2018年上海高三一模真题汇编——三角比三角函数专题

2018年一模汇编——三角函数专题一、知识梳理【知识点1】求值【例1】已知α是第二象限的角，且a =αcos ，利用a 表示tan α= .【答案】aa 21-.【解析】由α是第二象限的角，a =αcos 知21sin a -=α，sin tan cos aααα==. 【点评】熟练掌握由tan α的值求ααcos ,sin 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.【例2】已知),,0(πα∈且51cos sin -=+αα，则tan α= . 【答案】43-. 【解析】由51cos sin -=+αα平方得02524cos sin 2<-=αα，又由),0(πα∈知),2(ππα∈. 则有0cos ,0sin <>αα.2549cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα，得57cos sin =-αα.有54cos ,53sin -==αα，所以3tan 4α=-. 【点评】此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.【知识点2】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式 【例1】设12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,0,22ππαπβ<<<<求cos().αβ+ 【答案】－729239. 【解析】,0,22ππαπβ<<<<,.42422πβπαπαπβ∴<-<-<-<故由1cos(),29βα-=-得sin()2βα-=由2sin(),23αβ-=得cos()2αβ-=cos()cos ()()22227αββααβ+⎡⎤∴=---=⎢⎥⎣⎦2239cos()2cos ()1.2729αβαβ+∴+=-=-【点评】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式等在应用时，都比较注重寻求角与角的联系，尤其是建立已知角与所求角的联系.【例2】已知sin(2)2sin 0.αββ++= 求证tan 3tan().ααβ=+ 【解析】由题设：[][]sin ()+=2sin ().αβαααβ+-+即sin()cos cos()sin =2sin cos()2cos sin().αβααβαααβααβ++++-+∴3sin()cos =sin cos()αβαααβ++ ∴tan 3tan().ααβ=+【点评】注意题设中的角和结论中角的关系.【知识点3】万能公式【例1】已知),2(,0cos 2cos sin sin 622ππααααα∈=-+，求)32sin(πα+的值.【答案】261235-. 【解析】由0cos 2cos sin sin 622=-+αααα得：26tan tan 20αα+-=，则1tan 2α=或2tan 3α=-.又),2(ππα∈，所以2tan 3α=-.由万能公式得22tan 12sin 21tan 13ααα==-+，221tan 5cos 21tan 13ααα-==+.知261235)32sin(-=+πα. 【点评】先通过正余弦的齐次式处理方法求出正切值，再根据万能公式得出答案.【知识点4】正余弦定理【例1】有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,.a b c 已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．【答案】c =.【解析】由060,A =045,B =得075,C =正弦定理sin sin a cA C=得c =.【点评】此题很容易由sin sin a bA B=得b =但答案不能填b =，否则题目中的答案角A 算出来有两解不符合题意.【例2】在△ABC 中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,对边的长.已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，求A ∠的大小及cBb sin 的值.【答案】3π=∠A ，sin b B c 【解析】由c b a ,,成等比数列得ac b =2，则bc ac c a -=-22化成bc a c b =-+222，由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，3π=∠A .由ac b =2得b a c b =，所以c B b sin =233sin sin sin ===πA b B a .【点评】三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关c b a ,,的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC 三边c b a ,,平方的和差关系，常联想到余弦定理解题.【知识点5】判断三角形形状【1】 在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是（ ） A 、等腰直角三角形； B 、直角三角形； C 、等腰三角形； D 、等边三角形. 【答案】C.【解析】在三角形ABC 中：A B B A B A B A C sin cos 2sin cos cos sin )sin(sin =+=+=， 则B A B A B A B A =⇒=-⇒=-0)sin(0sin cos cos sin .所以△ABC 是等腰三角形.【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系。

此题也可以通过正余弦定理转化为边的关系去解题.【知识点6】解三角形应用题【例1】如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 分钟后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 米/分钟，山路AC 长1260 米 ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C = （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）AB 的长为1040米；（2）当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短. 【解析】（1）在ABC ∆中，∵12cos 13A =，3cos 5C =，∴5sin 13A =，4cos 5C =，……2分sin sin[()]5312463sin()sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C π=-+=+=+=⨯+⨯=…………………………5分由正弦定理sin sin AB AC C B =，得sin 1040sin ACAB C B=⨯=，……………………………7分 所以索道AB 的长为1040米………………………………………………………………8分 （2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d 米， 此时，甲行走了(10050)t +米，乙距离A 处130t 米， 由余弦定理得：222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+……11分 ∵10400130t ≤≤，即08t ≤≤，……………………………………………………………12分 故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短……………………………………………14分【点评】熟练运用正余弦定理，读懂题意，找到函数关系，转化为函数求最值问题.【知识点7】三角函数周期、最值、单调性【例1】函数1cos sin 32cos 2)(2--=x x x x f 的最小正周期为 ；最大值为 ；单调递增区间为 ；在区间]2,0[π上，方程1)(=x f 的解集为 . 【答案】π；2；)](6,32[Z k k k ∈--ππππ；}2,,0,35,32{ππππ. 【解析】由1cos sin 32cos 2)(2--=x x x x f )652sin(22sin 32cos π+=-=x x x .所以函数)(x f 的最小正周期为π；最大值为2；单调递增区间满足22[652πππ-∈+k x ，)](22Z k k ∈+ππ，即)](6,32[Z k k k ∈--ππππ；由1)(=x f ，则21)652sin(=+πx ， 62652πππ+=+k x 或652652πππ+=+k x 得3ππ-=k x 或)(Z k k x ∈=π，又由]2,0[π∈x 得解集为}2,,0,35,32{ππππ. 【点评】欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：)2cos 1(21cos ),2cos 1(21sin 22x x x x +=-=；引入辅助角（特别注意3π，6π经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为B x A y ++=)sin(ϕω的形式.函数|)sin(|ϕω+=x A y 的周期是函数)sin(ϕω+=x A y 周期的一半.【例2】已知函数()2sin (sin cos ),[0,]2f x x x x x π=+∈，求)(x f 的最大值与最小值.【答案】最大、最小值分别为12+与0.【解析】函数2()2sin 2sin cos 1cos 2sin 2)14f x x x x x x x π=+=-+=-+.由[0,]2x π∈，则32[,]444x πππ-∈-，sin(2)[4x π-∈，所以函数)(x f 的最大、最小值分别为12+与0.【点评】当自变量x 的取值受限制时，求函数)sin(ϕω+=x A y 的值域，应先确定ϕω+x 的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定)sin(ϕω+x 的取值范围，并注意A 的正负；千万不能把x 取值范围的两端点代入表达式求得.【例3】已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，则ω的取值范围为_______. 【答案】2[,]43ππωω-. 【解析】因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩． 【点评】本题一个要注意最终答案要加上题干中的0ω>这个条件，另一方面2[,]43ππωω-其实就只能是[,]22ππ-的子区间．【知识点8】三角函数对称性【例1】若函数x x a x f cos sin )(+=的图像关于点)0,3(π-成中心对称，则=a _______.【答案】33. 【解析】由x x a x f cos sin )(+=的图像关于点)0,3(π-成中心对称知0)3(=-πf ，33=a . 【点评】正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点.【例2】已知函数x x f 2sin )(=，且)(t x f +是偶函数，则满足条件的最小正数=t _______. 【答案】4π. 【解析】)22sin()(t x t x f +=+是偶函数，则0=x 是它图像的一条对称轴.0=x 时，函数取最大（小）值.12sin ±=t ，)(22Z k k t ∈+=ππ.所以满足条件的最小正数4π=t .【点评】正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y 轴且过函数图像的最高点或最低点.【知识点9】三角函数图像变换【例1】要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ） A 、向右平移π6个单位； B 、向右平移π3个单位； C 、向左平移π3个单位；D 、向左平移π6个单位. 【答案】A【解析】cos cos y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪33⎝⎭⎝⎭sin[()]sin()2x x πππ=--=+36，故应选A. 【点评】当函数名不一样的时候，可以先通过诱导公式变成同名再作其他变换.【知识点10】三角函数性质综合【例1】已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ωϕ和的值．【答案】223ωω==或，2πϕ=.【解析】由()f x 是R 上的偶函数，得()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，展开整理得：cos sin cos sin x x ϕωϕω-=，对任意x 都成立，且0ω>，所以cos 0ϕ=． 又0ϕπ≤≤，所以2πϕ=．由()f x 的图象关于点M 对称，得33()()44f x f x ππ-=-+．取0x =，得33()()44f f ππ=-， 所以3()04f π=，∴333()sin()cos4424f πωππωπ=+=．所以33cos0,0,442k ωπωππωπ=>=+又得，()k N ∈．即2(21),0,1,2,3k k ω=+=220,,()sin()[0,]3322k f x x ππω===+当时在上是减函数； 1,2,()sin(2)[0,]22k f x x ππω===+当时在上是减函数；102,,()sin()[0,]322k f x x ππωω≥≥=+当时在上不是单调函数；综上所得223ωω==或，2πϕ=【点评】此类题型一般利用奇偶性、单调性先把ω的通解解出，再根据题目条件确定k 的取值.【例2】已知()sin()(0)3f x x πωω=+>,()()63f f ππ=,且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,则ω= ．【答案】143． 【解析】如图所示,因为()sin()3f x x πω=+,且)3()6(ππf f =,又在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内只有最小值、无最大值,所以()f x 在4236πππ=+处取得最小值,所以2,()432k k z πππωπ+=-∈,所以108()3k k z ω=-∈．又0ω>,所以当1k =时,3143108=-=ω；当2k =时,33831016=-=ω,此时()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内有最大值,故314=ω．【点评】结合三角函数图像解题更加直观．【知识点11】反三角函数和最简三角方程【例1】已知()sin arcsin f x x x =+，若2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【答案】．【解析】()sin arcsin f x x x =+的定义域是[1,1][,]22ππ-∈-， 而sin x 和arcsin x 在[1,1]-上都是增函数，又都是奇函数， ∴ ()f x 在[1,1]-上既是增函数，又是奇函数．222(1)(1)0(1)(1)(1)f a f a f a f a f a -+-<⇒-<--=-∴2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩解得a的取值范围为. 【点评】熟记反三角函数的定义域、值域及基本性质是解决反三角类型的关键.【例2】求k 的取值范围 ，使得关于x 的方程0sin sin 2=+-k x x 在[,]22ππ-上 (1)无解； (2)仅有一解； (3)有两解.【答案】(1)),41()2,(+∞⋃--∞∈k ；(2)}41{)0,2[⋃-∈k ； (3))41,0[∈k ； 【解析】用分离参数的方法x x k sin sin 2+-=，只需要考虑k 与函数x x y sin sin 2+-=的交点个数就是方程解的个数， 令]1,1[,sin -∈=t x t ，则函数t t y +-=2，画出二次函数t t y +-=2在]1,1[-∈t 上的图像， 观察常值函数k y =与二次函数t t y +-=2的交点个数，可知(1)当),41()2,(+∞⋃--∞∈k 时，两函数图像没有交点，即原方程无解； (2)当}41{)0,2[⋃-∈k 时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解； (3)当)41,0[∈k 时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解.【点评】分离参数是处理方程有解问题的常用方法，此题也可以用换元法，转化为二次方程根的分布问题.二、一模真题汇编一、填空题1. （宝山区2018年一模3题）函数22cos (3)1y x π=-的最小正周期为 .【答案】13.2. （青浦区2018年一模4题）函数2()cos cos f x x x x =+的最大值为 . 【答案】32. 3. （虹口区2018年一模4题）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ，若::2:3:4a b c =，则cos C = . 【答案】14-. 4. （虹口区2018年一模9题）已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于 ..5. （松江区2018年一模5题）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ，则cos2α= .【答案】1-2.6. （松江区2018年一模7题）函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[0,2]π上交点的个数是 ． 【答案】4.7.（杨浦区2018年一模3题）已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+= .【答案】2.8.（杨浦区2018年一模9题）在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为 . 【答案】3π.9.（杨浦区2018年一模11题）已知函数()cos (sin )f x x x x =x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为 .【答案】()*=26k k N ππα-∈. 10.（徐汇区2018年一模8题）某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距 海里（精确到0.1海里）. 【答案】4.2.11.（长宁嘉定区2018年一模3题）已知4sin 5α=，则cos()2πα+= . 【答案】45-. 12.（长宁嘉定区2018年一模8题）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则B = .【答案】23π.13.（普陀区2018年一模2题）若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+= . 【答案】14.14.（普陀区2018年一模6题）函数2()2cos 2xf x x =+的值域为 . 【答案】[1,3]-.15.（浦东区2018年一模11题） 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有 ()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为 . 【答案】π.16.（奉贤区2018年一模4题）已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ= .【答案】5-17.（奉贤区2018年一模12题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,02ωϕπ>≤<是R 上的偶函数，图 像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，则符合条件的数组(),ωϕ有________对. 【答案】4.18.（崇明区2018年一模6题）若函数)0(1)3sin(2>+-=ωπωx y 的最小正周期是π，则ω= .【答案】2.二、选择题1.（青浦区2018年一模14题）已知函数()2sin()25f x x ππ=+，若对任意实数x ，都12()()()f x f x f x ≤≤， 则21||x x -的最小值是（ ）A 、π；B 、2π；C 、2；D 、4.【答案】C.2. （长宁嘉定区2018年一模13题）设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分又非必要条件. 【答案】A.3.（浦东区2018年一模16题）关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=（ ）A 、1；B 、2；C 、22π； D 、22π.【答案】B.三、解答题1. （宝山区2018年一模18题）已知函数2()12sin 2xf x =-. （1）求()f x 在3[,]22ππ上的单调递减区间；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ，若2114111ca b ---=-且1()2f C =，求ABC ∆面积的最大值，并指出此时ABC ∆为何种类型的三角形.【答案】（1）()cos f x x =，在[,]2ππ递减；（2）3，等边三角形.2.（青浦区2018年一模19题）如图，某大型厂区有三个值班室A 、B 、C ，值班室A 在值班室B 的正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向23千米处.（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时1PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【答案】（1）=7PB ；（2）两人不能通话的时间为8157-小时. 【解析】（1）在Rt ABC ∆中，=223AB BC =，；所以30C ∠=︒， 在PAB ∆中=123PC BC =，，由余弦定理可得：2222cos30BP BC PC BC PC =+-︒()2232312123=72=+-⨯⨯⨯，=7PB . （2）在Rt ABC ∆中，=223AB BC =，，224AC BA BC =+=.设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤， 设甲在线段CA 上的位置为点M ，则=4-AM t ①当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则=2AQ t ，如图所示，在AMQ ∆中，由余弦定理得()()()222242224cos6071679MQ t t t t t t =-+-⨯⨯-︒=-+>，解得8157t -<或8157t +>，所以81507t -≤<. ②当14t ≤≤时，乙在值班室B 处，在ABM ∆中，由余弦定理得：()()22244224cos606129MB t t t t t =-+-⨯⨯-︒=-+>，解得36t <-或36t >+，又14t ≤≤，不合题意舍去. 综上所述81507t -≤<时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为8157-小时. 【考点】解三角形.3.（虹口区2018年一模18题）已知函数())cos(2)2f x x x πωπω=-+-，其中x R ∈，0ω>，且此函数的最小正周期等于π.（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间； （2）求此函数在[0,]2x π∈的最大值和最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+，2ω=，[,]36k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）最大值为2，最小值1-.4.（松江区2018年一模17题）在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-. （1）求BC 边的长； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）BC 2）9.5.（徐汇区2018年一模18题） 如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，(0,1)E 是线段MC 的中点. （1）若点M 的坐标为(1,0)-，求点C 、点N 和点D 的坐标；（2）若点M 的坐标为(,0)m -（0m >），且2344MC MD π⋅=-，试确定函数()f x 解析式.【答案】（1）(1,2)C ，(3,0)N ，(5,2)D -；（2）()2sin()4f x x π=+.6.（普陀区2018年一模19题）设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），已知角ϕ的终边经过点(1,，点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知ABC ∆面积为C 所对的边c =cos ()4C f π=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）()sin(2)3f x x π=-；（2）ABC C ∆=7.（金山区2018年一模18题）已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）. （1）写出函数()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，求b 的值.【答案】（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，[,]36k k ππππ-+，k ∈Z ；（28.（浦东区2018年一模18题）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n ⊥.（1）求C ；（2）若227c b =，且ABC S ∆=b 的值. 【答案】（1）23C π=；（2）2b =. 【解析】（1）由m n ⊥，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=，……………………2分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分∴23C π=；……………………1分 （2）由2222cos c a b ab C =+-，∴22272cos b a b ab C =+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b =；……………………4分 由23ABC S ∆=1sin 232ab C =132232b b ⋅⋅=，……………2分 ∴2b =.……………………1分 【考点】三角函数.9.（闵行区2018年一模17题）已知函数33()sin 2f x x x ωω=（其中0ω>）. （1）若函数()f x 的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2ω=，0απ<<，且3()2f α=，求α的值.【答案】（1）2()3sin()36f x x π=+，[3,3]2k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）4π或12π.10.（奉贤区2018年一模19题）如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．【答案】（1）10072）1003[0,]22sin 3y πθθ=∈+ ⎪⎝⎭5036y πθ=时，取最小值【解析】（1）可用余弦定理求得3B π∠=2分300,100D E BD BE ==设甲在处，乙在处, 2分2222cos 700DE BD BE BDBE B DE =+-=所以 3分（2）,3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中， 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分[0,]sin sin 2DE BE y B DEB πθ==∈∠∠由得 1分 （式子出来3分）,[0,]22sin 3y πθπθ=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1分6y πθ=时，取最小值分答：6y πθ=时，取最小值分【考点】解三角形.11. （崇明区2018年一模18题）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分；第（2）小题满分8分.）已知1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f（1）求)(x f 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若7=a ，3=b ，且3)2(=Af ，求边c的值.【答案】（1）当6ππ+=k x ，Z k ∈时，函数取得最大值2；（2）2=c 或4=c .【解析】（1）1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x fx x cos 2sin 3+= )62sin(2π+=x ……………………………………3分所以当2262πππ+=+k x ，Z k ∈，即6ππ+=k x ，Z k ∈时，函数取得最大值2……………………………………6分（2）3)6sin(2)2(=+=πA A f因为),0(π∈A ，所以6π=A 或2π……………………………………3分 当6π=A 时，由bc a c b A 2cos 222-+=得：0432=--c c所以4=c 或1-=c （舍去）……………………………………6分当6π=A 时，222=-=b a c ……………………………………7分综上所述：2=c 或4=c ……………………………………8分【考点】三角函数.12. （长宁嘉定区2018年一模19题）一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD m ==.（1）设BOD θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.【答案】（1）22sin cos L θθ=+；（2）min L =.。