1.3.2 含有一个量词的命题的否定

1.
2. 3.
p q 的否定： p q p q 的否定：p q
p
的否定：
p
小结
全称命题 表述
否定

任意 x ∈M，p（x）
存在x ∈M， ¬ p（x）
小结
存在性命题 表述
否定

存在 x ∈M，p（x）
任意x ∈M， ¬ p（x）
）
B.有的自然数的平方是正数；
C.至少有一个自然数的平方是正数；
D.至少有一个自然数的平方不是正数。
3.命题“存在一个三角形，内角和不等于 180o” 的否定为（ B ） A.存在一个三角形，内角和等于180o ； B.所有三角形，内角和都等于180o ； C.所有三角形，内角和都不等于180o ； D.很多三角形，内角和不等于180o 。 4. 命 题 “ 乌 鸦 都 是 黑 色 的 ” 的 否 定 至少有一个乌鸦不是黑色的 为:______________________________. 5. 命 题 “ 有 的 实 数 没 有 立 方 根 ” 的 否 定 真 命题.（填“真”、“假”） 为:_____
知识应用
例2 写出下列命题的否定:
（1）中学生的年龄都在15岁以上； （2）有的三角形中，有一个内角是直角； （3）锐角都相等； （ 4 ）我们班上有的学生不会用电脑．
知识应用
例3 写出下列命题的否定，并判断其真假:
（1）三角形的内角和是1800； （2）所有的等边三角形都全等； （3）实系数一元二次方程有实数解； （ 4）有的实数没有平方根.
（3）平行四边形的对边相等；
（4） x∈R，x2-x+1＝0； 解：（3）原命题的否定是： （4）原命题的否定是：
“ x R, x x 1 0 ”
2
“ 存在平行四边形，它的对边不相等”
数学建构
1.全称命题的否定是存在性命题，要证明一个全称命题是 假命题，只需举一个反例即可．有些全称命题省略了量词，
例1、写出下列命题的否定：
（1）所有的人都晨练；
知识应用
（2）x∈R，x2+x+1>0；
（3）平行四边形的对边相等； （4） x∈R，x2-x+1＝0； 解： （1）原命题的否定是： “有的人不晨练”. （2）原命题的否定是： “ x R, x 2 x 1 0 ”
例1、写出下列命题的否定：
知识应用
例4
已知函数f ( x) x 2 2x 3
(1)是否存在实数 m, 使不等式m f ( x) 0对任意x R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数 x0 , 使不等式m f ( x0 ) 0成立，求出实数 m的范围 .
巩固应用：
1.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（ C A.所有人都不遵纪守法；B.有的人遵纪守法； C.有的人不遵纪守法； D.很多人不遵纪守法。 2.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为 （ D ） A.所有自,3x x; x∈R，3x＝x
（2） x∈R，sinx＝1；x R, sin x 1;
（3） x∈{-2,-1,0,1,2}，︱x-2︱<2
x {2,1,0,1,2}, x 2 2;
补充：有逻辑联结词的命题的否定：
这种情况下对其否定时应加上存在量词；
2.存在性命题的否定是全称命题，有些存在性命题省略了 量词，这种情况下对其否定时应加上全称量词．
数学建构
常见量词的否定：
量词 都是 至少一个 至多一个 大于 小于 任意 所有 量词的否定 不都是（与“都不是”有区别） 一个也没有 至少两个 不大于（即小于或等于） 不小于（即大于或等于） 某个（某些） 某个（某些）
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
情境引入
对于下列命题：
（1）所有的人都喝水； （2）存在有理数x，使x2－2＝0； （3）对所有实数a，都有 思考
a
≥0.
试对上述命题进行否定，你发现了什么规律？
数学建构：
一般地：
“ x∈M，p（x）”的否定为“
x
∈M， ¬ p（x）”；
“

x∈M，p（x）”的否定为“ x ∈M， ¬ p（x）”．