03 正规子群与商群 近世代数
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高等代数正规子群与商群
. .. . . ..
陪集的乘法
设 G 是一个群，H 是它的一个子群. 令 I 是 G 的全部左陪集的代
表元集，则
∪ G = gH
g∈I
是 G 的全部左陪集的无交并. 提出下列问题：能否在全体左陪集的
集合上建立一个乘法运算使它成为一个群呢？
实际上在群 G 的子集之间是有自然的乘法的.
定义 K, L 是群 G 的两个非空子集，称集合
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
关于商群的一些记号
当 H 在上下文中是给定时，我们也常写 G/H 为 G，而元 gH 写为 g. 注意，不同的 g, g′ 可以有 g = g′. 这时表示 gH = g′H，即 g, g′ 在 H 的同一陪集中. 由于 g1Hg2H = g1g2H，故 g1 g2 = g1g2.
由命题 1，对 H 是正规子群，它的任何一个左陪集也是右陪集，我 们简称为 G 的陪集. 而且 G 的子集间的乘法对于陪集的集合是封 闭的以及 ∀g1, g2 ∈ G，(g1H)(g2H) = g1g2H.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正规子群
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数课件--1.5正规子群与商群
第一章与计算科学学院
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
§5
正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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§5
正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§6 §7
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正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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近世代数--正规子群与商群
(5) (1)设aN Nb, a aN a Nb 由于a Na a Na Nb Na Nb Na Nb aN Na 故N G
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
第八节
• • • •
正规子群与商群
正规子群的定义 正规子群的等价性命题 商群 小结
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G , 若a G , 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
任意一个群G都有两个正规子群e与G , 这两个正规子群称为G的平凡正规子群. 若N G , 且N e, N G , 称N是G的非 平凡正规子群
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a (a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G, (aN Na, a G (2)ana N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
1
( h1n1 )( h2 n2 ) 1 h1n1n2 1h2 1 ( h1h2 1 )( h2 n1n2 1h2 1 ) HN
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
第八节
• • • •
正规子群与商群
正规子群的定义 正规子群的等价性命题 商群 小结
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G , 若a G , 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
任意一个群G都有两个正规子群e与G , 这两个正规子群称为G的平凡正规子群. 若N G , 且N e, N G , 称N是G的非 平凡正规子群
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a (a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G, (aN Na, a G (2)ana N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
1
( h1n1 )( h2 n2 ) 1 h1n1n2 1h2 1 ( h1h2 1 )( h2 n1n2 1h2 1 ) HN
近世代数讲义子群
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
iI
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2020/8/13
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§3 子 群
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
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集的个数与右陪集的个数相同.
证明 a H , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一
映射;
Sl aH | aG , Sr Ha | aG
则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一
映射.
2020/3/13
定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H < G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
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① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
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例 G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且
G a1H U a2H UL U ar H
由前定理, ai H I aj H 且
| aiH || ajH | H
所以,
| G || a1H | | a2H | L | ar H | r | H | H #(G : H )
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群
的阶都是有限母群阶的因子。
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3
集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空
子集, 定义
AB {ab| a A,bB} 若 B {g} ，则 Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
对运算（Hg1）（ Hg2）=（Hg1g2）是群。
称（G H ，）为G关于H的商群。
商群的阶#（G
H
）=
#G #H
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商群
如：交错群A 是3元对称群S 的正规子群。得A 关于S 的商群。
3
3
3
3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
A 3
={（1），（123），（132）}，
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陪集
定义：群G关于子群H的左（右）陪集个数，称为
H在G中的指数。记#（G：H）
定理（Lagrange）：有限群G的子群H把G分为
#G #H
类，
即
#G #H
=#（G：H）,#G=#（G：H）#H。
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Lagrange定理证明
证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群，
S3的3阶子群：必是循环群{(1),（123），（132）}
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乘积集的例
定理：设H、K是群G的有限子群，则
#（HK）=（#H）（#K) #(H I K）
如：在3元对称群S3中，H=（{ 1），（12）}, K=（{ 1），（13）}
H {(1), (12)}
பைடு நூலகம்
③ H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H(1) {(1), (12)} H(12)
H(13) {(13), (132)} H (132)
H(23) {(23), (123)} H (123) ④ H(13) (13)H
⑤ G (1)H U (13)H U (23)H H(1) U H(13) U H(23)
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由上定理知，
G aH U bH U cH UL G Ha1 U Hb1 U Hc1 UL
，即{a, b, c,L } 是群 G 关于子群 H 的一
个左陪集代表系， {a1, b1, c1,L } 是群
G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
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若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
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商群
定理：设H 是群（G，o）的正规子群,
则G关于H的所有陪集的集 G H ＝{Hg | g G}
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要判断一个子群是不是不变子群，一般来说， 使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．
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定理
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G~G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
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陪集的性质及陪集分解
左陪集的性质及左陪集分解
1） aaH 2）a H aH H
3）b aH aH bH a1b H
4）aH bH aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院
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第3章 正规子群与商群
本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引 出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。
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2
第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理
先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群 进行分类——群的陪集分解。
3 1}
（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
交错群A 3
={（1），（123），（132）}。
A（3 1）=A3=A（3 123）=A（3 132）,
A（3 12）={（12），（13），（23）}=A（3 13）=A（3 23）.
S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类，
定义：设f 是G H的一个群同态映射，
a，bG, （f a ob） （f a）* （f b）,
像为H的单位元eH的所有元素的集，称为同态映射f 的核，
记为Kerf,
Kerf = {g G|（f g）=eH }
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定义
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
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Lagrange定理推论
群G元素个数=子群H元素个数 G关于H的左（右）陪集个数. 推论1：#H|#G, 子群元素个数是群元素个数的因数。 推论2：群元素的阶|#G, 群元素a的阶是群G的阶的因数。 推论3：每个阶为素数p的群G都是循环群。
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正规子群
定理：设（G1，o）与（G2，o）是群（G，o）的正规子群, 则（G1G2，o）是群（G，o）的正规子群。
思路：（1）G1G2是群G的子群。 （2）G1G2是群G的正规子群。
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右陪集的性质及右陪集分解 1） a Ha
2）a H Ha H
3） b Ha Ha Hb ba1 H
4） Ha Hb Ha Hb
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右陪集与左陪集的对应关系
定理 设 H G ，则群G 的任何两个 陪集含有相同个数的元素；且 H 在 G 中 左陪
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如：找3元对称群S 的所有子群？ 3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
子群的阶必是#S 3
6的因子为1，2，3，6
S3的1阶子群：{（1）}
S 的6阶子群：S
3
3
S3的2阶子群：必是循环群{（12），（1）}，{（13），（1）}，{（23），（1）}
S 3
=A（3 1）U
A（3 12）.
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证明 a H , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一
映射;
Sl aH | aG , Sr Ha | aG
则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一
映射.
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定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H < G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
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① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
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例 G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且
G a1H U a2H UL U ar H
由前定理, ai H I aj H 且
| aiH || ajH | H
所以,
| G || a1H | | a2H | L | ar H | r | H | H #(G : H )
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群
的阶都是有限母群阶的因子。
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集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空
子集, 定义
AB {ab| a A,bB} 若 B {g} ，则 Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
对运算（Hg1）（ Hg2）=（Hg1g2）是群。
称（G H ，）为G关于H的商群。
商群的阶#（G
H
）=
#G #H
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商群
如：交错群A 是3元对称群S 的正规子群。得A 关于S 的商群。
3
3
3
3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
A 3
={（1），（123），（132）}，
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陪集
定义：群G关于子群H的左（右）陪集个数，称为
H在G中的指数。记#（G：H）
定理（Lagrange）：有限群G的子群H把G分为
#G #H
类，
即
#G #H
=#（G：H）,#G=#（G：H）#H。
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Lagrange定理证明
证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群，
S3的3阶子群：必是循环群{(1),（123），（132）}
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乘积集的例
定理：设H、K是群G的有限子群，则
#（HK）=（#H）（#K) #(H I K）
如：在3元对称群S3中，H=（{ 1），（12）}, K=（{ 1），（13）}
H {(1), (12)}
பைடு நூலகம்
③ H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H(1) {(1), (12)} H(12)
H(13) {(13), (132)} H (132)
H(23) {(23), (123)} H (123) ④ H(13) (13)H
⑤ G (1)H U (13)H U (23)H H(1) U H(13) U H(23)
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由上定理知，
G aH U bH U cH UL G Ha1 U Hb1 U Hc1 UL
，即{a, b, c,L } 是群 G 关于子群 H 的一
个左陪集代表系， {a1, b1, c1,L } 是群
G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
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若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
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商群
定理：设H 是群（G，o）的正规子群,
则G关于H的所有陪集的集 G H ＝{Hg | g G}
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要判断一个子群是不是不变子群，一般来说， 使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．
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定理
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G~G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
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陪集的性质及陪集分解
左陪集的性质及左陪集分解
1） aaH 2）a H aH H
3）b aH aH bH a1b H
4）aH bH aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院
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1
第3章 正规子群与商群
本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引 出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。
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2
第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理
先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群 进行分类——群的陪集分解。
3 1}
（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
交错群A 3
={（1），（123），（132）}。
A（3 1）=A3=A（3 123）=A（3 132）,
A（3 12）={（12），（13），（23）}=A（3 13）=A（3 23）.
S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类，
定义：设f 是G H的一个群同态映射，
a，bG, （f a ob） （f a）* （f b）,
像为H的单位元eH的所有元素的集，称为同态映射f 的核，
记为Kerf,
Kerf = {g G|（f g）=eH }
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定义
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
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Lagrange定理推论
群G元素个数=子群H元素个数 G关于H的左（右）陪集个数. 推论1：#H|#G, 子群元素个数是群元素个数的因数。 推论2：群元素的阶|#G, 群元素a的阶是群G的阶的因数。 推论3：每个阶为素数p的群G都是循环群。
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正规子群
定理：设（G1，o）与（G2，o）是群（G，o）的正规子群, 则（G1G2，o）是群（G，o）的正规子群。
思路：（1）G1G2是群G的子群。 （2）G1G2是群G的正规子群。
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右陪集的性质及右陪集分解 1） a Ha
2）a H Ha H
3） b Ha Ha Hb ba1 H
4） Ha Hb Ha Hb
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右陪集与左陪集的对应关系
定理 设 H G ，则群G 的任何两个 陪集含有相同个数的元素；且 H 在 G 中 左陪
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如：找3元对称群S 的所有子群？ 3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
子群的阶必是#S 3
6的因子为1，2，3，6
S3的1阶子群：{（1）}
S 的6阶子群：S
3
3
S3的2阶子群：必是循环群{（12），（1）}，{（13），（1）}，{（23），（1）}
S 3
=A（3 1）U
A（3 12）.
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