课件导数与微分
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高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
《导数与微分》ppt课件
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
《大学文科数学》PPT课件
在(2,8)处的切线方程是:
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
12
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
19
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
25
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1.3 导数与微分
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
12
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
19
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
25
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1.3 导数与微分
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
导数与微分PPT优秀课件
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分
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2．1 导数的概念
节菜单
2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念 例题解析
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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2．3 函数的微分及其应用
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大一高数第三章 导数与微分 课件
x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
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例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
返回 上页 下页
4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
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( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：
f
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、导数的定义 定义 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 的某个领域内有定 义, 当自变量 x 在 x 0 处取得增量 D x (点 x 0 D x 仍在 该领域内)时, 相应地函数 y 取得增量
D y f ( x 0 D x ) f ( x 0 ); 若 D y 与 D x 之比当
Dx 0
Dx
f ( x ) f ( x0 ) x x0 ;
x0
右导数
f ( x 0 ) lim
f ( x0 Dx ) f ( x0 )
Dx 0
Dx
左右导数 右导数
f ( x 0 ) lim
lim
f ( x0 Dx ) f ( x0 )
dy df ( x ) 或 y , f ( x ), . dx dx
注意: (i) f ( x 0 ) f ( x )
x x0
;
(ii) 导函数(瞬时变化率)是 函数平均变化率 的逼近函数. 完
利用定义求导数 1. 按定义求导的基本步骤: (1) 求函数的增量 D y f ( x D x ) f ( x );
D C f ( q 0 D q ) f ( q 0 ),
故当产量由 q 0 变到 q 0 D q 时,总成本的平均变化率
D C f (q0 D q ) f (q0 ) 为 Dq Dq DC lim 当D q 0 时,如果极限 D q 0 Dq
lim f (q0 D q ) f (q0 )
t t0
瞬时速度
v lim
gt 0 .
请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
o
x
引例2.平面曲线的切线问题 求曲线yf(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率
在曲线上另取一点N(x0Dx y0Dy) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成
v lim Ds Dt
Dt 0
lim
s( t Dt ) s( t ) Dt
Dt 0
.
一、引例
引例1.变速直线运动的瞬时速度 设物体作直线运动所经过的路程为sf(t) 以t0为起始时刻 物体在Dt时间内的平均速度为
Ds f (t0 Dt) f (t0 ) v Dt Dt
完
例2 求函数 f ( x ) C ( C 为常数 ) 的导数. 解
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h
C C lim 0, h 0 h
即
( C ) 0 .
完
例3 设函数 f ( x ) sin x , 求 (sin x ) 及 (sin x ) 解
故
Dy sin D x ( 0 ) lim f lim 1. Dx Dx 0 D x Dx 0
D y f (0 D x ) f (0) D x 0 D x,
当 D x 0 时,
Dy Dx 故 ( 0 ) lim f lim 1. Dx 0 D x Dx 0 D x Dy 由 f ( 0 ) f ( 0 ) 1, 得 f ( 0 ) lim 1. Dx 0 D x
lim ( 2 D x ) 2
Dx 0
完
左右导数 函数 f ( x )在点 x 0 处导数 实质上是函数在这点的 增量与自变量的增量比值的极限,因而根据左右 极限的概念我们可按下列方式引入左右导数的 概念:
左导数
f ( x 0 ) lim
lim
x
f ( x0 Dx ) f ( x0 )
y
x x0
dy y x x 0 , f ( x 0 ), dx
x x0
或
df ( x ) dx
x x0
,
f ( x0 Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x 0 ) lim lim . Dx 0 D x Dx 0 Dx f ( x0 h) f ( x0 ) h
D C f (q0 D q ) f (q0 ) 为 Dq Dq DC lim 当D q 0 时,如果极限 D q 0 Dq
lim f (q0 D q ) f (q0 )
Dq 0
Dq
存在, 则称此极限是产量 完
为 q 0 时的总成本的变化率.
上面三个例子分别属于不同领域,一为 运动问题，一为几何问题,一为经济问题， 但都要求计算函数值的改变量与自变量的 改变量之比, 在当自变量的改变量无限趋于 零时比值的极限.此外,很多理论或实际问题, 也要求计算这种类型的极限,脱离这些量的 具体意义，抓住它们在数量关系上的共性, 便得出函数导数的概念.
尼茨从第二个问题出发, 分别给出了导数的概念. 完
瞬时速度 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝ s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时 刻t0 +Δ t 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δ t 这 段时间内,物体的位移是:
引言 从 15 世纪初文艺复兴时期起, 欧洲的工业、农 业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展, 形成 了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲, 正处在 资本主义萌芽时期, 生产力得到了很大的发展. 生产 实践的发展对自然科学提出了新的课题, 迫切要求 力学、天文学等基础科学的发展, 而这些学科都是 深刻依赖于数学的, 因而也推动了数学的发展. 在各
类学科对数学提出的种种要求中, 下列三类问题导
引言 类学科对数学提出的种种要求中, 下列三类问题导 致了微分学的产生: (1) 求变速运动的瞬时速度; (2) 求曲线上一点处的切线; (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结 为 函数相对于自变量变化而变化的快慢程度, 即所 谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发, 莱布
左导数
注: 该定理常被用于判定分段函数在分段点处 是否可导. 完
补例求函数
解 当 D x 0 时,
sin x , f (x) x,
x0 x0
,
在x 0 处的导数.
D y f ( 0 D x ) f ( 0 ) sin D x 0 sin D x ,
(2) 如果函数 y f ( x ) 在开区间 I 内的每点处都可 导, 就称函数 f ( x ) 在开区间 I 内可导;
(3) 如果 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导, 且 f ( a ) 及
f ( b ) 都存在, 就称 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ]上可导;
Dx 0
Dx
f ( x ) f ( x0 ) x x0 .
x x0
定理 1 函数 f ( x )在点 x 0 处可导
f ( x 0 ) 和右导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
f ( x 0 ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A
函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间[a b]上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可 导 且在a点有右导数、在b点有左导数
关于导数的几点说明 (4) x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的导数值, 这
个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数, 记作
lim f (q0 D q ) f (q0 )
Dq 0
Dq
存在, 则称此极限是产量
产品总成本的变化率
当产量由 q 0 变到 q 0 D q 时, 总成本相应的改变量为
D C f ( q 0 D q ) f ( q 0 ),
故当产量由 q 0 变到 q 0 D q 时,总成本的平均变化率
2 2
2Dx (Dx ) ,
2
利用定义求导数
例1
解
求函数 y x 在 x 1 处的导数 f ( 1 ).
2
当 x 由1变到 1 D x 时, 函数相应的增量为
D y (1 D x ) 1
2 2
2Dx (Dx ) ,
2
Dy 2 Dx, Dx
所以
Dy f ( 1 ) lim Dx 0 D x
Dq 0
Dq
存在, 则称此极限是产量
产品总成本的变化率 当产量由 q 0 变到 q 0 D q 时, 总成本相应的改变量为
D C f ( q 0 D q ) f ( q 0 ),
故当产量由 q 0 变到 q 0 D q 时,总成本的平均变化率
D C f (q0 D q ) f (q0 ) 为 Dq Dq DC lim 当D q 0 时,如果极限 D q 0 Dq
D x 0 时的极限存在, 则称函数 y f ( x ) 在点 x 0
处可导, 并称这个极限为函数 y f ( x ) 在点 x 0 处 的导数, 记为
dy y x x 0 , f ( x 0 ), dx
x x0
或
df ( x ) dx
x x0
,
导数的定义 的导数, 记为 即
Dy f ( x Dx) f ( x) (2) 求两增量的比值 ; Dx Dx Dy lim . (3) 求极限 y D x 0 Dx
例1
求函数 y x 在 x 1 处的导数 f ( 1 ).
2
解 当 x 由1变到 1 D x 时, 函数相应的增量为