313正弦余弦正切的二倍角公式
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
白城实验高中 高一数学 必修4 编号： 2 编制人：苑湛爽 审批人： 包科领导： 2014年____月____日 班级________小组_________学生姓名_______评价________ 第二章 基本初等函数(Ⅰ)第1页 第2页§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1、熟练掌握二倍角公式及变形公式；2、运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明等问题. 【知识点】1、 由两角和的正弦、余弦、正切公式推导：=α2sin ；=α2tan ；=α2cos = = . 2、由二倍角公式推导=±α2sin 1=α2cos ；=α2sin .【典型例题】例1、 已知παπ<<2，且91-cos =α，求α2cos 、α2sin 和α2tan .例2、已知31tan ,71tan ==βα，求)2tan(βα+的值.例3、化简：（1）ααααcos 1cos 2cos 12sin +∙+； （2）θθ44sin cos -；（3）θθtan 11tan 11+--； （4）x x x 2c o s c o s s i n.例4、用二倍角公式证明下列等式：（1）ααα2sin 1)cos (sin 2+=+ （2）αααcos 3cos 43cos 3-=思考：如何用αsin 表示α3sin ?白城实验高中 高一数学 必修4 __导学案第3页 第4页【巩固练习】 1.下列各式中值为23的是（ ） o ocos15A.2sin15o 2o 215sin 15cos .B - 1152sin .C o 2- o 2152cos -1.D2.已知55sin =α，则=-αα44cos sin （ ） .A 51- .B53-.C 51 .D 533.已知53sin =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，那么αα2cos 2sin 的值为（ ） .A23-.B 43-.C 23.D 434.已知212cos =α，其中)0,4(πα-∈，则αsin 的值为（ ） .A 21 .B 21- .C 23 .D 23-5.若312tan=α，则ααcos 1sin += ( ) A. 3 B. 31 C. –3 D. – 316.函数x x y cos sin 4⋅=的最小正周期和最大值是（ ）.A 2,2π .B 2,π .C 1,2π .D 1,π【课堂检测】1不用计算器求值：=︒︒︒︒60cos 40cos 20cos 10sin .2.设α∈（0，2π），若sin α=53，则2cos （α+4π）= .3.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α= .4.已知tan(α+β)=52,tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ=41,那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα= .5.已知x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π,cos x =54,则tan2x = .6.（cos 12sin 12ππ-）(cos 12sin 12ππ+)= .7.若51cos sin =+αα,则=α2sin .三、解答题9.已知函数x x x x x f 22cos cos sin 2sin )(-+=，R x ∈.求)(x f 的最小正周期和单调增区间.。
3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式
2
k ,
2
k
注意：二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其它如 4α 是
a a
a a
2α 的二倍, 是 的二倍, 是 的二倍等。
2 4
3 6
五．课堂小结
1.我们是如何得出倍角公式的。
2. cos的三种形式及其如何用 cos表示 sin2, .
cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) 2 cos 2 1
（3） tan 2 tan
tan tan
2 tan
．
1 tan tan
1 tan 2
（二）例题讲解
α－β)；
sin(α＋β)＝______________________(S
sinαcosβ＋cosαsinβ
α＋β)；
sinαcosβ－cosαsinβ
sin(α－β)＝_____________________(S
α－β)；
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ α＋β)；
tan(α＋β)＝________________(T
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
tan(α－β)＝________________(T
)．
α－β
你能根据两角和的正弦、余弦
、正切公式推出二倍角的正弦
、余弦、正切公式吗？
（二）公式推导
•
（三）得出结论
二倍角的三角函数
cos 2 cos sin 1 sin sin 1 2sin
2
2
2
2
2
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
3,1,3二倍角的正弦,余弦,正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[知识探究]二倍角公式S(α+β)S2αC(α+β)C2α利用sin2α+cos2α=1T(α+β)T2α题型一化简求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ12cos5π12;(2)2cos2π12-1;(3)22tan1501tan150-.解:(1)原式=cosπ12sinπ12=12×2cosπ12sinπ12=12sinπ6=14.(2)原式=cos(2×π12)=cosπ6.(3)原式=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°题后反思 (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简.在应用时,应找到化简思路后再动手化简.(2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系,灵活运用二倍角公式解题,通过观察角度的关系,发现其特征(二倍角形式),创造条件正用或者逆用二倍角公式,使得问题得以解决.跟踪训练11:(2014公安一中、宜昌一中、沙市一中期末)在直角坐标系xOy 中,若角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线l:y=2x(x≤0). (1)求tan 2α的值;(2)求22cos 2sin(π)127π)4ααα----的值.解:(1)在终边l 上取一点P(-1,-2),则tan α=21--=2, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=22212⨯-=-43.(2)22cos 2sin(π)127π)4ααα----=cos 2sin π)4ααα++ =cos 2sin cos sin αααα+-=12tan 1tan αα+-=51-=-5. 题型二 条件求值【例2】 (1)设α为锐角,若cos （α+π6）=45,则sin （2α+π12）的值为 .(2)已知sin （π4-x ）=513,0<x<π4,则cos 2πcos()4xx +的值为 . 解析:(1)∵α为锐角, ∴α+π6∈（π6,2π3）.又∵cos（α+π6）=45,∴sin（α+π6）=35,∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2425,cos（2α+π3）=2cos2（α+π6）-1=725∴α∈（0,π2）,∴sin（2α+π12）=sin[（2α+π3）-π4]=sin（2α+π3）cos π4-cos（2α+π3）sin π4=2425-725.(2)∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4.又∵sin（π4-x）=513,∴cos（π4-x）=1213.∵cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）=2cos[π2-（π4-x）]cos（π4-x）=2cos（π4+x）cos（π4-x）,∴cos2πcos()4xx=2cos（π4-x）=2413.答案:(1)(2)2413题后反思 (1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公式求解.(2)遇到角π4±x时可借助诱导公式进行转化求解.如①cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）;②cos 2x=sin （π2+2x ）=2sin （π4+x ）cos （π4+x ）; ③sin 2x=cos （π2-2x ）=2cos 2（π4-x ）-1; ④cos （π4-x ）=sin[π2-（π4-x ）]=sin （π4+x ）;⑤sin （π4-x ）=cos[π2-（π4-x ）]=cos （π4+x ）等. 跟踪训练21:(2014石家庄第一中学期末)已知tan （α+π4）=12,且-π2<α<0,则22sin sin 2πcos()4ααα+-= . 解析:tan （α+π4）=tan 11tan αα+-=12解得tan α=-13, ∵-π2<α<0,∴sin α=∴22sin sin 2πcos()4ααα+-2sin sin cos ααα+.答案 题型三 给值求角【例3】 已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β. 解:∵tan α=tan[(α-β)+β] =tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--=112711127-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=13>0,且α∈(0,π),且tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34. ∵tan β=-17<0,且β∈(0,π), ∴β∈（π2,π）,∴-π<α-β<0.∵tan(α-β)=12>0, ∴-π<α-β<-π2, ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭=1,∴2α-β=-3π4. 题后反思 解决给值求角问题的关键:根据角的取值范围及题目条件中函数名称选择求解一个适当的三角函数值.跟踪训练31:已知A 、B 均为钝角,且sin A=55,sin B=1010求A+B 的值. 解:∵A 、B 均为钝角且sin A=, ∴, , ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B ×（）, ① 又∵π2<A<π,π2<B<π, ∴π<A+B<2π, ② 由①②得,A+B=7π4. 【自主练习】1. 已知sin 22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈（0,π2）.求sin α,tan α的值.解:由倍角公式,得sin 2α=2sin αcos α,cos2α=2cos2α-1,由原式得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos2α=0,即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0⇔2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.因为α∈（0,π2）,所以sin α+1≠0,cos 2α≠0.所以2sin α-1=0,即sin α=12.所以α=π6.所以2.已知α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0.求证α+2β=π2 .证明:由已知得3sin2α=cos 2β,①3sin 2α=2sin 2β.②①②,得tan α=cos2sin2ββ=πsin22πcos22ββ⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭=tan（π2-2β）因为α,β为锐角,所以0<β<π2,则0<2β<π,则-π<-2β<0,所以-π2<π2-2β<π2,所以α=π2-2β,即α+2β=π2.3∈(0,π)).解:原式=︱sin2θ+cos2θ︱-︱sin2θ-cos2θ︱.∵θ∈(0,π),∴2θ∈（0,π2）. (1)当2θ∈（0,π4]时,cos 2θ≥sin 2θ>0,此时原式=sin2θ+cos2θ-cos2θ+sin2θ=2sin2θ.(2)当2θ∈（π4,π2）时,cos 2θ<sin 2θ, 此时原式=sin2θ+cos2θ-sin2θ+cos2θ=2cos2θ.4.已知sin α-∈(0,π),则sin 2α等于( A )(A)-1 (D) 1解析:∵sin α-∴(sin α-cos α)2=2, ∴sin 2α=-1,故选A.5.若cos （π4-θ）cos （π4+θ）（0<θ<π2）,则 sin 2θ的值为( B )(A)解析:cos （π4-θ）cos[π2-（π4-θ）]=,即cos （π4-θ）sin （π4-θ）,即12sin （π2-2θ）,∴cos 2θ=3. 又∵0<θ<π2, ∴0<2θ<π,∴sin 2θ. 故选B. 6.已知sin x=14,则cos 2x= . 解析:cos 2x=1-2sin 2x=1-2×（14）2=78. 答案:78课堂小结1.二倍角公式是两角和公式的特例.公式中的“倍角”是相对的.如“α是2的2倍,2α是α的2倍”. 2.二倍角的余弦公式有三个cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,要注意根据条件选取合适的公式.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
将公式变形运用.
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材 P132～133，思考并完成以下问题 能利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
法二：原式＝（ （ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）2－（cos2θ－sin2θ） θ）2＋（cos2θ－sin2θ）
＝（（ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）[（sin θ）[（sin
θ＋cos θ＋cos
θ）－（cos θ）＋（cos
θ－sin θ－sin
θ）] θ）]
＝22csions θθ＝tan θ.
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[解析] (1)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
(2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°
＝2(－sin 15°)cos 15°＝－2sin 15°cos 15°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°＝sin
80°cos 80° 8sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
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[课后小结] 1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的二 倍；α3是α6的二倍；2αn是2nα＋1的二倍(n∈N*)．
正弦、余弦与正切的二倍角公式
二倍角公式
倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α
=2cos2α–1
=1 –2sin2α；
tan 2
1
2
tan tan2
.
k Z
2
k
,
4
k
2
思考倍角公式的几何意义？
例1 已知
sina
=5 13
，p2 <a
<p
求 sin 2a ，cos 2a ，tan 2a 的值.
复习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin ( C(-) )
cos(+)= coscos－sinsin( （C(+) )
sin(-)= sin cos - cos sin ( S(-) )
sin(+)= sin cos +cos sin （S(+) )
tan17gtan43 tan17gtan30 tan43gtan30=__1____
注意：公式的变形
公式应用 题组三
己知 tan 与tan 是一元二次方程3x2 5x 2 0 的两根，且0 90 180 (1)求
变式:求 tan tan
注意：利用根与系数的关系
tan(60 ) tan(30 ) 1 tan(60 )gtan(30 )
__3 _______
3
1 tan 75 ____3_____ 1 tan 75 注意：转化为特殊角、公式的正用与逆用
活用“1”的变换
公式应用 题组二（不查表求值） tan15 tan30 tan15•tan30=_1______
3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， 即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是 的二倍角， 是 的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ， ＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋ ，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。
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必修4 第三章 三角恒等变换
(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)
＝2((11＋＋ssiinn
θ)2＋2cos2θ θ)2－cos2θ
＝2si4n(1θ＋(1＋sinsiθn) θ)＝sin2 θ.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．对二倍角的理解及二倍角公式的应用形式 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是32α 的二倍角；α 是α2的二倍角；α3 是α6的二倍角；… 又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
必修4 第三章 三角恒等变换
记法
公式
S2α sin2α＝__2_si_n_α_c_o_s_α___
C2α
cos2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__1_－__2_s_in_2_α__ ＝__2_c_o_s2_α_－__1_
T2α
2tanα
tan2α＝__1_－__t_a_n_2α___
必修4 第三章 三角恒等变换
弦、正切公式的记 忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形 公式的应用．(难点)
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．如右图(甲)所示，已知弓弦的长度AB＝2a， 弓箭的长度MN＝2b(其中MA＝MB， MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A、B 的连线的距离相等(如右图(乙)所示)，设∠AMN ＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值即tan 2α 的值吗？
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
∴cos π4－x＝1123， sin π4＋x＝sin π2－π4－x＝cos π4－x＝1123
119 ∴原式＝11629＝111596.
13
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
二倍角公式的应用——化简 化简：(1)cocsos107°0(°1＋1＋3ctoasn4100°°)；
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栏目导引
∴sin2α＝2sin αcos α＝2×－153×－1132＝112609， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×－1532＝111699， tan 2α＝csoins 22αα＝111290.
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二倍角公式的应用——给角求值
栏目导引
2.余弦的二倍角公式的变形
必修4 第三章 三角恒等变换
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1．计算 1－2sin2 22.5°的结果等于( )
1
2
A.2
B. 2
C.
3 3
D.
3 2
解析：
1－2sin222.5°＝cos
45°＝
2 2
答案： B
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2．已知 sin α＝23，则 cos (π－2α)( )
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(2)当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和 诱导公式，将条件与结论沟通．
cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.
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类似这样的变换还有： cos 2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x， sin 2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1，
＝1s6insin16200°°
＝116.
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方法三：构造对偶式列方程求解
令 x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos
70°. 则 xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
π4＝
2 2
π
(3)原式＝2(12－tatnan82π8)＝12tan
π 4
＝12
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二倍角公式的应用—给值求值 已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜π4，求cocsosπ42＋xx 的值．
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tan 2α与tan α之间存在怎样的关系呢？
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2．我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式， 若α＝β时，你能得出sin 2α，cos 2α，tan 2α的 公式吗？
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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
栏目导引
3.化简：(1)sin 123°t(a4nco1s22°1－2°3－2)；
1＋sin (2)1＋sin
θ－cos θ＋cos
θθ＋11＋＋ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
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解析： (1)原式＝2(2cosc32os1sin21°21－°2°1－)si3n 12°
sin 2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等等．
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2.若例题条件不变，求sinsinπ42＋xx的值． 解析： ∵sin 2x＝cos π2－2x ＝1－2sin2π4－x ＝1－2×1532＝111699， ∵x∈0，π4，∴π4－x∈0，π4， 又∵sin π4－x＝153，
10°＝212cos
10°＋
3 2 sin
10°
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2.
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(2)原式＝2csoisnπ4π4－2－coααs2·αco－s21π4－α ＝2sinπ42－coαs2α·c－os1π4－α ＝2ccooss2α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
求下列各式的值：
(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°；
(2)sin2π8－21；
(3)
1
π －tan
π 12.
tan 12
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由题目可获取以下主要信息： ①(1)中的角有二倍关系， ②(2)、(3)中只含有一个角. 解答本题可逆用二倍角公式化简求值.
＝1 40°cos sin 20°
80°
＝14·sin
40°cos sin
40°cos 20°
80°
＝18·sin
80°cos 80° sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
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(2)原式＝cos2π8－sin2π8＝cos
＝116.
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方法二：先将正弦变成余弦，再逆用二倍角公式
原式＝cos 80°·12·cos 40°·cos 20°
＝2sin
20°cos 20°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin88s0in°c2o0s°80°
∴sin α＝－ 1－cos2 α＝－45
tan α＝43 tan 2α＝1－2tatannα2 α＝12－×43432 ＝－274
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4．已知 cos α＝－1123，α∈π，32π，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值．
解析： ∵cos α＝－1123，α∈π，32π， ∴sin α＝－ 1－cos2 α＝－153.
＝12sin
1 20°·2sin
1 100°·2sin
140°
＝18sin 20°sin 80°sin 40°
＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y.
∵y≠0，∴x＝18.从而有 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝116.
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栏目导引
[规范作答] ∵x∈0，π4， ∴π4－x∈0，π4，2 分 又∵sinπ4－x＝153， ∴cosπ4－x＝11234 分 又 cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x
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＝2×153×1123＝112609.8 分 cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x ＝sinπ4－x＝153，10 分
必修4 第三章 三角恒等变换
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1.求下列各式的值．
(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
(2)cos
π8－sin
π8cos
π8＋sin
π8；
π tan 8 (3)1－tan2π8.
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解析： (1)由于 cos 60°＝21
所以原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°
＝2si3ns1in2°1c2o°s－123°ccooss1224°°
＝2
3(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°) sin 24°cos 24°
＝4 3sisni(n1428°－° 60°)＝－4 3.