导数与微分(经典课件)
导数与微分
引 言
导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；
3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念
教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义
出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。
一、导数的定义：
1．引入（背景）：
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确
定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)
()(t t t s t s v --=
，
当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0
0)
()(lim
t t t s t s v t t --=→。
问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0
0)
()(tan x x x f x f k --=
=α，
当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→.
2．导数的定义：
以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0
0()(lim
x x x f x f x x --→）
存在，则称函数f 在点0x
处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或
.0
x x dx dy
= 定义1'
令0x x x -=?，)()(00x f x x f y -?+=?，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝
.)()(lim lim 00000x
x f x x f x y
dx dy x x x x ?-?+=??=→?→?= 即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1．已知函数2)(x x f =，求).1('f
解：2)1(lim 11lim 1
)1()(lim
)1(1211'
=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1
)1(lim )1()1(lim
)1(0200'
=+?=?-?+=?-?+=→?→?→?x x
x x f x f f x x x 。 例2．已知函数?????=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f ，求).0('f
解：.01
s i n lim 0)0()(lim
)0(00
'
==--=→→x
x x f x f f x x 例3．已知函数x x f =)(，求).0('f
解：??
?<->==--0
10
10)0()(x x x x x f x f
，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4．已知函数3)(x x f =，求).0('f
解：+∞===--→→→32
03
001
lim lim 0)0()(lim x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。
二、导数的几何意义：
通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)
(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'
x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗？（不一定，如3
x y =在0点）。
y=f(x)
0'
切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-； 法线方程（点斜式）：)()
(1
00'
0x x x f y y --
=-。 例5．求曲线3x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解： 3)1(lim 11lim 1
)1(lim 213111=++=--=--=→→→=x x x x x y y dx dy x x x x ，
∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；
法线方程：)1(3
11--=-x y ，即：.043=-+y x
三、可导与连续的关系：
1．定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。 证明：函数f 在点0x 可导，由导数定义知00)(lim lim lim
lim 0'0
000
=?=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x ，
所以f 在点0x 连续（P69最下式）。 2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。
如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。 y
x x f =)(
0 x
例6．证明函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。 其中)(x D 为狄利克雷函数：??
?=为无理数
当为有理数
当x x x D 01)(。
证明：当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2
x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理5.1便知它在
0x x =处不可导；
当00=x 时，0)(lim 0
)
0()(lim
)0(00
'
==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数：
若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。
1．定义：
定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为： x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=+
+
→?→+)
()(lim )()(lim )(000000'
； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为： .)()(lim )()(lim )(000000'
x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=--
→?→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：
定理5.2 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'?函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且 .)()(0'0'a x f x f ==-+
例7．设函数?
??<≥-=00
cos 1)(x x x x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。
解：由于
??
?
?????-=?-?+0
10cos 1)0()0(x x x x
x f x f ，
所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(2
0200'=???????? ??
???=??=??-=+++
→?→?→?+x x x x
x x x f x x x ， 11l i m )0(0
'
==-
→?-x f . 由定理5.2可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数：
1．可导函数：
若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。 2．导函数：
区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I
f在区间I上的导函数，简称为导数，记作
,
,
,
),
('
'
dx
dy
dx
df
y
x
f
即：I
x
x
x
f
x
x
x
f
x
∈
?
-
?
+
=
→
?
,
)
(
)
(
lim
)
(
'（求解时只需将x看作固定常量即可）。
例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）：
（1）常函数C
x
f=
)
(，（其中C为常数）；
（2）三角函数x
x
f
x
x
f cos
)
(
,
sin
)
(=
=；
（3）对数函数)0
,1
,0
(
log
)
(>
≠
>
=x
a
a
x
x
f
a
.
解：（1）()0
lim
)
(
lim
'=
?
-
=
?
?
+
=
→
?
→
?x
x
x
x
f
C
x
x
，即：()0
'=
C；
（2）()x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x?
?
?
+
=
?
-
?
+
=
?
-
?
+
=
→
?
→
?
→
?
2
sin
)
2
cos(
2
lim
sin
)
sin(
lim
)
(
)
(
lim
sin
'
x
x
x
x
x
x
cos
)
2
cos(
2
2
sin
lim
=
?
+
?
?
?
=
→
?
，
即：()x
x cos
sin'=；类似可求出：()x
x sin
cos'-
=.
（3）())
1(
log
1
lim
log
)
(
log
lim
)
(
lim
log
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
a
x
a
a
x
x
a
?
+
?
?
=
?
-
?
+
=
?
?
+
=
→
?
→
?
→
?
e
x
x
x
x a
x
x
a
x
log
1
)
1(
log
1
lim
=
?
+
=
?
→
?
，
即：().
1
ln
,
log
1
log'
x
x
e
x
x
a
a
=
=
六、函数极值：
1．极值定义：
定义3 若函数f在点0x的某邻域)
(
x
U内对一切)
(
x
U
x∈有)
(
)
(
x
f
x
f≥（)
(
)
(
x
f
x
f≤），则
称函数f在点
x取得极大（小）值，称点
x为极大（小）值点，称)
(
x
f为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
y
a
1
x
2
x0
3
x
4
x b x
说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一；
②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；
③若f 在点0x 取得最值，当0x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当0x 为区间内部的点时，
则此最值一定是极值。
2．费马（Fermat ）定理：
从图象上可以看到，若点0x 为函数f 的极值点，且点())(,00x f x 处曲线的切线存在（f 在0x 点可导），那么此切线应平行于x 轴（0)(0'=x f ）。从而有：
定理5.3 (费马定理) 若点0x 为函数f 的极值点，且f 在0x 点可导，则必有0)(0'=x f . 证明：这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。
设0x 为函数f 的极大值点，则对一切)(0x U x ∈都有)()(0x f x f ≥，于是， 当0x x >时：
0)()(00≤--x x x f x f ；当0x x <时：.0)
()(0
0≥--x x x f x f
由函数极限的保不等式性有： 0)()(lim )(000'
≤--=+
→+x x x f x f x f x x 且0)
()(lim )(000'0
≥--=-
→-x x x f x f x f x x ， 又知)(0'x f 存在，故由定理5.2便知0)(0'=x f 。
说明：①稳定点：称满足0)(0'=x f 的点0x 为函数f 的稳定点（求法：解方程0)(=x f ）；
②稳定点不一定是极值点（如函数3
x y =，点0=x 为稳定点但不是极值点）；
③极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数x x f =)(，点0=x 为极值点但不是稳定点）。
y y
3x y = x y = 0 x 0 x
3．达布（Darboux ）定理：
定理5.4 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数f 在[]b a ,上可导，且)()(''b f a f -+≠，k 为介于)
('
a f +与)('
b f -之间的任一实数，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得.)('
k f =ξ
y
)('
a f + )('
b f -
a 0
b x
证明：不妨设)()(''b f a f -+>，则)()(''a f k b f +-<<（此处介于指不等式严格成立）
引入函数[]b a x kx x f x F ,,)()(∈-=
)(x f 在[]b a ,上可导，由定理5.1知)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F ∴在[]b a ,上连续，
由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点[]b a ,∈ξ，使得)(ξF 为)(x F 在[]b a ,上的最大值， 欲利用费马定理来证0)('=ξF ，需证以下两个方面： （ⅰ）ξ为)(x F 在[]b a ,上的极大值，只需证a ≠ξ且b ≠ξ； （ⅱ）)(x F 在点ξ=x 可导；
为此：[][]a
x ka a f kx x f a x a F x F a F a x a x ----=--=++
→→+)()(lim
)
()(lim )('
[][])1(0)(lim )()(lim )()()(lim ' >-=---=----=+
→→→+++k a f k a
x a f x f a x a x k a f x f a x a x a x
同理：[][]b
x kb b f kx x f b x b F x F b F b x b x ----=--=--→→-)()(lim )()(lim
)('
[][])2(0)(lim )()(lim )()()(lim ' <-=---=----=-
→→→---k b f k b
x b f x f b x b x k b f x f b x b x b x
[][]x kx x f x x k x x f x x F x x F x F x x ?--?+-?+=?-?+=→?→?)()()(lim )()(lim
)(00'
[])3()()()(lim
'0 k x f x
x k x f x x f x -=??--?+=→?
（1）式说明：[]b a a U ,)(??+，对一切)(a U x +∈都有
0)
()(>--a
x a F x F ，所以)()(a F x F >，于是a 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即a ≠ξ； （2）式说明：[]b a b U ,)(??-，对一切)(b U x -∈都有
0)
()(<--b
x b F x F ，所以)()(b F x F >，
于是b 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即b ≠ξ；
（3）式说明：对一切()b a x ,∈，)('
x F 都存在，则对()b a ,∈ξ，)('
ξF 当然存在，且有
k f F -=)()(''ξξ。
从而，由费马定理便知0)()('
'
=-=k f F ξξ，即有)).,(()('
b a k f ∈=ξξ
第3章-微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关 系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于 直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim ()x x f x → 那么就在0 x 附近展开。如果极限是 lim ()x f x →∞ ，
导数与微分(经典课件)
导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 §1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确 定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→.
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是: 2、导数的多种变式定义： lim 丄一x) f °)是描述趋近任意 x 时的斜率。而 x 0 3、I 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到 的就是这点的斜率一一导数。 4、可导与连续的关系: 1基础总结 lim -= lim x 0 x x 0 f(x X)f(x) x lim x x o f(x ) f (x o ) X o 叫 号严可以刻画趋近具体 x0 时的斜率。 li m o 要注意细心观察发现,
导数的实质是定义在某点的左右极限。 既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。 不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。如： f(x) x,x 0 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义: 万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如: A 旦主^謎I C m F 左电鼓 pg 总生戟乞 f ( x) f (x) -中的f(x))至u 底是神马。比如求上图 lim f(x x) f(x) x 0 x lim f(X X)f(0) 。 x 0 定义里面需要用到f(0)啊！因此，千 中 iim f (x )论) x 1 x x 0 ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！ 定义解决时候一定要注意问。 X X o
高等数学导数与微分练习题
作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。
高等数学考研大总结之四导数与微分
第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()() 00,x f x f y x x x -=?-=?则()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量 增量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极 限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0 x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限
导数与微分重点知识归纳
导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的
概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则
导数与微分知识点
第二章 导数与微分 一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则
导数与微分总结
arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。
第2章 导数与微分总结
1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：
导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三） 第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点： ⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。 )(x f 在点0x x =处可导是指极限 x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 0) ()(lim x x x f x f x x --→ 函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。 曲线 )(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为 )())((000x f x x x f y +-'= 函数 )(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点 不一定可导。 ⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 ⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法 （5）参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数 x x y 2 )1(-= ，求 y '。 在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即 2 12 12322 21 2)1(- +-=+-= -= x x x x x x x x y 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 23 21 21 2 123- ---='x x x y 这样计算不但简单而且不易出错。 又例如函数 3 2 1 -+= x x y ，求 y '。 显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得
高等数学导数与微分练习题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x
导数与微分单元归纳
学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
导数与微分单元复习
第二章 导数与微分 学习目标： 1.了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念 2.理解导数和微分的概念 3.掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则 2.1导数的概念 2.1．1问题的引入（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义） 1 .变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为s =s (t )， 求该物体在 0t 时刻的瞬时速度.设在 0t 时刻物体的位置为s ( 0t ).当经过0t + t Δ时刻获得增量 t Δ时，物体的位置函数s 相应地有增量),()(00t s t t s s -?+=?于是比值 ()(),00t t s t t s t s ?-?+=?? 就是物体在0t 到 0t +t Δ这段时间内的平均速度,记作 v ， ()().00t t s t t s t s v ?-?+=??=即 当t Δ很小时，v 可作为物体在 0t 时刻的瞬时速度的近似值. 且t Δ越小，v 就越接近物体在 0t 时刻的瞬时速度，即 ()().lim lim lim )(000000t t s t t s t s v t v t t t ?-?+=??==→?→?→? 就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限. 产品总成本的变化率 设某产品的总成本C 是产量Q 的函数，即C =C (Q )，当产量Q 从 0Q 变到 Q Q ?+0时，总成本相应地改变量为 )()(00Q f Q Q f C -?+=? 当产量从0Q 变到Q Q ?+0时，总成本的平均变化率Q Q f Q Q f Q C ?-?+=??)()(00 当0→?Q 时，如果极限Q Q f Q Q f Q C Q Q ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限是产量为0Q 时总成本的变化率。
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）；左右邻域、空心邻域、 有界集。 3、初等函数：正割函数sec是余弦函数cos的倒数；余割函数是正弦函数的倒数；反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量：无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比 较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质：局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理（适当放缩）、单调有界定理(单调有界数列必有极限）。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性：定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点：第一类间断点和第二类间断点，左、右极限都存在的是第一类间断 点，第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点. 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续. 17、求导法则与求导公式：函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0）Δx.
(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系. 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数. 4、 会求分段函数的导数. 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数. 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数. §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
高数第二章导数与微分的知识点总结
2015考研数学:导数与微分的知识点总结 来源：文都教育 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面都教授给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）21 (arcsin )'1x x =- （12）21(arccos )'1x x =-- （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+
第二章导数与微分总结
第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'() y f x x x f x -=--. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -=
（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11 ）(arcsin )'x =（12 ）(arccos )'x = （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （ 15[ln(x += 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 ''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数21 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11'()'()'(()) g y f x f g y ==. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数