模糊数学1
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
模糊数学的原理及其应用
模糊数学的原理及其应用1. 模糊数学的概述•模糊数学是一种数学理论和方法，用于描述和处理模糊和不确定性的问题。
•模糊数学可以更好地解决现实世界中存在的模糊性问题。
2. 模糊数学的基本概念•模糊集合：具有模糊性的集合，其元素的隶属度可以是一个区间或曲线。
•模糊关系：描述元素之间模糊的关联，可以用矩阵、图形或规则表示。
•模糊逻辑：基于模糊集合和模糊关系的逻辑运算，用于推理和决策。
3. 模糊数学的原理•模糊集合理论：模糊集合的定义、运算和性质。
•模糊关系理论：模糊关系的表示、合成和推理。
•模糊逻辑理论：模糊逻辑运算的定义、规则和推理机制。
4. 模糊数学的应用领域•控制理论：在模糊环境下设计控制系统，提高系统的鲁棒性和自适应能力。
•人工智能：利用模糊推理和模糊决策技术，实现模糊推理机和模糊专家系统。
•决策分析：在不确定和模糊环境下进行决策，提供可靠的决策支持。
•模式识别：用模糊集合和模糊关系描述和识别模糊模式。
•数据挖掘：利用模糊数学方法在大数据中发现模糊规律和模糊模式。
•经济学：模糊数学在经济学中的应用，如模糊经济学和模糊决策理论。
•工程优化：在多目标优化和约束优化中应用模糊数学方法。
•生物学：模糊生物学在生物信息学和细胞生物学中的应用。
5. 模糊数学的优势和局限5.1 优势•能够处理和描述模糊和不确定的问题，适用于现实世界的复杂问题。
•可以通过合适的模型和规则进行推理和决策，提供可靠的解决方案。
•可以用简单的数学方法解决复杂的问题，不需要严格的数学证明。
5.2 局限•模糊数学方法在某些问题上可能无法提供明确的结果。
•模糊数学需要根据实际情况选择合适的模型和参数，需要一定的经验和专业知识。
•模糊数学方法的计算复杂性较高，在大规模问题上可能不适用。
6. 总结•模糊数学是一种处理模糊和不确定问题的数学理论和方法。
•模糊数学包括模糊集合理论、模糊关系理论和模糊逻辑理论。
•模糊数学在控制理论、人工智能、决策分析等领域应用广泛。
第一讲 模糊数学概论
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随后，刘应明思维的触角又伸了向多元函数的简 单逼近问题。这一问题在此前一个很长的时期内 没有人能够给予解决。刘应明与李中夫经过艰苦 的探索，于90年代初攻克了这一难题。此项成果 在国家自然科学基金重大项目——“模糊信息处 理与机器智能化”——的结题评审会上被评为最 佳结果，国际上也给予了高度评价。
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1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
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扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研 究，集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵 活的思维与判断问题。尽管计算机记忆超人，计算神 速，然而当其面对外延不分明的模糊状态时，却“一 筹莫展”。可是，人脑的思维，在其感知、辨识、推 理、决策以及抽象的过程中，对于接受、贮存、处理 模糊信息却完全可能。计算机为什么不能象人脑思维 那样处理模糊信息呢？
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1984年，国际模糊系统联合会 (IFSA,International fuzzy system association) 成立，并于1985年召开了首届年会。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊数学例题大全
模糊数学例题大全标题：模糊数学例题大全模糊数学，又称为模糊性数学或者弗晰数学，是一个以模糊集合论为基础的数学分支。
它不仅改变了过去精确数学的观念，而且广泛应用于各个领域，从物理学、生物学到社会科学，甚至。
下面，我们将通过一些具体的例题来展示模糊数学的应用。
例1：模糊逻辑门在经典的逻辑门中，我们使用AND、OR和NOT等操作符来处理布尔值（0或1）。
然而，在现实世界中，很多情况并不是绝对的0或1。
例如，我们可以将“温度高”定义为大于25度，但24度是否算高呢？模糊逻辑门提供了更广泛的定义方式，允许我们使用模糊集合来描述这些边界情况。
例2：模糊聚类分析在统计学中，聚类分析是一种将数据集分类成几个组的方法，其中同一组内的数据点相似度高。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的数值来描述数据点的相似度。
这时，模糊聚类分析就派上用场了。
它允许我们使用模糊矩阵来表示数据点之间的相似度，从而更准确地分类数据。
例3：模糊决策树在机器学习中，决策树是一种用于分类和回归的算法。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的规则来描述决策过程。
这时，模糊决策树就派上用场了。
它允许我们在决策节点使用模糊规则来代替传统的布尔值规则，从而更好地模拟人类的决策过程。
例4：模糊控制系统在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来控制系统的行为。
然而，在某些情况下，系统的输入和输出并不是绝对的0或1。
这时，模糊控制系统就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述系统的输入和输出，从而更准确地控制系统的行为。
例5：模糊图像处理在图像处理中，我们通常需要分类、识别或分割图像中的对象。
然而，在某些情况下，图像中的对象边界并不清晰。
这时，模糊图像处理就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述图像中的对象边界，从而更准确地分类、识别或分割图像中的对象。
以上只是模糊数学众多应用的一小部分。
这个领域仍在不断发展，为解决各种复杂的现实问题提供了新的工具和方法。
通过学习模糊数学，我们可以更好地理解和处理那些边界模糊、难以用传统数学方法描述的问题。
模糊数学基本概念
模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。
以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。
隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。
它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。
模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。
它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。
模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。
它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。
模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。
它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。
模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。
这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。
模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。
它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。
以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
模糊数学和其应用
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总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
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模糊数学的应用领域
模糊控制
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产生上述看法的原因，是由于系统日益复杂，不 产生上述看法的原因，是由于系统日益复杂， 可能精确地描述它，因此产生了所谓的“互克性 可能精确地描述它，因此产生了所谓的“ 原理” 原理”。、 “当系统日益复杂，人们对它作精密而又意义的 当系统日益复杂， 描述的能力将相应地降低，以致达到精密性和有 描述的能力将相应地降低， 意义（或适用性） 意义（或适用性）成为两个几乎互相排斥的特征 的地步。 的地步。” 在这种意义下， 在这种意义下，对人文系统特别精密的数量化描 述，对现实世界中社会的、政治的、经济的以及 对现实世界中社会的、政治的、 其他形式的问题都不会产生多大的适用性。 其他形式的问题都不会产生多大的适用性。
“概念”是人们常使用的名词，例如“男人”就是一个概 概念”是人们常使用的名词，例如“男人” 念。一个概念有其内涵和外延。所谓内涵是指符合此概念 一个概念有其内涵和外延。 的对象所具有的共同属性；而外延指的是符合此概念的全 的对象所具有的共同属性； 体对象所构成的集合。 体对象所构成的集合。 因此，集合可以表现概念（从外延的角度）；集合之间还 因此，集合可以表现概念（从外延的角度）；集合之间还 ）； 有运算和变换，它们可以表现判断与推理。现代数学是以 有运算和变换，它们可以表现判断与推理。 集合论为基础的，这意味着现代数学成为描述和表现各门 集合论为基础的， 学科的形式语言和系统。 学科的形式语言和系统。
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[1] 汪培庄. 模糊集与随机落影[M]. 北京：北京师范大学出版 汪培庄. 模糊集与随机落影[M]. 社，1985. 社，1985. [2] 李洪兴，汪培庄. 模糊数学[M]. 北京：国防工业大学出版 李洪兴，汪培庄. 模糊数学[M]. 社，1994. 社，1994. [3] 罗承忠. 模糊集引论[M]. 北京：北京师范大学出版社， 罗承忠. 模糊集引论[M]. 1989. [4] C.V. 尼古塔 D. A. 拉莱斯库著，王浩 沙钰译. 模糊集在系 沙钰译. 统分析中的应用[M]. 湖南科学技术出版社，1980. 统分析中的应用[M]. 湖南科学技术出版社，1980.
考试方式
平时成绩30%； 平时成绩30%； 考勤15% 考勤15% 作业15% 作业15% 参加考试，否则平时成绩不予记录。 期终考试70% 期终考试70% 特别，提出有价值的研究问题或想法，对 问题进行研究取得成果（验证或否定想 法），对想法进行实现或系统完整地做好 专题文献收集与综述，都可以申请加分！
发展情况
模糊数学作为重要的研究方法，进入国家重大基础科研计 划；目前几乎每个高校都有相关研究人员，开设了课程。 作为智能系统、模式识别、知识处理等领域的核心方法， 在多个领域获得了成功的应用。方兴未艾！ 自上个世纪六十年代中模糊数学诞主以来，其发展速度超 过了许多应用数学学科，从发表的论文看，几乎是指数般 的增长。学习与研究的人数不断增加，新的研究成果不断 出现，作为一门新兴学科，它的发展前途非常广阔。
类似的概念， 年老” 高个子” 类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻 人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、 很大” 聪明” 漂亮的人” “价廉物美”等等，不胜枚举。 价廉物美”等等，不胜枚举。 人们为了了解、掌握和处理自然现象， 人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中 形成的概念往往是模糊概念， 形成的概念往往是模糊概念，即这些概念的类属 边界是不清晰的. 由此形成的划分、 边界是不清晰的. 由此形成的划分、判断与推理 也都具有模糊性. 也都具有模糊性.
模糊数学的研究可分三个方面： 一 是研究模糊数学的理论，以及它和精确 数学、统计数学的关系； 二是研究模糊语言和模糊逻辑； 三是研究模糊数学的应用。
主要内容
课程简介 预备知识 模糊数学基础理论 模糊数学应用的基础理论与方法 模糊聚类 模糊综合评判 模糊推理与控制 模式识别等
一个古希腊的问题
“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不 一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是， ……另一方面 所有的人都同意， 另一方面， 是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子 肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？ 肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？ 换言之，我们能不能说，123585粒种子不叫一堆 换言之，我们能不能说，123585粒种子不叫一堆 123586粒就构成一堆 粒就构成一堆？ 合理吗？ 而123586粒就构成一堆？” 这 合理吗？ 确实， 一粒” 一堆”是有区别的两个概念。 确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。 但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的， 但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两 者之间并不存在明确的界限。换句话说， 一堆” 者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆” 这个概念带有某种程度的模糊性。 这个概念带有某种程度的模糊性。
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李洪兴，汪培庄. 模糊数学趣谈. 李洪兴，汪培庄. 模糊数学趣谈. 汪培庄. 模糊集合理论及其应用. 汪培庄. 模糊集合理论及其应用. 上海：上海科学 技术出版社，1983 技术出版社，1983 刘应明，任平. 模糊性——精确性的另一半. 刘应明，任平. 模糊性——精确性的另一半. 清华 大学出版社院士科普书系. 大学出版社院士科普书系. 此外，还可以参考张文修，楼世博，贺仲雄，杨 纶标，李安贵等其他作者的相关书目
模糊数学
谷云东 guyund@ 华北电力大学（北京）数理学生介绍 介绍自己， 点名认识大家， 并要求大家准备自我介绍 学科简介 模糊数学主要的研究内容 模糊数学的学科地位 模糊数学课程的定位与考核
模糊数学简介
模糊数学是近几十年来发展起来的一门新兴学科，是对经 模糊数学是近几十年来发展起来的一门新兴学科， 典数学的推广，完善和补充。 典数学的推广，完善和补充。 模糊集合产生的最直接的动力，与系统科学的发展有着密 模糊集合产生的最直接的动力， 切关系。在多变量，非线性，时变的大系统中， 切关系。在多变量，非线性，时变的大系统中，复杂性与 精确性形成了尖锐矛盾。因此， 精确性形成了尖锐矛盾。因此，为了对复杂现象和庞大系 统进行描述，就必须在准确与简明之间取得平衡。 统进行描述，就必须在准确与简明之间取得平衡。模糊集 合正是在这方面的尝试。 合正是在这方面的尝试。 模糊数学在自动控制，系统分析，知识描述，语言加工， 模糊数学在自动控制，系统分析，知识描述，语言加工， 图象识别，信息复制，医学诊断， 图象识别，信息复制，医学诊断，经济管理等等不确定性 决策和判断方面有明显的效果和广泛的应用前景。 决策和判断方面有明显的效果和广泛的应用前景。
——贝尔曼（ ——贝尔曼（R. E. Bellman） Bellman） 贝尔曼
“描述的不确切性并不是坏事，相反到是件好事，他 能用较少的代价传送足够的信息，并能对复杂事务 作出高效率的判断和处理。也就是说，不确切性有 助于提高效率。”——哥根（J. Goguen，1974） 助于提高效率。”——哥根（J. A. Goguen，1974）
2006年夏北京中国科技会堂与扎德教授合影 2006年夏北京中国科技会堂与扎德教授合影
巧心劳力成器物，曰工。 理者，攻玉也。顺玉之纹理而剖析之。 快乐生活 持经狩变 执其两而叩其中
中者不偏，庸者不移。 一分为二，合二为一。
人家争住水东西， 不是向溪即背溪。 扎德一家无处去， 跨河架屋更神奇。
扎德
扎德1921年 月生于苏联巴库，1942年毕业于伊朗德黑兰 扎德1921年2月生于苏联巴库，1942年毕业于伊朗德黑兰 大学电机工程系，获学士学位。1944年获美国麻省理工学 大学电机工程系，获学士学位。1944年获美国麻省理工学 院（MIT）电机工程系硕士学位，1949年获美国哥伦比亚 院（MIT）电机工程系硕士学位，1949年获美国哥伦比亚 大学博士学位，随后在哥伦比亚、普林斯顿等著名大学工 作。从1959年起，在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、 作。从1959年起，在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、 计算机科学系任教授至今。 扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线形滤 扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线形滤 波器的设计方面取得了一系列重要成果，已被该领域视为 经典并广泛引用。60年代初期，扎德转而研究多目标决策 经典并广泛引用。60年代初期，扎德转而研究多目标决策 问题，提出了非劣解等重要概念。长期以来，围绕决策、 控制及其有关的一系列重要问题的研究，从应用传统数学 方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中，使扎 德逐步意识到传统数学方法的局限性。
如，描述雨下的程度：“小雨”、“中雨”、“大 中雨” 描述雨下的程度： 小雨” 雨”. 人们会根据雨下的程度推测今年的收成是 “好”、“一般”，还是“坏”。类似地，像语言 一般” 还是“ 类似地， 中常用的多
要想确切地描述任何现实的物理状态，事实上是 要想确切地描述任何现实的物理状态， 办不到的。这是一个公认的并经过检验的事实。 办不到的。这是一个公认的并经过检验的事实。 因此，描述（对于通讯，做决定，推而广之对于 因此，描述（对于通讯，做决定， 人的一切活动都是不可少的）的主要问题便是： 人的一切活动都是不可少的）的主要问题便是： 减少必然会有的不确切性，使他达到无关紧要的 减少必然会有的不确切性， 程度。为了把整个问题描述的详尽， 程度。为了把整个问题描述的详尽，我们必须在 准确和简明之间取得平衡，既减少复杂性又不过 准确和简明之间取得平衡， 与简化。 与简化。
“在人类知识领域里，非模糊概念起主要作用的惟一部门 只是古典数学” 只是古典数学”， “如果深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用 模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。这一点，是理解 人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。” 人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。” 精确的概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相 应的模糊集合来描述。扎德抓住这一点，首先在模糊集的 定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的基础。