2013年全国高考试题及答案(文科)
2013年全国高考新课标卷Ⅱ(文科)答案及考点分析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标2)文科数学试题参考答案一、选择题{2,N=-B.5.D【解析】如图所示:∵212PF F F⊥,01230PF F∠=,∴122PF PF=,又因D.,所以7.B【解析】由框图可知第134454k N=>=,终止循环,B.8.D,所以c a b>>,故选D.9.A【解析】根据题意可画出如图所示的四面体O ABC-,以zOx平面为投影面,则A 与'A重合,B与'B重合,故其正视图可以为如图所示,故选A.10.C【解析】如图所示:设11A(,)x y,22(,)B x y,则21122244y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩,作差得:,∴直线l则=3,∴直线3(1)x=-,'()0f x<,所以()f x在(,3)-∞-和(1,)+∞内为增,(3,1)-内为减,则1x=时为极小值点,但在区间(,1)-∞不单调递减,显然错误,故选C.12.D【解析】因为“存在正数x,使2()1x x a-<成立”,的否定为“任意非正数x,使2()1x x a-≥成立”令()2()xf x x a=-,显然()f x在(,0]-∞是单调递增函数,所以max()(0)f x f=,即1a≤-,所以1a≤-的补集为(1,)-+∞,故选D.二、填空题131,2,3,4,5中任取2个数使其为5的情况有(1,4)、(2,3)两种,所以概率14.2【解析】设AB a=,AD b=,则||||2a b==,0a b⋅=,12AE a b=+,BD b a=-,所以1()()2AE BD a b b a⋅=+-=2.15.24π【解析】如图所示:连接BD,AC相交于E,∴,,∴24S Rπ=球=24π16【解析】因为cos(2)y xϕ=+=cos(2)xϕ--=,图像向右平移个单位后为:,与三、解答题17.解析:解:(1)设{a n}的公差为d.由题意,a211=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故a n =-2n +27.(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2.由(1)知a 3n -2=-6n +31,故{a 3n -2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而 S n =n 2(a 1+a 3n -2)=n2(-6n +56)=-3n 2+28n .【点评】近几年高考每年必考一数列大题,但新课标高考考查的难度已大为降低,所考查的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.18.解析:(1)证明:联结AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1中点.又D 是AB 中点,联结DF ,则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD ,所以BC 1∥平面A 1CD .图1-8(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AA 1⊥CD .由已知AC =CB ,D 为AB 的中点,所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB =A ,于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1=AC =CB =2,AB =2 2得∠ACB =90°,CD =2,A 1D =6,DE =3,A 1E =3,故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE ⊥A 1D . 所以VC -A 1DE =13×12×6×3×2=1.19.解:(1)当X ∈[100,130)时, T =500X -300(130-X ) =800X -39 000.当X ∈[130,150]时,T =500×130=65 000.所以T =⎩⎪⎨⎪⎧800X -39 000,100≤X <130,65 000,130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当 120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20.解:(1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r .由题设y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.从而y 2+2=x 2+3. 故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1. (2)设P (x 0,y 0),由已知得|x 0-y 0|2=22.又P 点在双曲线y 2-x 2=1上,从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0-y 0|=1,y 20-x 20=1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0-y 0=1,y 20-x 20=1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,y 0=-1.此时,圆P 的半径r = 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0-y 0=-1,y 20-x 20=1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,y 0=1, 此时,圆P 的半径r = 3.故圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3或x 2+(y +1)2=3.21.解:(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞). f ′(x )=-e -x x (x -2).①当x ∈(-∞,0)或x ∈(2,+∞)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,2)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.故当x =0时,f (x )取得极小值,极小值为f (0)=0;当x =2时,f (x )取得极大值,极大值为f (2)=4e -2.(2)设切点为(t ,f (t )),则l 的方程为y =f ′(t )(x -t )+f (t ). 所以l 在x 轴上的截距为m (t )=t -f (t )f ′(t )=t +t t -2=t -2+2t -2+3. 由已知和①得t ∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h (x )=x +2x (x ≠0),则当x ∈(0,+∞)时,h (x )的取值范围为[2 2,+∞);当x ∈(-∞,-2)时,h (x )的取值范围是(-∞,-3).所以当t ∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m (t )的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).22. 解:(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB =∠A ,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF ,所以∠DBC =∠EFA .因为B ,E ,F ,C 四点共圆,所以∠CFE =∠DBC ,故∠EF A =∠CFE =90°. 所以∠CBA =90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.图1-11(2)联结CE ,因为∠CBE =90°,所以过B ,E ,F ,C 四点的圆的直径为CE , 由DB =BE ,有CE =DC . 又BC 2=DB ·BA =2DB 2, 所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2. 而DC 2=DB ·DA =3DB 2,故过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解:(1)依题意有P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α ,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos α+cos 2α,y =sin α+sin 2α(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离d =x 2+y 2=2+2cos α(0<α<2π). 当α=π时,d =0,故M 的轨迹过坐标原点24.证明:(1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca . 由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1. 所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤13.(2)因为a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c 2a +a ≥2c ,故a 2b +b 2c +c 2a +(a +b +c )≥2(a +b +c ), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c . 所以a 2b +b 2c +c2a ≥1.2013全国新课标卷数学(文)考点分析表湖北大学附属中学高二数学备课组。
2013年高考文科试题(新课标卷Ⅱ)答案

2013年全国高考试题独家解析(新课标卷Ⅱ)文科数学答案1.C 【解析】因为{31}M x x =-<<,{3,2,1,0,1}N =---,所以MN {2,1,0}=--,选C. 2.C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+,所以21i=+ C. 3.B 【解析】由z =2x -3y 得3y =2x -z ,即233zy x =-。
作出可行域如图, 平移直线233z y x =-,由图象可知当直线233zy x =-经过点B 时,直线233zy x =-的截距最大,此时z 取得最小值,由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩,即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-,选B.4.B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=,解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sinsin()()12342222222πππ=+=+=+,所以11sin ()12222bc A =+=,选B. 5.D 【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。
又1223PF PFa +==,所以c a ==3,选D.6.A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===, 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===,选A. 7.B 【解析】第一次循环,1,1,2T S k ===;第二次循环, 11,1,322T S k ==+=; 第三次循环,111,1,423223T S k ==++=⨯⨯, 第四次循环,1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯, 此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯,选B.8.D 【解析】因为321log 21log 3=<,521log 21log 5=<,又2log 31>,所以c 最大。
2013年全国高考2卷文科综合试题及标准答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力注意事项:ﻩ1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在试卷和答题卡上。
ﻩ2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
ﻩ5.本试如遇缺页、漏页、字迹不清等,考生须及时报告监考老师。
第Ⅰ卷一、本卷共35个小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
ﻩ图1表示我国部分省级行政区城2005-2010年间迁移人口比重。
迁移人口以青壮年为主.读图1并结合相关知识,完成1-2题.1.2005-2010年ﻩA.迁出人口数盘贵州多于四川ﻩB.迁入人口数最上海多于广东ﻩC.人口增长率浙江高于江苏ﻩD.人口自然增长率安徽低于天津2.2005-2010年,省级行政区城间的人口迁移A.延缓了皖、翰、黔的老龄化进程ﻩB.延缓了沪、京、津的老龄化进程C.降低了皖、帐、黔的城市化水平D.降低了沪、京、津的城市化水平ﻩ地膜覆盖具有保温、保湿、保土等作用,可有效提高农作物产量和从产品质量。
我国目前使用的地膜多是超薄型地膜,易破,难回收,难以自然降解,造成严重的“白色污染”据此完成3~5题3.我国大部分地区使用地膜覆盖主要在于A.春季B.夏季C.秋季 D.冬季4.下列地区相比较,地膜覆盖的保湿、保温、保土作用最显著地是A.东南沿海地区B.西南地区ﻩC.东北地区ﻩD.西北地区5.残留在土壤中的地膜会①危害作文根系发育②阻碍土壤温度提升③阻碍土壤水费运移④加快表土流失速度A. ①③ ﻩB. ①④C. ②③ﻩD.②④图2示意某地区年均温的分布,读图2,完成6~8题6.影响该地区年均温分布特征的主要因素是ﻩA.台风 B.海陆分布 C.地形ﻩD.大气环流7.图示①②③④四地中,年降水量最低的是A. ①地 B. ②地C.③地ﻩD.④地8.樟树市亚热带常绿阔叶林的优势树种。
【历史】2013年高考真题——文综历史(全国卷)word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)文科综合历史、政治试题(适用省区:广西)12.中国历史上有监察区转为行政区的现象,如汉代的州、唐代的道、宋代的路。
这体现出A.中央集权促成地方行政制度变迁B.经济发展导致地方行政区域调整C.中央对地方的监察力度越来越弱D.疆域变化影响地方行政区域设置13.汉文帝说:“盖天下万物之萌生,靡有不死。
死者天地之理,物之自然,奚可甚哀……厚葬以破业,重服以伤生,吾甚不取。
”汉文帝在此强调的是A.无为而治B.轻徭薄赋C.崇尚节俭D.民贵君轻14.范仲淹倡导的“庆历新政”与王安石变法的共同目的是改变北宋“积贫”“积弱”的现状,而“庆历新政”更侧重于A.增加赋税B.澄清吏治C.培养人才D.充实边防15.《窦娥冤》揭露封建统治的黑暗,《水浒传》颂扬农民起义英雄杀富济贫。
这反映了A.封建社会的腐朽没落B.“异端”思想影响广泛C.普通民众的理想与愿望D.商业发展冲击传统观念16.明初的户役制度,将户籍分为若干类别,其中主要是民户,还有军户、匠户、灶户(煮盐户)等几十类,并严格禁止更换户别。
这一措施有利于A.缓和土地兼并B.促成社会分化C.强化社会控制D.发展商品经济17.乾隆三十七年,台湾海防同知朱景英称:“台地多用宋钱,如太平、元祜、天禧、至道等年号钱,钱质小薄,千钱贯之。
”据此可知A.宋代商品经济比清代更为繁荣B.当时两岸经济交往尚不密切C.海峡两岸有着不同的货币体系D.宋代以后台湾经济发展迟缓18.1863年,总理各国事务衙门正式任命英国人赫德为海关总税务司,赫德制定了管理海关的相关章程,对海关内部用人、行政等做了详细规定。
这表明A.中国关税自主权进一步丧失B.清政府加强了对海关的管控C.洋务运动正式展开D.对外贸易完全被英国控制19.张之洞在戊戌变法期间撰写的《劝学篇》,在知识分子中产生了极大影响,行销百万册。
这反映出A.保守势力转而支持改革B.洋务派“中体西用”思想已过时C.清政府成为变革的主导者D.洋务派与维新派思想有共同之处20.从20世纪60年代初期开始,大批沿海城市人口向内地迁移,在内地形成了一批新的城镇,促进了中国城市分布向中西部扩散的格局。
2013年高考文综全国卷2含答案解析

徐老师2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)文科综合能力测试使用地区:宁夏、辽宁、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分300分,考试时间150分钟。
注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4. 考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
5. 本试卷共16页。
如遇缺页、漏页、字迹不清等情况,考生须及时报告监考老师。
第Ⅰ卷本卷共35小题,每小题4分,共140分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
图1表示我国部分省级行政区域2005—2010年间迁移人口比重。
迁移人口以青壮年为主。
读图1并结合相关知识,完成1,2题。
图11. 2005—2010年()A. 迁出人口数量贵州多于四川B. 迁入人口数量上海多于广东C. 人口增长率浙江高于江苏D. 人口自然增长率安徽低于天津2. 2005—2010年,省级行政区城间的人口迁移()A. 延缓了皖、赣、黔的老龄化进程B. 延缓了沪、京、津的老龄化进程C. 降低了皖、赣、黔的城市化水平D. 降低了沪、京、津的城市化水平地膜覆盖具有保温、保湿、保土等作用,可有效提高农作物产量和农产品质量。
我国目前使用的地膜多是超薄型地膜,易破,难回收,难以自然降解,易造成严重的“白色污染”。
据此完成3~5题。
3. 我国大部分地区使用地膜覆盖主要在()A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季4. 下列地区相比较,地膜覆盖的保湿、保温、保土作用最显著的是()A. 东南沿海地区B.西南地区C. 东北地区D. 西北地区5. 残留在土壤中的地膜会()①危害作物根系发育②阻碍土壤温度提升③阻碍土壤水肥运移④加快表土流失速度A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④图2示意某地区年均温的分布,读图2,完成6~8题。
2013年全国高考2卷文科综合试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在试卷和答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
5.本试如遇缺页、漏页、字迹不清等,考生须及时报告监考老师。
第Ⅰ卷一、本卷共35个小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
图1表示我国部分省级行政区城2005-2010年间迁移人口比重。
迁移人口以青壮年为主.读图1并结合相关知识,完成1-2题.1.2005-2010年A.迁出人口数盘贵州多于四川B.迁入人口数最上海多于广东C.人口增长率浙江高于江苏D.人口自然增长率安徽低于天津2.2005-2010年,省级行政区城间的人口迁移A.延缓了皖、翰、黔的老龄化进程B.延缓了沪、京、津的老龄化进程C.降低了皖、帐、黔的城市化水平D.降低了沪、京、津的城市化水平地膜覆盖具有保温、保湿、保土等作用,可有效提高农作物产量和从产品质量。
我国目前使用的地膜多是超薄型地膜,易破,难回收,难以自然降解,造成严重的“白色污染”据此完成3~5题3.我国大部分地区使用地膜覆盖主要在于A.春季B.夏季C.秋季D.冬季4.下列地区相比较,地膜覆盖的保湿、保温、保土作用最显著地是A.东南沿海地区B.西南地区C.东北地区D.西北地区5.残留在土壤中的地膜会①危害作文根系发育②阻碍土壤温度提升③阻碍土壤水费运移④加快表土流失速度A.①③ B.①④ C.②③ D.②④图2示意某地区年均温的分布,读图2,完成6~8题6.影响该地区年均温分布特征的主要因素是A.台风B.海陆分布C.地形D.大气环流7.图示①②③④四地中,年降水量最低的是A.①地B.②地C.③地D.④地8.樟树市亚热带常绿阔叶林的优势树种。
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2,n ∈A },则A ∩B =( ).A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识.【解析】∵B ={x |x =n 2,n ∈A }={1,4,9,16}, ∴A ∩B ={1,4}. 2.(2013课标全国Ⅰ,文2)212i1i +(-)=( ).A.B .11+i 2- C . D .【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算. 【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2-.3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).A .12B .13C .14D .16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13。
4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ).A .B .C .12y x =±D .【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵52e =52c a =,即2254c a =.∵c 2=a 2+b 2,∴2214b a =。
∴12b a =。
∵双曲线的渐近线方程为by x a=±,∴渐近线方程为12y x =±。
2013年高考数学试题及答案(全国卷文数3套)

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},则M∩N=()A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣3,﹣2,﹣1,0}C.{﹣2,﹣1,0}D.{﹣3,﹣2,﹣1}2.(5分)(2013•新课标Ⅱ)=()A.2B.2C.D.13.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是()A.﹣7B.﹣6C.﹣5D.﹣34.(5分)(2013•新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B =,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.C.2﹣2D.﹣15.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.B.C.D.6.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知sin2α=,则cos2(α+)=()A.B.C.D.7.(5分)(2013•新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=()A.1+++B.1+++C.1++++D.1++++8.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 9.(5分)(2013•新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()A.B.C.D.10.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x﹣1或y=﹣x+1B.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)C.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)D.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)11.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=012.(5分)(2013•新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是()A.(﹣∞,+∞)B.(﹣2,+∞)C.(0,+∞)D.(﹣1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)(2013•新课标Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•=.15.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.(4分)(2013•新课标Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•新课标Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.18.(12分)(2013•新课标Ⅱ)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;(Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积.19.(12分)(2013•新课标Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.20.(12分)(2013•新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=x2e﹣x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB 与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.(2013•新课标Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(14分)(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},则M∩N=()A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣3,﹣2,﹣1,0}C.{﹣2,﹣1,0}D.{﹣3,﹣2,﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.【解答】解:∵集合M={x|﹣3<x<1,x∈R},N={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},∴M∩N={﹣2,﹣1,0}.故选:C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)(2013•新课标Ⅱ)=()A.2B.2C.D.1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解:===.故选:C.【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.3.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是()A.﹣7B.﹣6C.﹣5D.﹣3【分析】先画出满足约束条件:,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值.【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6.故选:B.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.4.(5分)(2013•新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B =,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.C.2﹣2D.﹣1【分析】由sin B,sin C及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c 及sin A的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解:∵b=2,B=,C=,∴由正弦定理=得:c===2,A=,∴sin A=sin(+)=cos=,=bc sin A=×2×2×=+1.则S△ABC故选:B.【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.5.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.B.C.D.【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c∴2a=3x,2c=x,∴C的离心率为:e==.故选:D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.6.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知sin2α=,则cos2(α+)=()A.B.C.D.【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解:∵sin2α=,∴cos2(α+)=[1+cos(2α+)]=(1﹣sin2α)=×(1﹣)=.故选:A.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.7.(5分)(2013•新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=()A.1+++B.1+++C.1++++D.1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S+的值代替S得到新的S,并用k+1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S 值,由此即可得到本题答案.【解答】解:根据题意,可知该按以下步骤运行第一次:S=1,第二次:S=1+,第三次:S=1++,第四次:S=1+++.此时k=5时,符合k>N=4,输出S的值.∴S=1+++故选:B.【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.8.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.【解答】解:由题意可知:a=log32∈(0,1),b=log52∈(0,1),c=log23>1,所以a=log32,b=log52=,所以c>a>b,故选:C.【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查.9.(5分)(2013•新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()A.B.C.D.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可.【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为:故选:A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10.(5分)(2013•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x﹣1或y=﹣x+1B.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)C.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)D.y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y=k(x﹣1),与抛物线方程联解消去x,得﹣y﹣k=0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|=3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.【解答】解:法一:∵抛物线C方程为y2=4x,可得它的焦点为F(1,0),∴设直线l方程为y=k(x﹣1)由消去x,得﹣y﹣k=0设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=,y1y2=﹣4…(*)∵|AF|=3|BF|,∴y1+3y2=0,可得y1=﹣3y2,代入(*)得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4,消去y2得k2=3,解之得k=∴直线l方程为y=(x﹣1)或y=﹣(x﹣1)法二:做出抛物线的准线,以及A、B到准线的垂线段AA'、BB',并设直线l交准线与M,设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB'|=m,|AA'|=|AF|=3m,由BB'∥AA'可知,,即,所以|MB|=2m,则|MA|=6m,故∠AMA'=30°,根据斜率与角度的关系可得选C选项.故选:C.【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1:3的两部分,求直线AB的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.11.(5分)(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0【分析】对于A,对于三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,由于当x→﹣∞时,y→﹣∞,当x→+∞时,y→+∞,故在区间(﹣∞,+∞)肯定存在零点;对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断;对于C:采用取特殊函数的方法,若取a=﹣1,b=﹣1,c=0,则f(x)=x3﹣x2﹣x,利用导数研究其极值和单调性进行判断;D:若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x0)=0,正确.【解答】解:A、对于三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,A:由于当x→﹣∞时,y→﹣∞,当x→+∞时,y→+∞,故∃x0∈R,f(x0)=0,故A正确;B、∵f(﹣﹣x)+f(x)=(﹣﹣x)3+a(﹣﹣x)2+b(﹣﹣x)+c+x3+ax2+bx+c=﹣+2c,f (﹣)=(﹣)3+a (﹣)2+b (﹣)+c =﹣+c ,∵f (﹣﹣x )+f (x )=2f (﹣),∴点P (﹣,f (﹣))为对称中心,故B 正确.C 、若取a =﹣1,b =﹣1,c =0,则f (x )=x 3﹣x 2﹣x ,对于f (x )=x 3﹣x 2﹣x ,∵f ′(x )=3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′(x )=3x 2﹣2x ﹣1>0得x ∈(﹣∞,﹣)∪(1,+∞)由f ′(x )=3x 2﹣2x ﹣1<0得x ∈(﹣,1)∴函数f (x )的单调增区间为:(﹣∞,﹣),(1,+∞),减区间为:(﹣,1),故1是f (x )的极小值点,但f (x )在区间(﹣∞,1)不是单调递减,故C 错误;D :若x 0是f (x )的极值点,根据导数的意义,则f ′(x 0)=0,故D 正确.由于该题选择错误的,故选:C .【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算.12.(5分)(2013•新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x (x ﹣a )<1成立,则a 的取值范围是()A .(﹣∞,+∞)B .(﹣2,+∞)C .(0,+∞)D .(﹣1,+∞)【分析】转化不等式为,利用x 是正数,通过函数的单调性,求出a 的范围即可.【解答】解:因为2x (x ﹣a )<1,所以,函数y=是增函数,x>0,所以y>﹣1,即a>﹣1,所以a的取值范围是(﹣1,+∞).故选:D.【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)(2013•新课标Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解:从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有=10种情况,和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,故所求的概率为:=0.2故答案为:0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.14.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•=2.【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解:∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=0,故=()•()=()•()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,故答案为2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.15.(4分)(2013•新课标Ⅱ)已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24π.【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.【解答】解:如图,正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=(×)×OH=,∴OH=,在直角三角形OAH中,OA===所以表面积为4πr2=24π;故答案为:24π.【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题.16.(4分)(2013•新课标Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ=.【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y=cos[2(x﹣)+φ]的图象,即y=cos(2x+φ﹣π)的图象.结合题意得函数y=sin(2x+)=的图象与y=cos(2x+φ﹣π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.【解答】解:函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2(x﹣)+φ]=cos(2x+φ﹣π),而函数y=sin(2x+)=,由函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin (2x+)的图象重合,得2x+φ﹣π=,解得:φ=.符合﹣π≤φ<π.故答案为.【点评】本题给出函数y=cos(2x+φ)的图象平移,求参数φ的值.着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•新课标Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.【分析】(I)设等差数列{a n}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1+25d)=0,解出d即可得到通项公式a n;=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6(II)由(I)可得a3n﹣2为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2.【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d≠0,由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,∴,化为d(2a1+25d)=0,∵d≠0,∴2×25+25d=0,解得d=﹣2.∴a n=25+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+27.=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6(II)由(I)可得a3n﹣2为公差的等差数列.∴S n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.18.(12分)(2013•新课标Ⅱ)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;(Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积.【分析】(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD ⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得的值,再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD,运算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)∵AA1=AC=CB=2,AB=2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1,∴CD==.∵A1D==,同理,利用勾股定理求得DE=,A1E=3.再由勾股定理可得+DE2=,∴A1D⊥DE.∴==,∴=••CD=1.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.19.(12分)(2013•新课标Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值.【解答】解:(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T=500X﹣300(130﹣X)=800X﹣39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000,∴T=.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.20.(12分)(2013•新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程;(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.【解答】解:(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=﹣y2+r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=﹣x2+r2,由两式整理得x2+3=y2+2,整理得y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线(Ⅱ)由P点到直线y=x的距离为得,=,即|x﹣y|=1,即x=y+1或y =x+1,分别代入y2﹣x2=1解得P(0,﹣1)或P(0,1)若P(0,﹣1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y+1)2+x2=3;若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y﹣1)2+x2=3;综上,圆P的方程为(y+1)2+x2=3或(y﹣1)2+x2=3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质,解题的关键是理解圆的几何特征,将几何特征转化为方程21.(12分)(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=x2e﹣x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值;(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x 轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x2e﹣x,∴f′(x)=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x(2x﹣x2),令f′(x)=0,解得x=0或x=2,令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,故函数在区间(﹣∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.∴x=0是极小值点,x=2极大值点,又f(0)=0,f(2)=.故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(Ⅱ)设切点为(),则切线方程为y﹣=(x﹣x0),令y=0,解得x==,∵曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数,∴(<0,∴x0<0或x0>2,令,则=.①当x0<0时,0,即f′(x0)>0,∴f(x0)在(﹣∞,0)上单调递增,∴f(x0)<f(0)=0;②当x 0>2时,令f′(x0)=0,解得.当时,f′(x0)>0,函数f(x0)单调递增;当时,f′(x0)<0,函数f(x0)单调递减.故当时,函数f(x 0)取得极小值,也即最小值,且=.综上可知:切线l在x轴上截距的取值范围是(﹣∞,0)∪.【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB 与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB=∠A,及BC•AE=DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD=∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE=∠DBC,进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径;(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB=BE,可得CE=DC,利用切割线定理可得DC2=DB•DA,CA2=CB2+BA2,都用DB表示即可.【解答】(1)证明:∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB=∠A,∵BC•AE=DC•AF,∴.∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD=∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE=∠DBC,∴∠CFE=∠AFE=90°.∴∠CBA=90°,∴CA是△ABC外接圆的直径;(2)连接CE,∵∠CBE=90°,∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,得CE=DC,又BC2=DB•BA=2DB2,∴CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB•DA=3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值==.【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.(2013•新课标Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出;(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解:(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(14分)(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意,由a+b+c=1⇒(a+b+c)2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,利用基本不等式可得3(ab+bc+ca)≤1,从而得证;(Ⅱ)利用基本不等式可证得:+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,三式累加即可证得结论.【解答】证明:(Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得:a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ,由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1,所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤.(Ⅱ)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,故+++(a +b +c )≥2(a +b +c ),即++≥a +b +c .所以++≥1.【点评】本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论证能力,属于中档题.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•大纲版)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)(2013•大纲版)若α为第二象限角,sinα=,则cosα=()A.B.C.D.3.(5分)(2013•大纲版)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=()A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣14.(5分)(2013•大纲版)不等式|x2﹣2|<2的解集是()A.(﹣1,1)B.(﹣2,2)C.(﹣1,0)∪(0,1)D.(﹣2,0)∪(0,2)5.(5分)(2013•大纲版)(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28B.56C.112D.2246.(5分)(2013•大纲版)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=()A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)7.(5分)(2013•大纲版)已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)8.(5分)(2013•大纲版)已知F1(﹣1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|=3,则C的方程为()A.B.C.D.9.(5分)(2013•大纲版)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=()A.5B.4C.3D.210.(5分)(2013•大纲版)已知曲线y=x4+ax2+1在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为8,a =()A.9B.6C.﹣9D.﹣611.(5分)(2013•大纲版)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.12.(5分)(2013•大纲版)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=()A.B.C.D.2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2013•大纲版)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x ﹣2,则f(﹣1)=.14.(5分)(2013•大纲版)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)(2013•大纲版)若x、y满足约束条件,则z=﹣x+y的最小值为.16.(5分)(2013•大纲版)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2013•大纲版)等差数列{a n}中,a7=4,a19=2a9,(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.18.(12分)(2013•大纲版)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sin A sin C=,求C.19.(12分)(2013•大纲版)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)(2013•大纲版)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)(2013•大纲版)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(Ⅰ)求a=时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)(2013•大纲版)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b;(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•大纲版)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U A,即可选出正确选项【解答】解:因为U={1,2,3,4,5,},集合A={1,2}所以∁U A={3,4,5}故选:B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)(2013•大纲版)若α为第二象限角,sinα=,则cosα=()A.B.C.D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解:∵α为第二象限角,且sinα=,∴cosα=﹣=﹣.故选:A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)(2013•大纲版)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=()A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:∵,.∴=(2λ+3,3),.∵,∴=0,∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=﹣3.故选:B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)(2013•大纲版)不等式|x2﹣2|<2的解集是()A.(﹣1,1)B.(﹣2,2)C.(﹣1,0)∪(0,1)D.(﹣2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解:不等式|x2﹣2|<2的解集等价于,不等式﹣2<x2﹣2<2的解集,即0<x2<4,解得x∈(﹣2,0)∪(0,2).故选:D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(2013•大纲版)(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解:(x+2)8展开式的通项为T r+1=x8﹣r2r令8﹣r=6得r=2,∴展开式中x6的系数是22C82=112.故选:C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)(2013•大纲版)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=()A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)【分析】把y看作常数,求出x:x=,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解:设y=log2(1+),把y看作常数,求出x:。
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2013年全国高考数学试题及答案 (文科)一、选择题1. 设全集U ={1,2,3,4,5},集合A ={1,2},则∁U A =( ) A .{1,2} B .{3,4,5} C .{1,2,3,4,5} D .∅1.B [解析] 所求的集合是由全集中不属于集合A 的元素组成的集合,显然是{3,4,5}.2. 已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( )A .-1213B .-513 C.513 D.12132.A [解析] cos α=-1-sin 2 α=-1213.3. 已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(-),则λ=( ) A .-4 B .-3 C .-2 D .-13.B [解析] (+)⊥(-)⇔(+)·(-)=0⇔=,所以(λ+1)2+12=(λ+2)2+22,解得λ=-3.4. 不等式|x 2-2|<2的解集是( ) A .(-1,1) B .(-2,2)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-2,0)∪(0,2)4.D [解析] |x 2-2|<2等价于-2<x 2-2<2,即0<x 2<4,即0<|x |<2,解得-2<x <0或者0<x <2,故所求的不等式的解集是(-2,0)∪(0,2).5. (x +2)8的展开式中x 6的系数是( ) A .28 B .56 C .112 D .2245.C [解析] 含x 6的项是展开式的第三项,其系数为C 28×22=112.6. 函数f (x )=log 2⎝⎛⎭⎫1+1x (x >0)的反函数f -1(x )=( ) A.12x -1(x >0) B.12x -1(x ≠0) C .2x -1(x ∈) D .2x -1(x >0)6.A [解析] 令y =log 2⎝⎛⎭⎫1+1x ,则y >0,且1+1x =2y ,解得x =12y -1,交换x ,y 得f -1(x )=12x-1(x >0). 7. 已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( )A .-6(1-3-10) B.19(1-310)C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)7.C [解析] 由3a n +1+a n =0,得a n ≠0(否则a 2=0)且a n +1a n =-13,所以数列{a n }是公比为-13的等比数列,代入a 2可得a 1=4,故S 10=4×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-13101+13=3×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫1310=3(1-3-10).8. 已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 8.C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),与直线x =1联立得y =±b 2a (c =1),所以2b 2=3a ,即2(a 2-1)=3a ,2a 2-3a -2=0,a >0,解得a =2(负值舍去),所以b 2=3,故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.9. 若函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图像如图1-1所示,则ω=( )图1-1A .5B .4C .3D .29.B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期,所以2πω=2×π4,解得ω=4.10. 已知曲线y =x 4+ax 2+1在点(-1,a +2)处切线的斜率为8,则a =( )A .9B .6C .-9D .-610.D [解析] y ′=4x 3+2ax ,当x =-1时y ′=8,故8=-4-2a ,解得a =-6.11. 已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.1311.A [解析] 如图,联结AC ,交BD 于点O .由于BO ⊥OC ,BO ⊥CC 1,可得BO ⊥平面OCC 1,从而平面OCC 1⊥平面BDC 1,过点C 作OC 1的垂线交OC 1于点E ,根据面面垂直的性质定理可得CE ⊥平面BDC 1,∠CDE 即为所求的线面角.设AB =2,则OC =2,OC 1=18=32,所以CE =CC 1·OC OC 1=4 23 2=43,所以sin ∠CDE =CE CD =23.12.、 已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若MA →·MB →=0,则k =( )A.12B.22C. 2 D .212.D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2,0),设直线l 的方程为x =ty +2,与抛物线方程联立得y 2-8ty -16=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y 2=-16,y 1+y 2=8t ,x 1+x 2=t (y 1+y 2)+4=8t 2+4,x 1x 2=t 2y 1y 2+2t (y 1+y 2)+4=-16t 2+16t 2+4=4.MA →·MB →=(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4 =4+16t 2+8+4-16-16t +4=16t 2-16t +4=4(2t -1)2=0,解得t =12,所以k =1t =2.13. 设f (x )是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f (x )=x -2,则f (-1)=________13.-1 [解析] f (-1)=f (-1+2)=f (1)=1-2=-1. 14.、 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有____种.(用数字作答)14.60 [解析] 从6人逐次选出1人,2人,3人分别给奖项即可,方法数为C 16C 25C 33=60.15. 若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4,则z =-x +y 的最小值为________.15.0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部,目标函数的几何意义是直线y =x +z 在y 轴上的截距,显然在点A 取得最小值,点A (1,1),故z min =-1+1=0.16.、 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,OK =32,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O 的表面积等于________.16.16π [解析] 设两圆的公共弦AB 的中点为D ,则KD ⊥DA ,OD ⊥DA ,∠ODK 即为圆O 和圆K 所在平面所成二面角的平面角,所以∠ODK =60°.由于O 为球心,故OK 垂直圆K 所在平面,所以OK ⊥KD .在直角三角形ODK 中,OK OD =sin 60°,即OD =32×23=3,设球的半径为r ,则DO =32r ,所以32r =3,所以r =2,所以球的表面积为4πr 2=16π.17.、 等差数列{a n }中,a 7=4,a 19=2a 9.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .17.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7=4,a 19=2a 9,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+6d =4,a 1+18d =2(a 1+8d ),解得a 1=1,d =12.所以{a n }的通项公式为a n =n +12. (2)因为b n =1na n =2n (n +1)=2n -2n +1,所以S n =21-22+22-23+…+2n -2n +1=2n n +1. 18.、 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a +b +c )(a -b +c )=ac . (1)求B ; (2)若sin A sin C =3-14,求C . 18.解:(1)因为(a +b +c )(a -b +c )=ac , 所以a 2+c 2-b 2=-ac .由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-12,因此B =120°.(2)由(1)知A +C =60°, 所以cos (A -C )=cos A cos C +sin A sin C=cos A cos C -sin A sin C +2sin A sin C=cos(A +C )+2sin A sin C =12+2×3-14 =32, 故A -C =30°或A -C =-30°, 因此C =15°或C =45°. 19.、 如图1-3所示,四棱锥P —ABCD 中,∠ABC =∠BAD =90°,BC =2AD ,△P AB 和△P AD 都是边长为2的等边三角形.图1-3(1)证明:PB ⊥CD ;(2)求点A 到平面PCD 的距离.19.解:(1)证明:取BC 的中点E ,联结DE ,则四边形ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O .联结OA ,OB ,OD ,OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A =PB =PD ,所以OA =OB =OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点.故OE ⊥BD ,从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)取PD 的中点F ,联结OF ,则OF ∥PB . 由(1)知,PB ⊥CD ,故OF ⊥CD .又OD =12BD =2,OP =PD 2-OD 2=2,故△POD 为等腰三角形,因此OF ⊥PD . 又PD ∩CD =D ,所以OF ⊥平面PCD .因为AE ∥CD ,CD ⊂平面PCD ,AE ⊄平面PCD ,所以AE ∥平面PCD . 因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,而OF =12PB =1,所以点A 到平面PCD 的距离为1. 20.、、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”, A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则A =A 1·A 2, P (A )=P (A 1·A 2)=P (A 1)P (A 2)=14.(2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”,B 2表示事件“第2局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B =B 1·B 3+B 1·B 2·B 3+B 1·B 2, P (B )=P (B 1·B 3+B 1·B 2·B 3+B 1·B 2) =P (B 1·B 3)+P (B 1·B 2·B 3)+P (B 1·B 2)=P (B 1)P (B 3)+P (B 1)P (B 2)P (B 3)+P (B 1)P (B 2) =14+18+14 =58. 21.、 已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3x +1.(1)当a =-2时,讨论f (x )的单调性;(2)若x ∈[2,+∞)时,f (x )≥0,求a 的取值范围.21.解:(1)当a =-2时,f (x )=x 3-3 2x 2+3x +1, f ′(x )=3x 2-6 2x +3.令f ′(x )=0,得x 1=2-1,x 2=2+1.当x ∈(-∞,2-1)时,f ′(x )>0,f (x )在(-∞,2-1)上是增函数; 当x ∈(2-1,2+1)时,f ′(x )<0,f (x )在(2-1,2+1)上是减函数; 当x ∈(2+1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(2+1,+∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0得a ≥-54.当a ≥-54,x ∈(2,+∞)时,f ′(x )=3(x 2+2ax +1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2-52x +1= 3⎝⎛⎭⎫x -12(x -2)>0, 所以f (x )在(2,+∞)上是增函数,于是当x ∈[2,+∞)时,f (x )≥f (2)≥0. 综上,a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-54,+∞. 22.、、 已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为3,直线y =2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ,b ;(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,且|AF 1|=|BF 1|,证明:|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等比数列.22.解:(1)由题设知ca =3,即a 2+b 2a 2=9,故b 2=8a 2.所以C 的方程为8x 2-y 2=8a 2. 将y =2代入上式,并求得x =±a 2+12.由题设知,2a 2+12=6,解得a 2=1.所以a =1,b =2 2.(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l 的方程为y =k (x -3),|k |<22,代入①并化简得(k 2-8)x 2-6k 2x +9k 2+8=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≤-1,x 2≥1,x 1+x 2=6k 2k 2-8,x 1x 2=9k 2+8k 2-8.于是|AF 1|=(x 1+3)2+y 21=(x 1+3)2+8x 21-8=-(3x 1+1),|BF 1|=(x 2+3)2+y 22=(x 2+3)2+8x 22-8=3x 2+1.由|AF 1|=|BF 1|得-(3x 1+1)=3x 2+1,即x 1+x 2=-23.故6k 2k 2-8=-23,解得k 2=45,从而x 1x 2=-199.由于|AF 2|=(x 1-3)2+y 21=(x 1-3)2+8x 21-8=1-3x 1,|BF 2|=(x 2-3)2+y 22=(x 2-3)2+8x 22-8=3x 2-1, 故|AB |=|AF 2|-|BF 2|=2-3(x 1+x 2)=4, |AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2)-9x 1x 2-1=16. 因而|AF 2|·|BF 2|=|AB |2,所以|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等比数列.。