天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考数学试题

对于 ， ， 由正弦定理可得 ，由于大边对大角， ，即原命题正确， 逆否命题是真命题 ，故正确，故选D.
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，析： ,又因为 是 与 的等比中项,所以 ，即 ，解之得 ，所以 ，故选D.
考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前 项和.
【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前 项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项 及公差 ，公比 来表示已知条件，列出方程或方程组，求出 就可以解决受益人问题.
A． B．
C． D．
2．若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是（）
A．4 B．6 C．8D．12
3．设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为锐角
B．“ ， ”的否定是“ ， ”
C．直线 ， ， 的充要条件是
D．在 中，“若 ，则 ”的逆否命题是真命题
5．已知 为等差数列，其公差为 ，且 是 与 的等比中项， 为 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，若 的面积为 ，其中 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若方程 在 上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
9．1
【解析】
【分析】
化简原式，利用复数的乘法运算法则求得 ，利用复数模的计算公式即可得结果.
【详解】
复数 满足 ，
，
，
即 ， ，
则 ，故答案为1.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
此时 的最小值为 ,故答案为 .
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，考查零点二次函数的性质，属于难题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
6．C
【解析】
【分析】
运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 到渐近线的距离为 ，由勾股定理可得 ，运用三角形的面积公式，结合 的关系，解得 ，即可求出双曲线方程．
【详解】
由题意可得 ①，可得 ，
设 ，渐近线为 ，
可得 到渐近线的距离为 ，
由勾股定理可得 ，
因为 的面积为 ，所以 ②，
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作两条斜率都存在的直线 ，设 与椭圆 交于 两点， 与椭圆 交于 两点，若 是 与 的等比中项，求 的最小值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先根据补集的定义求出 ，再由交集的定义可得结果.
【详解】
因为 ，
，
又因为 ，
，故选C．
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.
2．B
【解析】
试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中 ，所以直线 过点C时取最小值6，选B.
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
不妨设
当直线 过 时， 的值分别为 与1，
由图可知， 时直线 与 的图象有三个交点，
时, 方程 有三个不相等的实数根,
同理,若 ,可得 时，方程 有三个不相等的实数根,
所以实数 的取值范围是 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
10．
【解析】
【分析】
先求出二项式 的展开式的通项公式，令 的指数等于 ，求出 的值，即可求得展开式中 的项的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为 ，
令 ，
所以含 的项是
，
含 项的系数是 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 ，且 ,若方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．已知复数 满足 ，则 ________.
10．在 的展开式中，含 项的系数是________（请用数字作答）.
16．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标 ）、推理（能力指标 ）、建模（能力指标 ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标 的值评定学生的数学核心素养；若 ，则数学核心素养为一级；若 ，则数学核心素养为二级；若 ，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号
（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，记随机变量 ，求随机变量 的分布列及其数学期望.
17．如图l，在边长为2的菱形 中， ， 于点 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
将参数方程化为普通方程可得 为抛物线 ，将极坐标方程化为直角坐标方程可得 为以 为圆心，以4为半径的圆，求出抛物线与圆的交点可得 解得 ，结合抛物线定义可将三角形周长表示为 从而可得结果.
【详解】
由 得 ，即 为抛物线 ，①
抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由 ，得 ， ②
即 为以 为圆心，以4为半径的圆，
3．D
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，从而可得结果
.
【详解】
因为 ，
，
，故选D.
【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
绝密★启用前
天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．设 ， ， ，则 （ ）
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
19．设椭圆 的离心率 ，抛物线 的焦点恰好是椭圆 的右焦点 ．
∵方程 在（ 上有且只有四个实数根， 即 解得 .
故选B．
8．C
【解析】
【分析】
由 可得函数周期为2，结合函数在 上的解析式，利用周期作出 的函数图象,根据 和 交点个数判断 的范围.
【详解】
方程 有三个不相等的实数根，
等价于 和 有三个不同交点，
因为 ,所以 的周期为2，
由函数 ，利用周期性作出 的函数图象，如图所示:
由①②得 ， ，
，
由抛物线的定义可得 ，
又 ，
所以 的周长
，
，
，
即 的周长的取值范围是 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，以及圆的方程与性质、抛物线定义的应用，属于难题.利用关系式 ，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
14．
【解析】
【分析】
由向量的数量积公式求出 ，连接 ，利用向量加法的运算法则得出 ，再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得 ,结合二次函数的性质可得 的最小值，进而可得结果.
【详解】
连接 ， 等腰三角形 中, ，
,
是 的中线,
同理,可得 ,
由此可得