导学案不等式与不等关系

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高中数学《不等关系与不等式》导学案

第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________．答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机．拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系．解依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小．解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断．第二步：判断差值与零的大小关系．第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a 1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)．答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________．答案 m m >2m解析由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a 1，所以(x －1)(x 2＋1)>0，所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a 0，②综合①②知ab <0，又因为a 45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a 1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c 0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0，即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0，不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ；当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ；当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。

人教A版数学必修五《不等式与不等关系》导学案

高中数学必修5 1.1.2《不等式与不等关系》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1﹑感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的背景. 2﹑知道不等式的一些基本性质.3、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【重点难点】▲重点：1、不等式的基本性质.2、一元二次不等式的解法.▲难点：1、一元二次不等式的解法.2、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.【知识链接】20XX 年经济危机风暴继续在世界各国漫延，我国的房地产业受到很大的冲击，20XX 年8月深圳房价20570元/2m ，而到了10月房价低于19680元/2m ，这三个月内平均降价的百分比是多少？你能列出不等式求解吗？【学习过程】阅读课本第72页至第73页的内容，去刻画客观事物的基本数量关系，尝试回答以下问题：知识点1:不等关系与不等式基本性质问题1﹑完成课本第74页练习1、2，并举出几个现实生活中与不等式有关的例子.问题2﹑不等式的基本性质：性质1：对称性a bba性质2：传递性 ,a b bcac性质3：可加性a bac bc性质4：可乘性,0a b cacbc性质5：加法法则,a b c d a c b d 性质6：乘法法则0,0a b c d acbd性质7：乘方法则0(,2)nn a b a b nN n 性质8：开方法则0(,2)nnaba b nN n练习： 1、比较22xax 与2223a a 的大小(,)a x R点拨：可用作差法比较大小，解题步骤：作差分解因式或作差确定符号判断大小阅读课本第76页至第77页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 一元二次不等式的解法问题1、从课本第77页的图3.2-2可知，一元二次方程的根就是二次函数的零点. 问题2﹑观察图3.2-2知： ①当x ，函数位于x 轴上方，此时y 0，即25xx 0. ②当x，函数位于y 轴下方，此时y 0，即25xx 0.问题3、从以上问题1、2中可知观察函数图像可获得不等式解集问题4、如何确定一元二次不等式20(0)ax bx c a或20(0)ax bx c a 的解集.练习：解不等式①28150xx ②223x x点拨：首先判断其所对应的一元二次方程判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及二次项函数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法.知识点3: 一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的联系.24b ac2(0)y ax bx c a的图像20(0)ax bx c a 的根20(0)ax bx c a 的解集20(0)ax bxca解集知识点4:一元二次不等式及可转化为一元二次不等式的指、对、分数不等式的解法例1、求不等式24410xx 的解集问题1、先求方程24410x x 的根，再根据二次函数2441yx x 的图像写出解集问题2、你能归纳求解一般一元二次不等式的过程吗？请试一试例2、解不等式201x x问题1、若0ab，则只需a 与b 同号，即00ab b，则分式不等式201x x 可转化为：问题2、尝试写出本题的完整过程例3、求解不等式2lg()lg(3)xx x点拨：利用对数函数单调性脱去对数符号时，必须使原不等式中的所有真数均大于零，而不仅仅是变形后的最简不等式中的真数大于零【基础达标】 A1、解不等式①22150x x ②221x x ③222x xB2、解不等式222312513()3x x x x . C3、解不等式222306x x x xC4﹑定义在(1,1)上的奇函数()f x 在定义域上式减函数，且2(1)(1)0f a f a ，求a 的取值范围. D5、若不等式20x px q 的解集为|12x x，求不等式22056x px q xx 的解集【小结】【当堂检测】若已知二次函数()yf x 的图像过原点，且有1(1)2f ，3(1)4f ，求(2)f 的范围.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

不等关系与不等式导学案

两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
〔跟踪练习 3〕已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－ec>b－ed. [解析] 证法一：∵c<d<0，
∴－c>－d>0.
又 a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0<a－1c<b－1d. ∵e<0，∴上式同乘 e得 0>a－ec>b－ed，不等式得证．证法二：a－ec－b－ed＝e[ba－－dc－b－a－dc]
又 a＞b，∴a＞0，b＜0.故⑤正确．
综上可知，命题②、③、④、⑤都正确．
『规律总结』不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的
取值范围等．
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：
[错解] ∵12<a<60,15<b<36，∴12－15<a－b<60－36，1152<ba<6306，∴－3<a－
b<24，54<ba<53.
[辨析] 错解中直接将 12<a<60,15<b<36相减得 a－b的取值范围，相除得ba的取值
范围而致错．
[正解] ∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，
(2)由 a－a1＝a－1aa＋1 当 a＝±1时，a＝a1；当－1＜a＜0或 a＞1时，a＞a1；当 a＜－1或 0＜a＜1时，a＜a1.

高中数学《不等关系与不等式》导学案

第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。

教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。

二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

3.1 不等关系与不等式导学案

【例 2】已知 a b ， c d ，求证 a c b d
自主检测
1．用不等式表示下面的不等关系：（1） a 与 b 的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高
4 m” ；
总结提升
通过本节课的学习，你收获了什么？
（3）如图，在一个面积为 350 m 2 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
自主检测
1．求证 2 7 3 6 ． Nhomakorabea 复习回顾
1．不等式的基本性质有哪些？
2．比较下列各组中两个代数式的大小：（1） x 2 5 x 6 与 2 x 2 5 x 9 ；自主探究（阅读课本 57～62 页） ※ 探究任务一：阅读并感受分析法如何解决不．．．等式的问题求证： 3 6 2 2 7 ．证明：要想证明 3 6 2 2 7 ，因为 3 6 0 ， 2 2 7 0 ，只需证明 15 6 6 15 4 14 ，即只需证明 3 6 2 14 ，即只需要证明 54 56 ，显然这是成立的，即可证得 3 6 2 2 7 ．分析法（也叫执果索因法）是从结论入手，倒．．．着求使它成立需要的条件，直到得到已知条件或者得到一种事实为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知” ． ※ 探究任务二: 作差比较法的理论依据（1） a b 0 a b （2） a b 0 a b （3） a b 0 a b 从这三个式子我们得到这样的启示，比较两个数的大小，我们只需考察这两个数的差．这种方法叫作差比较法．（4） x 2 y 2 1 与 2 x y 1 ．（3）当 x 1 时， x 3 与 x 2 x 1 ；（2） x 3 与 x 2 x 4 ．

高中数学导学案不等式关系

第三章不等式§3.1不等式与不等关系第1课时【授课类型】新授课【教学目标】1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学重点】同目标2【教学难点】同目标3【教学过程】1、情境导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

2、展示目标下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。

3、检查预习（1）用不等式表示不等关系限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v404、合作探究（2）用不等式表示不等关系某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩5、交流展示引例：b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再加入m 克糖（m ＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式。

6、精讲精练例题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

山东省高中数学《3.1不等式与不等关系》导学案新人教

第三章不等式3.1不等式与不等关系班级：组名：姓名：设计人：赵帅军审核人：魏帅举领导审批：一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 批注教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。

教学用具：投影仪教学方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二．研讨互动，问题生成在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒>（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<三．合作探究，问题解决1、不等式的基本性质证明：（1）,a b b c a c >>⇒>（2）a b a c b c >⇒+>+（3）,0a b c ac bc >>⇒>（4）,0a b c ac bc ><⇒<2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>例1、已知0,0,a b c >><求证： c c a b >。

初中数学八年级《不等关系与不等式》教学设计导学案

不等关系与不等式(1)教学目标：知识目标：了解不等式的意义•能力目标：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力• 情感目标：1、感受生活中存在着大量的不等关系•2、初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一教学重、难点：1、重点：不等式的意义•2、难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力o 教学准备：教学设计过程：一、创设情境：1、下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？(1)公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h) 表示汽车的速度，怎样表示V与40之间的关系？b5E2RGbCAP(2)据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000C o设太阳表面的温度为t「C)怎样表示t与6000之间的关系？p1EanqFDPw(3)天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。

设每个乒乓球的质量为x (g)，怎样表示x与5之间的关系？DXDiTa9E3d(4)小聪与小明玩跷跷板。

大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体质量为p (kg)，书包的质量为2 kg，小明的身体质量为q (kg)，怎样表示p,q之间的关系？RTCrpUDGiT(5)要使代数式有意义，x的值与3之间有什么关系？二、探究新知：2、议一议：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同的特点？像v<40, t >6000, 3x>5, q<p+2, x工3 这样，用符号“v” (或“w”)，“〉” (或“》”)，“工”连成的数学式子，叫不等式(inequality )。

这些用来连接的符号统称不等号(inequality symbol ) 5PCZVD7H XA3、讲解例题例1根据下列数量关系列不等式：(1)a是正数；(2)y的2倍与6的和比1 小;(3)x2减去10不大于10;(4设)a, b, c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.3、做一做：(1)已知X1=1, X2=2,请在数轴上表示出X1, X2的位置；(2)x< 1表示怎样的数的全体？4、归纳：x<a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内(如图5—4)；x>a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内(如图5一5); b v x v a (b v&=表示大干b而小于a的全体实数，在数轴上表示如图5一 6.你能在数轴上分别类似地表示X > a, X< a和b< X V a ( b V a=吗？jLBHrnAlLg5、讲解例2一座小水电站的水库水位在12〜20m (包括12m 20m)时，发电机能正常工作。

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不等式与不等关系
考纲要求
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析
1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点．
2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、低档．
3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程
基础梳理
一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ； a －b ＜0⇔ . 二、不等式的基本性质
1.对称性a >b ⇔
2.传递性a >b ，b >c ⇒
3.可加性a >b ⇒
4.可乘性 a >b c >0⇒ ，
⎭
⎬⎫
a >
b
c <0⇒
5.同向可加性
⎭
⎬⎫
a >
b
c >
d ⇒
6.同向同正可乘性
⎭
⎬⎫
a >
b >0
c >
d >0⇒
7.可乘方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)
8.可开方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)
两条常用性质
① a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1
b
② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m
a ＋m
；
双基自测
1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定
2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0
3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________．
5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c
以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．
1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c 的符号”等都需要注意．
2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在大小比较中的作用．
典例分析
考点一、比较大小
[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >y
y ＋b .
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·杭州模拟)已知a >b ≥2.现有下列不等式： ①b 2>3b －a ；②ab >a ＋b .其中正确的是 ( ) A ．① B ．② C ．①② D ．都不正确
2．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、
b 、
c 的大小关系是( )
[冲关锦囊] 比较大小的方法 1．作差法：
其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 2．作商法：
其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法：
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.
考点二、不等式的性质
[例2] (2011·全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( )
A ．a >b ＋1
B ．a >b －1
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·义乌模拟)设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是
( )
A ．a －b >0
B ．a ＋b >0
C ．a 2－b 2>0
D ．a 3＋b 3<0
4．(2012·天津调研)已知三个不等式：①ab >0；②c a >d
b ；③b
c >a
d .以其中两个作条件，余下一
个作结论，则可组成________个正确命题．
[冲关锦囊]
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.
考点三、不等式性质的应用
[例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1
a”的
()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的
( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
一、选择题
1．(2011·长沙一模)若a，b∈R，则下列命题正确的是()
A．若a>b，则a2>b2B．若|a|>b，则a2>b2
C．若a>|b|，则a2>b2D．若a≠|b|，则a2≠b2
2．(2011·泉州质检)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．不确定
3．设a ，b 是非零实数，若a b ，则1a <1b ，q ：若1
ab <0，则ab <0.给出以下3个复合
命题，①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
7．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤
a
y ＞b
x
这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
三、解答题
8．已知a >0，b >0，试比较M ＝a ＋b 与N ＝a ＋b 的大小．
9．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f (α)＋f (β)＋f (γ)的值的与0的关系．
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1<v 2. 甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，
乙所用的时间t 乙＝2s
v 1＋v 2
，
∴t 甲t 乙
＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2
＝v 21＋v 2
2＋2v 1v 24v 1v 2
>4v 1v 24v 1v 2
＝1. ∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室．。

导学案不等式与不等关系

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不等关系与不等式导学案

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