高中数学人教A版选修2-1 常用逻辑用语单元综合测试 (5)

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高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题(整理含答案)

高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题时间：90分钟满分：120分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞02．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A2＞tan∠B2.其中正确的命题个数是()A．0个B．1个C ．2个D ．3个7．下面说法正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≥0”B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题8．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧綈q ”是假命题C ．命题“綈p ∨q ”是真命题D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9．下列结论错误的是( )A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”B ．设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题D ．“∃α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题 10．给出下列三个命题： ①若a ≥b ＞－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．12．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________．14．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．16．(12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．(12分)设命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0－a＝0.命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．(14分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题时间：90分钟满分：120分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0＞0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞0解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．答案：D2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若(2x－1)x＝0，则x＝12或x＝0，即不一定推出x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．答案：B3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命题．答案：B4．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4是|a |＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：命题p 为假，因为当x ＜0时，2x ＞3x .命题q 为真，因为f (x )＝x 3＋x 2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f (x )必存在零点．所以綈p ∧q 为真命题，故选B.答案：B6．在三角形ABC 中，∠A ＞∠B ，给出下列命题： ①sin ∠A ＞sin ∠B ；②cos 2∠A ＜cos 2∠B ；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：当∠A 、∠B 均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当∠B 为锐角，∠A 为钝角或直角时，又有∠A 、∠B 为三角形的内角，所以π2≤∠A ＜π，0＜∠B ＜π2，∠A ＋∠B ＜π，即π4≤∠A 2＜π2，0＜∠B 2＜π4，∠B ＜π－∠A ＜π2，即tan ∠A 2＞tan ∠B 2，sin ∠B ＜sin(π－∠A )＝sin ∠A ，cos ∠B ＞cos(π－∠A )＝－cos ∠A ≥0，所以cos 2∠A ＜cos 2∠B .答案：D7．下面说法正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≥0”B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题解析：对A 选项，命题的否定是：“∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，故不正确，对于B 选项，由x ＞yA /⇒x 2＞y 2，且x 2＞y 2A /⇒x ＞y ，故不正确．对于C 选项，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”为真命题，故不正确．对于D 选项，若α＝0，则cos α＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．答案：D8．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧綈q ”是假命题C ．命题“綈p ∨q ”是真命题D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：∵p 真，q 假．故p ∧q 为假，p ∧綈q 为真．綈p ∨q 为假，綈p ∧綈q 为假，选D.答案：D9．下列结论错误的是( )A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”B ．设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题D ．“∃α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题解析：根据逆否命题定义知A选项正确．由正切函数单调性，可判断B选项正确．D 选项作为特称命题正确，对于C选项，“綈p∧q”为假，则綈p，q中至少一个为假，故p∨q真假不定，故选C.答案：C10．给出下列三个命题：①若a≥b＞－1，则a1＋a≥b1＋b；②若正整数m和n满足m≤n，则mn－m2≤n2；③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①a1＋a≥b1＋b⇒1－11＋a≥1－11＋b⇒11＋a≤11＋b，又a≥b＞－1⇔a＋1≥b＋1＞0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2(x＞0，y＞0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真命题．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．解析：∵命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个．答案：1个12．命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax 2－2ax －3≤0对于任意的实数x 恒成立，(1)当a ＝0时，符合条件；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，即－3≤a ＜0.由(1)、(2)得实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－3}．答案：－3≤a ≤013．若不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵|x －1|＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a ，又∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a ≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥3，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵“p ∧q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题．由p 为真命题得a ≤1.由q 为真命题得a ≤－2或a ≥1. ∴当p ，q 同时为真时，有a ≤－2或a ＝1. 答案：a ≤－2或a ＝1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．(3分)否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b ＜0.(6分)逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ＜0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．(9分)原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． (12分)16．(12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2， ∴1≤x ≤5.∴綈p ：x ＜1或x ＞5.(4分) q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.(8分) 又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4.(12分)17．(12分)设命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－a ＝0.命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当命题q 为真时，(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2＞0且16－4(a ＋2)(a －1)≤0，即a ≥2.(6分)由题意得，命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；当命题p为假，命题q为真时，得a∈∅；∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)18．(14分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞13或a＜－1.乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a＜－12或a＞13}．(7分)(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|13＜a≤1或－1≤a＜－12}．(14分)。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2D ．[)1,22．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 03．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝4．下列四个命题中，真命题的个数是（） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．45．命题“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．14a ≥-B ．14a >C ．12a ≥-D ．12a >-6．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真7．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣1在（0，+∞）上单调递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分要也不必要条件8．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题p ：函数1()(0)f x x x x=+>最小值是2；命题q ：若1a b >，则a b >.下列说法正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假 D ．非p 为真 10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列三个命题：①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件；③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．012．“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．给出以下四个结论： ①函数()211x f x x -=+的对称中心是1,2；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC 中，“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后为奇函数，则ϕ最小值是π12. 其中正确的结论是______14．已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+（x ∈R ），写出0y >的充要条件________. 15．关于以下结论： ①*n N ∀∈，22n n ≤；②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期为π； ③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥； ④20182019log 2019log 2020>．以上结论正确的个数为______． 16．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________.17．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 18．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 19．已知命题p ：不等式01xx <-的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论: ①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________20．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在中，“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是；其中正确的命题的是________．三、解答题21．已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．22．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．23．（1）已知命题p ：()20a a a R -<∈，命题q ：对任意x ∈R ，都有()2410x ax a R ++≥∈，若命题“p 且q ”为假命题，命题“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知集合{}22|440A x x x a =-+-≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知0c >,设p ：函数x y c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 25．已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2<f a ，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且AB =∅．（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题；（3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0mS T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U =R ，T S ⊆，求m 的取值范围．26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()min21xa <=.由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以221a a -<<⎧⎨≥⎩，可得12a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x ﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确；由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.3．D解析：D 【解析】试题分析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以根据复合命题的真值表得A 、B 、C 均为假命题，故选D ．考点：本题考查复合命题真假的判断．点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．4．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．B解析：B 【分析】“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题，可得()2mina x x≥+，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出. 【详解】解：因为“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题，所以()22minmin 111244a xx x ⎡⎤⎛⎫≥+=+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此上述命题得个充分不必要条件是14a >. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题，故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当0a <时，10a<， 211()()1f x a x a a ∴=---，在(0,)+∞上单调递减，当0a =时，则()21f x x =--在(0,)+∞上单调递减，∴ “0a <”是“函数2()21f x ax x =--在(0,)+∞上单调递减”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．本题属于基础题．8．C解析：C 【分析】结合余弦函数在()0,π上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案. 【详解】先来判断充分性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，由A B C <<可得0πA B C <<<<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos cos A B C >>，故充分性成立；再来判断必要性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且0πA <<，0πB <<，0πC <<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，且cos cos cos A B C >>，所以0πA B C <<<<，即A B C <<，故必要性成立.所以“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假；举例说明命题q 为假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】由0x >时，得1122x x x x+⋅=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），∴命题p 为真命题；当4a =-，2b =-，满足1ab>，但a b <，故命题q 是假命题． p ∴或q 为真；p 且q 为假；非p 为假．故选：A ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题．10．C解析：C 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．B解析：B 【分析】对各个命题分别判断．【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错．因此有2个命题正确．故选：Ｂ．【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．12．A解析：A 【分析】由椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，分类讨论求得1c =或5c =时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22360mx y m +-=可化为22162x y m+=，当03m <<时，4c ==，解得1c =，当3m >时，4c ==，解得5c =，即当1c =或5c =时，椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，所以“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．①【分析】对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①其图象由的图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到故的对称中心为即①正确；对于②由可得令且显然函数在上单调递减则又因为时故在的值域为所以当时关于解析：① 【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，()213211x f x x x -==-++，其图象由3y x =-的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故()f x 的对称中心为1,2，即①正确；对于②，由10x k x -+=，可得1k x x=-. 令()1g x x x=-，且()0,1∈x ，显然函数()g x 在()0,1∈x 上单调递减，则()()10g x g >=，又因为0x →时，1+x x-→∞，故()g x 在0,1的值域为0,，所以当0k ≤时，关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，即②错误；对于③，先来判断充分性，当cos cos b A a B =时，可得sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，即B A =，所以ABC 为等腰三角形，不能推出ABC 为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当ABC 为等边三角形时，可得B A =，则sin cos sin cos =B A A B ，故cos cos b A a B =，即必要性成立，故③不正确；对于④，()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，得到()πsin 223g x x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()g x 为奇函数，可得πsin 203φ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则()π2π3φk k +=∈Z ，解得()ππ26k φk =-∈Z ，当1k =时，ϕ取得最小正值为π3，故④不正确.所以，正确的结论是①. 故答案为：①. 【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.14．或【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可【详解】若则当即或当时不等式等价为满足条件当时不等式等价为不满足条件当时要使则解之得：或综上：或反之也成立故答案为：或【点睛】本题考查充分必要解析：1a ≥或1311a <- 【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可．【详解】若22(1)(1)30y a x a x =-+-+>，则当210a -=，即1a =或1a =-，当1a =时，不等式等价为30>，满足条件，当1a =-时，不等式等价为230x -+>，32x <，不满足条件，当1a ≠±时，要使0y >，则22210(1)12(1)0a a a ⎧->⎨∆=---<⎩，解之得：1a >或1311a <-，综上：1a ≥或1311a <-，反之也成立.故答案为：1a ≥或1311a <-. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15．2【分析】对命题逐一分析正误得出结论即可【详解】解：对于①当时∴；故①错误；②函数所以的最小正周期为；故②正确；③若向量则向量；当时或当时但不垂直于；故③错误；④；④正确证明如下：∵；而∴；∴故②④解析：2 【分析】对命题逐一分析正误，得出结论即可．【详解】解：对于①*n N ∀∈，22n n ≤，当3n =时，29n =，28n =，∴22n n >；故①错误；②函数44()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期为T π=；故②正确；③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥；当0a =时或当0b =时，0a b ⋅=，但a 不垂直于b ；故③错误；④20182019log 2019log 2020>；④正确，证明如下：∵220182019lg2019lg2020(lg2019)lg2018lg2020log 2019log 2020lg2018lg2019lg2018lg2019-⋅-=-=⋅；而22lg 2018lg 2020lg 2018lg 2020()2+⋅<=2220182020(lg)(lg 2019)2+<=． ∴2(lg2019)lg2018lg20200-⋅>； ∴20182019log 2019log 2020>．故②④正确；正确的个数为2个；故答案为：2．【点睛】本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．16．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．17．【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.18．必要不充分条件【解析】【分析】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1进而判断出结论【详解】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1因为(-∞-1)∪(1+∞)⊃≠(1+∞)所以解析：必要不充分条件【解析】【分析】由，解得或，由解得，进而判断出结论.【详解】由，解得或，由解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案是：必要不充分条件.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目.19．①③【分析】先判断命题的真假然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假【详解】不等式等价于即命题为真在中命题为假因此②④为假①③为真【点睛】复合命题的真值表：真真真真假真假解析：①③ 【分析】先判断命题,p q 的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假．【详解】不等式01xx <-等价于()10x x -<，即01x <<，命题p 为真，在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，命题q 为假，因此②④为假，①③为真．【点睛】复合命题的真值表：pqp q ∧p q ∨p ⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真复合命题的真假可按真值表进行判断．另外在ABC ∆中A B >与sin sin A B >是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立．20．④【解析】试题分析：若或为真命题则pq 至少有一真所以命题错误；命题若且则的否命题为若或则故命题‚错误；三角形ABC 中角A 时故命题错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件由因p:所以由一解析：④ 【解析】试题分析：若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题•错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题错误；三角形ABC 中，角A时，，故命题错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件．由因p:，所以由一元二次方程根的分布可得，解得，．故正确的命题是④．考点：命题的真假性判断．三、解答题21．（1）[4，＋∞)；（2）[4,1)(5,6]--⋃. 【分析】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，由题意可得A ⊆B ，根据集合的包含关系，列出方程，即可求得结果；（2）由题意可得：p ，q 命题，一真一假，分别求得当p 真q 假时、 p 假q 真时x 的范围，即可得结果. 【详解】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由题意得：A ⊆B ，所以01511m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩，解得m ≥4，故m 的取值范围为[4，＋∞)．（2）根据条件可得：p ，q 命题，一真一假，当p 真q 假时，156?4x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，无解；当p 假q 真时，5?146x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[4,1)(5,6]--⋃．【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围、利用复合命题真假求参数范围，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析．【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”；（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证. 【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，（说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”．（2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =，∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解，即()y h x =不是依附函数，矛盾，充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>，则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=，而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”．【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；（2）112a ≥或112a ≤-.【分析】(1)分别计算命题,p q 为真、假时参数a 的取值范围,再根据题意可知命题p ,q 一真一假,进而分情况求解a 的取值范围即可.(2)由题意可知B A ⊆,再分0a ≥与0a <两种情况,分别根据区间端点满足的条件列式计算即可. 【详解】（1）若命题p ：()20a a a R -<∈为真,解得01a <<.若p 为假,则0a ≤或1a ≥；若命题q ：对任意x ∈R ,都有()2410x ax a R ++≥∈为真,则21640a ∆=-≤,解得1122a -≤≤,若q 为假,则12a <-或12a >. 由命题p 且q 为假,p 或q 为真可知命题p ,q 一真一假.若命题p 真,q 假,则011122a a a <<⎧⎪⎨-⎪⎩或,解得112a <<；若命题p 假,q 真,则1,01122a a a ≥≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩,解得102a -≤≤. 综上可知,实数a 的取值范围是11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. （2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件,所以B A ⊆,71,22B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,()(){}|220A x x a x a =-+--≤,当0a ≥时,[]2,2A a a =-+,此时应有122722a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩,即112a ≥, 当0a <时,[]2,2A a a =+-,此时应有122722a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩,即112a ≤-. 故112a ≥或112a ≤- 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假以及充分与必要条件等求解参数范围的问题,属于中档题.24．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 【详解】p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭，解得12c >；当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >. 综上所述：12c >. “p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，故p 真q 假，或p 假q 真.当p 真q 假时，0112c c <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p 假q 真时，112c c ≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c ∈+∞.综上所述：[)10,1,2c ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.25．（1）P 为真时，(5,7)a ∈-，Q 为真时，(4,)a ∞∈-+；（2）(5,4][7,)∞--⋃+；（3）(0,4] 【分析】（1）解出绝对值不等式可求出P 为真时a 的取值范围，讨论A =∅和A ≠∅时可求出Q 为真时a 的取值范围；（2）P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩；P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，即可解出；（3）可求出(4,7)S =-，利用基本不等式可求出(,[2,)T m =-∞-+∞，则利用包含关系列出式子可求. 【详解】（1）对于命题P ，由1|()|(1)23f a a =-<可得616a -<-<，即57a -<<， :(5,7)P a ∴∈-，对于命题Q ，若A =∅，则Δ(2)(2)40a a =++-<，解得40a ，若A ≠∅，则2Δ(2)40(2)0a a ⎧=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥，综上，4a >-，:(4,)Q a ∞∴∈-+；（2）若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，解得54a -<≤-，若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，解得7a ≥，综上，(5,4][7,)a ∈--⋃+∞；（3）当P ，Q 皆为真时，574a a -<<⎧⎨>-⎩，解得47a -<<，即(4,7)S =-，,,0,0(,)mT y y x x R x mx ⎧⎫==+∈≠>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎩⎭，(T ∴=-， T S ⊆，47⎧-≥-⎪∴⎨≤⎪⎩，解得04m <≤. 【点睛】本题主要考查了复合命题真假的应用，解题的关键是要把命题,P Q 为真时所对应的参数范围准确求出，还要注意集合包含关系的应用.26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围；（2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（） A ．12B ．1C ．2D ．2-2．已知:11p x -≤, 2:230q x x --≥, 则p 是q ⌝的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．下列说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题D ．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±5．下列4个命题中正确命题的个数是（）①已知a ，b 表示直线，α表示平面，若//a α，//b α，则//a b ； ②ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；③若平面向量a ，b ，c ，满足//a b ，//b c ，则存在a ，c 不共线； ④等差数列{}n a 中，n a m =，()m a n m n =≠，则0m n a +=． A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个6．""6a π=是()tan a π-=的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．“函数()2()311f x ax a x =--+在区间[)1+∞，上是增函数”是“01a ≤≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．下列说法正确的是（）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立9．下列命题中正确的是（）A ．若p q ∧为真命题，则p q ∨为真命题B ．已知x ∈R ，那么1x x+的最小值为2 C ．命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++>” D ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤” 10．下列说法错误的是（）A ．“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．“2x >”是“2230x x +->”的充分不必要条件C ．“x R ∀∈，2650x x -+≠”的否定是“0x R ∃∈，200650x x -+=” D ．若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题 11．下列说法正确的是（）．A ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}1n n a a ++为等差数列B ．若14m ≤-，则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点C ．在ABC ∆中，若sin 2A <，则04A π<<D ．直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，则“//m n ”是“//m α”的充要条件12．已知p ：0x ∃∈R ，002lg x x -=；q ：x ∀∈R ，2230x x -+≤.则下列为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______．14．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件15．若“x l >”是“x a ≥”的充分不必要条件，则a 的取值范围为______． 16．已知集合261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．17．设2:8120x x α-+>，2:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是_______________. 18．有下列四个命题：①“若1xy=，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m ，则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．19．关于函数()2411x x f x x -=--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数. 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4．其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根，且不等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立；命题q ：不等式2210ax x +->有解，若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围． 22．命题P ：函数()log a f x x =在0,上是增函数；命题Q ：x R ∃∈，使得240x x a -+= .（1）若命题Q 为真，求实数a 的取值范围；（2）若命题“P 且Q ”为真，求实数a 的取值范围.23．已知m ∈R 命题p :对[]0,1x ∀∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈-，使得m ax ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若命题p 和命题q 有且仅有一个为真，求m 的取值范围. 24．已知命题：“0 x R ∃∈，使得200250x mx m +++<”为假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．26．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，当0a =时，集合{}100B x x x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭，满足题意；当>0a 时，集合110B xa x x x a ⎧⎫⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，此时需满足11a≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ⎧⎫⎛⎤=≥=-∞⋃+∞⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，满足题意；所以实数a 的取值范围为(],1-∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.2．A解析：A 【分析】利用不等式的解法求出p ， q ，然后求出q ⌝，即可得到答案【详解】:11p x -≤，化为111x -≤-≤，解得02x ≤≤ 2:230q x x --≥，解得3x ≥或1x ≤-则q ⌝：13x -<<则p 是q ⌝的充分不必要条件故选A 【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件以及充要条件的判定定理，不等式的解法，属于基础题．3．B解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题，对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.4．D解析：D 【分析】利用四种命题的逆否判断A 的正误，命题的否定判断B 的正误；根据充分条件与必要条件判断C 的正误；根据椭圆的离心率可得,a b 关系，进而求得双曲线的渐近线方程；【详解】解：对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对于B ，命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈ 均有210x x ++≥”，故B 错误；对于C ，因为原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C 错误；对D ，因为122c b a a a ==⇒=，所以双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±，故 D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．5．B解析：B 【分析】对于①由线面平行的性质知：a 与b 不一定平行，故①错误；对于②，运用三角形的边角关系和正弦定理可判断②正确；对于③，由于向量的平行不满足传递性，故③正确；对于④，由等差数列的性质和通项公式可知④正确．从而得到正确的答案．【详解】对于①，当//a α，//b α时，a 与b 也可能相交或异面，故①错误；对于②，在ABC 中，2sin 2sin sin sin (A B a b R A R B A B R >⇔>⇔>⇔>为ABC 的外接圆的半径），故②正确；对于③，若平面向量a ，b ，c ，满足//a b ，//b c ，当0b =时，a 与c 可以不共线，故③正确；对于④，由n a m =，()m a n m n =≠⇒公差1n m a a m nd n m n m--===---，0m n m a a nd n n +∴=+=-=，故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质、正弦定理与三角形的边角关系、向量共线及等差数列的性质、通项公式等知识点，属于中档题．6．A解析：A 【解析】由6πα=，可得56ππα-=，得1sin()2πα-=，但由1sin()2πα-=不一定能够得到“6πα=”，即“6πα=”是()1sin 2πα-=的充分不必要条件，故选A. 7．C解析：C 【解析】0a <时，“函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上不是增函数”，0a =时，()1f x x =+在[)1,+∞上是增函数，0a >时，令3112a a-≤，得01a <≤，∴“()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数” 的充分必要条件“01a ≤≤”，故选C.8．B解析：B 【分析】A ．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B ．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C ．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D ．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假.A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”，因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.9．A解析：A 【分析】对各个命题分别判断．【详解】A. 若p q ∧为真命题，则,p q 都是真命题，∴p q ∨为真命题，正确．B.当0x <时，10x x+<，B 错； C. 命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是x ∀∈R ，210x x ++≥，C 错； D. 命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，D 错．故选：A. 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时可对各个命题分别判断，然后得出正确结论．10．D解析：D 【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、p q ∧为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A 正确；对B ，若2230x x +->，则1x >或3x <-，所以“2x >”是“2230x x +->”的充分不必要条件，故B 正确；对C ，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C 正确；对D ，若“p q ∧”为假命题，则p 、q 中只要有一个为假命题，故D 错误.【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.11．A解析：A 【分析】A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关. 故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确. 令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 21()04f t t t =++=此时12t =-,即x =函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.由正弦函数图像可知,若sin 2A <,则04A π<<或34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误.故选:A ．【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p .12．C解析：C 【分析】先分别判定命题,p q 的真假，再根据或且非判断复合命题真假. 【详解】令()2lg (1)10,(10)70f x x x f f =--=-<=>，，且函数()f x 在(0,)+∞上连续，所以0(1,10)x ∃∈，000()0,2lg f x x x =∴-=；因此命题p 为真命题；2223(1)20x x x -+=-+>∴命题q 为假命题；因此p q ∧为假命题；()()p q ⌝∧⌝为假命题；p q ∨为真命题；()p q ⌝∨为假命题；【点睛】本题考查零点存在定理以及命题真假判定，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论．【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立．设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤．故答案为：(,5]-∞．【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．充分不必要【分析】根据题意利用基本不等式可判定充分性是成立的可举出反例说明必要性不成立即可得到答案【详解】当时由基本不等式可得当时有解得充分性是成立的；例如：当时满足但此时必要性不成立综上所述是的充解析：充分不必要【分析】根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】若是的充分不必要条件则则故答案为【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断比较基础判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题则解析：a 1≤【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】若“x l >”是“x a ≥”的充分不必要条件，则(1,)[,)a +∞⊆+∞，则a 1≤，故答案为a 1≤ 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．16．(－∞0【分析】由集合AB 得到元素的范围根据x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件知即可求得a 的范围【详解】由得x2－x －6≥0即x≤－2或x≥3∴A ＝{x|x≤－2或x≥3}由得x ＋a≥3即x≥3－a 则B解析：(－∞，0]【分析】由集合A 、B 得到元素的范围，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件知B A ，即可求得a 的范围【详解】由261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，得x 2－x －6 ≥ 0 即x ≤－2或x ≥ 3∴ A ＝{x |x ≤－2或x ≥ 3}由31log ()x a ≥＋，得x ＋a ≥ 3，即x ≥ 3－a ，则B ＝{x |x ≥ 3－a }由题意知：B A∴ 3－a ≥ 3，得a ≤ 0.故答案为：(－∞，0]【点睛】本题考查了必要条件，应用必要条件与对应集合间的包含关系解不等式，求参数范围 17．【分析】根据是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集由集合之间的包含关系再求参数范围即可【详解】对集合：解得；对集合：解得；因为是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集故可得或解得或故故答案为：【点解析：21m -<<【分析】根据β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集，由集合之间的包含关系，再求参数范围即可.【详解】对集合α：28120x x -+>，解得()(),26,x ∈-∞⋂+∞；对集合β：2x m m -≤，解得22,x m m m m ⎡⎤∈-++⎣⎦；因为β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集，故可得22m m +<，或26m m -+>，解得()2,1m ∈-或m ∈∅，故()2,1m ∈-.故答案为：21m -<<.【点睛】本题考查由充分非必要条件，推出集合之间的关系，以及根据集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18．①②③【分析】结合四种命题的定义及互为逆否的两个命题真假性相同分别判断各个结论的真假可得答案【详解】解：①若则互为倒数的逆命题是若互为倒数则显然是真命题故①正确；②面积相等的三角形全等的否命题是面积解析：①②③【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【详解】解：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则1xy =”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若2x 2x m 0-+=有实数解，则440m ∆=-≥，解得1m ，所以“若1m ，则2x 2x m 0-+=有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A B B =，则B A ⊆，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．故真命题有①②③故答案为：①②③【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是四种命题，难度中档． 19．①②③【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0解析：①②③【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③．【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()f x =的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x （﹣1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误；故答案为：①②③【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和．【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④．【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．[5,1](1,)--⋃+∞．【分析】首先可求得p ，q 的等价的a 的取值范围，再根据题意可得p ，q 中一真一假，即可求得a 的取值范围．【详解】p ：等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立212min 43||a a x x ⇔+-≤-⇔243a a +-243251a a a ⇔+-≤⇔-≤≤，q ：显然0x =不是不等式的解，不等式2210ax x +->有解22212111()2[()1]1x a x x x x-⇔>=-⋅=-- 2min 1([()1]1)1a a x⇔>--⇔>-，又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p ，q 中一真一假，∴实数a 的取值范围是[5,1](1,)--⋃+∞．22．（1）4a ≤；（2）14a <≤.【分析】（1）根据条件将问题转化为方程有解，从而得到1640a ∆=-≥，由此求解出a 的取值范围；（2）根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断出,P Q 的真假，由此求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为x R ∃∈使得240x x a -+=，所以240x x a -+=在R 上有解，所以1640a ∆=-≥，所以4a ≤；（2）因为“P 且Q ”为真，所以,P Q 均为真，当P 为真时，1a >；当Q 为真时，4a ≤，所以14a <≤.【点睛】本题考查根据命题、复合命题的真假求解参数范围，着重考查了含逻辑联结词的复合命题的分析方法，难度一般.23．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.【分析】（1）()2min 223x m m -≥-，即232m m -≤-，可解出实数m 的取值范围；（2）先求出命题q 为真命题时实数m 的取值范围，再分析出命题p 、q 中一个是真命题，一个是假命题，即可的得出实数m 的取值范围.【详解】（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， ()2min 223x m m ∴-≥-，即232m m -≤-，即2320m m -+≤，解得12m ≤≤，因此，若p 为真命题时，实数m 的取值范围是[]1,2.（2）1a =，且存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立，m x ∴≤，命题q 为真时，1m . 因为p 、q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩，解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <. 综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.【点睛】本题考查利用命题的真假、利用复合命题的真假求参数问题，解题的关键就是要确定简单命题的真假，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.24．（1）{|210}m m -≤≤.（2）92<-a 或11a > 【分析】（1）写出命题的否定得2m 2m 50x x +++≥恒成立，列出满足条件的不等式即可求解；（2）根据题意知集合A 是集合B 的真子集，分类讨论，分别列出满足的不等式求解即可.【详解】（1）命题“x R ∀∈，使方程2m 2m 50x x +++≥”是真命题.只需24(25)0m m ∆=-+≤，解得210m -≤≤，于是可得：{}210A m m =-≤≤（2）若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，则集合A 是集合B 的真子集.当23a =时，B φ=，不合题意，当23<a 时，()1,12B a a =--，由A B 可得：121210a a -<-⎧⎨->⎩，解得92<-a ；当23a >时，()12,1B a a =--，由A B 可得：110122a a ->⎧⎨-<-⎩，解得11a >；综上92<-a 或11a >. 【点睛】本题主要考查了存在性命题的否定，二次不等式恒成立，由包含关系求参数，属于中档题. 25．（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由AB =∅求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若AB =∅，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥． ∴12a ≥是A B =∅的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．26．（1）m >2；（2）存在a ≤1.【分析】（1）求出两个根x ＝m ＋1或x ＝2m －3，满足m ＋1>1且2m －3>1即可求出；（2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+，由题可得B A ，讨论B ＝∅和B ≠∅两种情况可求出.【详解】（1）由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0，所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3，因为命题p 为真命题，所以m ＋1>1且2m －3>1，得m >2．（2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B ＝∅时，33a a -+≥，解得a ≤0；当B ≠∅时，33,32,a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得01a <≤．综上所述：存在a ≤1，满足条件．【点睛】结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．。

数学：第一章《常用逻辑用语》试题(5)(新人教A版选修2-1)

常用逻辑用语1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2、下列命题中是真命题的是（）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要4、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（）A 、ab ＝0B 、a ＋b=0C 、a ＝bD 、a 2＋b 2＝06、“12m =”是“直线(m +2)x+3m y+1=0与直线(m +2)x+(m -2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要7、若"a b c d ≥⇒>"和"a b e f <⇒≤"都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c d ≤"是"e f ≤"的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件8、在下列结论中，正确的是（）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件；②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件；③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件；④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9、下列命题中: ①、若m>0，则方程x 2－x ＋m ＝0有实根； ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题；③、对任意的x ∈{x|-2<x<4},|x-2|<3的否定形式 ④、△>0是一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件；其中是真命题的有10、设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是11、若把命题“A ⊆B ”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，其中构成它的两个简单命题分别是_______________________________________________。

高中数学(人教A版选修2-1)本章练测：第一章常用逻辑用语(含答案详解)

第一章常用逻辑用语本章练测一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分） 1.下列说法中,不正确的是( )A .“若p 则q ”与“若q 则p ”是互逆的命题B .“若﹁p 则﹁q ”与“若q 则p ”是互否的命题C .“若﹁p 则﹁q ”与“若p 则q ”是互否的命题D .“若﹁p 则﹁q ”与“若q 则p ”互为逆否命题 2.下列命题中错误的是（）A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m ＞，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=，则m =0且n =0”的否命题是“若220m n +≠，则m ≠0或n ≠0” 3.下列命题是真命题的是（） A.a ＞b 是22ac bc >的充要条件 B.a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 C.∀x ∈R ，22x x ＞ D.00e 0R x x ∃∈≤，4.集合A = x ||x −1|≤1,x ∈R ，B ={x |log 2x ≤1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（） A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设p ：|4x −3|≤1,q ：x 2− 2a +1 x +a (a +1)≤0,若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A . 0，12 B . 0，12C .(−∞,0 ∪ 12，+∞D . −∞,0 ∪12，+∞ 6.已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，213x x +>”的否定是“∀x ∈R ，213x x +<”；②“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件； ③“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题为真命题；④已知p 、q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“￢p ∧￢q ”为真命题．其中真命题的个数为（） A.3B.2C.1D.07.已知命题p ：“∀x ∈ 1,2 ,x 2−a ≥0”,命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0”,若命题“p⋀q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（） A . {a |a ≤−2或a =1} B.{a |a ≤−2或1≤a ≤2} C . {a |a ≥1} D . {a |−2≤a ≤1} 8.给出下列命题：①若“p 或q ”是假命题，则“﹁p 且﹁q ”是真命题；②|x |>|y |⇔x 2>y 2；③若关于x 的实系数二次不等式ax 2+bx +c ≤0的解集为∅，则必有a >0且Δ≤0； ④ x >2,y >2⇔ x +y >4，xy >4.其中真命题的个数是（）A .1B .2 C.3 D .49.关于x 的函数f x =sin φx +φ 有以下命题： ①∀ φ∈R ,f x +2π =f x ； ②∃ φ∈R ,f x +1 =f x ； ③∀ φ∈R ，f x 都不是偶函数； ④∃ φ∈R ,使f x 是奇函数．其中假命题的序号是（）A .①③B .①④C .②④D .②③ 10.下列命题中，真命题是（）A . ∃ x ∈R ,sin x +cos x =1.5B .∀ x ∈ 0,π ,sin x >cos xC . ∃ x ∈R ,x 2+x =−1D . ∀ x ∈ 0,+∞ ,e x >1+x11.有限集合S 中元素的个数记作card S ，设A ,B 都是有限集合，给出下列命题：。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．数列{}n a 满足*111,(,0)n n a a ta t n N t +==+∈≠，则“ 12t =”是“数列{}n a 成等比数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．以下四个命题中，真命题的个数是（）①存在正实数M ，N ，使得()log log log a a a M N MN +=；②“若函数()f x 满足()()201920200f f ⋅<，则()f x 在()2019,2020上有零点”的否命题；③函数()()()log 320,1a f x x a a =->≠的图象过定点()1,0； ④“1x =-”是“2230x x --=”的必要不充分条件. A ．1B ．2C ．3D ．43．已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0 5．下列说法中错误的是（）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.6．设0a >，0b >.下列说法正确的是（） A ．2ln 2ln a b a b +<+则a b > B ．2ln 2ln a b a b +<+则a b < C ．2ln 2ln a b a b -<-则a b > D ．2ln 2ln a b a b -<-则a b <7．下列命题中正确的是（）A ．若p q ∧为真命题，则p q ∨为真命题B ．已知x ∈R ，那么1x x+的最小值为2 C ．命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++>”D ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤” 8．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >9．“12a <<”是“对任意的正数x ，22ax x+≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 11．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞二、填空题13．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件14．已知命题p ：x R ∀∈，240x mx ++≥；命题q ：0(0,)x ∃∈+∞，000xe mx -=，若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围是_______________； 15．有下列四个命题： ①“若1xy=，则lg lg 0x y +=”；②“若sin cos 3παα+=，则α是第一象限角”的否命题；③“若0b ≤，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋃=，则A B ⊆的逆命题．其中是真命题的有________．16．给出下列命题：①1y =是幂函数；②函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；其中真命题的序号是______________．17．1122(,),(,)A x y B x y 是坐标平面内异于原点O 的两点，则“12121x x y y =-”是“OA OB ⊥”的______________18．若命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题，则实数a 的取值范围是_______. 19．设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________20．“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.三、解答题21．已知命题p :实数x 满足27100,x x -+≤命题q :实数x 满足22430.x mx m -+≤其中m > 0.（1）若m =4且命题p ， q 都为真命题，求实数x 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 22．已知命题()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.23．已知0a >且1a ≠,命题:P 函数()log a f x x =在()0,∞+上为减函数，命题:Q 关于x 的不等式()22310x a x +-+≤有实数解.（1）如果P Q ∨为真且P Q ∧为假,求实数a 的取值范围. （2）命题:R 函数()2231ylg x a x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域包含区间[]1,3-，若命题R 为真命题，求实数a 的取值范围24．已知0a >，命题:p 函数2(1)y a x =-在(0,)+∞上为增函数；命题:q 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数11()f x x x a=+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求a 的范围. 25．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >．命题q ：实数x 满足302x x-≥-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．26．设命题p ：实数x 满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220xx --≤.（1）若2a =，,p q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断．【详解】12t =时，由11a =得211122a =+=，311122a =+=，，1n a =，所以{}n a 是等比数列，充分性满足；反之若{}n a 是等比数列，则212a ta t t =+=，2322a ta t t t =+=+，123,,a a a 也成等比数列，所以2213a a a =，即2242t t t =+，又0t ≠，所以12t =，此时1(*)n a n N =∈，满足题意，必要性也满足，应为充要条件．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t =代入计算求出n a 即可判断，而必要性需由数列{}n a 是等比数列求出参数t ，因此可由开始的3项成等比数列求出t ，然后再检验对*n N ∈数列是等比数列即可． 2．B解析：B 【分析】根据对数的运算判断①；根据零点存在性定理判断②；根据对数函数的性质判断③，根据充分条件、必要条件判断④；【详解】解：对于①，根据对数运算法则知正确；对于③，无论a 取何值都有()10f =，所以函数()f x 的图象过定点()1,0，故正确；对于②，函数()f x 在()2019,2020上有零点时，函数()f x 在2019x =和2020x =处的函数值不一定异号，故其逆命题是错误的，所以否命题也是错误的；对于④，当1x =-时，2230x x --=，当2230x x --=时，1x =-或3x =，所以是充分不必要条件，故④错误. 故选：B 【点睛】本题考查命题真假性的判断以及相关知识点，属于中档题．3．C解析：C利用函数3y x =，2x y =的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】函数3y x =在R 上单调递增，则33b a a b <⇔< 函数2x y =在R 上单调递增，则22a b a b <⇔< 则“33a b <”是 “22a b <”的充要条件故选：C 【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.4．D解析：D 【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x ﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确；由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.5．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生，故互斥且对立正确.【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.6．B解析：B 【分析】举反例说明C,D 不成立，再根据函数2ln x y x =+单调性，进而确定选项. 【详解】因为311123112ln12ln 2,2ln 2ln ,ee e e-<--<-所以CD 不成立；因为2ln x y x =+在(0,)+∞上单调递增，所以由2ln 2ln a b a b +<+得a b <，故选：B 【点睛】本题考查利用函数单调性判断命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题.7．A解析：A 【分析】对各个命题分别判断．【详解】A. 若p q ∧为真命题，则,p q 都是真命题，∴p q ∨为真命题，正确．B.当0x <时，10x x+<，B 错； C. 命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是x ∀∈R ，210x x ++≥，C 错； D. 命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，D 错．故选：A. 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时可对各个命题分别判断，然后得出正确结论．8．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解．【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数， ()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．9．A解析：A 【分析】已知“对任意的正数x ，22ax x+≥”利用分离参数，求出a 的范围, 再根据充分必要条件的定义进行判断. 【详解】由对任意的正数x ，22ax x+≥成立时，可得222a x x ≥-，22111222()222y x x x =-=--+≥，12a ∴≥即对任意的正数x ，22ax x+≥成立推不出12a <<，当12a <<成立时，可推出2222a ax x x x+⨯=>>，即12a <<能推出对任意的正数x ，22ax x+≥，所以“12a <<”是“对任意的正数x ，22ax x+≥”的充分不必要条件，故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，二次函数的最值，均值不等式，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.12．A解析：A 【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案．【详解】解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件；当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件；当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<，综上：1a ≥，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．充分不必要【分析】根据题意利用基本不等式可判定充分性是成立的可举出反例说明必要性不成立即可得到答案【详解】当时由基本不等式可得当时有解得充分性是成立的；例如：当时满足但此时必要性不成立综上所述是的充解析：充分不必要【分析】根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．【分析】若为真命题则可解出m 的取值范围若为真命题则在上有解利用导数求出函数的值域即可求得m 的范围两取值范围的交集即为所求【详解】若则解得；若得在上有解设则当时函数单调递增；当时函数单调递减所以当时所解析：4e m ≤≤【分析】若p 为真命题则2160m ∆=-≤可解出m 的取值范围，若q 为真命题，则0x e m x =在(0,)+∞上有解，利用导数求出函数()(0)xe f x x x=>的值域即可求得m 的范围，两取值范围的交集即为所求. 【详解】若x R ∀∈，240x mx ++≥，则2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤；若0(0,)x ∃∈+∞，000x e mx -=，得00x e m x =在(0,)+∞上有解，设()(0)xe f x x x=>，则2(1)()xx e f x x-'=，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以当0x >时，min ()(1)f x f e ==，()[,)f x e ∈+∞，所以[,)m e ∈+∞. 若p q ∧为真命题，则4e m ≤≤. 故答案为：4e m ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、利用导数研究方程有解问题，属于中档题.15．③④【分析】当为负数则无意义可判断①；写出命题的否定可判断②；判断原命题的真假进而可判断③；写出原命题的逆命题可判断④【详解】①若则可能均为负数此时无意义故错误；②若则是第一象限角的否命题是若则不是解析：③④ 【分析】当x ，y 为负数，则lg x lg +0y =无意义，可判断①；写出命题的否定，可判断②；判断原命题的真假，进而可判断③；写出原命题的逆命题，可判断④ 【详解】 ①“若1xy=，则x ，y 可能均为负数，此时lgx lg +0y =无意义”，故错误；②“若sin cos α+3πα=，则α是第一象限角”的否命题是“若sin cos α+3πα≠，则α不是第一象限角”，错误；③“若0b ，则方程2220x bx b b -++=有实根”为真命题，故它的逆否命题也为真命题，正确；④“若A B B ⋃=，则A B ⊆”的逆命题是“若A B ⊆，则A B B ⋃=”，正确．故答案为：③④ 【点睛】本题考查的知识点是四种命题，对数函数的定义域，难度中档．16．④【分析】没有零点的解集为是的充分非必要条件【详解】①是常数函数或者考虑所以不是幂函数故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数没有零点故错；③或解得或故的解集为错；④但是推不出因此是的充分解析：④ 【分析】01,0y x x ==≠，2()2log x f x x =-2)0x -≥的解集为[){}2,1+∞，“1x <”是“2x <”的充分非必要条件.【详解】①1y =是常数函数，或者考虑01,0y x x ==≠，所以不是幂函数．故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数2()2log xf x x =-没有零点，故错；102)020x x x ->⎧-≥⇔⎨-≥⎩，或1x =，解得2x ≥或1x =2)0x -≥的解集为[){}2,1+∞，错；④“1x <”⇒“2x <”，但是“2x <”推不出“1x <”，因此“1x <”是“2x <”的充分不必要条件，正确. 故答案为：④．【点睛】此题考查幂函数概念辨析，函数零点讨论，解不等式，根据集合的包含关系讨论充分条件和必要条件，知识容量大，综合性强.17．充分不必要条件【分析】由可推出得到；但是不一定能推出【详解】由题：是坐标平面内异于原点的两点所以均为非零向量若则即即；若取不能得到所以是的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件【点睛】此题考查通过向解析：充分不必要条件【分析】由“12121x x y y =-”可推出“0OA OB ⋅=”得到“OA OB ⊥”；但是“OA OB ⊥”不一定能推出“12121x x y y =-” 【详解】由题：1122(,),(,)A x y B x y 是坐标平面内异于原点O 的两点，所以1122(,),(,)OA x y OB x y ==，均为非零向量，若12121x x y y =-，则12120x x y y +=，即0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥；若OA OB ⊥，取1212210,0,(0,),(,0),0x y A y B x x y ==≠，不能得到12121x x y y =-，所以“12121x x y y =-”是“OA OB ⊥”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件【点睛】此题考查通过向量垂直关系的坐标表示进行充分条件和必要条件的辨析.18．【分析】先求出当命题为真命题时的范围其补集即为命题为假命题时的范围【详解】由题当命题为真命题时即或则当命题为假命题时故答案为【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题考查转换思想考查运算能力解析：22a -<< 【分析】先求出当命题为真命题时a 的范围,其补集即为命题为假命题时a 的范围【详解】由题,当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为真命题时,()223499360a a ∆=--⨯=-≥,即2a ≥或2a ≤-,则当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题时, 22a -<< 故答案为22a -<< 【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力19．【分析】解不等式求得集合B 再根据充分必要条件可得不等式组即可求得实数的取值范围【详解】因为集合所以解可得因为集合且是的充分条件所以解不等式组可得所以即实数的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了充分解析：3[,)2+∞【分析】解不等式,求得集合B,再根据充分必要条件可得不等式组,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】因为集合2{|10}B x x ax =--≤所以解210x ax --≤x ≤≤因为集合{1,2}A =且x A ∈是x B ∈的充分条件所以12≤⎨⎪≤⎪⎩032a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩所以32a ≤,即实数a 的取值范围为3[,)2+∞故答案为: 3[,)2+∞ 【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,含参数一元二次不等式的解法,属于中档题.20．【分析】考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m 的取值范围即可【详解】由题意可知命题为真命题据此有：求解不等式可得实数的取值范围是【点睛】本题主要考查命题的否定等价转化的数学思想等知识意在考查学生解析：1m【分析】考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m 的取值范围即可. 【详解】由题意可知，命题“2,20x R x x m ∀∈++>”为真命题，据此有：440m ∆=-<，求解不等式可得实数m 的取值范围是1m >. 【点睛】本题主要考查命题的否定，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）[]4,5 ；（2）5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先解一元二次不等式得到p 、q ，再根据命题p 、q 均为真命题，取交集即可得解；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，则[][]()2,5,30m m m >，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为27100x x -+≤，解得25x ≤≤，22430x mx m -+≤()0m >，解得3m x m ≤≤所以:25p x ≤≤，():30q m x m m ≤≤> （1）当4m =时，:412q x ≤≤ 因为命题p 、q 均为真命题，所以25412x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得45x ≤≤，即[]4,5x ∈（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[][]()2,5,30m m m >所以3520m m m ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩解得523m ≤≤，即5,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】考查解一元二次不等式的解得以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于中档题．22．9m ≥【分析】首先将命题p 对应的不等式化简得{}:210p x x x ∈-≤≤，p 是q 的充分条件可转化为对任意[2,10]x ∈-不等式()222100x x m m -+-≤>恒成立，故只需该不等式对应的函数22()21(0)f x x x m m =-+->的函数值(2)0f -≤且(10)0f ≤，即可求出m 的取值范围. 【详解】由1123x --≤知423x -≤，所以46x -≤，解得210x -≤≤，即{}:210p x x x ∈-≤≤设()2221f x x x m =-+-，因为p 是q 的充分条件，所以()()2229010810f m f m ⎧-=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩，即3399m m m m ≥≤-⎧⎨≥≤-⎩或或，又0m >，所以9m ≥．【点睛】本题主要考查由充分条件求参数范围，同时考查了利用集合法判断充分条件与必要条件． 23．（1）112a <<或52a ≥，（2）a ≥a ≤ 【分析】（1）首先分别算出P 真，Q 真a 的范围，再根据P ，Q 一真一假分别讨论即可. （2）首先设2()(23)1g x x a =+-+，将题意转化为min 1()10g x ≤，解不等式即可. 【详解】（1）因为函数()log a f x x =在()0,∞+上为减函数，所以P 真：01a <<. 因为关于x 的不等式()22310xa x +-+≤有实数解，Q 真：2(23)40a ∆=--≥，解得52a ≥或102a <≤.因为P Q ∨为真且P Q ∧为假，所以P ，Q 一真一假.当P 真Q 假时，01111521122a a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<<<⎪⎩或.当P 假Q 真时，15512022a a a a >⎧⎪⇒≥⎨≥<≤⎪⎩或.综上112a <<或52a ≥. （2）设2()(23)1g x x a =+-+，因为函数()2231ylg x a x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域包含区间[]1,3-，等价于min 1()10g x ≤，即24(23)1410a --≤，218(23)5a -≥，解得a ≥a ≤【点睛】本题第一问考查逻辑连接词，同时考查了二次不等式的有解问题，第二问考查对数函数的值域问题，属于中档题. 24．10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦．【分析】分别求出命题,p q 为真时的参数范围，然后由复合命题的真值表得出结论．【详解】命题p 为真，则10a ->，1a <，∴01a <<，命题q 为真，则由于12x x +≥，当且仅当1x =时等号成立，∴12a<，又0a >，∴12a >， p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，p 真q 假，则102a <≤，p 假q 真，则1a ≥，∴a 的取值范围是10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：25．（1）()2,3；（2）(]1,2. 【分析】（1）分别求解两个命题为真命题时x 的取值范围，再求交集；（2）首先根据命题的等价性转化为q 是p 的充分不必要条件，得到B A ≠⊂，再求参数a 的取值范围. 【详解】()1由()224300x ax a a -+<>，得3a x a <<即p 为真命题时3a x a << 由302x x-≥-，得()()3202x x x ⎧--≥⎨≠⎩即23x <≤，即q 为真命题时，23x <≤1a =时，:13p x <<由p q ∧为真，知,p q 均为真命题，则1323x x <<⎧⎨<≤⎩得23x <<，所以实数x 的取值范围为()2,3()2设{}{}3,23A x a x a B x x =<<=<≤由题意知q 是p 的充分不必要条件，所以B A ≠⊂ 有0233a a <≤⎧⎨>⎩12a ∴<≤所以实数a 的取值范围为(]1,2. 26．（1）()2,4；（2）[]1,2. 【分析】（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，由()()240x x --<，得命题p ：{}24P x x =<<，由()()216220xx--≤，所以命题q ：{}14Q x x =≤≤，,p q 都是真命题，即()2,4PQ =，因此x 的取值范围是()2,4；（2）由题意可得{}2P x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤，若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩，故a 的取值范围是[]1,2.【点睛】结论点睛：本题主要考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．。

高中数学第一章常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，则只要－m 2≤－1，即m ≥2，故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}，则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1，所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1，所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。

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单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．下列语句不是命题的有( )①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③ 3＋1＝5；④ 5x－3>6.A．①③④ B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是( )A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( ) A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是( )A．①B．①②C．②③ D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是( )A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是( )A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3 D．－1<λ<1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝x cosα＋y sinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎨⎧ a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1.答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A .答案：a >1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β； ④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎨⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧ 0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)． 19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP →与OQ→不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP →⊥OQ →成立，因而p 是假命题．22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0，又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋3b 24≠0，只有a ＋b ＝1. 综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.。

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