全等三角形的判定(五)
5种判定三角形全等的方法
5种判定三角形全等的方法判定三角形全等是几何学中的重要内容之一，意味着两个三角形的所有对应的边和角都相等。
全等的三角形具有相同的形状和大小，并且可以完全重合。
在此文章中，我们将介绍五种常用的判定三角形全等的方法。
方法一：SSS法（边边边法）SSS法是最简单和常用的方法之一、根据SSS法，如果两个三角形的对应边长度相等，则它们是全等的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF 的三条边AB、BC、AC对应相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。
方法二：SAS法（边角边法）SAS法是另一种常用的方法，根据SAS法，如果两个三角形的两个对应边和它们之间的夹角相等，则它们是全等的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应边AB、DE相等，且它们之间的夹角ABC和DEF相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。
方法三：ASA法（角边角法）ASA法是另一种常用的方法，根据ASA法，如果两个三角形的两个对应角和它们之间的一对对应边相等，则它们是全等的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应角∠ABC和∠DEF相等，且对应边AB和DE 相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。
方法四：AAS法（角角边法）AAS法是另一种常用的方法，根据AAS法，如果两个三角形的两个对应角和它们之间的一对对应边夹角相等，则它们是全等的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应角∠ABC和∠DEF相等，且对应边AB之间的夹角与DE之间的夹角相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。
方法五：HL法（斜边-高法）HL法是另一种常用于判定直角三角形全等的方法，根据HL法，如果两个直角三角形的斜边和高相等，则它们是全等的。
在此方法中，由于直角三角形的一个内角为90度，因此通过比较两个直角三角形的斜边和高就足够判断它们的全等性。
这五种方法是判定三角形全等的基本方法，可以结合使用，根据具体的题目情况选择合适的方法进行判定。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等的判定(五)HL判定方法专题训练
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《三角形全等的判定(5)》教案
12.2 全等三角形的判定第5课时一、教学目标（一）学习目标1.熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.2.运用各种全等判定法进行说理，三角形全等的判定和性质的综合应用.3.掌握全等三角形证明的思路，有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.（二）学习重点灵活运用各种方法判定两个三角形全等.（三）学习难点掌握全等三角形证明的思路，综合应用三角形全等的判定和性质.有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.二、教学设计（一）课前设计1．复习任务基本知识回顾（完成表格）判断题(1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（√ ）(2)有两条边对应相等的两个直角三角形全等. （×）(3) 有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等.（×）(4)只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形.（ × ） (5)有一边对应相等的两个等腰三角形全等. （ × ） (6)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. （ √ ） 2．复习自测（1）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于21CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是 （ ）A.SASB.ASAC.AASD.SSS 【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP 与△ODP 的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS 判定方法要求的条件，答案可得． 【解题过程】∵以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ； 以点C ，D 为圆心，以大于21CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ； ∴在△OCP 和△ODP 中⎪⎩⎪⎨⎧===DP CP OP OP OD OC ∴△OCP ≌△ODP （SSS)． 【答案】D(2)如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E 、F 在AD 上，且AE =DF ．求证：△ABE ≌△DCF ．【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】根据平行线的性质求出∠A =∠D ，根据SAS 推出即可． 【解题过程】 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠A =∠D ，在△ABE 和△DCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AE D A C D AB∴△ABE ≌△DCF （SAS ）(二)课堂设计 1. 知识回顾 判定和性质注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形除了对应边相等，对应角相等；还有对应中线，对应高，对应角平分线，对应周长和面积相等． 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS【设计意图】通过对旧知识的复习整理，让知识系统化，明确证明全等的思路,为新知识的学习作铺垫.2. 问题探究探究一：整合旧知，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等．●活动善于挖掘出隐含条件，灵活运用判定证全等.例1：如图，已知∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是_____________.(只需添加一个你认为适合的条件)师提出问题:(1)在△ABC和△DCB中，有隐含条件吗？(2)根据前面对全等三角形证明思路的梳理，本题已知一边一角，可以怎样补充全等的条件呢？学生举手抢答.方法一：补充AB=DC(SAS).方法二：补充∠A=∠D(AAS).方法三：补充∠DBC=∠ACB(ASA).练习：1. 如图，CD与BE相交于点O，AD=AE,AB=AC.若∠B=20°，CD=5cm，则∠C=______，BE=______. 说说理由.【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】找到∠A为公共角这个隐含条件是解决本题的关键.【解题过程】解:∵在△ABE与△ACD中，AD=AE，AB=AC，∠A为公共角，∴△ABE≌△ACD，∴∠C=∠B=20°，BE=CD=5cm．【答案】20°，5cm2.如图，若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=______ .【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】找到对顶角∠AOB=∠COD这个隐含条件是解决本题的关键.【解题过程】解：∵在△AOB与△COD中，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD，∴CD=AB=3cm．【答案】3cm3.如图，已知∠1=∠2，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（）A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.BD=CDD.AB=ACB.【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】C.A.加∠ADB=∠ADC，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA)，故正确；B.加∠B=∠C∵∠1=∠2，AD=AD，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS)，故正确；C.加DB=DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，故错误；D.加AB=AC，∵∠1=∠2，AD=AD，AB=AC，∴△ABD≌△ACD（SAS)，故正确.【答案】C【设计意图】熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.善于挖掘公共边、公共角、对顶角这些隐含的边、角相等的条件！探究二●活动①大胆猜想，寻找思路.例1：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE师提出问题：从BF和DE在图形中的位置可以看出BF和DE分别在哪些三角形中？引导生分析:△ABF和△CDE中或△CFB和△AED中，所以可以通过证△ABF≌△CDE或△CFB≌△AED来达到证BF=DE的目的.【设计意图】问题引领，知道从结论入手的分析方法．●活动②集思广益，探寻三角形全等的条件.问题1：从已知出发,能直接证到上述三角形全等吗?问题2：由已知易证到哪两个三角形全等?它可以为证△ABF≌△CDE准备条件吗?教师引导，学生讨论，得出方法.证明：在△ABC和△CDA中＝DA＝DC＝CA∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴∠CAB=∠ACD．在△ABF和△CDE中=CDCAB=∠ACD=CE，∴△ABF≌△CDE（SAS）．∴BF=DE．【设计意图】教师设计问题链，引导学生思考如何寻求证明全等的条件，初步明确证明题的分析方法.●活动③反思小结，总结方法．回顾上述分析过程，说说证明两个三角形全等如何入手？归纳：证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.（1）综合法：就是从已知条件入手进行推理，逐步向要证明的结论推进。
三角形全等的判定(5)——HL
几何语言描述： 在Rt△ABC与Rt△DEF中
AB=DE AC=DF（或BC=EF）
∴Rt△ABC ≌ Rt △DEF（HL）
B
C
D
E
F
小结
判断两个直角三角形全等的方法有： 第一种：SSS
第二种：SAS 第三种：ASA 第四种：AAS 第五种：HL
精练
1、已知∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC ≌ △BAD，还需一个什么条件？
数学（人教版） 八年级 上册
第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的条件
第五课时 斜边、直角边
课前回顾
判定两个三角形全等的方法： 三边分别相等的两个三角形全等。
（即 “边边边”或“SSS”） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 （即 “边角边”或“SAS”） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 （即 “角边角”或“ASA”）
观察与思考
先任意画一个△ABC，再画一个△AˊBˊC，使△ABC和△AˊBˊC满足上述 六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗？ 满足三个条件： 三个角相等 不一定全等
三条边相等
全等
两边一角相等 两边一角相等
两角一边相等
两角一边相等
两边和它们的 夹角相等Βιβλιοθήκη 全等两边和其中一 边对角相等
不一定全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （即 “角角边”或“AAS”）
学习目标
学习目标 1．探索并理解“HL” 判定方法。 2．会用“HL” 判定方法证明两个直角三角形全等。 3．通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、不断总结的良好思维习惯。 重点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。 难点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
2.5全等三角形的判定(五)
例1 已知：如图，AC与BD相交于点O，且 AB= DC，AC = DB.求证：∠A =∠D.
证明 连接BC. 在△ABC和△DCB中， AB = DC， BC = CB （公共边）， AC = DB ， ∴ △ABC ≌△DCB （SSS）. ∴ ∠A =∠D.
*例2．已知∠BAC =∠DAE，∠1 =∠2，BD = CE， A 试证明△ABC是等腰三角形。 E 提示：先证明△ABD ≌△ACE,从而证得 D AB=AC,即△ABC是等腰三角形。 2 1
A.∠B=∠E，BC=EF C. ∠A=∠D，∠B=∠E
B. BC=EF，AC=DF D. ∠A=∠D，BC=EF
2.如图2，△ACB≌△A′CB′ ，∠BCB′=30°，则∠ACA′ 的度数为（B ）. A.20° B. 30° C. 35° D. 40°
如图,AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于E，由这 些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确 的结论（不要添加辅助线，并选其中一个证明）.
O 在△AOB和 △ AOB 中， OA=OA， AOB= AOB， B′ A′ ， OB=OB ∴ △AOB≌ △ AOB （SAS）. ∴ AB = AB . 因此只要测出 AB 的长度就能得到这座 山
1. 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角 （见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定 方法来判定△ABC≌△DEC.
B C
例3 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道. 为估测这 条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结 合所学知识，你能给出什么好方法吗？ 解 选择某一合适的地点O， 使得从O点能测出AO与BO的长度. 连接AO并延长至A′，使 OA =OA ； 连接BO并延长至B′，使 OB =OB ， 这样就构造出两个三角形. 连接 AB，
备考2021年九年级中考数学复习满分突破训练：全等三角形的性质与判定(五)(含答案)
备考2021年九年级中考数学复习满分突破训练：全等三角形的性质与判定（五）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CD，AD的中点，BE与CF相交于点P．（1）求证：BE⊥CF．（2）若AB＝a．①求CP和AP的长（用含a的代数式表示）．②连结DP，直接写出∠DPF的度数．2．已知四边形ABCD，连接BD，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC．（1）求证AB∥CD；（2）点O为BD的中点，直线EF经过点O，分别交直线CD、AB于点E、F，连接BE，若AB＝BF，请直接写出与△ABD面积相等的三角形．（△ABD除外）3．如图，△BEF和△AGE是等腰直角三角形．（1）探究FG和AB的数量关系并证明；（2）延长FG和AB交于点C，利用图2补全图形，求∠ACF的度数．4．在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3，求△ABC中AB边上的高．（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED 并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D，E分别是AC、AB的中点，P为直线DE上的一点，PQ⊥PC交直线AB于Q．（1）如图1，当P在ED延长线上时，求证：EC+EQ＝EP；（2）当P在射线DE上时，请直接写出EC，EQ，EP三条线段之间的数量关系．8．如图，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在BA，AB的延长线上，AD＝BE．（1）求证：CD＝CE；（2）若EF平分∠DEC交CD，CA于点F，点G，∠ACD＝∠CEF，求证：EF＝AC+AD．9．已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．（1）如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是．（2）如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．10．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点D．（1）请写出图中所有的等腰三角形（△ABC除外）；（2）请你判断AD与BE是否垂直？并说明理由；（3）如果BC＝10cm，求AB+AE的长．参考答案1．解：（1）证明：在△CDF和△BCE中，，∴△CDF≌△BCE（SAS），∴∠CEB＝∠CFD，∵∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠DCF+∠CEB＝90°，∴∠EPC＝90°，∴BE⊥CF；（2）①如图1，延长CF交BA延长线于点M，在△CFD和△MFA中，，∴△CFD≌△MFA（ASA），∴CD＝MA＝AB＝a，∵BP⊥CF，∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a；∵CP⊥BE，∴CP×BE＝CE×BC＝，∵BE＝＝＝a，∴CP＝＝a．②如图2，连接DP，EF，∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝CD，DF＝AD，∵正方形ABCD中，AD＝DC，∠D＝90°，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠D＝∠EPF＝90°，∴D、F、P、E四点共圆，∴∠DPF＝∠DEF＝45°．2．（1）证明：∵DB＝BD，∠ADB＝∠CBD，AD＝CB，∴△ADB≌△CBD（SAS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠F＝∠OED，∠OBF＝∠ODE，∵O为BD的中点，∴BO＝DO，∴△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∵△ADB≌△CBD，∴AB＝CD，S△ADB ＝S△CBD，∵AB＝BF，∴AB＝CD＝BF＝DE，∴S△ADB ＝S△BFE＝S△BCD＝S△BDE．3．解：（1）FG＝AB，理由如下：∵△BEF和△AGE是等腰直角三角形，∴EF＝EB，EA＝EG，∠FEB＝∠AEG＝90°，∴∠FEB﹣∠BEG＝∠AEG﹣∠BEG，即∠FEG＝∠BEA，在△FEG和△BEA中，，∴△FEG≌△BEA（SAS），∴FG＝AB；（2）如图，即为补全的图形，由（1）知△FEG≌△BEA，∴∠EFG＝∠EBA，∵△BEF是等腰直角三角形，∴∠EFB＝∠EBF＝45°，∴∠CFB+∠CBF＝∠CFB+∠EBF+∠CBE＝∠EFB+∠EBF＝90°，∴∠FCB＝90°，∴∠ACF＝90°．4．解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝AB cos45°＝3，∵MC＝2，∴BC＝5，∴AC＝，∴△ABC中AB边上的高＝；（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC＝BD，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠E，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠E．5．解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝＝＝；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．6．解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝，∴点Q的运动速度＝＝cm/s，∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣（）×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．7．证明：（1）过点P作PH⊥PE，交直线AB于H，∵D，E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，∠CAB＝∠B＝∠BCE＝45°，∴AC∥HP，∴∠H＝∠CAB＝45°，∠PEC＝∠BCE＝45°，∴∠H＝∠PEC，△HPE为等腰直角三角形，∴HP＝EP，HE＝EP，∵∠HPQ+∠EPQ＝∠EPC+∠EPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠EPC，∴△HPQ≌△EPC（ASA），∴CE＝QH，∵EH＝QH+EQ，∴CE+EQ＝EP；（2）EP+CE＝EQ．证明：过点P作PG⊥DE交直线AB于G，连接CP，∵D，E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，∠CAB＝∠ABC＝∠BCE＝∠CED＝∠AED＝∠PEG＝45°，∴AC∥HP，∴∠PGE＝∠CAB＝45°，∠PEG＝∠BCE＝45°，∴∠PGE＝∠PEG，∠PEC＝∠PGQ＝135°，∴△GPE为等腰直角三角形，∴GP＝EP，GE＝EP，∵∠GPQ+∠CPG＝∠EPC+∠CPG＝90°，∴∠GPQ＝∠EPC，∴△GPQ≌△EPC（ASA），∴CE＝QG，∵EG+QG＝EQ，∴EP+CE＝EQ．8．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∴∠DAC＝∠EBC＝120°，∵AD＝BE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴CD＝CE；（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE，∵BF平分∠DEC，∴∠DEF＝∠CEF，∵∠ACD＝∠CEF，∴∠ACD＝∠CEF＝∠ACD＝∠BCE，∵∠EGC＝∠AEG+∠BAC＝∠AEG+60°，∠ECG＝∠BCE+∠ACB＝∠BCE+60°，∴∠EGC＝∠ECG，∴EC＝EG，∵∠EGC＝∠AEG+∠BAC＝∠AEG+60°＝∠EFC+∠ACD，∴∠BAC＝∠EFC，即∠EAG＝∠EFC，∴△EFC≌△EAG（ASA），∴EF＝AE，∵AE＝AB+BE＝AC+AD，∴EF＝AC+AD．9．解：（1）PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；（2）证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．10．解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，∵DE⊥BC，∴CD＝DE，∴△EDC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点D，∠BAC＝90°，∴EA＝ED，∴△ADE是等腰三角形，∵BE＝BE，∴Rt△BAE≌Rt△DBE（HL），∴BA＝BD，∴△ABD是等腰三角形，故图中的等腰三角形有：△ABD，△ADE，△EDC；（2）AD与BE垂直．证明：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．∴A、D是对称点，∴AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB＝BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．。
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作业:
课本第16页习题11.2的第7题、第8 题写作业本上.
学习目标
1、掌握“斜边、直角边”判定条件 的内容； 2、能初步应用“斜边、直角边”条 件判定两个三角形全等.
导学
1、对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足 几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A1
A
C
B
C1
B1
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相 等，这两个直角三角形全等吗？
合作交流
如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD. 求证：BC﹦AD.
D C
A
B
展示提升
如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD. 求证：BC﹦AD.
证明： ∵AC⊥BC， BD⊥AD
A B D C
∴∠C=∠D=90°（垂直的定义）
在Rt△ABC和Rt△BAD中
AB=BA(已知）
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL)
AC=BD (已知）
∴BC=AD
1、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆 底部的距离相等吗？请说明你的理由.
巩固生 成
2、如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE.
B
F A E
C
D
1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一 般三角形的判定全等的方法，而且还有直角三 角形特殊的判定方法----“HL” 2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含 条件，所以只须找两个条件即可（两个条件中 至少有一个条件是一对对应边相等）
自学
自学课本第13页“探究8”至 “例4”的内容，然 后完成下列问题：
1.任意画出一个Rt△ABC， 使∠C =90°.再画 一个Rt△A/B/C/，使∠C/=90°,B/C/=BC,A/B/=AB . 并展示你的画法.
2.由探究8你能得到什么结论 ？ 规律：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 写成“斜边、直角边”或“HL”）.