导数与微分ppt课件

M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点
处的切线方程为： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )而. 当 时,曲f (线x0 ) 在 的切f (线x) 方程M为0
x x0
当 f (x0 ) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k1 y
(3x 2 ) 12,
x2
x2
k2
1 k1
1 12
于是所求的切线方程为: y 8 12(x 2)
即 12x y 16 0
法线方程为: y 8 1 ( x 2) 12
即 x 12 y 98 0
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2.1.4 可导性与连续性的关系
第2章 导数与微分 本章共六节，大体上分为 两部分。其中第一部分是导数 ，第二部分是微分，从结构上 来说它们是平行的。
结束
2.1 导数的概念
2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 y f的(x图) 像如图所示, 在曲线上任取两点 M( x0 , y0 ) 和 N( x0 x, y0 y)，作割线
(2)算比值: (3)取极限:
y 2x x x
y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
特别地, (x) 1. (n 1)
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例4 求曲线 y 在x3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
解:因为 (x3 ) ,由3x导2 数几何意义,曲线
当产量从Q0 变到 Q0 Q 时，总成本的平均变化率
C C (Q0 Q) C (Q0 )
Q
Q
当 Q 趋0向于0时，如果极限
lim C lim C(Q0 Q) C(Q0 )
Q Q0
Q0
Q
存在，则称此极限是产量为 Q0 时总成本的变化率。
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2.1.2 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 y f ( x0 x) f ( x0 ),
y lim
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C(Q0 Q) C(Q0 )
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.
证
因为f
(x)在点x0处可导，故有
f
( x0
)
lim
x0
y x
.
根据函数极限与无穷小的关系,可得:
y x
f
(
x0
)
，其中 li ( x0 ) x x
由此可见:
lim
x 0
M，N 割线的斜率为
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x0 x0 x x
kMN
tan
y x
f (x0 x) x
f (x0)
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这里为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，
当 x 时0，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率，即
k tanθ lim tan x0
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M0时的极限位置M0P，因而当 x 0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所以，导数 f (x0 ) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
若 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
f'( x0 )或y'
|
x
x0
,
或
dy dx
|
x
x0
,
或
df dx
| xx0
.
或
f'( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
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三、导数的几何意义
当自变量x0从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0 (x0 , f (x0 )). 变到M (x0 x, f (x0 x)).
此时x为割线两端点M0，M
的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为xy 过M0，M两点的 割线的斜率.
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导数定义与下面的形式等价：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意
味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念
都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f (x0) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
y f ( x x) f ( x)
( x x)2 x2 2xx (x)2
右导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) , x x0
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.
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• 书上50页还有几个常见的形式，值得注意的是其 中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候 使用。另外，导数为无穷只是个记号，不代表导 数存在。
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三、左导数与右导数
左导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).