导数与微分(经典课件)
高等数学课件(导数、微分)详细
x
x
x
当 x 0时 ,y在 1和 1之间振荡而 . 极限 x
f(x)在 x0处不 . 可导
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 . f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5、 曲 线 yex在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为
__________________.
二、在下列各题中均假定f (x0 ) 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出A 表示什么？
1、lim f (x) f (x0 ) A；
xx0
x x0
2、lim f (h) A，其中f (0) 0且f (0)存在； h0 h
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0 )和 右 导 数 f (x 0 )都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★
设函 f(x 数 ) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
解 ylilm oa(x gh )loax g
h 0
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
《导数与微分》ppt课件
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
《高数四导数与微分》课件
以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数 展开成泰勒级数，从而可以用简 单的多项式来近似复杂的函数。 这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似 值的误差大小。例如，在求函数 在某一点的近似值时，可以通过 微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导 数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数 为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数 为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其 导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函 数图像上某一点处的切线与x轴正方向 的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的 导数f'(x)表示函数图像上该点处的切 线斜率。具体来说，当函数在某点x处 可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03
高等数学导数与微分ppt
h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式， 由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如， 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)
导数与微分PPT优秀课件
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
前页 后页 结束
三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
高数课件导数与微分
比值
y x 反映自变量
x0 x0 x 时，函数的
平均变化率； 导数 f ( x0 ) 反映函数在点x0处的瞬时变化率，
即函数随自变量变化而变化的快慢程度；
若函数y = f(x)在区间（a,b）内每一点都可导 ，则称函数y = f(x)在区间（a,b）内可导； 导函数简称导数
求导数的步骤
时，把 y 看成中间变量，按照复合函数
的求导法则先对 y 求导，再对 x 求导。
例 2-31 求由方程 e x xy e y 0 所确定的函 数 y 对自变量 x 的导数 例 2-32 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 所确定 的隐函数y 对自变量 x 的导数
例 2-33 求曲线 x 2 y 2 25 上点（3,-4）处
{
(t )与y (t ) 都可导，
且
(t ) 0 ，则由参数方程所确定的函数（参
y 的导数为 f ( x)
数式函数）
dy dy dt yt (t ) , 或y x dx dx xt (t ) dt
x (1sin ) 例2-37 求参数方程 的导数 y cos
u v u v （2）u*v也是x的可导函数，且 （u v）
（3）u (v 0) 也是x的可导函数，且 ( u ) u v 2 u v (v 0) v v v 1 u 特别 C u ( x) C u( x), ( ) (u 0) u u2
x 2 x , x 1 2 x 3 , x 1
在点x =
左极限=右极限=函数值 左导数=右导数
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
第导数与微分19页PPT
12
2.8 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
微分形式的不变性
无论 x是自变量还是,函 中数 y间 f变 (x)量
的微分形式 d总 yf是 (x)dx
中国地质大学远程教学
13
谢谢！
中国地质大学远程教学
11
2.7 微分的求法 基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限为函y数 f (x)
在点x0处的导数,记为y
dy xx0 , dx
或df(x)x x0Βιβλιοθήκη dxxx0 , 即
y x x 0 l x i 0 x y m l x i 0 f( m x 0 x x ) f( x 0 ) .
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3
2.1 导数的定义（续）
单侧导数 1．左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2．右导数:
典型例题（续4）
例4 设 y x (sx )icx o n ,求 s y .
解 yy(lyn )
y (x l n cx o ls n sx i) n
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导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。
教学难点：导数的概念。
教学方法：讲授与练习。
学习学时：3学时。
一、导数的定义：1．引入（背景）：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。
直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(limt t t s t s v t t --=→。
问题2。
曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。
在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：00)()(tan x x x f x f k --==α，当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 00)()(limx x x f x f k x x --=→.2．导数的定义：以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。
定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限00()(limx x x f x f x x --→）存在，则称函数f 在点0x处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或.0x x dx dy= 定义1'令0x x x -=∆，)()(00x f x x f y -∆+=∆，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝.)()(lim lim 00000xx f x x f x ydx dy x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆= 即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1．已知函数2)(x x f =，求).1('f解：2)1(lim 11lim 1)1()(lim)1(1211'=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1)1(lim )1()1(lim)1(0200'=+∆=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆x xx x f x f f x x x 。
例2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f ，求).0('f解：.01s i n lim 0)0()(lim)0(00'==--=→→xx x f x f f x x 例3．已知函数x x f =)(，求).0('f解：⎩⎨⎧<->==--01010)0()(x x x x x f x f，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4．已知函数3)(x x f =，求).0('f解：+∞===--→→→3203001lim lim 0)0()(lim x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。
二、导数的几何意义：通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗？（不一定，如3x y =在0点）。
y=f(x)0'<f 0'>f 0'=f 0切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-； 法线方程（点斜式）：)()(100'0x x x f y y --=-。
例5．求曲线3x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解： 3)1(lim 11lim 1)1(lim 213111=++=--=--=→→→=x x x x x y y dx dy x x x x ，∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；法线方程：)1(311--=-x y ，即：.043=-+y x三、可导与连续的关系：1．定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。
证明：函数f 在点0x 可导，由导数定义知00)(lim lim limlim 0'0000=⋅=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x ，所以f 在点0x 连续（P69最下式）。
2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。
如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。
yx x f =)(0 x例6．证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
其中)(x D 为狄利克雷函数：⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x x x D 01)(。
证明：当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理5.1便知它在0x x =处不可导；当00=x 时，0)(lim 0)0()(lim)0(00'==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数：若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。
1．定义：定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为： xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--=++→∆→+)()(lim )()(lim )(000000'； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为： .)()(lim )()(lim )(000000'xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--=--→∆→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：定理5.2 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'⇔函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且 .)()(0'0'a x f x f ==-+例7．设函数⎩⎨⎧<≥-=00cos 1)(x x x x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。
解：由于⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆∆-=∆-∆+010cos 1)0()0(x x x xx f x f ，所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(20200'=∆⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅=∆∆=∆∆-=+++→∆→∆→∆+x x x xx x x f x x x ， 11l i m )0(0'==-→∆-x f . 由定理5.2可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数：1．可导函数：若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。
2．导函数：区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在If在区间I上的导函数，简称为导数，记作,,,),(''dxdydxdfyxf即：Ixxxfxxxfx∈∆-∆+=→∆,)()(lim)('（求解时只需将x看作固定常量即可）。
例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）：（1）常函数Cxf=)(，（其中C为常数）；（2）三角函数xxfxxf cos)(,sin)(==；（3）对数函数)0,1,0(log)(>≠>=xaaxxfa.解：（1）()0lim)(lim'=∆-=∆∆+=→∆→∆xxxxfCxx，即：()0'=C；（2）()xxxxxxxxxxfxxfxxxx∆∆∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆2sin)2cos(2limsin)sin(lim)()(limsin'xxxxxxcos)2cos(22sinlim=∆+⋅∆∆=→∆，即：()xx cossin'=；类似可求出：()xx sincos'-=.（3）())1(log1limlog)(loglim)(limlog'xxxxxxxxxxfxaxaaxxa∆+⋅∆=∆-∆+=∆∆+=→∆→∆→∆exxxx axxaxlog1)1(log1lim=∆+=∆→∆，即：().1ln,log1log'xxexxaa==六、函数极值：1．极值定义：定义3 若函数f在点0x的某邻域)(xU内对一切)(xUx∈有)()(xfxf≥（)()(xfxf≤），则称函数f在点x取得极大（小）值，称点x为极大（小）值点，称)(xf为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。