【全国区级联考】广东省广州市天河区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年第一学期天河区期末考试高一数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角为（）A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°【答案】D【解析】由直线，可得直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=-1，∴α=135°．故选D2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合则A∩B={1，2}，故选A．3. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵f（2）=lg2+2-3=lg2-1＜0，f（3）=lg3＞0，∴在（2，3）内函数f（x）存在零点，故选C．4. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2×=，它的体积为V=故选C5. 已知，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵0＜a=0.80.7＜0.80=1，b=log20.7＜log21=0，c=1.30.8＞1.30=1，∴b＜a＜c．故选B．6. 已知直线与直线平行，则实数的值是（）A. B. 或0 C. D. 或0【答案】A【解析】直线l1：x+2my-1=0与直线l2：（m-2）x-my+2=0平行，若m=0，则两直线为x-1=0，2-2x=0，则重合舍去；若m=2时，两直线为x+4y-1=0，2-2y=0，不平行，舍去；即有解得，故选A.7. 如图，长方体中，，，分别是的中点，则异面直线与所成角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D【解析】如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°，故选D8. 已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=2．∴半径r=∴圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0．9. 已知，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），∴ab=1，∴b=，所以函数f （x）=a x与函数g（x）=-log b x互为反函数，∴二者的图象关于直线y=x对称，故选B．10. 给出下列命题：①如果不同直线都平行于平面，则一定不相交；②如果不同直线都垂直于平面，则一定平行；③如果平面互相平行，若直线，直线，则；④如果平面互相垂直，且直线也互相垂直，若，则；其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】在①中，如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n相交、平行或异面，故①错误；在②中，如果不同直线m、n都垂直于平面α，则由线面垂直的性质定理得m、n一定平行，故②正确；在③中，如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m、n相交、平行或异面，故③错误；在④中，如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n与β相交或平行，故④错误．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，熟练掌握平行垂直的基本概念，基本定理内容是解决问题的关键.11. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴，∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|﹣r=5﹣1=4，∴正数m的最小值为4．故选D．点睛：这个题目考查的是用向量表示直角关系，并且用到了数形结合的方式来求最值。

涉及到找圆上的点到定点的距离的最值。

在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

12. 偶函数满足，且在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）（x∈R）满足：f（-5）=f（2）=0，且在区间[0，4]与[4，+∞）上分别递增和递减，∴函数f（x）对应的图象如图：则不等式x•f（x）＜0等价为或即或即0＜x＜2或x＞5或-5＜x＜-2，即不等式的解集为，故选D．点睛：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系作出函数的图象是解决本题的关键．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数的定义域为____________【答案】【解析】函数有意义，可得x+1＞0且2x-1≠0，解得x＞-1且x≠，则定义域为{x|x ＞-1且x≠}．故答案为.14. 已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1，则其侧楞长为____________.【答案】【解析】一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，则此四棱柱的外接球的球心为体对角线的中点，因为球的表面积为，所以球的半径为1cm,故体对角线长为2，设侧棱长为h，则,故答案为.15. 已知，过原点作圆的切线，则此时的切线方程为___________【答案】【解析】由圆的方程得m+2=1，即m=-1，此时圆的方程为x2+y2-4x-8y+16=0，即（x-2）2+（y-4）2=4，圆心坐标C（2，4），半径为R=2，若切线斜率不存在，则x=0，圆心到直线x=0的距离d=2，满足x=0与圆相切，若斜率存在，设y=kx，即kx-y=0，圆心到直线的距离d=,即|k-2|=，平方得k2-4k+4=1+k2，即4k=3，得k=,则切线方程为y=x,综上所述，切线方程为y=x或x=0，故答案为16. 已知函数满足对任意的，都有恒成立，那么实数的取值范围是______________【答案】【解析】∵函数f（x）满足对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，∴函数f（x）在定义域上是增函数，则满足,故答案为.点睛：本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意端点处的函数值的大小限制.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知直线与直线，其中为常数.（1）若，求的值；（2）若点在上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】试题分析：（1），则即可求出m的值；（2）当时，P为（1,0），，不合题意；当时，P为（1,2），，符合题意.因直线在两坐标轴上的截距之和为0，当直线过原点时，可设的方程为，当直线不经过原点时，可设的方程为，将点P（1,2）带入，即可得直线的方程.试题解析：（1）∵∴解得或（2）当时，P为（1,0），，不合题意；当时，P为（1,2），，符合题意.∵直线在两坐标轴上的截距之和为0当直线过原点时，可设的方程为，将点P（1,2）带入得∴此时为;当直线不经过原点时，可设的方程为，将点P（1,2）带入得∴此时为综上可得直线的方程为或.18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=πr2•2r=2π，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积；........ ................试题解析：（1）设底面圆的直径为，由题可知∴∴圆柱的侧面积（2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，∴可得边长AB=∴三棱柱的体积19. 已知函数是奇函数（是常数），且满足.（1）求的值；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用定义证明.【答案】（1）a=2,b=1,c=0（2）函数在区间单调递减【解析】试题分析：（1）运用奇函数的定义，可得c=0，再由条件得到a，b的方程，解方程组即可得解;（2）运用单调性的定义证明，注意任取，作差，变形，定符号和下结论几个步骤．试题解析：（1）∵是奇函数，所以c=0，且.解得∴a=2,b=1,c=0（2）函数在区间单调递减证明：在区间任取，且令由（I）知∴∵∴∴，即∴函数在区间单调递减20. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：（1）平面；（2）；（3）平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得ABCD是平行四边形，从而AD∥BE，又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，即可证得BE∥平面PAD；（2）根据面面垂直的性质可得PA⊥平面ABCD，故而PA⊥BC；（3）先证CD⊥平面PAD得出CD⊥PD，故而CD⊥EF，再证四边形ABED是矩形得出CD⊥BE，从而CD⊥平面BEF，于是平面BEF⊥平面PCD．试题解析：（1）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，∴BE∥平面PAD．（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PA⊥平面ABCD．∵BC平面ABCD∴PA⊥BC（3）在平行四边形ABED中，AB⊥AD，∴ABED为矩形，∴BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．∵E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21. 已知圆的圆心为点，点在圆上，直线过点且与圆相交于两点，点是线段的中点.（1）求圆的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）直线为或【解析】试题分析:（1）由题可设圆的方程为，因为点在圆上，所以，即可得圆的方程；试题解析：（1）由题可设圆的方程为∵点在圆上∴∴圆的方程为（2）∵点是弦的中点∴由A（-1,0），C（0,3）可得∴即圆心C到直线的距离等于1，当直线的斜率不存在时，直线为，符合题意当直线的斜率存在时，可设直线为∵，得∴直线为,即∴直线为或点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，关键是利用垂径定理构建点到直线的距离，圆的半径，弦长的一半之间的等量关系，注意考虑直线的斜率不存在的情况.22. 已知函数是偶函数，（其中）.（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质有解不等式即可求出函数的定义域；（2）函数是偶函数，所以=，即有由此可求出k的值；（3）函数与的图象有且只有一个交点，即方程在上只有一解，令则，问题转化为关于t的方程（a-1）t2-在（，上只有一解，分三种情况进行讨论即可求得的取值范围.试题解析：（1）∵，且∴∴所以定义域为（2）∵是偶函数∴对任意恒成立即恒成立，∴（3）∵函数与的图象有且只有一个交点∴方程在上只有一解即方程在上只有解令则因而等价于关于的方程在上只有一个解①当时，解得，不合题意②当0＜a＜1时，记h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，其图象的对称轴t=＜0，∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1，∴方程在（，+∞）无解；③当a＞1时，记h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，其图象的对称轴t=＞0，h（0）=﹣1，所以，只需h（）＜0，即（a﹣1）﹣a﹣1＜0，此恒成立，∴此时a的范围为a＞1，综上所述，所求a的取值范围为a＞1．点睛：本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数与方程的思想，关键是把函数与的图象有且只有一个交点，转化为方程在上只有一解，换元法，令则，问题转化为关于t 的方程（a-1）t2-在（，上只有一解，同时也考查了对数的运算性质，考查了计算能力.。