浙江专用版高考数学大一轮复习第七章不等式75绝对值不等式教师用书04150237

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第七章不等式 7.5 绝对值不等式教师用书1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.【知识拓展】|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( ×)(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( ×)(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.(√)(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √)(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．( ×)1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)答案 A解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为( )A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－∞，－1) D．(－∞，0)答案 B解析根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( )A．[2,4] B．[1,2]C．[－2,4] D．[－4，－2]答案 C解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a ≤4.4．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]．题型一 绝对值不等式的解法例1 (2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象可知，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.思维升华 解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)1解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．(2)∵32∈A ，且12∉A ，∴|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32，又∵a ∈N *，∴a ＝1.题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 答案 (1)C (2)5 解析 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．(1)关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)[1，＋∞) (2)[1,3]解析 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴|x ＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]． 题型三 绝对值不等式的综合应用命题点1 绝对值不等式和函数的综合例3 (2016·桐乡一模)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c ∈R ，定义域为[－1,1]， (1)当a ＝1，|f (x )|≤1时，求证：|1＋c |≤1；(2)当b >2a >0时，是否存在x ∈[－1,1]，使得|f (x )|≥b? (1)证明 ∵|f (－1)|＝|1－b ＋c |≤1， |f (1)|＝|1＋b ＋c |≤1，∵|1－b ＋c ＋1＋b ＋c |≤|1－b ＋c |＋|1＋b ＋c |≤2， ∴|2＋2c |≤2，∴|1＋c |≤1. (2)解 由b >2a >0，得－b2a <－1，则f (x )在[－1,1]上递增， ∴f (x )∈[a －b ＋c ，a ＋b ＋c ]． ①当a ＋c >0时，a ＋b ＋c >b >0，此时有|f (1)|≥b ，即存在x ＝1，使得|f (x )|≥b 成立． ②当a ＋c <0时，a －b ＋c <－b <0，此时有|f (－1)|≥b ，即存在x ＝－1使得|f (x )|≥b 成立． ③当a ＋c ＝0时，f (x )∈[－b ，b ]，存在x 使得|f (x )|≥b 成立． 综上，存在x ＝±1使得|f (x )|≥b 成立．思维升华 (1)恒成立问题可转化为函数的最值问题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决． 命题点2 绝对值不等式和数列的综合例4 (2016·浙江样卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列{|a n －12|}为单调递减数列；(2)记S n 为数列{|a n ＋1－a n |}的前n 项和，证明：S n <53(n ∈N *)．证明 (1)由题意知a n >0，故|a n ＋1－12||a n －12|＝|12a n ＋1－12||a n －12|＝12a n ＋1<1，∴数列{|a n －12|}为单调递减数列．(2)∵a 1＝1，a 2＝13，∴当n ≥3时，|a n －12|<16，得13<a n <23，故a n ≥13(n ∈N *)．∴|a n ＋1－12||a n －12|＝12a n ＋1≤35.∴|a n ＋1－a n |＝|a n ＋1－12＋12－a n |≤|a n ＋1－12|＋|a n －12|，∴S n ＝|a 2－a 1|＋|a 3－a 2|＋…＋|a n ＋1－a n |≤|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a n －12|＋|a 2－12|＋|a 3－12|＋…＋|a n ＋1－12|≤12[1－35n]1－35＋16[1－35n]1－35<121－35＋161－35＝54＋512＝53.思维升华 (1)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩．(2)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以当a ＝－3时，f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．16．绝对值不等式的解法典例 不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3的解集为_____________________．思想方法指导 对|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法，一般可采用三种方法求解：几何法、分区间讨论法和图象法．解析 方法一 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－32；当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3，不成立，无解；当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3，所以x ≥32.综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 方法二 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.方法三 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离之和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1，到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3. ∴原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 B解析 |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2. 2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1} D ．{x |x <－1或x >1} 答案 A解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4， ∴3x 2<3，∴－1<x <1.方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋x －或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－x －＋x －不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上可得－1<x <1，∴原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 3．函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 y ＝|x －1|＋|x ＋3|＝|1－x |＋|x ＋3|≥|1－x ＋x ＋3|＝4， 当且仅当(1－x )(x ＋3)≥0，即－3≤x ≤1时取“＝”． ∴当－3≤x ≤1时，函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|取得最小值4. 4．在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1 (x ∈R )的解集是( ) A ．(0,4) B ．[0,2] C ．[0,4] D ．(－2,2)答案 C解析 由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1， 即0≤|x －2|≤2，∴－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4.5．若不存在实数x 使|x －3|＋|x －1|≤a 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，2) C ．(0,2) D ．(1，＋∞)答案 B解析 |x －3|＋|x －1|的几何意义为数轴上表示x 的点到表示3和1的点的距离之和，所以函数y ＝|x －3|＋|x －1|的最小值为2，实数a 的取值范围是(－∞，2)．6．(2016·杭州质检)不等式|x －1|＋|x －2|≤5的解集为________．答案 [－1,4]解析 |x －1|＋|x －2|表示数轴上的点到点1和点2的距离之和．如图，点A 和点B 之间的点到点1和点2的距离之和都小于5.∴原不等式的解集为[－1,4]．7．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，对f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是__________．答案 6 [－1,1]解析 f (－2)＝|2×(－2)－1|－2＋3＝6；f (x )≤5⇒|2x －1|＋x ＋3≤5⇒|2x －1|≤2－x ⇒x －2≤2x －1≤2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ⇒－1≤x ≤1.8．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.9．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于数轴上的点到点3和点4的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.10．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 答案 (5,7)解析 由|3x －b |＜4，得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3， ∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤－4＋b 3＜1，3＜4＋b 3≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7. 11．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2.综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5.若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是[－1,9]．12．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以12≤x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.13．设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求x 的取值范围．解 (1)由f (x )≤x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，－1<x <1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2，∴f (x )≤x ＋2的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3(当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时，取等号)，∴由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，解不等式，得x ≤－32或x ≥32.。