足，运算能力考查偏弱。
题海战术无效了。
18题曹安陵应用题特点，语言通俗易懂，希望能延续，原型来源课本，从高一开始要加强基本运算能力培养，要加强数学阅读能力培养。
20题涂教授出得较好，就是学过的基本的零点定理.证明要严谨,不能以形代证。
其他的极限什么都讲不清楚。
涂教授：今年试卷的整体印象是常规加变化。
试卷结构保持相对稳定，填空题前十题只考一个知识点，属容易题；填空13、14属于考查思维能力。
解答题15、16为三角向量、立体几何属于基础常见题，但逻辑推理要求提高；17、18考分析解决问题能力，灵活变通能力；解析几何难度降低，应用题容易上手，最后两题也能做。
总之，考学过的知识、方法，这是一个变化；虽然简单，但绵里藏针。
江苏省数学教师最难当，一是工作负担重，二是数学课本不严密，考试倒要学生严密，最后一题分离变量用极限有什么不好，课本连极限都不讲，怎么会有导数，没有父母，那来子女，曾经一次在苏州大学吃晚饭，参加微积分课本部分编写的樊亚东和苏州大学教数学分析的教师在争论要不要极限，争论得差点打起来，后来，我们几个讲你们不要争论了，反正没有结果，就这样晚饭散了，记得2010年高考那么难，我们班均分160（200），今年这么容易，看来要得这个分数，反而难了，你说今后数学怎么教，在涂教授他们眼里，每年高考试题都是优秀的，都出得很好，我去批过几次试卷，2005年我批概率题，其中规定第一小题结论只要是1/8,就给4分,有好多学生中间写得乱七八糟,化简下来也不是0.125,但最后写的是1/8,也要给分,我和我们学校姚老师经常和那个东南大学的那个组长争,结果他们坚持这样给分,所以从此,我再也不去批卷了,没有道理的评分标准,今年更是如此,标准他们定,今后数学怎么教,阅卷组必须给广大教师一个标准,不要每年都变,不管题目难易,均分永远都是80-90.。
2013年高考试题评析
2ab
2ac
有 a asin A ,得 sin A 1，
但 A 为 ABC 的内角，所以， A 90 ， 故 ABC 为直角三角形，选（B）．
由这个解法清楚看到bcosC c cos B a，其实，这就是射影定理．
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2013年高考陕西卷试题分析
二、2013年高考部分试题解析
相等，可以否定（A）；
（B）：[x 1] [0.1] 0 ，x 0.4 1，不相等，可
2
以否定（Ｂ）；
（C）：2x 0.8 1，2x 20.4 21 2 ，
不相等，可以否定（Ｃ）．故选（D）．
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2013年高考陕西卷试题分析
二、2013年高考部分试题解析
解法 2（肯定一支）因为 [x] 为不大于 x 的最大整数，故存在
总体讲，2013 陕西卷，延续前三年的命题风格：简 约、基本、和谐、回归。同时又呈现如下特点：
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2013年高考陕西卷试题分析
一、试题的总体评价
1.贴近生活 比照 2012 年高考试卷，2013 年的高考试题体现出来的 特色是：试题情景设计生活味浓厚。如：理 4 的问卷调查、 系统抽样，文 5 题的产品抽样检测、频率分布直方图，理 5 的信号覆盖问题，第 19 题的分层抽样、投票选举等社会热 点话题。；概率解答题从去年的银行排队等待问题到今年的 歌手大奖赛的投票问题，贴近生活的命题原则得到了更加充 分地体现。突出了概率与实际问题相结合的学科特色。
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2013年高考陕西卷试题分析 二、2013年高考部分试题解析
解法 1:由正弦定理有， a k sin A,b k sin B, c k sin C ，
2013陕西高考数学评析
羽翼丰盈，平淡见真经---2013陕西高考文数评析陈仓高中刘永健7213002013全国高考已经全面落幕，关于2013陕西高考试题，在三年的新课标发展下已彰显成熟。
陕西新课程高考文数自主命题经历了2010年的起步，经过2011年“破八股”到2012年“和谐”发展，再到今年的“羽翼丰盈”。
在“稳中求变，稳中求新”的立意下，经过三年稳健成长，使得今年试题布局更为科学合理，更有利于高校的选拔和中学的日常教学，彰显了陕西自主命题的成熟与特色。
关键字：2013高考，高考文数学，新课标，真题评析2013年陕西高考文数试题的总体印象是：平和稳健，试题的综合性再度减弱，运算量不大，难度与去年对等，整个试卷给人一种相知相识的亲切感，命题的出处紧扣教材。
可以说，陕西2013年的高考文数试题，有利于不同层次的考生的正常发挥，达到了考生轻松、家长舒心、社会满意的效果。
以下是我个人关于2013年陕西高考文数试题的具体分析。
立足教材，回归课本，注重基本知识与技能考查。
如第1题，集合运算；第2题，两向量平行的坐标运算；第3题，对数的性质运算；第4题，算法；第5题，频率与概率；第6题，复数的性质运算；第7题，线性不等式；第8题，直线与圆的位置关系；第11题，双曲线的离心率；第12题，要求考生由三视图还原几何体，求半球体表面积，无不在课本上能找到原型。
尤其是解答题第16题，三角函数运算；第17题，第一问倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式；第二问利用S n 第与a n的关系及等比数列的定义证明等比数列;第20题，第一问椭圆的第二定义等等，都要求考生吃透课本，同样也给新一届高三指明高三复课动向，回归课本，吃透教材才是硬道理。
巧用性质运算，紧抓数学概念。
如第3题对数运算与换底公式的应用；第6题复数与虚数及实数的定义与区别。
第20题，椭圆的第二定义（或曲线与方程的关系），无不要求考生吃透概念及运算性质。
知识活用，紧扣数学思维考察。
第9题的三角形中的正弦定理的考查，要求考生灵活应用正弦定理，熟识三角形中边之比等于角的正弦之比。
2013年好题分析
2013年好题分析2013.8近年高校录取率已达到70%的情况下，高考改革顺利进行，高职与本科分类考试、本科统考、甄选特殊才能学生的自主招生等形式，形成了不同类别的类考试既各司其职又相互衔接，全方位实现高考的选拔功能．在这样的大形势下，2013年高考试题的改革必然又上了一个新的平台，显示了试卷加强了对全体考生的区分功能，体现了关怀每一位考生、让每一位考生展示、发挥学习水平的理念．很多省市的数学试卷，在试卷的总体结构和考查重点上都有所调整，更加重视学科思想和学科思维的考查．学科味道厚重，同时引导考生关注社会和科技的发展，渗透人文精神．突出考查了课程的主干知识和要着重培养的核心能力，加强了对数学本质和数学思想方法的考查．引导中学数学教学将注意力放在学科的核心内容上，更好地教学生掌握数学基础知识、基本技能和思想方法，夯实打牢一生发展的基础，形成可持续发展的能力．不少省市的数学试卷，难、中、易试题比例有所调整，中等题与容易题的比例增加，总体难度合理，有效的对高中生学业水平和数学能力进行考查，促进高中数学教学的发展，提高学生学习数学的兴趣，对中学数学教学有好的指导作用．即使区分高端考生的题目，也下了很大功夫，精心设计，做了铺垫，体现了“‘不超标’不仅仅是对考核的知识和能力的范围而言的，也包含了对如何考核高层次能力卷的限定”的原则，命制了很高水平的漂亮试题，改变了考生望而却步，直接放弃的作法．2013年的高考数学试卷的改革是在原有特色的基础上，又增加了新的亮点．试题背景新颖，内涵丰富，解法质朴、思想深刻．试题在内容和呈现方式等多方面不断渗透新课程理念，体现了对学习方式、探究及创新能力等方面的考查．在命题思路、考查方式、能力立意、试题难度、试题呈现方式诸多方面保持稳定，保持了大气、稳重、平和、亲切的风格．一．考查基础知识的试题也能有好的区分度新课改后，陕西连续几年出了考查课程中最基本内容的解答题，形成了试题的一个重要的特色，如2011年的“叙述并证明余弦定理”；2011年的证明三垂线定理及逆定理．今年又有如下的试题：(2013年陕西理17). (本小题满分12分)设{}a是公比为q的等比数列.n(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列. (2013年陕西文19) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (Ⅰ) 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；(Ⅱ) 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有1,1nn q S q-=-判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．所考查的内容都是课程标准、考试大纲要求掌握的基本、重要的内容，这样的内容都是最基本的东西，反映了数学最本质的内容．把这些内容作为高考解答题的考查对象，即体现了“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”的原则，也在区分中端、甄别70%考生有良好的作用．(2013年北京理13)向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμ=+c a b (,λμ∈R )，则λμ= ． 本题主要考查了平面向量的基础知识，它的解法多样，但是必须在对向量的基本概念、向量的运算及向量基本定理等反映向量本质理解深刻，才能找到最优的解法并得到正确的答案．题目不难，多数考生都能不同层次解答此题，但是它却有好的区分度，尤其对中间考生区分更好，保证了选拔功能．(2013年湖北理18)(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2﹣a 3|=10，a 1a 2a 3=125． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)是否存在正整数m ，使得121111?na a a +++≥若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得()3311115125,5,,3110,1,3,a q a a a q q q q ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨-==-⎩⎪⎪⎩=⎩或 故1533n n a -=⋅或a n = -5⋅(-1)n -1．(Ⅱ)若1151313,.353n n n n a a --⎛⎫=⋅⇒=⋅ ⎪⎝⎭故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3,5公比为13的等比数列， 从而12311531119191 1.11031013nn n a a a ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==⋅-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-若a n = -5⋅(-1)n -1，则()1111,5n n a -=-⋅-故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,5-公比为-1的等比数列， 从而12121,,1111111.50,n nn a a a a a a n ⎧-⎪+++=⇒+++<⎨⎪⎩为偶数为奇数. 综上，对任何正整数m ，总有121111.na a a +++< 故不存在正整数m ，使得121111na a a +++≥成立． 本题是湖北理科试卷六个解答题中的第二个，考查的都是数列的最基础的知识：项、通项、前n 项和、数的大小比较，解答此题运用的方法也是最基本的：解含绝对值的方程组、分类讨论．大部分学生都可以上手解答，但能正确顺利解答整个题目却需要对数列知识及数学方法的熟练掌握，思维清晰，有一定的运算功底，它在淘汰低端考生、区分中等水平的考生甚至高端考生都会起一定的作用．我们认为考查基础知识的试题也能有好的区分度，数学基础知识是数学课程的核心内容，以这些基础知识为载体，都能设计出一些很好的数学试题．2013年很多试卷中都有这样的好的试题，既能有效的考查高中生学业水平和数学能力，又能保证选拔功能，还对促进高中数学教学的发展有良好的导向作用．二．最基本的内容是可以用来把关的每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，如何设计数学试卷的把关题，是命题者命题水平高低的试金石．个别试卷把课程中一些非主干、相对次要的内容，超越一般性“理解”的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高．但是这样做，尽管从学科完备性角度讲有一定的合理性，却会引导教学降低真正属于教学核心内容的部分的权重，有可能使教学重心偏离课程的核心，不符合课程改革的方向和发展趋势．高考配合减负和素质教育，就是要导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法．因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比例还是分数权重上都应该是重点．即便是把关题，也最好是尽量难在基础和核心内容的考查上．今年不少高考数学试卷中，都有一些漂亮的、优秀的把关题．(2013年福建理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+++=)1(2)1(1)1( ，m n m n m n m n a a a c +-+-+-⋅⋅⋅=)1(2)1(1)1( ，*),(N n m ∈则以下结论一定正确的是( )A . 数列{b n }为等差数列，公差为m qB . 数列{b n }为等比数列，公比为m q 2C . 数列{c n }为等比数列，公比为2m q D . 数列{c n }为等比数列，公比为mm q 分析：()()()()211111,1mm n m n m n m n m n q q b a q a q a qa q------=+++=⋅-()111111,mn m n mn mn m n m n b a a q q b a a q-+---=== 数列{b n }为等比数列，公比为.mq2)1()1()1(2)1(1)1(--+-+-+-⋅=⋅⋅⋅=m m mn m m n m n m n m n qaa a a c()()21111)1(1m mm mn mmn m n m m mn n n q q a q a a a c c ===----+数列{c n }为等比数列，公比为2.m q本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列，需将问题回归到等差、等比数列的基本性质，探究出两个数列的通项，作出判断．题目对阅读理解有较高要求，要对数列中的项、项数、变量、不变量等重要概念及抽象的字母有着“清醒”的认识，读出题目的本质特征---刻画的就是一个等比数列的前m 项的和、积的性质，想一想、算一算，就能得出正确答案．但是能做到这些并不容易，该题能有选拔把关的功能．(2013年山东理16)定义“正数对”：0,01,ln ln , 1.x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(a b ) = b ln +a ； ②若a >0，b >0，则ln +(ab ) = ln +a +ln +b ； ③若a >0，b >0，则ln ln ln ;a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭④若a >0，b >0，则ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +2．其中的真命题有 ①③④ (写出所有真命题的序号) 解：对于①，由定义，当a ≥1时，a b ≥1，故ln +(a b )=ln(a b )=b ln a ，又b ln +a =b ln a ，故有ln +(a b )=b ln +a ；当a <1时，a b <1，故ln +(a b )=0，又a <1时b ln +a =0，即ln +(a b )=b ln +a ． 可知①正确；对于②，此命题不成立，可令12,,3a b ==则2,3ab =由定义ln +(ab )=0，ln +a +ln +b =ln2，所以ln +(ab )≠ln +a +ln +b ；由此知②错误；对于③，当a ≥b >0时，1,a b ≥此时ln ln 0,a a b b +⎛⎫⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当a ≥b ≥1时，ln ln ln ln ln ,a a b a b b ++⎛⎫-=-=⎪⎝⎭此时命题成立； 当a >1>b 时，ln ln ln ln ,a a b a b ++⎛⎫-=<⎪⎝⎭故命题成立； 同理可验证当1>a ≥b >0时，ln ln ln ;a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭成立；故③正确； 对于④，可分a ≤1，b ≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的故答案为①③④.本题表面形式上做了一个新的定义0,01,ln ln , 1.x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，但事实上，这就是一个分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=1,ln 10,0)(x x x x g ，即当10<<x 时，为常数函数，当1≥x 时完全具备底数大于1的对数函数的性质．于是学生在分析题目中所呈现的一些性质时，就可以分析题目中出现的b a baab a b+,,,与数字1的关系，从而看是否具备相关性质．题目把高中数学中最重要的函数模型“对数函数”做了一些巧妙的包装，有效的考查了考生对数学中核心知识和方法掌握的情况，考查了分析问题解决问题和自主学习的能力，富有思考性和挑战性，是今年山东卷的点睛之笔．(2013年全国新课标Ⅰ卷理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求∣AB ∣.解：(1)由圆M ：(x +1)2+y 2=1，可知圆心M (−1，0)，半径1；圆N ：(x −1)2+y 2=9，圆心N (1，0)，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切， 则∣PM ∣=R +1，∣PN ∣=3-R ， ∣PM ∣+∣PN ∣= 4， 而∣MN ∣=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，a =2，c =1，b 2=a 2-c 2=3．故曲线C 的方程为221.43x x += (2)圆M 与圆N 内切，半径差为2，故动圆P 的半径R ≤2. (由于∣PM ∣-∣PN ∣=2R -2≤4-2=2，所以R ≤2) 当且仅当⊙P 的圆心为(2，0)，R =2时，其半径最大，其方程为(x -2)2+y 2=4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得2 3.AB = ②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，由平面几何知切线l 的斜率：212.491k -=±=±-设l 与x 轴的交点为Q ，则()1,4,0.2QM Q QP =⇒-l 的方程为()24.4y x =±+ 得()22224,47880,1,43y x x x x y ⎧=+⎪⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩故222881814.4777AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+⋅--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于对称性可知：当l 的方程为()244y x =-+时，也有18.7AB = 综上可知：23AB =或18.7本题是一道比较难的试题，有是一道好的试题，题目把直线、圆、椭圆融合在一起，考查了解析几何最本质的东西：用代数方法研究几何问题．试题首先要分析圆与圆的位置关系，利用椭圆定义得出曲线C 的方程．再要依题设条件分析出动圆P 中半径最长的定圆，问题就转化为直线与椭圆相交，讨论相交弦长的常规问题．该题好在准确把握解析几何的研究对象：几何图形的性质，准确把握解析几何的研究方法：解析法．运算量适中，借助图形分析，一步步找到解决问题的突破口．无论对知识的理解、对数学思想方法的掌握、数学能力的表现都有较高要求，但是题目所涉及的内容全部都是基础的、核心的内容．可见最基本的内容是可以用来把关的．三．不超纲照样可以命制区分高端考生的难题．高考试卷中必然会有难题，用来区分高端考生．2013年多数高考试卷中都有好的、严格遵循课程标准和考试大纲的难题．以数学的核心内容、核心方法、核心思想可以命制不超纲区分高端考生的难题．(2013年北京理20)(本小题共13分)已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．(Ⅰ)若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出1d ,2d ,3d ,4d 的值；(Ⅱ)设d 是非负整数．证明：n d d =-(1,2,3,n =)的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若12a =，1n d =(1,2,3,n =)，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：(Ⅰ)121d d ==，343d d ==．(Ⅱ)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤≤≤．因此n n A a =，1n n B a +=，1n n n d a a d +=-=-(1,2,3,n =)．(必要性)因为0n d d =-≤(1,2,3,n =)，所以n n n n A B d B =+≤．又因为n n a A ≤，1n n a B +≥， 所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=． 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．(Ⅲ)因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=． 故对任意1n ≥，11n a B =≥． 假设{}n a (2n ≥)中存在大于2的项． 设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m <≤，2k a ≤． 又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=，1min{,}2m m m B a B -=≥． 故111220m m m d A B ---=--=≤，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a =≤， 所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1． 本题以高中数学主干知识数列为背景命制，在知识层面，涉及到周期的概念、等差数列的概念等，在能力层面，借助研究数列的一般方法，综合考查考生的抽象概括能力、推理论证能力以及分析问题解决问题的能力．试题有深刻的数学背景，鲜明的数学特色，文字语言、符号语言相融合的抽象表述．由于创新与独特，所以参考书中看不到，考生事先准备不了，能回答此题，必得有真才实学，很高的学习与研究数学的水平．但是所用的知识与方法都紧扣课程标准，体现了“‘不超标’不仅仅是对考核的知识和能力的范围而言的，也包含了对如何考核高层次能力卷的限定”的原则．本题设问层次分明，有“亲民”的特点．较大比例的考生能够发挥其良好的数学素养，作出第一问；部分考生能解答第二问，表现较高的数学学习水平；少数有卓越的数学功力的考生才能完满的解答完全题．该题把关把得“靠谱”，说明难题不回避基础概念、基本方法，不超越课标和考试说明范围，同样能够很好地考查核心能力，实现区分尖端考生的目标．(2013年浙江理22)已知a ∈R ，函数f (x )=x 3−3x 2+3ax −3a +3． (1)求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0，2]时，求|f (x )|的最大值．解：(1)因为f (x )=x 3−3x 2+3ax −3a +3，所以f '(x )=3x 2−6x +3a ， 故f '(1)=3a −3，又f (1)=1，所以所求的切线方程为y =(3a −3)x −3a +4. (2)由于f '(x ) =3(x −1)2+3(a −1)，0≤x ≤2．故当a ≤0时，有f '(x )≤0，此时f (x )在[0，2]上单调递减，故 |f (x )|max =max {∣f (0)∣，∣f (2)∣}=3−3a ．当a ≥1时，有f '(x )≥0，此时f (x )在[0，2]上单调递增，故 |f (x )|max =max {|f (0)|，|f (2)|}=3a −1．当0<a <1时，由3(x −1)2+3(a −1)=0，得()()()12121211,3.x x x x f x x x x x '==⇒<=--x 0 (0,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,2) 2 f '(x ) + 0 - 0 + f (x )3-3a↗极大值 f (x 1)↘极小值 f (x 2)↗3a -1所以函数f (x )的极大值()(1121f x a =+-极小值()(2121f x a =-- 故f (x 1)+f (x 2)=2>0，()()(12410.f x f x a -=->从而f (x 1)>∣f (x 2)∣．所以∣f (x )∣max =max {f (0)，∣f (2)∣，f (x 1)}． 当203a <<时，f (0)>|f (2)|，又()()(()2134021230.a a f x f a a --=--=>故()()(1max121f x f x a ==+-当213a ≤<时，f (2)≥f (0)．又()()(()213422132a a f x f a a --=--=所以当2334a ≤<时，f (x 1)>|f (2)|．故()()(1max121f x f x a ==+-当314a ≤<时，f (x 1)≤|f (2)|， 故f (x )max =|f (2)|=3a −1．综上所述(max 33,0,3()1210,4331,.4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ 本题是浙江省的压轴题，只是把求闭区间上的含参数的三次函数最值的常规问题变化为求相应的绝对值函数的最值问题．研究问题的基本方法与基本思路不变，只有真正理解根据导函数的结构特征，讨论函数的变化，解决最值的方法实质，有很强的运算功力，头脑清晰，思维严谨才能解好此题．体现了通性通法，回避了特殊技巧，彰显“数学在根本上是靠概念而不是玩技巧的”．总之，只要下了大功夫，精心设计，就可以有“不超标”，又考核高层次能力的高水平的漂亮试题．四．给全体考生展示自己学习水平是高考命题的基本理念．随着高考录取率的增加，高考的淘汰功能降低，最优秀的个别数学优秀生又有其他选拔途径．数学高考需要区分全体考生，按不同层次排列70%以上的考生．高考由考核的功能转化让考生展示与考核兼顾的功能．我们曾在多篇文章中呼吁“给全体考生展示自己学习水平，让多数考上大学的考生，数学成绩及格．”只有这样，考生才能感到，多年的努力学习终能取得好成绩，有了成就感，对未来继续学好数学充满信心，符合发展性评价理念．2013年的数学试卷，不少省市增加了基础题、容易题、中等题的比例，总体难度适当降低，不仅提高学生学习数学的兴趣，对中学数学教学有好的指导作用．同时试卷具有良好的选拔功能，对不同水平的学生有很好的区分作用，为各类高校选拔合格新生提供可靠依据．(2013年安徽理8) 8．函数y =f (x )的图象如图所示，在区间[A ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同()n nf x x ==A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}本题中正确理解()f x x表示(x ，f (x ))点与原点连线的斜率是解答的关键．题目以函数为载体,将数形结合的思想有机地融为一体,题面新颖而又不偏不怪．既有课本例题的影子，又对常归的表述有所变化．符合多数考生可解的水平．(2013全国新课标Ⅰ卷理11)已知函数()()22,0,ln 1,0,x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A 、(－∞，0]B 、(－∞，1]C 、[－2，1]D 、[－2，0]二次函数和对数函数是考生必须应知应会的内容，本题用分段函数的形式联系二者，并与一次函数比大小，这样的设计，是多数考生能够解答，又具有高考试题的味道，不是死记硬背能成的．(2013年江苏理15) (14分) 已知()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ== 0<β<α<π．(1)若2,a b -=求证：.a b ⊥(2)设c =(0，1)，若,a b c +=求α，β的值．解：(1)由()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==则()cos cos ,sin sin ,a b αβαβ-=--由()222cos cos sin sin 2,a b αβαβ-=-+=得cos αcos β+sin αsin β=0．所以0,.a b a b ⋅=⇒⊥(2)由()()cos cos ,sin sin 0,1,a b αβαβ+=++=得 ()cos cos 0,1cos .sin sin 1,2αβαβαβ+=⎧⇒-=-⎨+=⎩ 因为0<β<α<π，所以0<α−β<π．所以22,,33ππαβαβ-=⇒=+ 得：2sin sin sin 1,33ππβββ⎛⎫⎛⎫++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为4,.33332πππππββ<+<⇒+< 所以，5,.66ππαβ== 本题是江苏解答题的第一个试题，起点低，入口容易，解决问题不需要特殊的技巧，不同层次的学生都能得到相应的分数．但要得满分还需要对向量、三角函数的概念、性质及三角恒等变换较好掌握．这样的试题即给广大考生展示自己的机会，让广大教师和学生从题海中解脱出来，真正做到重视数学学习过程，理解数学本质．五．试卷的功能在于各种试题的搭配与布局好的数学试卷不是难题的数量，新题的多少，而是各种题型，各个知识的合理搭配，知识结构与能力结构的合理布局．如北京试卷，选择题、填空题、解答题搭配合理，在考查中各自发挥了重要作用．知识组块的分值比例与课标要求匹配，能力组块的构成充分体现能力立意的命题思路．试卷题目叙述简洁，运算量有所减小，抽象概括能力考查难度仍然较高，逻辑思维与严谨表述的要求有所增加．得到全市师生的一致好评．又如福建试卷，命题关注学生后续学习的需要，有效地检测了学生是否具备进一步学习所必备的基础知识、基本技能和基本思想．同时，根据数学各模块在中学数学的地位及课时比例，合理选取试题素材，确定考查力度．在基本保证考试内容抽样的合理性和典型性的同时，从学科整体意义的高度考虑问题，检测了考生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题，从而使高考试卷的评价功能得以合理体现．命题关注不同要求层次的问题的设计，既有容易题，也有中等题、难题，力求使得不同层次的考生的水平都得到合理的评价．各种题型的试题梯度明显，例如选择题和填空题的起点低，再逐步增加难度，而最后两题有较大的思维量．解答题在整体难度递进的同时，每一小题也均从易到难．使大部分考生都能得到一定的基本分，同时又有助于思维层次较高的考生充分发挥，既体现对考生的人文关怀，又彰显了选拔功能．江苏高考数学试卷整体难度不大，学生容易上手．试卷结构稳定，突出基础，重视能力，知识点广，难度递增，区分度高，利于选拔，各种层次的考生都可充分展现自己的真实能力．全国课标卷和其他不少省市的试卷，都体现了锐意改革，又能保持一贯的风格，精心设计各种试题，精心搭配整体试卷，保证了试卷的选拔功能，又给广大考生充分展示的空间．随着高考改革的深入，高考数学试卷越出越好，对中学数学教学导向更加良好，2013年的试卷就是证明．。
2013湖北高考文科数学点评
稳中求变，立意新颖——2013年湖北省高考文科数学试题点评2013年湖北省高考文科数学试题命题遵循“有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育，有助于推动高中数学新课程改革”的原则，注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现了课程目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）的要求. 试题在源于教材的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性，既考查了考生的共同基础，又考查了考生的学习潜能。
具体特点有：一、全面考查，突出主干知识试题几乎涵盖了高中数学的所有章节的知识内容，基础知识全面考，主干知识重点考。
第8、10、21题考查函数，共23分；第6、18题考查三角函数，共17分；第19题考查数列，共13分；第16、20题考查立体几何，共18分；第2、22题考查解析几何，共19分。
解答题仍然依次考查了三角函数、数列、立体几何、函数与导数、解析几何，与学生平时训练模式相同，让学生觉得亲切、平和、熟悉。
二、注重应用，体现课标精神试题坚持数学应用，关注社会热点。
应用题贴近生活，背景公平。
如第5题“小明骑车上学”贴近生活，第9题“旅行社租用车辆”是社会热点，第16题“天地盆测雨”宣传了数学史，第20题“地质队钻矿”背景公平。
还有信息题，第8题“高斯函数”，第17题“格点”，第21题“调和平均数”，这些题目给出了新的概念。
这些题情景开放，背景新颖，体现了大众数学，拓展了学生数学视野，充分考查学生采集和处理信息的能力。
三、突出能力，难度适当增加试题突出对数学思想方法考查。
体现函数与方程思想的有：第10题、第17题、第22题。
第10题通过构建函数解决方程解的问题；第17题通过构建方程求系数；第22题把存在直线的问题转化为方程存在解的问题。
体现数形结合思想的有：第8题、第10题体现分类讨论思想的有：第19题、第21题。
体现转化与化归思想的有：第5题、第14题，第22题。
体现特殊与一般的思想有：第17题试题整体难度比去年大。
2013年高考江苏数学试卷评析
2013年高考江苏数学试卷评析——华研会谢广喜2013年高考江苏数学试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想。
与2012年试卷相比，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度适中，区分度明显，利于选拔，各种层次的考生可以充分展现自己的真实能力。
但后面大题的排序上作了调整，将解析几何放到第17题，与三角有关的应用题放在第18题，有的学生觉得不太适应。
我们认为其实这是非本质的东西，考生完全可以不用太在意。
卷Ⅰ的填空题着重考查基础知识和基本技能，对数学能力考查体现不同的要求，较去年稳中有降。
1～10题是体现最低要求的容易题，只需稍作运算即可顺利完成，具有很好的导向作用，引导广大教师遵循课程标准，充分利用教材开展教学活动。
11～14题复杂程度、能力要求和解题难度也不是很大，即使第14题，大部分考生的反应相比去年来说，觉得能做一做。
当然这些题对把握概念本质属性和运用数学思想方法提出较高要求（可先省略常数－1进行估算），对考生的想像力、抽象度、灵活性、深刻性等思维品质提出新的挑战。
解答题着重考查综合运用知识、分析和解决数学问题的能力。
第15题和第16题，考生一致的反应是比较简单，相比较去年第15题的第二小问得分上有明显的提高。
第17题是解析几何中有关圆（阿波罗尼圆）的问题，考生认为第二小问比较困难（理科考生也可用三角参数换元法求解之）。
第18题是有关三角的应用题，考生的反应是能做，但计算量较大，认为算出来了也不一定对。
第19与20题分别是数列与函数试题，有的考生认为20题比19题简单，19题只能做第一问，20题能做两问，这与去年有明显的区别。
解答题分别形成四个不同的水平层次。
第一层次是基础知识和推理论证的最低要求；第二层次重在对知识和方法的综合运用，重在基本运算能力的要求；第三层次突出对知识和方法的灵活运用，加大了分析和解决问题的思考力度；第四层次重点考查解决新问题的能力，体现了对考生的高层次数学思维能力的要求和高水平数学素质的要求。
2013年四川高考数学试题评析
2013年四川高考数学试题评析龙会中学孙建萍一、总体分析课改第一年，四川高考试题都始终遵从源于教材、注重基础、全面考查、突出主干、注重思想、考查本质、多考点想，少考点算、能力立意、突出思维、稳中有进，作为四川省第一届的考试，在此次的高考中，试卷在题型、题量、难度分布上保持了相对的稳定，同时也有适当的创新，2012年四川高考数学卷很大一部分试题直接源于教材或由教材上的例题、习题、复习题改变而成，这些试题注重基础知识的理解和运用。
例如第(1)、(2)、(3)、(4)等12个题目，(21)(Ⅰ)题即为高中数学第二册(上)复习参考题八的B组第3题改编。
从而也充分说明了高考对基础知识的重视，立足于教材、回归到教材、重视课本、减轻学业负担，实施素质教育的导向作用。
2013年四川高考数学解答题目注重学生对基础知识的理解和运用，在题型上面略有创新，题目的灵活性加强，不再像以往试题固定化模式解题。
解答题部分注重考察学生的思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识，考察函数，方程的转化、划归，特殊和一般等思想方法。
总的来说，2013年四川高考数学试题相对稳定，注重基础，保持了四川卷的命题风格，同时又立足于现行高中数学教材和教学实际试题。
二、试题特点——深化能力立意、突出思维考查2013年高考数学四川卷遵循《考试大纲》及《考试说明(四川版)》的要求，还保持了近几年四川卷的命题风格，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，试卷覆盖了高中数学的主干内容，重视对数学思想方法的考查，着重考查数学能力。
试题体现了“多考点想，少考点算”的命题理念，有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于向新课程高考过渡。
今年高考试卷主要有以下特点。
1. 源于教材，注重基础2012年高考数学四川卷超过一半的试题直接源于教材或由教材上的例题、习题、复习题改编而成，这些试题重视对基础知识和通性通法的考查。
例如，理科第(1)、(2)、(3)、(4)等12个题目，文科第(1)、(2)、(3)、(4)等11个题目，这种立足于教材编拟高考试题的理念和方法，对中学数学教学回归教材、重视课本、减轻学业负担、实施素质教育具有良好的导向作用，也充分体现了试题背景的公平性。
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的《 普通高 中数学课 程标 准》 明显加 大 了高等数 学 的知识 含
量， 而且主要 以系列 、 模块和专题 的形式呈 现． 例如， 系列 ２中
“ 高观点” 问题是 以高等数学 中的知识 、 思想 和方 法为背
景但用初等数学 的语言来 表述的 问题 ， 它有 以下几条 非常显 著的特征 ．
例１ （ ２ ０ １ ３年湖北卷 文 ８ ） ｘ为实数 ， ［ ］表示 不超 过 的最 大整数 ， 则 函数 Ｉ 厂 （ ）＝ 一［ ］ 在 Ｒ上为（
的一些应用方 法 ， 对学生来说 ， 不仅 开拓 了视野 ， 增 强了数学 学习 的兴趣 ， 又能得到学 习方法 和思维方法的改善． ２ “ 高观点” 问题与高考的选拔要求有很强的适切性
等数学 中某些简单 的命题 、 概念、 定 理移 用为 高考数 学试 题 的一种方法． 在高等数学 中 ， 很 多重要 的定义 、 定 理都建 立在
问题 哪得 新 如 许 ， 为 有 高数 渗 透 来
— —
２ Ｏ １ ３年高考高观点试题 的评析
浙 江省 义乌 中学 ３ ２ ２ ０ ０ ０ 方 治
“ 高观 ” 这一重要数学思想发端于 １ ９世纪末 ２ ｏ世纪初的
一
用． 而高 等数学 的一些 内容 可以提供 一个 比较公平 又有 区分 度的知识背景 ， 是考查学生进一步学 习潜 能的 良好素材． 在高 考中设 置高等 数学 背 景 的题 目， 让 学生 用 低落 点． 问题 的设计 虽源 于高等 数学 ， 但解 决 的方 法却 是 中学所学的初等 数学 知识 ， 但 对 学生 思维 的抽 象性 、 逻辑
性 以及学生的理解力 和 自学 能力 提出 了更高 的要求 ． ２ ． ３ 重能力 ． 问题 的设计在 考查知识 的基础 上 ， 能 宽角度 、 多 观点 、 深层次地 考查数 学 素养 、 数学 理 性思 维 以及继 续 学 习 数 学的潜能．
识， 去分析一些情境 的特点 ， 找 出已知和未 知的联 系 ， 重 新组 织若 干已有规则 ， 形成新 的规则 ， 尝试 解决新 的 问题 ， 这样 的
场数学教育改革运动—— 克莱茵 ・ 贝利运动． 德 国著名数学
家克莱 因在其著作 《 高观点下 的初 等数 学》 提到： 基 础数学 的 教师应该站在 更 高 的视角 （ 高 等数 学 ） 来审视、 理解 数 学 问
Ａ． 奇 函数 Ｂ ． 偶 函数 Ｃ ． 增 函数
２ ． １ 高角度． 问题 的设 计源于高等 数学 ； 立足初 、 高等 数学 的
衔接点 ， 以高等数学符号 、 概念直接 出现 ， 或 以高 等数 学的概 念、 定理作 为依托融于初等数学知识 中．
） ．
Ｄ ． 周 期函数
（ ２ ０ １ ３ 年全 国卷 、 陕西卷 文 １ Ｏ ） 设［ ］ 表示不大于 的最 大整数 ， 则对任意实数 ， 有（
题， 只有 观点高 了， 事物 才能显得 明了而简单 ； 有 许多初 等数 学的现象 只有在非 初等 的理论结 构 内才 能深 刻地理 解． 所 以
探索 可以很好 地考查 学生 的独 创性 、 知 识迁 移 的能力 、 理 性
思维 的广 度和深度 以及 进一步学习的潜能． ３ ２ ０ ｔ ３年高考高观点试题 的评析
当下的高 中数学 教师 应把初 等 数学 问题置 于 高等数 学 的博 大体系之 中， 以居高 临下 ， 或将 高 等 数学过 分抽 象 的知 识进 行初等化处理 ， 以举 重若轻 ； 如果 只在 初等 数学 的视 域 里看
问题和理解 问题 ， 就会“ 不识庐 山真面 目， 只缘身 在此 山中．
就结合 ２ ０ １ ３年全 国各地 高考 数 学试题 ， 谈谈 各种 方法 在试 题命制 中的体现 ， 并提 出一 些粗 浅 的应对 策略 ， 愿 能 为新高 三数学复习教学提供一些新 的生长点．
３ ． １ 引用 法． 引用法 是编制 试题 的一个常 用方法 ， 是 指将高
的导 数 、 数系 的扩 充和空问向量及其应用 ； 系列 ３和 系列 ４几 乎都是高 等数 学 内容 ， 所 涉及 的内容 有数 学史 、 信 息 安全 与
剖析 和解 决初等数学 的问题 ． 这 里所说 的高 等数学 知识指 的 是 能够借助实例和直观为 中学 生所接 受 的知 识 ， 突 出思 想和 方法 ， 强调理解和应用 ， 不追求严格 的证 明和逻辑推理． 现行
不是高等数学 问题 的简单下嫁 ， 而是 问题 的背景源 于高等数 学， 命题者通过初等化的处理与巧妙设 计潜 移默化地 渗透 高
初等数学知识之上 ， 并且需要或 者能够用 初等数 学知识来 解
决的 ， 这些 高初知识 的衔接处 为引用提供 了试题 命制 的环境
和条 件．
３ ． １ ． １ 引入概念． 在高等数学 的学 习中， 往往会接触很多抽象
化概 念 ， 而这些抽 象化概 念往 往 与高 中知识 联 系 比较 紧密 ， 是高等数学和初等数学知识 的衔接点．
密码 、 球面上 的几 何 、 对称 与群 、 欧拉 公式 与 闭曲 面分类 、 矩
阵与变换 、 数列与差分 、 初等数论初 步 、 优选 法与试验 设计初 步、 统筹法与 图论 、 开关 电路与布 尔代数 等等 ， 有些 专题是 中 学课程某些 内容 的延伸 ， 有些专 题是通 过典 型实例介 绍数学
在２ ０ １ ３年全国各地 高考数学试题 中， 有 许多背景 新 、 设 问巧 的“ 高观点” 问题 ， 它们几 乎都 是试卷上各类 题型 的压 轴 题， 倍 受命题者的青睐． 如果通过数学手段对这些数学试题进
行合理 的分析 ， 可以发现“ 高观点 ” 问题 的命制方 式和方法并
１ “ 高观点” 在 新课程标准 中的体现 “ 高观点 ” 是指用 高等数 学 的知识 、 思 想 和方法来 透 视 、