小波分析在反应堆物理中的应用

《核反应堆热工数值分析》课程报告
小波分析简介及其在反应堆物理中的应用
小波分析是近二十年来迅速发展起来的全新数值分析方法， 其基本思想是将 函数用小波基函数来展开， 计算其展开系数。 由于小波基函数具有优良的紧支性， 使得小波基函数可以聚集在研究的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显 微镜”[9]。即小波基函数可以很好的逼近各种剧烈变化的函数，尤其是局部震荡 的函数， 具有非常高的逼近精度。 另外， 小波分析具有多尺度、 多分辨的特性[3]， 能够提供多种基函数作为有限元插值函数， 由此构造的小波基单元可以根据实际 需要任意改变分析尺度， 使在变化梯度小的求解域用大的分析尺度，而变化梯度 大的求解域则采用小的分析尺度。 这是一种优于传统单元网格加密和插值阶次升 高的自适应有限元算法，这种变尺度算法数值稳定性好、运算速度快、求解精度 高。 本文简要介绍了小波基函数的基本性质、 求解小波基函数的展开系数的数值 方法、 以及小波基函数在反应堆物理中的应用，包括用小波基函数离散中子通量 密度中的角度变量、共振能量区间的能量变量，并结合有限元方法的思想，将所 有的变量都用基函数展开，然后带入变分方程，得出一个代数方程组，从而可以 求出展开系数。
（a）尺度函数（b）小波函数
c. Daubechies 小波性质 （1） 紧支性 若小波函数������������ ������ 在区间[a,b]外恒为 0，则称在区间[a,b]上紧支， [a,b]为其 支集；N 阶 Daubechies 小波（记为 DN 小波）的尺度函数������������ ������ 和相应的小波函 数������������ ������ 的支集分别为 Supp������������ ������ =[0,2N-1]，Supp������������ ������ =[1-N,N]。紧支性反应 了尺度函数和小波函数在时域和空域的局部化能力，支集越小的小波，局部化能 力越小。
得出近似的等效积分形式： ������������ ������ ������ ������������ dΩ + ������������ ������ ������������ dΓ = 0;
������
j = 1,2, ⋯ , n
(0-19)
通过选择待定系数������������ ，强迫余量在某种平均意义上等于 0；������������ 和������������ 称为权 函数，余量加权积分为 0 就得到一组求解方程，用以求解近似解的待定系数������������ ， 从而得到原问题的近似解； 任何独立的完全函数集都可以用来作权函数，按照对 权函数的不同选择就得到了不同的加权余量计算方法； 1.配点法： ������������ = ������(������ − ������������ ) 即强迫余量在域内 n 个点上为 0； 2.子域法： 在 n 个子域Ωj 内，������������ = ������，在子域Ωj 外������������ = ������;即强迫余量在 n 个子域内积 分为 0； 3.最小二乘法： 当近似解取 ������ =
1
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j
j,k ( x) 2 2 (2 j x k )
j, k Z
(0-3)
在一定条件下 ������������ ,������ | ������, ������ ∈ ������ 可以构成������2 (������)的基，用它可以表示������(������)
f ( x)
j , k


d j , k j,k ( x)
(0-10)
d j ,k ( f ( x), j,k ( x))
Daubechies 小 波 尺 度 函 数 可 以 精 确 的 表 征 出 不 大 于 N-1 的 幂 级 数 ； Daubechies 小波的紧支性保证了以小波尺度函数作为插值函数构造小波单元时 能以最少的单元自由度最大限度的逼近求解函数； 小波的正交性保证了小波有限 元所形成的的刚度矩阵是稀疏的， 这将大大减少奇异性问题有限元分析的运算量。
4
������������ ������������ d٠= 0;
������ 2 ������ ������������ dΩ = 0, ⋯
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取������������ = ������������ ,边界上������������ = −������������ = −������������ ；即简单的利用近似近似解的试探函数 序列作为权函数； ������������ ������ ������ ������������ dΩ −
i 1
n
(0-16)
其中������������ 为待定参数，������������ 为试探函数。 通常 n 取有限项的情况下近似解不能精确满足微分方程 (0-11)和边界条件 (0-12)，它们将产生残差R以及R： R = ������ ������������ ; R = ������ ������������ 用 n 个规定的函数来代替任意函数������及������，即 ������ = ������������ ; ������ = ������������ (j = 1,2, ⋯ , n) (0-17) (0-18)
n
������������ ������ ������ ������������ dà = 0;
j = 1,2, ⋯ , n
ˆ N i u i Nu ，其中试探函数������������ 为小波函数，即 小波加权余量法中 u u
i 1
场函数利用小波基函数来展开， 利用加权余量法来求其展开系数。 利用其它方法 也可以求得其展开系数，比如有限元方法等，其基本思想与加权余量法类似，具 体过程参考文献[3,8]。
1.1 理论基础
1.1.1 小波函数
a. 小波函数基本概念 小波函数 ( x) 是一个在(−∞， + ∞)区间积分为零的函数[9]， （容许条件）



( x)dx 0
(0-1)
称 ( x) 母小波； “小” 指的是函数的局部性， 积分为零说明 ( x) 含有波动性， 而且正负两个方向的波动是均等的；小波函数经过平移、伸缩可以得到一族小波 函数，即：
1.2 小波方法在反应堆物理中的应用
反应堆物理中要求解中子输运方程，中子输运方程是一个与角度、能量、空 间、 时间相关的 7 个自变量的微分积分输运方程； 一阶稳态中子输运方程形式如 下：
Ω r , E , Ω Σ t r , E r , E , Ω dE Σ s (r , E , Ω ' E , Ω) r , E , Ω ' dΩ Q r , E , Ω
2 N 1 k 0
N ( x )
p
N
(k )N (2 x k )
(0-5)
N ( x)
k 2 2 N

1
qN (k )N (2 x k )
(0-6) (0-7)
qN k (1)k pN 1 k
式中 N 为 Daubechies 小波的阶数。 由于 Daubechies 小波没有显示的数学表 达式，其尺度函数和相应的小波函数通常用数值方法以数表和曲线方式给出； N=6 时， Daubechies 小波的尺度函数������������ ������ 和小波函数������������ ������ 如下：
������ ������=1 ������������ ������������ 时，权函数 ������������
= ������������ ������ ������������ ;此方法实质是使得函
������
������
数 ������������ ������������ dΩ取得最小值； 4.力矩法 强迫余量的各次矩为 0，以一维为例，������������ = 1, ������, ������ 2 ⋯ ������ ������������ dΩ = 0; 5.伽辽金法
f ( x)
j , k


d j , k j,k ( x)
(0-4)
d j ,k ( f ( x), j,k ( x))
b. Daubechies 小波 在数值计算中，通常使用 Daubechies 小波[9]，Daubechies 小波具有紧支性 和正交性；Daubechies 小波没有显式的数学表达式，其尺度函数和小波函数由 以下两尺度方程给出：
a ,b ( x )
1 x b ( ) a a
a, b R, a 0
(0-2)
其中 a 反应了特定函数的尺度（即伸缩情况） ，变量 b 指明了它沿着 x 轴的 平移位置；当 a 和 b 取一系列离散值，如������ = 2������ , ������ = 2������ ������(������, ������ ∈ ������)时，即可以得 到一族小波函数，即：
2
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（2） 正交性 Daubechies 小波是正交小波，其尺度函数������������ ������ 和母小波������������ ������ 满足如下正 交条件：
+∞ ������������ −∞ +∞ ������������ −∞
������ − ������ ������������ ������ − ������ d������ = ������������ ,������
������, ������ ∈ ������
(0-8) (0-9)
������ ������������ ������ − ������ d������ = 0 ������ ∈ ������