2020年高考数学(理)二轮专题学与练 24 解答题解题方法与技巧(考点解读)(原卷版)
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 23 填空题解题方法与技巧(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B)＝_________. 【解析】因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B)＝{2}． 【答案】{2}2．已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．【解析】z ＝1－i 2i ＝i 1－i 2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12.【答案】－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．【解析】设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.【答案】84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．【解析】由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.【答案】55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________． 【解析】从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13.【答案】136．设x ∈R ，则p ：“log 2x<1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)【解析】由log 2x<1，得0<x<2，由x 2－x －2<0可得－1<x<2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．【解析】由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.【答案】58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________． 【解析】由题意q≠1，设等比数列的公比为q(q≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q －5(1＋q)＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.【答案】319.已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 【解析】由0≤x<π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f(α)＝f(β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 【答案】7π610．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12]∪[12，＋∞)【解析】由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f(x)＝4－x 2，g(x)＝kx －1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k. 如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k≥12或k≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.【答案】π3【解析】由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋ac 2bc ＝a ＋c 2b ＝32，∴a ＋c ＝3b ，由正弦定理得：sinA ＋sinC＝3sinB ，又C ＝5π6－B ，∴sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝3sinB ，即12＋12cosB ＋32sinB ＝3sinB ，即12cosB －32sinB ＝cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－12，∴B ＋π3＝2π3，B ＝π3. 12．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】令f(x)＝lnx －x ，则f ′(x)＝1x －1＝1－x x .当0<x<1时，f ′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a>b>c. 13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为________．【答案】3＋22【解析】设yx ＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．15.已知P(x ，y)是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】5【解析】令x ＋y ＝t ，则问题转化为直线x ＋y ＝t 与椭圆有公共点时，t 的取值范围问题． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 29＝1y ＝－x ＋t 消去y 得，25x 2－32tx ＋16t 2－144＝0， ∴Δ＝(－32t)2－100(16t 2－144)＝－576t 2＋14400≥0， ∴－5≤t≤5，∴x ＋y 的最大值为5.16．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m>0，m ＋3>0.解得m≥6，即a ＋b≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x>0，比较x 与ln(1＋x)的大小，结果为________． 【答案】x>ln(1＋x)【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x>ln(1＋x)．解法二：令f(x)＝x －ln(x ＋1)． ∵x>0，f′(x)＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f(x)在x ＝0处连续， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x>0时，f(x)＝x －ln(1＋x)>f(0)＝0. ∴x>ln(1＋x)．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)．18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OC OM ＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】12【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12.20．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.21．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lnx －x 2＋2x x>02x ＋1 x≤0的零点个数为________个．【答案】3【解析】依题意，在x>0时可以画出y ＝lnx 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．【答案】212【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f(x)＝33x ＋x －1(x>0)，令f ′(x)＝－33x 2＋1>0，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f(x)有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.23．已知函数f(x)＝(2x ＋1)e x ，f′(x)为函数y ＝f(x)的导函数，则f′(0)＝________． 【解析】∵f(x)＝(2x ＋1)e x ， ∴f′(x)＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f′(0)＝3e 0＝3. 【答案】324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．【解析】由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O(0，0)，当O(0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝|2×0＋0－4|22＋12＝45，因此r ＝25，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.【答案】4π525．若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝________． 【解析】∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， 又f(2)＝f(0)＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝－2＋0＝－2. 【答案】－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．【解析】用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．【答案】①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．【解析】∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2，∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2，∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4.【答案】1－π428．知函数f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意可以画出函数f(x)在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f(x)与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 29．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．【解析】由(a ＋2b)⊥(a －2b)，得(a ＋2b)·(a －2b)＝0，即|a|2－4|b|2＝0，则|a|＝2|b|， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b)·(a －b) |a ＋b||a －b|＝a 2－b 2a 2＋2a·b ＋b 2·a 2－2a·b ＋b 2＝3b 221b 2＝217. 【答案】21730．已知函数f(x)＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，f(x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________．【解析】若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f(x)＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f(x)min ≤0，求导数，得f′(x)＝e x －1－t ，令f′(x)＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x ＝ln t ＋1处取得最小值f(ln t ＋1)＝t －t(ln t ＋1)＝－tln t ．所以－tln t≤0，由t ＞0，得ln t≥0，所以t≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪[1，＋∞)31．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．【解析】设数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d. 由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25， 即(a 1＋d)(a 1＋8d)＝(a 1＋4d)2， 化简上式得 a 1d ＝8d 2， 又d ＞0，所以a 1＝8d.所以a 1＋a 2＋…＋a ka 1＝a 1k ＋k(k －1)2da 1＝k ＋k(k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34.【答案】34 32．抛物线y 2＝2px(p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．【解析】由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B(x 0，y 0)，C(x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得4a 2－16b 2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1.【答案】2＋133．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos Acos Bcos C＝________.【解析】由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ，于是k ＝116，从而cos Acos Bcos C ＝320×215×112＝110. 【答案】11034．已知函数f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)最大值是________．【解析】法一：当x ＝0时，原式值为0；当x≠0时，由f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f(x)＝g(t)＝2t t 2＋1＝2t ＋1t .而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f(x)≤12.即f(x)的最大值为12.法二：f(x)＝2x(x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32， 于是令t ＝xx 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x ≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.【答案】1235．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________.【解析】由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋(3)2＝2 3.【答案】2336．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________. 【解析】因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.【答案】1 037．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.【解析】由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n－1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 【答案】3n －1 23(4n －1) 38．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．【解析】由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋(2)2＝11，所以四棱锥的侧面高为(11)2－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8. 【答案】28＋410 839．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．【解析】令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017 ＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a2 017＝－a 0＝－1. 【答案】－1 －140．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．【解析】因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2x x ＋3>0，所以0<x <21，则xy ＋5x ＋4y ＝x (42－2x )x ＋3＋5x ＋4(42－2x )x ＋3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 (x ＋3)·16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55.【答案】5541．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎡⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．【解析】如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.【答案】312π。
2020版新高考二轮复习理科数学专项小测24 “20题、21题”+Word版含解析
专项小测(二十四) “20题、21题”时间：45分钟 满分：24分20.(12分)已知函数f (x )＝a cos x x ＋b ，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为6x ＋πy －2π＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)判断方程f (x )＝32π－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明．解：(1)直线6x ＋πy －2π＝0的斜率为－6π，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2a π＝－6π，即a ＝3， (2分) 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝b ＝－1，所以f (x )＝3cos x x －1. (4分)(2)方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解．(5分) 证明：令g (x )＝f (x )－32π＋1＝3cos x x －32π，则g ′(x )＝－3(x sin x ＋cos x )x 2. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝93π－32π＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－32π＜0， 所以g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上至少有一个零点． 又g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减，故在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上只有一个零点．(7分) 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2时，cos x ＜0，故g (x )＜0， 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上无零点； (8分)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π时， 令h (x )＝x sin x ＋cos x ，h ′(x )＝x cos x ＞0，所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递增，h (2π)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0， 所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，使得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，x 0上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减．又g (2π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上有2个零点．(10分)综上，方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解．(12分)21．(12分)某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为k ＋1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p .(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p ＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k ＝5，p ＝0.1时，求ξ的分布列；②运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．解：(1)对3人进行检验，且检验结果是独立的．设事件A ∶3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率P (A )＝C 13·0.1·0.92＝0.243. (4分)(2)①当k ＝5，p ＝0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1－0.95，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为(8分)②分组时，每人检验次数的期望如下： P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＝(1－p )k ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＋1＝1－(1－p )k ， 所以E (ξ)＝1k ·(1－p )k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1[1－(1－p )k ]＝1－(1－p )k ＋1k . 不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需1－(1－p )k ＋1k ＜1，即1－p ＞1k k， 所以当1－p ＞1k k 时，用分组的办法能减少检验次数．(12分)。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 22 选择题解题方法与技巧(考点解读)(解析版)
专题22 选择题解题方法与技巧数学选择题，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，同学们能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．数学选择题的求解，一般有两种思想，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适合. 下面结合典型试题，分别介绍几种常用方法．解题方法一 定义法定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．例1．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1【解析】由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m3，∴m ＝－6或1. 【答案】A【感悟提升】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF 1|·|PF 2|的值．【变式探究】已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为 ( ) A ．10 B ．4 C ．15 D ．5【解析】由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，所以由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离为5.【答案】D解题技巧二 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．例2、在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22 C.5D ．2【答案】A【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 018x ，x >1.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c的取值范围是 ( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．(2,2 019)D ．[2,2 019]【解析】作出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，不妨设a <b <c ，由正弦曲线的对称性，可得(a ，m )与(b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 018x ＝1，解得x ＝2 018，∴若满足f (a )＝f (b )＝f (c )(a ，b ，c 互不相等)，由a <b <c 可得1<c <2 018，因此可得2<a ＋b ＋c <2 019，即a ＋b ＋c ∈(2,2 019)，故选C.【答案】C【反思领悟】数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中结合y ＝f (x )的图象求范围．解题技巧三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．例3、设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]【解析】选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.【答案】D【反思领悟】应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用函数f (x )为偶函数排除干扰项，然后取一特殊值验证函数值的大小．【变式探究】已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ―→＝ma ，AQ ―→＝nb ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13【解析】由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．如图，PQ ∥BC ，则AP ―→＝23AB ―→，AQ ―→＝23AC ―→，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.【答案】A 解题技巧四 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．例4、若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >bD ．b >c >a【解析】由指数函数的性质可知y ＝2x 在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)，因为sin 25π∈(0,1)，所以c ＝log 2sin2π5<0。
2020高考数学(理科)二轮总复习压轴专题2 函数、导数与不等式课时跟踪检测(二十四)
第一部分 高考层级专题突破层级三 2个压轴大题 巧取高分专题二 函数、导数与不等式第二讲 导数与不等式课时跟踪检测(二十四) 导数与不等式A 卷1．(2019·浙江模拟)已知f (x )＝e x ＋e －x －a ln x (a ∈N ，且a ≥2)的极值点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求a 的值；(2)若不等式f (x )≥b (b ∈Z )恒成立，求b 的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x －e －x －a x ，f ″(x )＝e x ＋e －x ＋a x 2，在(0，＋∞)上，f ″(x )>0恒成立，∴f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (x )＝e x ＋e －x－a ln x (a ∈N ，且a ≥2)的极值点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1e－2a <0，f ′(1)＝e －1e －a >0， 又a ∈N ，且a ≥2.可得a ＝2.(2)首先当x ＝1时，f (1)＝e ＋e －1∈(3,4)，又∵b ∈Z ，∴b ≤3.其次，我们可以证明不等式：e x ＋e －x >x 2＋2(x >0)．设g (x )＝e x ＋e －x －x 2－2(x >0)，g ′(x )＝e x －e －x －2x ，g ″(x )＝e x ＋e －x －2>0恒成立．∴g ′(x )＝e x －e －x －2x >g ′(0)＝0恒成立．∴g (x )>g (0)＝0恒成立．∴e x ＋e －x >x 2＋2(x >0)．∴e x ＋e －x －2ln x >x 2＋2－2ln x (x >0)．设h (x )＝x 2＋2－2ln x (x >0)，h ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x. 可得当x ＝1时，函数h (x )取得极小值即最小值，∴h (x )>h (1)＝3，∴e x ＋e －x －2ln x >3恒成立，∴b 的最大值是3.2．(2019·深圳二模)已知函数f (x )＝a e x ＋2x －1.(其中常数e ＝2.718 28…，是自然对数的底数)(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：对任意的a ≥1，当x >0时，f (x )≥(x ＋a e)x .解：(1)由f (x )＝a e x ＋2x －1，得f ′(x )＝a e x ＋2.①当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增；②当a <0时，由f ′(x )>0，解得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ， 由f ′(x )<0，解得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递减． 综上所述，当a ≥0时，函数f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递减． (2)证明：f (x )≥(x ＋a e)x ⇒e x x －x a －1ax ＋2a －e ≥0，令g (x )＝e x x －x a －1ax ＋2a －e ，则g ′(x )＝(x －1)(a e x －x －1)ax 2. 当a ≥1时，a e x －x －1≥e x －x －1.令h (x )＝e x －x －1，则当x >0时，h ′(x )＝e x －1>0，∴当x >0时，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.∴当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．∴g (x )≥g (1)＝0.即e x x －x a －1ax ＋2a －e ≥0，故f (x )≥(x ＋a e)x .B 卷1．(2019·桃城区校级模拟)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2)当a >1时，求证：存在c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，使得对任意的x ∈(c,1)，恒有f (x )>ax (x －1)．解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1，∴f (1)＝0，k ＝f ′(1)＝1，故所求切线方程为y －0＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.(2)证明：由f (x )>ax (x －1)，得x ln x >ax (x －1)，由x >0，可得ln x >a (x －1)，设g (x )＝ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 由g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上是减函数及g (1)＝0，得当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，g (x )>0，① 又g (e －a )＝ln e －a －a (e －a －1)＝－a e －a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －a ，1a ，即x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，使得g (x 0)＝0. 又g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1a 上是增函数， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1a 时，g (x )>0.② 由①②可知，存在c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1a ，使g (x )>0恒成立， 即存在c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，使得对任意的x ∈(c,1)，恒有f (x )>ax (x －1)．2．(2019·凯里市校级模拟)已知函数f (x )＝2x －1x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝f (x )－x ＋2a ln x ，且g (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈(0,1]，证明：g (x 1)≥g (x 2)．解：(1)易求f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝3时，f (x )＝2x －1x －3ln x ，f ′(x )＝2＋1x 2－3x ＝2x 2－3x ＋1x 2， 令f ′(x )>0得0<x <12或x >1；令f ′(x )<0得12<x <1，∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 即当x ＝12时，函数f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋3ln 2， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值f (1)＝1.(2)证明：由已知得g (x )＝f (x )－x ＋2a ln x ＝x －1x ＋a ln x ，x >0，g ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2， 令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0，∵g (x )有两个极值点x 1，x 2，∴⎩⎨⎧ Δ＝a 2－4>0，x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－2，a ＝－(x 1＋x 2)，x 2＝1x 1，∴g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝x 1－1x 1＋a ln x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－x 1＋a ln 1x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1ln x 1， 设h (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln x ，x ∈(0,1]， ∵h ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 1x ＝2(1＋x )(1－x )ln x x 2，当x∈(0,1]时，恒有h′(x)<0，∴h(x)在x∈(0,1]上单调递减，∴h(x)≥h(1)＝0，故g(x1)－g(x2)≥0，即g(x1)≥g(x2)成立．。
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习24 不等式
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识24 不等式1.（2022年甲卷）23. 已知a ，b ，c 均正数，且22243a b c ++=，证明：（1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； 【小问2详解】证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由（1）得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++， 当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 2.（2022年乙卷）23. 已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤； （2）a b c b c a c a b ++≤+++； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则320a >，320b >，320c >，所以3332223a b c ++≥即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号． 【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥a c +≥a b +≥所以32aa b c≤=+32b b ac ≤=+32c c a b ≤=+333333222222a b c a b c a b c b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等3.【2021年乙卷】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 4.【2021年甲卷】 已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >， 当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.1.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.2.使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。
(高考专题数学)2020年高考 二轮专题复习 数学理科 (16)
2020年高考 二轮专题复习 数学理科 规范——解答题的6个解题模板及得分说明 1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分 高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写. 2.不求巧妙用通法，通性通法要强化 高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点. 3.干净整洁保得分，简明扼要是关键 若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分. 4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题 (1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.
模板1 三角问题 [例1] (满分14分)在△ABC中，点D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍. (Ⅰ)求sin Bsin C； 2020年高考 二轮专题复习 数学理科 (Ⅱ)若AD＝1，DC＝22，求BD和AC的长. 满分解答 解 (Ⅰ)因为S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD.(2分) 又因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.(4分) 由正弦定理可得sin Bsin C＝ACAB＝12.(6分)
(Ⅱ)因为S△ABDS△ADC＝12BD·h12DC·h＝BDDC，DC＝22，所以BD＝2.(7分) 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.(10分) 因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.(12分) 由(Ⅰ)知AB＝2AC，所以AC＝1.(14分) 得分说明 ①用了面积表达式，即两个表达式写对得2分； ②得出AB＝2AC得2分； ③给出结果得2分；④得出BD＝2得1分； ⑤正确写出余弦定理得3分； ⑥得出关于AB，AC的关系式得2分； ⑦得出AC＝1得2分. 解题模板 第一步 找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向. 第二步 定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化. 第三步 求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果. 第四步 再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性. 【训练1】 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a＋b2020年高考 二轮专题复习 数学理科 ＝3c，2sin2C＝3sin Asin B. (1)求角C； (2)若S△ABC＝3，求边c.
2020高考理科数学二轮分层特训卷：方法技巧专练(四)Word版含解析
专练 (四)技法 14 函数方程思想1．已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点E 在线段 AB 上运动 (包括→ →端点 )，则 EM ·EC 的取值范围是 ()1 3 A. 2，2 B. 0，21 3C. 2，2 D ．[0，1] 答案： C分析： 解法一1将正方形 ABCD 放入如下图的平面直角坐标系中，设 E(x ，0)，0≤ x ≤ 1.又 M 1， 2 ，→ 1 → → → 1C(1， 1)，所以 EM ＝ 1－ x ， 2 ， EC ＝ (1－ x ， 1) ，所以 EM ·EC ＝ 1－ x ，2 ·(1－ x ， 1) ＝ (1－x)2＋ 1 0≤ x ≤ 1，所以 1 1 3 .由于 ≤ (1－ x)2＋ ≤ ，2 2 2 2→ → 1 3 即 EM ·EC 的取值范围是 2，2 .→ →→1→→→→1→→1 → 1 解法二 EM ·EC ＝ EB ＋ 2BC ·(EB ＋BC) ＝EB 2＋ 2BC 2＝ EB 2＋ 2，又 0≤ |EB|≤ 1，所以 2 → 1≤ 3 → → 1 3 ≤EB 2 2，2 .＋ 2 2，即 EM ·EC 的取值范围是 2．将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的 最大概积为 ( )π 8πA. 27B.27 π 2πC.3D. 9 答案： B分析：r2－ x如下图， 设圆柱的半径为r ，高为 x ，体积为 V ，由题意可得 1＝2，所以 x ＝ 2－ 2r ，所以圆柱的体积V＝πr2 (2－2r )＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，设 V( r)＝ 2π(r 2－ r3)(0< r<1) ，则 V′( r)＝2π(2r －3r 2)，2由 2 π(2r － 3r 2)＝ 0 得 r ＝，32 2 23 8π所以圆柱的最大概积 V max＝ 2π3 － 3 ＝27.3． [2019 ·西西安二模陕] 已知函数f(x)＝ x2＋4x＋ 4，若存在实数t，当 x∈ [1， t]时， f(x －a)≤ 4x(a>0)恒成立，则实数 t 的最大值是 ( )A．4 B．7C．8D． 9答案： D分析：作函数 f(x)＝ x2＋ 4x＋ 4＝ (x＋ 2)2的简图如下图．由图象可知，当函数 y＝ f(x－a)的图象经过点 (1， 4)时，有 x∈ [1，t]， f(x－ a)≤ 4x(a>0) 恒成立，此时 t 获得最大值，由(1－ a)2＋ 4(1－ a)＋ 4＝4，得 a＝5 或 a＝ 1(舍 )，所以 4t＝ (t－ 5＋ 2)2，所以 t＝ 1(舍 )或 t＝ 9，故 t＝ 9.4． [2018 全·国卷Ⅰ ]△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c.已知 bsin C＋ csin B＝4asin Bsin C， b2＋ c2－ a2＝8，则△ ABC 的面积为 ________．2 3答案：分析：∵ bsin C＋ csin B＝ 4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋ sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.1又 sin Bsin C ＞ 0，∴ sin A＝2.由余弦定理得cos A＝ b2＋ c2－ a2 ＝8 ＝ 4 ＞ 0，2bc 2bc bc3 4 8 3∴ cos A＝2 ， bc＝cos A＝3 ，∴ S△ABC＝1 b csin A＝1×8 3×1 ＝2 3.2 23 2 35．已知 { a } 为等差数列，前* )， { b } 是首项为 2 的等比数列，且公比n 项和为 S (n∈ Nn n n大于 0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－ 2a1，S11＝ 11b4.则 a n＝ ________， b n＝ ________.答案： 3n－ 22n分析：设等差数列 { a n} 的公差为 d，等比数列 { b n} 的公比为 q.由已知 b2＋ b3＝ 12，得 b1 (q212＋q － 6＝ 0，解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 3，又由于 q>0，所以 q ＝2.所＋q )＝ 12，而 b ＝ 2，所以 q 以 b ＝ 2.由 b ＝ a － 2a ，可得3d － a ＝ 8 ① .nn 34 11由 S ＝ 11b，可得 a ＋ 5d ＝ 16 ② ，联立 ①② ，解得 a ＝ 1，d ＝ 3，由此可得 a ＝ 3n11411n－2.所以数列 { a n } 的通项公式为 n n n na ＝3n － 2，数列 { b } 的通项公式为b ＝ 2 .2 26．已知双曲线 C ： x 2－ y2＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点分别为 F 1(－ c ，0) ，F 2(c ， 0)， P a b是双曲线 C 右支上一点，且 |PF 2|＝ |F 1F 2|，若直线 PF 1 与圆 x 2＋y 2＝ a 2 相切，则双曲线的离心率为 ________．答案： 53分析： 取线段 PF 1 的中点为 A ，连结 AF 2，又 |PF 2|＝ |F 1F 2|，则 AF 2⊥PF 1，∵ 直线 PF 11与圆 x 2＋ y 2 ＝a 2 相切， ∴ |AF 2 |＝2a ， ∵ |PA|＝ 2|PF 1|＝a ＋ c ， ∴ 4c 2＝ (a ＋ c)2＋ 4a 2，化简得 (3c5－5a)(a ＋c)＝ 0，则双曲线的离心率为 3.1＋ 2x ＋ 4x ·a7．已知函数 f(x)＝ lga 2－ a ＋1 ，此中 a 为常数，若当 x ∈ (－∞， 1] ， f(x)存心义，则实数 a 的取值范围为 ________．3答案： － 4，＋∞分析： 参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接成立对于a 的不等式 (组 )特别困难， 故应变换思想角度， 想法从原式中把 a 分别出来， 从头认识 a 与变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题 “ 峰回路转 ”．由 1＋ 2x ＋ 4x ·a >0 ，且 a 2－ a ＋ 1＝ a －1 2＋ 3>0，2－a ＋ 124a1 1得 1＋2x ＋ 4x ·a>0，故 a>－ 4x ＋ 2x .1 1当 x ∈ (－ ∞， 1]时， y ＝ 4x 与 y ＝2x 都是减函数，1 1所以，函数 y ＝－ 4x ＋2x 在 (－ ∞， 1]上是增函数，1 1 3 3所以 － － 4x ＋ 2xmax ＝－4，所以 a>－ 4.3故实数 a 的取值范围是－4，＋ ∞ .xx 2912 － 1－ a － 4 x ≥0 在 x ∈ ，＋∞上恰成立， 则 a 的取值会合8．对于 x 的不等式 e － 2 为________．答案： {2 e}x 2分析： 对于 x 的不等式 e x－9 x ≥ 0 在 x ∈ 12 － 1－ a － 4 ，＋ ∞ 上恰成立 ? 函数 g(x)＝2 e x － 1 2x 2－ 11 9 x在 2，＋ ∞ 上的值域为 a － 4，＋ ∞ . e x 1x － 1 － 2x 2＋ 1由于 g ′ (x)＝x 2，令 φ(x)＝ e x(x －1) －1x 2＋ 1， x ∈ 1，＋ ∞ ，2 2 则 φ′ (x)＝ x(e x － 1)．11 17 e由于 x ≥2，所以 φ′ (x)≥ 0，故 φ(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加， 所以 φ(x)≥ φ 2 ＝ 8－2 >0.1所以 g ′ (x)>0，故 g(x)在 2，＋ ∞ 上单一递加，1 11e 2－ 8－ 19则 g(x)≥ g 2 ＝1＝ 2 e －4，2 99所以 a － 4＝ 2 e － 4，解得 a ＝ 2 e ， 所以 a 的取值会合为 {2e} ．9．[2018 ·国卷全 Ⅱ 节选 ] 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， |AB|＝ 8.求 l 的方程．分析： 由题意得 F(1， 0)， l 的方程为 y ＝ k(x － 1)(k>0) ．设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，y ＝ k x － 1 ，得 k 2x 2－(2k 2＋ 4)x ＋k 2＝0.由y 2＝ 4x2k 2＋ 4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x1＋x2＝k 2.4k 2＋ 4所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF |＝(x1＋1) ＋(x2＋ 1)＝ k 2.4k 2＋ 4由题设知 k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1(舍去 )或 k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝ x －1.10．已知数列 { a } 是各项均为正数的等差数列，a ＝ 2，且 a ， a ， a ＋1 成等比数列．n1234(1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ；1 ＋1＋ ＋ 1 ，若对随意的(2)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， b n ＝ n ∈ N *，不等式n ＋ 1n ＋ 2S 2nb ≤ k 恒成立，务实数 k 的最小值． SSn2分析： (1)由于 a 1＝ 2， a 3＝a 2 (a 4＋ 1)， 又由于 { a n } 是正项等差数列，所以公差 d ≥ 0， 所以 (2＋ 2d) 2＝ (2＋d)(3 ＋3d)， 解得 d ＝ 2 或 d ＝－ 1(舍去 )， 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2n. (2)由 (1) 知 S n ＝ n(n ＋ 1)，则 b n ＝ 1 ＋ 1＋ ＋ 1S n ＋1 S n ＋ 2 S 2 n 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 2 n ＋ 3 2n 2n ＋ 11 1 1 1 1 1＝－＋－＋ ＋－n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋2 n ＋ 32n 2n ＋ 11 1 ＝ n 1 .＝－＝1 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n 2＋ 3n ＋ 12n ＋ n ＋ 3令 f(x) ＝2x ＋ 1 (x ≥ 1)，则 f ′ (x)＝ 2－ 12， xx 当 x ≥ 1 时， f ′ (x)>0 恒成立， 所以 f(x)在 [1，＋ ∞ )上是增函数， 故当 x ＝1 时， f(x) min ＝f(1) ＝ 3，1即当 n ＝ 1 时， (b n )max ＝ 6，要使对随意的正整数n ，不等式 b n ≤ k 恒成立，1则需使 k ≥ (b n )max ＝ 6，所以实数 k 的最小值为16.。
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专题24 解答题解题方法与技巧解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题．结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题．高频考点一 三角函数或解三角形 【命题角度】(1)三角函数式的求值与化简问题； (2)单纯三角函数知识的综合； (3)三角函数与平面向量交汇； (4)三角函数与解三角形的交汇； (5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇. 例1、设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【增粉策略】解决此类问题还应注意： ①化简时，公式应用要准确； ②注意所给角或参数的范围；③在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略k 取整数； ④求最值或范围时，应满足在定义域内．【变式探究】在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值；(2)求c 的值．【增粉策略】解决三角形问题还应注意：①不要忘记三角形中的隐含条件(A＋B＋C＝π，a＋b>c)；②注意边角互化，化为所求的问题；③利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义．高频考点二立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例2、如图，已知四棱锥PABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面P AB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【变式探究】如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，∠APB＝90°.(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．【增粉策略】解决此类题目应注意：①证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；②找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；③计算线面角的大小时一定要仔细．高频考点三函数、导数与不等式【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见 题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值； (2)利用导数证明不等式或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值. (一)利用分类讨论思想探究函数性质 例1、设函数f (x )＝x 22－a ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 【感悟提升】 1．解答这类题的模板定义域―→求导数―→零点―→列表―→回答―→遇见参数要讨论哪一步遇见就在哪一步展开讨论2．解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不重不漏．【变式探究】函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )． (二)利用数形结合思想探究函数的零点例2、函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求f (x )的单调区间；(2)若y ＝f (x )－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围． 【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象． (3)结合图象求解．【变式探究】设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．(三)利用函数思想证明不等式例3、已知函数f (x )＝1－xax ＋ln x 在(1，＋∞)上是增函数，且a >0.(1)求a 的取值范围；(2)若b >0，试证明1a ＋b <ln a ＋b b <a b .【感悟提升】1．利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h (x )．(3)利用导数研究h (x )的单调性及最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明 f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数． 【变式探究】已知函数f (x )＝e x＋m－x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3. (四)利用转化与化归思想求解恒成立问题 例4、已知函数f (x )＝ln x .(1)求函数g (x )＝f (x ＋1)－x 的最大值；(2)若对任意x >0，不等式f (x )≤ax ≤x 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 【变式探究】已知函数f (x )＝ln x ＋a2x 2－(a ＋1)x .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2，求f (x )的单调区间； (2)若x >0时，f x x <f ′x2恒成立，求实数a 的取值范围【感悟提升】函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解； (3)轨迹方程及探索性问题的求解. (一)巧妙消元证定值例4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等． 【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． (二)构造函数求最值如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【感悟提升】最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的．【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2.求椭圆的方程；(三)寻找不等关系解范围已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 【变式探究】已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围． (四)确定直线寻定点已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【变式探究】已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．(五)假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 【变式探究】已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．【方法策略】圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中． 在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：13m2＋1n2为定值．【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．【变式探究】已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|P A|·|PB|，求实数λ的取值范围．。