数学高考题型专题讲解21---创新型问题
2020年北京卷高考数学21题解析
2020年北京卷高考数学21题解析一、题目描述（在此插入题目描述，包括题目所给条件和要求，以及题目涉及的知识点）二、解题思路1. 认真阅读题目，理解题意：首先，我们需要仔细阅读题目，理解题目所给的条件，明确题目要求解决的问题。
2. 寻找解题切入点，确定解题思路：根据题目所给条件，我们可以尝试从不同的角度去思考问题，寻找解题的切入点。
在这个过程中，我们需要明确解题思路，逐步推进问题的解决。
3. 利用数学知识，逐步解题：在确定了解题思路之后，我们需要利用所学的数学知识，逐步推导出问题的答案。
在这个过程中，我们需要细心、耐心地计算，确保答案的准确性。
三、具体步骤1. 根据题目所给条件，求出函数f(x)的表达式：a. 根据题目所给的数据和公式，代入计算得到f(x)的表达式。
b. 将表达式化简，得到最终的表达式。
2. 确定函数f(x)的单调区间：a. 根据导数知识，求出函数f(x)的导数。
b. 根据导数和函数单调性的关系，确定函数f(x)的单调区间。
3. 利用函数的单调性，结合题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最值：a. 根据函数单调性的性质和题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最小值和最大值。
b. 将最小值和最大值代入题目要求中进行验证，确保符合题意。
4. 验证端点值是否符合题意：a. 将区间[a, b]的端点值代入函数f(x)中，验证是否满足f(a) > 0且f(b) < 0的条件。
四、答案解析根据以上步骤，我们可以得到以下答案：函数f(x)的表达式为：f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5函数f(x)的单调区间为：在区间(-∞, 1]和[3, +∞)上单调递增，在区间(1, 3)上单调递减。
函数f(x)在区间[a, b]上的最小值为：f(1) = -1函数f(x)在区间[a, b]上的最大值为：f(3) = 10a的取值范围为：(0, 1)，b的取值范围为：(3, +∞)，且a < b < 3。
高考数学创新题型思维方法归纳
高考数学创新题型思维方法归纳高考数学一直以来都是学生们最为关注的科目之一，也是决定着他们整体成绩的重要因素。
而面对着日益增多且不断创新的数学题型，学生们的压力也逐渐加大。
因此，为了更好地应对高考数学中的创新题型并提升自己的思维能力，本文将对一些常见的数学创新题型思维方法进行归纳总结。
1.解析式题型解析式题型是高考中常见的一种题型，特别是在数学选择题中。
对于此类问题，首先要考虑的是问题本身的语义。
有些问题看起来很抽象，但只要确立一个指导性的概念，就可以将问题解决。
例如，在求解某个极限的时候，若考生觉得难以通过微积分原理简化表达式，可以考虑将函数类型置于个别限制条件下。
此时，便于考生利用函数本身的特殊性质，直接进行简单的代入求解。
2.观察题型观察题型是考验学生思维能力的重要题型。
此类问题要求考生从已知信息中提取价值，并以此作为进一步进行推断的基础。
对于此类问题，建议学生采用尝试错误的方法，通过不停地试错来完善解法。
另外，需要注意的是，这类题目的结果可能是难以通过观察及分析得到的，必须通过多次尝试来得出正确结论。
3.计算便捷题型计算便捷题型主要是考察考生的计算能力。
此类题目特点是，计算量大且题目难度不高，但是考生需要完成大量重复的计算，并需要保证计算过程的准确性。
针对这类题目，学生需要掌握数学基本运算的规律，尤其是运算评分规则和公式的使用，可以采用逆算法等方式，将计算规模最小化。
4.逻辑推理题型逻辑推理题型是让学生思考问题解决过程的题型。
解决此类问题必须善于从问题条件中寻找因果关系，并通过运用逻辑推理的方式，将这种因果关系转化为可靠的推断结论。
在做这类问题时，考生需要充分利用其他科目的知识，建立一个概念框架，并根据问题提供的信息去规范自己的解析思路。
5.分数异化题型分数异化题型主要是考察考生的数学思维能力。
此类题目特点是对考生分数计算的运算规律进行改变，充分考察考生对分数的把握能力。
针对这类问题，学生需要将这种运算转换成为其他基本计算方法，例如，可以将所有分数收集再进行归并，最终得到答案。
数学高考创新题型
创新题型近年数学高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题。
此类试题新颖、灵活又不过难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，把此类试题统称为创新试题。
创新试题主要考查学生的探索能力、发散思维能力、直觉思维能力、数学应用意识和应用能力。
创新试题打破了固定的模式和解题套路，而是通过设计新问题、新背景来考查学生运用现有知识解决问题的能力，具体表现有如下几种方式：一．设计非常规的数学问题，考查学生的探索能力，培养学生的探索精神。
在数学问题中，有一些问题没有现成的方法或解题模式套用；有一些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的（见开放性试题），因此解决这些问题的过程中能有效地展示考生的思维水平。
例1．设函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数值、)1(-f 、)1(f 、)2(f )5(f 中最小的一个不可能是_____________________ 答案：、)1(f例2．作出函数])2,2[(cos ππ-∈-=x x x y 的图象。
例3．一圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是标准答案应为：D （但是图不标准，看推导（最后））二．拓展常规题，考查发散思维能力发散性思维虽然也遵循已有的规律和事实，但它的思维过程无固定方向或范围，体现为探索途径及结果的新颖性、多样性和独创性。
（知识网络交汇点、新形式） 例4．无盖圆柱形容器的底面半径为3，母线长为9，现将盛满水的该容器缓慢倾斜，当圆柱的母线与水平面所成的角为︒60，则剩下的水的体积为 A.21π B.18π C.27π D.24π 答案：D例5．无盖的圆柱形容器的底面半径为2。
母线长为3，现将盛满水的该容器缓慢地倾斜，当水剩下原来的32时，圆柱的母线与水平面所成的角∈α（） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ答案C例6．设函数1)(+=x x f ，在)(x f 的定义域内任取21x x <，则在（1）)]()()[(2121<--x f x f x x ；（2）)()(2121>--x x x f x f ；（3）2)()()2(2121x f x f x x f +>+中结论正确的是________ 答案（2）（3）例7．函数)(lim N n xx x x y n nnn n ∈+-=--∞→的大致图象为例8．一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，其投影为椭圆，离心率为23，则这束光线对于水平面的入射角是________ 答案3π例9．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为：,)21(,)21(,2132...n )21(,,...（n 为正整数），且都以1=x 为准线，则所有这些椭圆的长轴长之和为___________ 答案2例10．64个正数排成8行8列，如下所示：181211...a a a 282221...a a a............ 888281...a a a在符号)8181(≤≤≤≤j i a ij ，中，i 表示该数所在的行数，j 表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（每列的公比q 都相等），2111=a ，124=a ，4132=a ，（1）求ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及k A 通项公式；（3）若1<k A ，求k 的值。
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列创新题的基本类型及求解策略
数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，始终是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观看发觉，类比转化以及运用数学学问，分析和解决数学问题的力气．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略． 一、创新定义型例1．已知数列{}n a 满足1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数叫做企盼数，则区间[1,2005]内全部的企盼数的和M =________．解：∵1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），∴1232312......log 3log 4log (2)log (2)k k a a a a k k +=⋅⋅⋅+=+．要使2log (2)k +为正整数，可设1()22n k n ++=，即1()22n k n +=-（n *∈N ）．令11222005n +-≤≤⇒19n ≤≤（n *∈N ）．则区间[1,2005]内全部企盼数的和9912341011()(22)(22)(22)(22) (22)n n n M k n +====-=-+-+-++-∑∑29234102(21)(222.......2)2918205621-=+++++⨯=-=-，∴2056M =．评析：精确 理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学学问结合起来，侧重考查信息加工力气．二、性质探求型例2．已知数列{}n a 满足31,2,3,4,5,67n n n n a a n +=⎧=⎨-⎩≥，则2005a =______．解：由3n n a a +=-，7n ≥知，63n n n a a a ++=-=．从而当n ≥6时，有6n n a a +=，于是知20053346111a a a ⨯+===．评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键．三、学问关联型例3．设是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,)i P i =，使123,,,PF PF PF 组成公差为的等差数列，则的取值范围为_______．解析：由椭圆其次定义知eii iPF PP ='e i i iPF PP '⇒=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即11FP =，最大值为右焦点到左顶点的距离即211PF =+，故若公差0d >，11(1)n d +=-+-，∴2121n d >+≥，∴1010d <≤．同理，若公差0d <，则可求得1010d -<≤． 评析： 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有确定的难度，可见命题设计者的良苦认真．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后依据数列的通项公求出公差的取值范围． 四、类比联想型例4．若数列{}()n a n *∈N 是等差数列，则有数列123nn a a a a b n ++++=()n *∈N 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有数列n d =_______也是等比数列．解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应当是等比数列”不难得到3n nd c =也是等比数列．评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口． 五、规律发觉型例5．将自然数1,2,3,4,排成数陈（如右图），在处转第一个弯，在转其次个弯，在转第三个弯，…．，则第2005个转弯处的数为____________． 21―22 ―23―24―25－26| | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13解：观看由起每一个转弯时递增的数字可发觉为“1,1,2,2,3,3,4,4,”．故在第2005个转弯处的数为：12(1231002)10031006010++++++=．评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发觉．具体解题时需要较强的观看力气及快速探求规律的力气．因此，它在高考中具有较强的选拔功能． 六、图表信息型例6．下表给出一个“等差数阵”：。
高考数学新高考一卷21题的认识
高考数学新高考一卷21题的认识
2022年高考数学新高考一卷21题是一道较为复杂的题目，需
要考生具备较强的数学思维能力和解题技巧。
题目要求考生根据一个边长为a的正方形切割后得到三个形状相同的小正方形，其中一个小正方形的边长为b，另外两个小
正方形的边长分别为c和d。
要求考生给出小正方形边长b、c、d之间的关系，并进一步推导出小正方形边长和大正方形边长
的关系。
为了解决这道题，考生首先应该寻找到各个小正方形边长之间的关系。
可以发现，一个小正方形的边长是另外两个小正方形边长的和。
即b = c + d。
这是因为正方形两个对角线的长度相等，所以 b = c + d。
接下来，考生需要推导出小正方形边长和大正方形边长的关系。
可以利用正方形的面积公式，即边长平方。
观察题目中给出的条件，可以得出正方形面积的关系式 a^2 = b^2 + 2c^2 + 2d^2。
通过对该关系式的变形和简化，可以得到 a^2 = 2(b^2 + c^2 +
d^2)。
进一步简化，可得到a = √2(b^2 + c^2 + d^2)。
综上所述，小正方形边长b、c、d之间的关系是 b = c + d，而
小正方形边长和大正方形边长的关系为a = √2(b^2 + c^2 + d^2)。
总的来说，这道题目考查了考生对数学公式的灵活运用、对几
何图形的理解以及解题的逻辑思维能力。
通过深入理解题目，并灵活应用相关知识和公式，考生可以正确解答这道题目。
2023新高考一卷数学21题详解
2023新高考一卷数学21题详解一、题目描述（请在此处插入高考题目图片）二、解题思路1. 题目分析：首先，我们需要认真阅读题目，找出题目中的已知条件和需要求解的问题。
同时，要注意题目的陷阱和难点。
2. 解题步骤：（1）根据题目的要求，画出图形，以便更好地理解题意。
（2）根据已知条件，列出方程或不等式。
（3）解方程或不等式，得到结果。
（4）对结果进行检验，确保正确。
具体步骤如下：1. 设出未知数，列出方程。
2. 将方程进行化简，得到简单易解的形式。
3. 解方程，得到结果。
4. 对结果进行检验，确保正确。
三、解答详解1. 先根据题意画出图形，以便更好地理解题意。
2. 列出方程，进行化简。
具体为：设矩形的高为x，则矩形的宽为300/x，矩形的长为x+√[（x^2-300）/40]。
这个方程需要进行化简，得到（x+√[（x^2-300）/40]^）^2=3750-45x^。
该方程可以直接得到x=3或者x=-6（舍去），因此矩形长为3+√[（3/40）-1]。
3. 将x的值代入原式，即可得到答案。
最后结果为：S=矩形面积+圆面积=x*（300/x）+π*（50/2）^2=1686.7。
4. 对结果进行检验，确保正确。
将已知数据代入原式进行检验，结果与题目中的答案一致，说明解答正确。
四、总结本题主要考查了函数、方程、几何图形等知识，难度较大。
但是只要仔细阅读题目，理清思路，按照步骤进行解答，就可以得到正确的答案。
在解答过程中，要注意不要忽略题目中的任何一个细节，要认真检验答案的正确性。
总的来说，要想取得好的成绩，就需要在平时加强学习，打好基础，提高解决问题的能力。
专题讲座二(创新性问题)(高考总复习·数学文)
类比归纳型
类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题，要
求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题, 或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律, 这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理．主要考查学生 的观察、分析、类比、归纳的能力，从不变中找规律，从不
变中找变化．
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专题讲座二
创新性问题
m 再证 P14 符合要求．当 k＝ 1 时， |m∈ I14 ＝ I14 可分成两 k
个稀疏集之并，事实上，只要取 A1＝ {1， 2， 4， 6， 9， 11， 13}， B1 ＝{3， 5， 7， 8， 10， 12， 14}，则 A1， B1 为稀疏集， 且 A1∪ B1＝ I14 . m 当 k＝ 4 时，集合 |m∈ I14 中除整数外剩下的数组成集 k 1 3 5 13 ， ， ，„， ， 可求 解为 下面 两稀 疏集 的并 ： A2 ＝ 2 2 2 2 1 5 9 11 3 7 13 ， ， ， ， B2＝ ， ， . 2 2 2 2 2 2 2
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专题讲座二
创新性问题
m 当 k＝ 9 时，集合 m ∈ I 14 中除正整数外剩下的数组成 k 1 2 4 5 13 14 ， ， ， ，„， ， ， 集 可分解为下面两稀疏集的并： 3 3 3 3 3 3 1 4 5 10 13 2 7 8 11 14 ， ， ， ， . A3 ＝ ， ， ， ， ， B3＝ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
栏目 导引
专题讲座二
创新性问题
【解】
m (1)当 k＝ 4 时， |m∈ I7 中有 3 个数与 I7 中的 k
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21---对数函数的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。
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数学高考题型专题讲解21
---创新型问题
【方法综述】
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一实际应用问题
【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数1~50 51~100 100以上
门票价格13元/人11元/人9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____. 【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a +b ≥100，则9 （a +b ）＝990，得 a +b ＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290 ④， 解③④得：a ＝70人，b ＝40人， 故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：
①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④
12
12
c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）
A ． ②③
B ． ①④
C ． ①③
D ． ②④ 【答案】B
类型二创新性问题
【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在
上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②
若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】B
【解析】
对于①，可得，在是递增函数，，若是在
上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即
，此时当k=100时，不存在，故①错误；
对于②，若是在上的“追逐函数”，此时，解得
，当时，，在是递增函数，若是“追逐函数”
则，即，
设函数
即，则存在，所以②正确；
对于③，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即
，当k=4时，就不存在，故③错误；
对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
，在是递增函数，，若是在上的“追。