不变子群,商群
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
不变子群的判别条件
不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
10 不变子群 商群
§10 不变子群 商群定义 设G 是一个群，N G ≤，称N 为群G 的子群，若,Na aN a G =∀∈.不变子群N 的一个左（右）陪集称为H 的一个陪集.N 是G 的不变子群，记为.N G例1 设G 为一个群，则G 和{}e 都是群G 的不变子群.{}{}{},.Ga aG G a e e a a ====例2 设G 是一个群，{}|,N n na an a G ==∀∈，则.N G,ea ae a G =∀∈,.e N N ∴∈≠∅12,n n N ∀∈，则1122,,,.n a an a G n a an G =∀∈=∀∈()()()()()()121212121212,.n n a n n a n an n a n an n a n n G ∴=====∀∈ 12.n n N ∴∈n N ∀∈，则,.na an a G =∀∈于是1,,a nan a G -=∀∈()1111,.n a n nan an a G ----==∀∈1,.n N N G -∴∈∴≤下证,.aN Na G =∀∈在aN 中任取一个元素an ，这里.n N ∈n N ∈故an na Na =∈.aN Na ∴⊂同理，.Na aN ⊂.aN Na ∴=.N G ∴该不变子群称为群G 的中心.例3 交换群G 的任一子群H 都是不变子群.设H G ≤，下证.aH Ha =ah aH ∀∈，这里h H ∈.因G 是交换群，故ah ha Ha =∈.aH Ha ∴⊂同理，.Ha aH ⊂例4 3,G S =设()()(){}1,123,132N =，则.N G()()()()()()111,1123123,==()()()1132132,=()()()()()()1231123,123123132,==()()()1231321,=()()()()()()1321132,1321231==都属于N ，N G ∴≤又()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}11,123,132,11,123,132,1212,13,13,1212,13,23,N N N N ==== 故()()()()()()11231321123132,N N N N N N =====()()()()()()122313122313.N N N N N N =====.N G ∴定义 设G 是一个群，12,,,m S S S 为集合G 的m 个子集，则把集合{}121122|,,,m m m s s s s S s S s S ∈∈∈称为12,,,m S S S 的乘积，记为12.m S S S 易知()()123123.S S S S S S =这是因为在()123S S S 中任取一个元()123s s s ，这里112233,,s S s S s S ∈∈∈， ()()()123123123.s s s s s s S S S =∈()()123123S S S S S S ⊂.同理()()123123.S S S S S S ⊂定理1 设G 是一个群，N G ≤，则1,.N G nNa N a G -⇔=∴∈注：,,a b G S G ∀∈⊂，把{}{}a S b 记为aSb .把{}a S 记为aS .把{}S b 记为.Sb 易知{}|.aSb asb s S =∈证 “⇒”设N G ，a G ∀∈，则,aN Na G =∀∈.故()()()1111.aNa aN a Na a N aa Ne N ----=====“⇐”设1,aNa N a N -=∀∈，下证1.aNa N -=易知1.aNa N -⊂n N ∀∈，有()1111111.n aa n aa naa a a n a a -------⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1a G -∈，()111.a n a N ---∴∈ 1.n aNa -∴∈11..N aNa aNa N --∴⊂∴=设G 是一个群，N G ，{}|S aN a G =∈（即S 为不变子群N 的所有陪集所成的集合）,xN yN S ∀∈，这里,x y G ∈，规定S 的乘法如下：()()().xN yN xy N =这在逻辑上没有问题.设 ,xN x N yN y N ''==，下证()().xy N x y N ''=,,x xe xN x N y ye yN y N ''=∈==∈=()1212,,.x x n y y n n n N ''∴==∈12.xy x n y n ''=N G ，1n y Ny y N '''∴∈=，()()()()133123232,n y y n n N xy x n y n x y n n x y n n x y N ''''''''''∴=∈===∈. ()().xy N x y N ''∴=定理3 色环G 是一个群，N G ，{}|,S aN a G =∈则S 对于以上规定的乘法来说成为一个群.证 1）√2）()()()()()()(),xN yN zN xy N zN xy z N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()().xN yN zN xN yz N x yz N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3）()()().eN xN ex N xN ==4）()()()11.x N xN x x N eN --==定义 定理3中的群S 称为群G 的一个商群，记为/.G N 若G 为有限群，N G ，则/.GG N N =习题P741.假定群G 的不变子群N 的阶是2 ，证明，G 的中心包含.N 证 设C 为群G 的中心，则{}|,.C c G ca ac a G =∈=∀∈2,N =∴可设{},,N e n =其中e 为群G 的单位元.显然，.e C ∈N G ，∴1,.ana N G -∈∀∈显然，不存在a G ∈使得1anae -=，不然,.an a ae n e ===故1,ana n G -=∀∈，即 ,an na a G =∀∈,.n C N C ∴∈∴⊂2. 证明，两个不变子群的交集还是不变子群.证 设G 是一个群，12,N G N G ，则12.N N G ≤12n N N ∀∈，则1,n N ∈且2.n N ∈因12,N G N G ，故,a G ∀∈有 1112,.ana N ana N --∈∈112,.ana N N a G -∴∈∀∈ 12.N N G ∴3. 证明，指数是2的子群一定是不变子群.证 设G 是一个群，(),: 2.N G G N ≤=设a G ∈，但a N ∉，因():2G N =，故()()()(),eN aN Ne Na =∅=∅，且()()()().G eN aN Ne Na ==但.eN Ne N ==aN Na ∴=，或.b aN Na ∈=b G ∀∈，b eN ∈或.b aN Na ∈=若b eN ∈，则,.b Ne bN eN Ne Nb ∈===若b aN ∈，则b Na ∈，故.bN aN Na Nb ===∴由不变子群的定义得，.N G4.设H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明，HN 是G 的子群. 证 在HN 中任取一个元素11h n ，22h n ，这里1212,,,.h h H n n N ∈∈ 则()11111221122.h n h n h n n h ---=但N G ，H G ≤，1111122212,,n n N Nh h N h h H ----∴∈=∈111111221212.h n n h h Nh h h N HNHN G ----∴∈=⊂∴≤ 5.举例证明，G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4G S =）. 解 取4G S =，()()()()()()(){}()()(){}11,1234,1324,1423,1,1234N N ==，则 1,N G N N ，但1N 不是G 的不变子群.。
§3.2 不变子群和商群
1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解： 因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
定理2 群 G 与 G 同态， 的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续） 定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
近世代数第15讲
近世代数第15讲第15 讲§11 同态与不变⼦群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学⽬的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任⼀个不G。
由此，我们变⼦群，都可极其⾃然地得到⼀个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。
⽽本节的基本内容就是要揭⽰这个内在联系——群的同态基本定理。
该定理确⽴了不变⼦群与商群在群的理论中的重要地位。
在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。
群G的同态象G可以设想是G的⼀个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异⽽⼜维持了中的运算关系。
都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的⼀个⼦群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有⾮单⾮同态，则在同构意义下意味着G的⼀个商群与的⼀个⼦群⼀样。
上述存在的关系就是本节的重点。
为此需要弄清：1、每⼀个同态核都是不变⼦群（这与同态是否为单、满⽆关）2、利⽤⾃然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三⾓形”的可交换问题。
4、⼦群（不变⼦群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以⼦群和商群为基本语⾔，⽤群同态映射为纽带建⽴了⼀套同态理论。
所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
⼀、群同态及同态核定义1：设G G →:?是⼀个群同态映射，（即G b a b a ab ∈?=,)()()( ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈?叫做?的核，记为)(?Ker 。
即 })(|{)(e x G x K e r =∈=??.结论1：设G G →:?是群同态映射，那么G Ker )(?.证明：设)(?Ker N =.N e e e ∈?=)(? .∴?≠N .N y x G N ∈?≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(.∴N xy ∈.N x ∈?.e e x x ===---111))(()(??.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈?,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111∴N gxg ∈-1由上知G N结论2：设)(?Ker N =是G G →:?的群同态映射的核，那么?是单同态 }{e N ?.证明：N x ∈?? )(. ∴e x =)(?.⽽显然N e ∈且e e =)(?.于是 )()(e x ??=.但?是单射e x =?.由x 的任意性知}{e N =.)(? 设G y x ∈,且有e y x y x =?=-1)()()()(,即e xy =-)(1? ∴ e xy e N xy =?=∈--11}{.即y x =. ∴?是单射.⼆、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，⽽N 是G 的任⼀个不变⼦群，那么必有群同态满射N G G →:?，其中：xN x =)(?.证明：显然xN x G x =∈?)(.?（这⾥与教材⼀致，⽤左陪集的形式出现）是⼀个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯⼀确定的）⼜因为N G aN ∈? ，那么=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ===∈?∴)()()(y x xy = 即N G G →:?⼀个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17:11
商群有下列常用的性质: 1)商群 G / N 的阶＝ [G : N ]. 2)如果 G 是有限群, 则商群
G G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ . N 3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数. 4) N
G , 则 e eN N 为商群 G / N
的单位元, a 1 N 为 aN 的逆元.
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1) N {(1), (123), (132)} N (1 )
(12) N {(12), (23), (13)} N (1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
2013-8-14 17:11
三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群 a G ,有 aN Na （定义）
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2013-8-14
17:11
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作
N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
N (G ) {n G | a G, na an}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
都是不变子群. 例3 交换群的子群 都是不变子群.
2013-8-14 17:11
例4 G S3 {(1},(12),(13),(23),(123),(132)}
H {(1), (12)}
解：
N {(1), (123), (1 3 2)}
因为 H (13) {(13), (123)}
a G ,有 aNa1 N （定理1） a G ，n N ,有 ana 1 N （定理2）
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
2013-8-14 17:11
四、商群
2013-8-14 17:11
四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
定义 2
N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN ( ab ) N 做成的群为 G 关于
设
N 的商群.
2013-8-14
2013-8-14 17:11
练习： 1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)} （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2013-8-14
17:11