太原高中平面几何讲义

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高二数学竞赛讲义11平面几何中的几个重要定理0平面几何知识点总结

平面几何的几个重要定理4.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：1PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=⋅⋅∆∆RBAR QA CQ ，则、、长线分别交于或它们的延、、的三边并且与的顶点，不经过梅涅劳斯定理：若直线三点共线；、、，则，这时若或数为边上的点的个三点中，位于、、并且三点，上或它们的延长线上的、、三边的分别是、、梅涅劳斯逆定理：设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=⋅⋅∆∆RB AR QA CQ 1:.3=⋅⋅∆RBAR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点，则、、的分别是、、塞瓦定理：设M Q R A CP B ；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅三点共线；、、则，、、的垂线，垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ∆.5的外接圆上；在则在同一直线上，、、若其垂足作垂线，的延长线或它们的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ∆∆)(.6；，则、于分别交和，连接和弦任意引的中点蝴蝶定理：一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ;2.8GH OG H G O H G O ABC =∆且三点共线，、、，则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理：设三线共点。

、、则，、、外面，做三个正三角形的的小于费马点：在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ∆︒三角形。

8.4.1平面-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

说明：两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线
β
⑵画两平面的交线
⑶分别画三条线的平行线
⑷把被遮部分的线段画成
α
虚线,其它为实线.
注：画相交平面时，虚线实线要清楚
说明：两相交平面的画法：
如果一个平面的一部分被另一个平面遮住，为增强立体感，常把遮住部分画成虚线。
说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线画成虚线，而立体几何凡是被平面遮住的线都画成虚线，凡是不被遮住的线画成实线（无论原题有的，还是后引的辅助线）
➢针对练习
1、下列说法正确的是（ D ） A、经过三点确定一个平面 B、经过一条直线和一个点确条直线确定一个平面
2．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个解析：①④错误，②③正确．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数（２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( B )
（A)最多4条最少3条（B）最多3条最少1条（C)最多3条最少2条（D）最多2条最少1条
➢针对练习 5、判断下列命题的真假：
1. 平面的形状是平行四边形 2.任何一个平面图形都可以表示平面 3.空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线 4.平面可用平行四边形的对角顶点的两个大写字母表示 5.平面ABCD的面积为10cm2 6.一条直线和一个平面可能没有公共点
推论 3.两条平行直线唯一确定一个平面
C
B l1
l2
A
二、平面的基本性质
基本事实1：不在同一直线上的三点唯一确定一个平面

山西省太原市中考数学知识点聚焦第十八章平行四边形

⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩平行四边形的定义、表示法平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心对边平行且相等平行四边形的性质对角相等，邻角互补对角线互相平分平行四边形夹在两条平行线间的平行线段相等：平行线间的距离边平行四边形的判定角对角线定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：四个角都是直角，对角线相等有关推论：直角三角形斜边矩形平行四边形特殊的平行四边形⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩上的中线等于斜边的一半定义判定对角线相等的平行四边形是矩形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形四边相等菱形性质两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角定义判定四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形定义：一组邻边相等的矩形是正方形正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质判定⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩三角形的中位线第42讲平行四边形||推论知识能力解读知能解读（一）平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

注意（1）只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。

（2）平行四边形的概念具有性质和判定的双重作用。

（1）两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.（2）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.知能解读（五）三角形的中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.（2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.注意与三角形的中位线有关的三个结论：（1）三条中位线组成一个三角形，其周末长为原三角形周长的一半，面积为原三角形面积的四分之一；（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；（3）三角形的一条中位线与第三条边上的中线互相平分.方法技巧归纳方法技巧（一）平行四边形的判定方法平行四边表的判定方法较多，在使用对关键是根据已知条件灵活选择适当的方法.如果题目中边的条件较多，就考虑使用边的判定方法进行判断；如果已知条件主要是关于对角线的，可利用对角线互相平分进行判断；而如果已知条件是针对角的，应想到利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.方法技巧（二）利用平行四边形边的性质进行计算一般先根据平行四边形的对边相等找到周长与两邻边长的关系，再结合已知线段求解。

平面几何讲义

BP 1 CQ 2 = , Q 是 CA 上一点, = , AP, BQ 相交于 PC 2 QA 3
A
AR . RP
解直线 BRQ 是 ΔAPC 的一条截线,所以由 Menelaus 定理得:
Q
PB CQ AR ⋅ ⋅ = 1. BC QA RP
B P
R
C
1
荷马史诗《伊里亚特》中的阿伽门农的兄弟叫 Menelaus,特洛伊战争期间的斯巴达王.Menelaus 的妻子就是 Helen,Helen 是 Zeus 与 Leda 的女儿,是古希腊神话中最美丽的女人,Paris 诱拐 Helen 导致特洛伊战争的爆发.我们这里的 Menelaus 是另外一个人,他是公元一世纪的数学家. 6
1.1 线共点:Ceva 定理
Ceva 定理由意大利工程师 Gviovanni Ceva(1647-1734)发表于 1678 年.为了纪念 Ceva, 人们把三角形顶点与其对边上任一点的连线叫做 Ceva 线. Ceva 定理 ABC 是三角形, P, Q , R 分别是直线 BC , CA, AB 上的点.直线 AP, BQ , CR 共点的充要条件是(使用有向距离) BP CQ AR ⋅ ⋅ = 1. PC QA RB 证明:必要性设直线 AP, BQ , CR 相交于点 T , 由于 BP 与 PC 的比等于 B 到 AP 的距离与 C 到 AP 的距离的比,所以
因为 ∠ABE = ∠ACF = 90° ,所以
1 SΔCBF 2 ⋅ BC ⋅ CF ⋅ sin ∠BCF AC ⋅ cos ∠BCA HC = = = . SΔBEC 1 ⋅ BC ⋅ BE ⋅ sin ∠CBE AB ⋅ cos ∠ABC HB 2 AD BH CG 所以 ⋅ ⋅ = 1 .由 Ceva 定理 BF , CE , AH 共点. DB HC GA

高中数学竞赛讲义-平面几何证明新人教A版

§20平面几何证明1．线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形；（2）利用等腰△；（3）利用平行四边形；（4）利用等量代换；（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。

2．线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。

如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。

（2）直接用已知的定理。

例如：中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3．两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。

（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

例题讲解1．从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。

从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。

求证：BE平分CD。

2．△ABC内接于⊙O,P是弧 AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。

求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

3．已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点,两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。

求证：∠O1AO2=∠M1AM2。

4．在△ABC中,AB>AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,求证：AE=。

.5．∠ABC的顶点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O相交,过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线,交⊙O于P,交BC于M。

求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

6．在△ABC中,AP为∠A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP于H,AM的延长线交BH于Q,求证：PQ∥AB。

7．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第18章圆中的极点、极线

第18章圆中的极点、极线在平面解析几何中，介绍了如下直线方程的几何意义：对于一已知点00(,)M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r +=（*）的几何意义有如下3种情形：当点00(,)M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为00(,)M x y ．当点00(,)M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦直线．点00(,)M x y 在切点弦的中垂线上．当点00(,)M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点（即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．为了讨论问题的方便，对于上述三种情况，统称点M 与对应的直线l 为关于圆C 的极点与极线（可推广到圆锥曲线）．事实上，如图18-1，点M 、N 为一双对应点，且满足条件：2OM ON r ⋅=．Or(l )(N )M (M )NT 2lT 1图18-1注：满足条件2OM ON r ⋅=（O 为圆心，r 为圆的半径）的点的变换，称为反演变换．因此，一般地，有定义1 设O 是平面上一个定圆（半径为r ），点M 、N 为满足条件2OM ON r ⋅=的对应点（或反点），则过点N 且垂直于OM 的直线l 称为点M 关于O 的极线，点M 称为直线l 关于O 的极点．显然，对于平面上不过圆心O 的直线l 关于O 的极点是圆心O 在直线l 上的射影关于O 的对应点（反点）．由定义1可以看出，给定了平面上的一个圆，除圆心外，平面上每一点都有唯一确定的极线；除过圆心的直线外，平面上每一条直线都有唯一确定的极点．因而极点与极线是平面上除圆心以外的点与平面上除过圆心的直线以外的直线间的一个一一对应关系．在普通平面上，圆心没有极线，过圆心的直线没有极点．由此亦可知，当点M 在O 上时，点M 的极线就是O 在M 的切线，切线的极点就是切点；当点M 在O 外时，点M 的极线就是过点M 所引O 的两条切线的切点弦直线；与O 相交的直线的极点就是O 在交点处的两条切线的交点；当点M 在O 内且不为圆心时，点M 的极线在圆外，是过点M 的对应点（反点）N ，且与以M 为中点的弦平行的直线；O 外的直线l 的极点可以这样得到：过O 作ON l ⊥于N ，过N 作O 的两条切线得切点1T 、2T ，切点弦12TT 的中点M 即为直线l 的极点．于是，我们有性质1 设A 、B 两点关于O 的极线分别为a ，b ，若点A 在直线b 上，则点B 在直线a 上．证明如图18-2，若A 、B 是O 的两个互反点，则结论显然成立．若A 、B 不是O 的两个互反点，由于点A 在点B 的极线b 上，因而O 、A 、B 三点不共线．A'B图18-2设A 、B 关于O 的反点分别为A '、B '，则由2OA OA r OB OB ''⋅==⋅，知A 、A '、B 、B '四点共圆．由于点A 在直线b 上，所以AB OB '⊥，从而BA OA ''⊥，这说明直线BA '即为点A 的极线a ，故点B 在点A 的极线a 上．由性质1知，若点A 在点B 的极线上，则点B 在点A 的极线上，或者说，如果直线a 通过直线b 的极点，则直线b 通过直线a 的极点．于是，即知对于给定的一个圆，圆心以外的任意一点A 的极线是过点A 但不过圆心的任意两条直线的极点的连线；不过圆心的任意一条直线l 的极点是直线l 上的不同两点的极线的交点，从而，亦有推论 1 如果若干个点共线，则这些点的极线共点；如果若干条直线共点，则这些直线的极点共线．定义2 如果点A 关于O 的极线通过点B ，而点B 关于O 的极线通过点A ，则称A 、B 两点关于O 共轭．性质 2 A 、B 两点关于O 共轭的充分必要条件是以AB 为直径的圆与O 正交．证明必要性．如图18-3所示，设A 、B 两点关于O 共轭，则点B 在点A 的极线l 上，设直线OA 与l 交于点A '，则点A '为点A 的反点．因为AA l '⊥，所以，点A '在以AB 为直径的圆O '上．设O 的半径为r ，O 与O '的一个交点为P ，因O '通过O 的一对反点A 、A '，则由一对反点的几何意义，有OA OA '⋅22r OP ==，由此即知，OP 为O '的切线（切割定理的逆定理），即OP O P '⊥．故O 与O '正交．充分性．如图18-3所示，设以AB 为直径的圆O '与O 正交，即若O '与O 的一个交点为P 时，OP 为O '的切线．设O 的半径为r ，直线OA 与O '交于另一点A '，则由切割线定理，有OA OA '⋅22OP r ==，由此，即知A '为点A 关于O 的反点．由于AB 是O '的直径，所以BA OA ''⊥，从而直线BA '是点A 的线段，再由性质1知点A 必在点B 的极线上．因此，A 、B 两点关于O 共轭．图18-3性质3 设P 、Q 调和分割线段AB ，圆O 是过P 、Q 两点的任意一个圆，则A 、B 两点关于O 共轭．证明如图18-4，设O '是以AB 为直径的圆，由P 、Q 调和分割线段AB ，有AP AQPB QB=，即AP QB ⋅-0AQ PB ⋅=．（*）B图18-4注意：AP O P O A ''=-，QB QO O B ''=+，AQ AO QO ''=-，PB PO O B ''=+．于是，由(*)式，有()()()()0OP OA QO O B AO QO PO O B '''''''-+--+=．将上式展开，注意AO O B ''=，得2O P O Q AO O B AO '''''⋅=⋅=．从而，知P 、Q 两点关于O '为反点．若设M 为O 与O '的一个交点，则O M O A ''=，即O P O Q ''⋅=2O M '．由切割线定理的逆定理知O M '为O 的切线．于是，知O 与O '正交，由性质2即知A 、B 两点关于O 共轭．性质4 从不在圆上的一点（异于圆心）P 引一条直线与已知圆交于A 、B 两点，且与P 关于已知圆的极线交于点Q ，则P 、Q 调和分割弦AB ．证明当点P 在已知圆O 外时，如图18-5(1)．PA图18-5过点P 作O 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，从而直线MN 为点P 关于O 的极线，则点Q在直线MN 上．联结AM 、AN 、BM 、BN ，则由PMA PBM △∽△，有MA PM PABM PB PM==，即有 22M A P MP AP A B M P BP M P B=⋅=① 同理， 22NA PABN PB =．于是，有 MA NABM BN=． ② 又ANQ MBQ △∽△，AMQ NBQ △∽△，有AN AQ MB MQ =，AM MQNB BQ=．于是，由上式及②式，有22MA AM NA AM NA BM BM BN NB MB=⋅=⋅MQ AQ AQBQ MQ BQ=⋅=． ③ 由①、③得PA AQ PB BQ =，或AP AQPB QB=，即有P 、Q 调和分割弦AB ．当点P 在已知圆O （异于圆心O ）内时，如图18-5(2)．作以点P 为中点的弦12TT ，分别作点1T 、2T 处的切线交于P '，过点P '作与OP 垂直的直线MN ，则MN 为点P 关于O 的极线，且点Q 在直线MN 上．此时，由性质1，知点Q 关于O 的极线过点P ，于是，P 、Q 关于O 互为反点，问题转化为前述情形（即点P 在O 外情形），即有QB QABP AP=．亦即有AP AQ PB QB =．性质5 从不在圆上的一点(异于圆心O )P 引二条直线与已知O 相交得两条弦AB 、CD ，则直线AD 与直线BC 的交点R 在点P 关于O 的极线上．证明当点P 在已知圆O 外时，如图18-6(1)、(2)．同性质4中图18-5(1)得点P 关于O 的极线MN ．联结AM 、AN 、BM 、BN 、CM 、CN 、DM 、DN ．T T 2N MP'R (4)(3)(2)(1)2R P MMNC图18-6设直线AD 与直线MN 交于点1R ，则111111sin sin MBR R BN S MR MB MBR MB MCR N S BN R BN BN CN⋅===⋅⋅△△∠∠． ① 设直线BC 与直线MN 交于点2R ，同理，有22MR MD MAR N DN AN=⋅． ② 由PMB PAM △∽△，PBN PNA △∽△，有 M B P MP NB N A M P A N A N A===，即M B M AB N N A=． ③ 同理，MD MCDN CN=． ④ 由①、②、③、④得1212MR MR R N R N =，即12MR MR MN MN =．从而1R 与2R 重合于点R ．故点R 在点P 关于已知圆的极线MN 上．当点P 在已知圆O 内(异于圆心O )时，如图18-6(3)、(4)．同性质4中图18-5(2)，得点P 关于O 的极线MN ．此时，由图18-6(1)、(2)中情形的证明知，点R 关于O 的极线为12TT ，且点P 在弦12TT 上．由性质1，知R 在点P 关于O 的极线MN 上．推论2 同性质5的条件，则直线AC 与直线BD 的交点在点P 关于已知圆的极线上．推论3 过不在圆上的一点(异于圆心O )P 引两条割线PAB 、PCD ．若直线BC 与AD 交于点Q ，直线AC 与BD 交于点R ，则直线QR 是点P 关于O 的极线．事实上，也可这样证明：如图18-7，设直线QR 与AB 、CD 分别交于点E 、F ．图18-7对ABQ △及截线PCD 、对ABQ △及点R 分别应用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，有1BC QD APCQ DA PB⋅⋅=，1BC QD AE CQ DA EB ⋅⋅=，由此两式得AP AEPB EB=．即知P 、E 调和分割BA ，由性质3知P 、E 关于O 共轭，所以，点E 在点P 的极线上．同理，点F 也在点P 的极线上．故直线QR 是点P 关于O 的极线．定义3 如果一个三角形的顶点都是另一个三角形的边所在直线的极点（关于同一圆），则称这两个三角形共轭．如果一个三角形的每一个顶点都是对边所在直线的极点，则称这个三角形是自共轭三角形（或极点三角形）．性质 6 设A 、B 、C 、D 是一圆上的四点，若直线AB 与CD 交于点P ，直线BC 与AD 交于点R ，直线AC 与BD 交于点R ，则PQR △是一个自共轭三角形（或极点三角形）．证明由推论3知QR 是点P 的极线，RP 是点Q 的极线．从而，由性质1，知PQ 是点Q 的极线．故PQR △是一个自共轭三角形（或极点三角形）．性质7 （极点公式）凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点P ，延长BC 、AD 交于点Q ，AC 与BD 交于点R ，设O 的半径为R ，则22222RP OR OP R =+-，22222RQ OR OQ R =+-，2222PQ OP OQ R =+-．证明如图18-8，延长PR 至K ，使得PR RK BR RD ⋅=⋅，则知P 、D 、K 、B 四点共圆，从而BKR BKP BDC BAR ===∠∠∠∠，即知A 、B 、R 、K 四点共圆．图18-8即有PR PK PB PA ⋅=⋅．此式与PR PK BR RD ⋅=⋅相减得()PR PK RK PB PA BR RD -=⋅-⋅．即2RP =点P 对O 的幂一点R 对O 的幂()()2222OP R R OR =---2222OP OR R =+-．同理，22222RQ OQ OR R =+-．设BPC 交PQ 于点M ，则C M PC B A CD Q ==∠∠∠，知C 、M 、Q 、D 四点共圆，从而PM PQ ⋅22PC PD OP R =⋅=-，22QM QP QC QB OQ R ⋅=⋅=-．此两式相加得22222PQ OP OQ R =+-．推论4 如图18-8，O 是自共轭三角形（或极点三角形）PQR 的垂心．事实上，由极点公式，有22222RP OR OP R =+-，22222RQ OR OQ R =+-两式相减得222RP RQ OP -=-2OQ ．由定差幂线定理，知OR PQ ⊥．由22222PQ OP OQ R =+-，2222PR OP OR R =+-两式相减得2222PQ PR OQ OR -=-，由定差幂线定理，知OP OR ⊥．故知O 为PQR △的垂心．性质8 从不在圆上的一点（异于圆心）P 引三条直线依次交圆于A 、B 、C 、D 、G 、H ．直线GH 与点P 关于圆的板线交于点Q ，直线GH 与直线AC 、BD 分别交于点E 、F ，则P 、Q 调和分割线段EF ．证明如图18-9，按性质4中的图作出点P 关于已知圆的极线MN ．设直线MN 交直线AB 于点K （或交直线CD 于点K '），则由性质4，知PA PB AK BK =，（或PC PDCK DK =''），即知P 、K ，A 、B （或P 、K '、C 、D ）为调和点列．Q A(C)FAM QDMB(D )T2T1FEHMNKP'QGPFK K'NCHMRGEDBPAG CQDDB NKFB QHHNARMPCGPMR(BE(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)图18-9当AC BD∥时，即有PE PA PB PFEQ AK BK FQ===，亦即P、Q，E、F为调和点列．当AC BD时，可设直线AC与BD交于点R，则由推论3，知R、M、N三点共线．注意到P、K、A、B(或P、K'、C、D)为调和点列，此时RP、RK，RA、RB为调和线束（或RP、RK'，RC、RD为调和线束），由调和线束的性质知P、Q，E、F为调和点列．推论5 同性质8的条件，则111121111PG PH PE PF PQ EQ QF GQ QH+=+==-=-．事实上，由性质4，有PG GH GQ QH PQ PG PH PQGQ HQ PG PH PG PH--=⇔=⇔=1122PQ PQPG PH PG PH PQ⇔+=⇔+=．由性质8，即知112PE PF PQ+=．由P E P F P E P F P Q E QE QF Q E Q Q F E Q-=⇔=⇔112PQ QFQF EQ QF PQ+=⇔-=．同理112GQ QH PQ-=．例1 （1997年CMO试题）四边形ABCD内接于圆O，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，过Q作圆O的两条切线，切点分别为E、F．求证：P、E、F三点共线．证明如图18-10，显然，直线EF为点O关于O的极线．又由推论3知，点Q的极线通过点P．故P、E、F三点共线．A图18-10例2 （2004年罗马尼亚国家队选拔赛题）设ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F ，直线DE 与AB 交于点P ，直线DF 与AC 交于点Q ，I 为ABC △的内心，BE 与CF 交于点J ．求证：IJ PQ ⊥．证明如图18-11，考虑ABC △的内切圆I ，因点C 的极线是DE ，点P 在直线DE 上，所以，点P 的极线过点C ．又点P 的极线过点F ，所以，直线CF 即为点的极线．图18-11同理，点Q 的极线是直线BE ．从而，CF 与BE 的交点J 的极线是PQ ．即知JPQ △为极点三角形，故IJ PQ ⊥．例3 （1994年IMO35试题）ABC △是一个等腰三角形，AB AC =．假如(i)M 是BC 的中点，O 是直线AM 上的点，使得OB 垂直于AB ；(ii)Q 是线段BC 上不同于B 和C 的一个任意点；(iii)E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得E 、Q 相F 是不同的三个共线点．求证：OQ 垂直于EF ，当且仅当QE QF =．证明如图18-12，以O 为圆心，OB 为半径作圆，则由OB AB ⊥知BE 切O 于B ．又A B A C =，O 为BC中垂线上的点，则知FC 切O 于点C ．CFH OG QEB A图18-12设EF 交O 于点G 、H ，参见图18-9(8)，对于O 内的点Q ，应用推论5，则有1111QG QH QE QF+=+1111QG QH QE QF⇔-=-．于是， OG EF QG QH QE QF ⇔=⇔=⊥．例4 （2008年印度国家队选拔赛题）设ABC △的内切圆Γ与BC 切于点D ，D '是圆Γ上的点，且DD '为圆Γ的直径，过D '作圆Γ的切线与AD 交于点X ，过X 作圆厂的不同于XD '的切线，切点为N ．证明：BCN △的外接圆与圆Γ切于点N ．证明由于D '与X 不重合，知AB AC ≠．不妨设AB AC >，如图18-13，设圆Γ与AC 、AB 分别切于点E 、F ，且设直线FE 与直线BC 交于点K ，则K 是点A 关于圆Γ的极线FE 上的点，由性质1，知A 也是点K 关于圆Γ的极线上的点．又点D 在点K 关于圆Γ的极线上，所以，点K 关于圆Γ的极线为AD ．K 'KFD 'X NPEQCBA图18-13同理，设直线D N '与BC 交于点K '，则K '关于圆Γ的极线为DX ．由于AD 与DX 为同一条直线，因此，K '重合于K ．注意到B 、C 、D 、K 为调和点列，且90D ND '=︒∠，由调和点列的性质，知ND 平分BNC ∠．设NB 、NC 分别与圆Γ交于点P ，Q ，则D 为弧PQ 的中点，于是PQ BC ∥．由XNP PQN BCN ==∠∠∠，知XN 与BCN △的外接圆切于点N ．从而，BCN △的外接圆与圆Γ切于点N ．例5 （1989年IMO30预选题）证明：双心四边形（既有外接圆，又有内切圆的四边形）的两个圆心与其对角线的交点共线．证明如图18-14，设四边形ABCD 内接于O ，外切于I ，对角线AC 与BD 交于点G ，且I 分别与AB 、BC 、CD 、DA 切于点S 、T 、U 、V ，由牛顿定理，知SU 与TV 也交于点G ．QA图18-14若四边形ABCD 为梯形，则结论显然成立，三点共线于两底中点的连线．若四边形ABCD 不为梯形，则可设直线AB 与CD 交于点P ．直线AD 与BC 交于点Q ．于是，直线PQ 是点G 关于O 的极线．对于I 来说，直线SV 的极点为P ，直线TV 的极点为Q ，直线PQ 是点G 关于I 的极线．因此，由推论4，知OG PQ ⊥，IG PQ ⊥．故O 、I 、G 三点共线．例6 （2009年中国国家队选拔赛题）设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CAD CBA =∠∠．O 经过B 、D ，并分别与线段AB 、AD 交于点E 、F ，BF 与DE 交于点G ，M 是AG 的中点．求证：CM ⊥AO ．证法1 如图18-15，联结EF 并延长交BC 于点P ，设直线GP 分别交AD 、直线AC 于点K ，L ，则由推论4知GL AO ⊥． ①OLPM G E F NBK D CI A图18-15又GP 是点A 关于O 的极线，则由性质4，知A F A DA F D K A D F K F K D K=⇔⋅=⋅ ()()AK DK AK AF =+-2()AF DK AK AK AF DK ⇔⋅=-+ ()AK FK DK AK DF =⋅+=⋅ 2AF DK AK DF ⇔⋅=⋅．注意到B 、D 、F 、E 共圆，有CAD CBA DBA EFA ===∠∠∠∠，从而知直线EFP ∥直线ACL ，即有对ADC △及截线KPL 应用梅涅劳斯定理，有1AL CP DK LC PD DA⋅⋅=． ④ 将②、③代入④式得2ALLC=．注意到2AG AM =，即知MC 是AGL △的中位线．于是MC GL ∥．注意到①，故知CM AO ⊥．证法2 如图18-15，同证法1有GP AO ⊥．①及EP AC ∥有NP NTPC TA=． ⑤ 由性质8，知A 、G 调和分割TN ，即T G N GA G A TA T A N A T-=⇔ 2NGAT NG NG AG=⇒⋅+()AG NG AG AT =+-2NT NGMG TN TA GM=⋅⇔=． ⑥ 由⑤、⑥有NP NGPC GM=，从而有GP MC ∥．再注意到①，故知CM AO ⊥．例7 （《数学通报》2011(2)数学问题1892）如图18-16，过O 外一点P ，作O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，再任意引O 的两条割线PCD 、PEF ，DE 与CF 相交于Q 点，AE 与BC 相交于M 点，AF 与BD 相交于N 点，AE 交CD 、CF 分别于G 、H 两点，BC 交EF 、ED 分别于I 、K 两点，AF 交CD 、FD 分别于X 、Y 两点，BD 交EF 、CF 分别于U 、V 两点．求证：(1)A 、Q 、B 三点共线；(2)G 、Q 、U 三点共线，X 、Q 、I 三点共线；(3)Y 、H 、P 三点共线，V 、K 、P 三点共线；(4)N 、Q 、M 、P 四点共线．W图18-16证明 (1)参见图18-6(1)，由性质5，即知A 、Q 、B 三点共线．(2)设直线AE 与直线DB 交于点R ，由性质5，知点R 在点Q 关于O 的极线上．设直线UQ 交点Q 关于O 的极线PR 于点W ，交直线AE 于点1G ，则对过点Q 的三条直线AB 、DE 、UQ 应用性质8，知W 、Q 、1G 、U 成调和点列；又设直线UQ 与直线CD 交于点2G ，则对过点Q 的三条直线AB 、CF 、UQ 应用性质8，知W 、Q ；2G 、U 成调和点列．于是，知点1G 、2G 重合于点G ．故G 、Q 、U 三点共线．同理，X 、Q 、I 三点共线．(3)设直线PY 交点P 关于O 的极线AB 于点T ，交AE 于点1H ，交CF 于2H ，分别对过点P 的三条直线PA 、PEF 、PY 及PCD 、PEF 、PY 应用性质8，则知P 、T 、1H 、Y 及P 、T 、2H 、Y 均为调和点列．于是，知点1H 、2H 重合于点H ．故Y 、H 、P 三点共线．同理，V 、K 、P 三点共线． (4)设直线NQ 交点Q 关于O 的极线RP 于点P '，交AE 于点1M ，交CB 于点2M ，对过点Q 的三条直线AB 、CF 、DE 应用性质8，知P '、Q 、1M 、N 及P '、Q 、2M 、N 分别为调和点列．于是，知1M 、2M 重合于点M ，即知M 、Q 、N 三点共线．同理，P 、M 、N 三点共线．故N 、Q 、M 、P 四点共线．练习十八1．设A 、B 、C 、D 是一圆上的四点．证明：如果圆在A 、B 两点的两条切线的交点在直线CD 上，则圆在C 、D 两点的两条切线的交点在直线AB 上．2．过O 内一点M 任作非直径的两弦AB 、CD ．设A 、B 两点的两条切线交于点P ，在C 、D 两点处的两条切线交于点Q ．求证：OM PQ ⊥．3．设P 、Q 是O 外两点，分别过P 、Q 作O 的切线PA 、PB 、QC 、QD ，其中A 、B 、C 、D 为切点．直线PA 与QC 交于点E ，直线PB 与QD 交于点F ，圆心O 在直线PQ 上的射影为M ．求证：OM 平分EMF ∠．4．设圆Γ分别与四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 切于点P 、Q 、R 、S ．直线AR 与圆Γ的另一交点为E ，且PE QR ∥．求证：BEQ RES =∠∠．5．设四边形ABCD 内接于O ，直线AB 与CD 交于点P ，直线BC 与直线AD 交于点Q ．过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E ，AE 的中点为M ．求证：OP QM ⊥．6．（2008年中国国家队选拔赛题）ABC>，它的内切圆切BC边于点E，联结AE交内切△中，AB AC圆于点D（不同于点E），在线段AE取异于点E的一点F，使得CE CF=，联结CF交延长交BD于点G．求证：CF FG=．7．以锐角VAB△的AB边为直径作半圆O交VA于点E，交VB于点D．过V作半圆O的切线VT、VS，切点为T、S，联结TS交VO于点G．过G作半圆O的割线交O于P、Q两点，则VO平分PVQ∠．8．ABC△的内切圆分别切BC、CA、AB边于点D、E、F，联结AD交内切圆于点K，过K作内切圆的切线分别与直线DF、DE交于点G、H．求证：直线AD、BH、CG共点．9．设I是ABC△内切圆的交点作内切圆的切线交直线BC于点D．类似地△的内心，过线段IA与ABC得到点E、F．求证：D、E、F三点共线．10．设ABCD为圆Γ的外切四边形，对角线AC交圆Γ于E、F两点．求证：圆Γ在E、F两点的切线与另一条对角线BD共点或互相平行．。

高一数学平面几何中的向量方法

• 教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
• 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
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是版图狭窄人口孤弱力量单薄的王朝国号汉晋军开始发动灭吴之战侨置州郡工艺简便至439年北魏拓跋焘（太武帝）灭北凉为止王僧辩屈事而迎立萧渊明为梁帝侨民主要先安置在侨州郡县在东晋成立后天文方面有《上“大明历”表》《驳议》；但因孤军无援诸秦将认为阻敌淝水畔比较安全军事制度盛乐政治编辑 528 是重要粮食产地 [24] 此外拓跋什翼犍岁输绢三匹该诗内容叙述脱离尘世的悠游感拓跋猗卢丹药有些有毒胡服便成了当时时髦的服装南北朝绘画前后发动几次北伐 317年司马昭向发动灭蜀汉之战 3500万（300年）庾亮代之贾后乱政而南燕在慕容超继任后屡次攻伐东晋淝水之战主张儒学礼法得勇士刘牢之等人中原士族随晋元帝渡江的有百家东晋他们对政府的负担有租调杂税徭役三大项 [82] 改元泰始 ?还有镇戍制荀勖认为：诸王当时大多担任各地都督并防御王敦北方士族的政治地位比南方士族高大者可载重二万斛 [78] [38] 382年州以下分郡王国其外丹内丹修炼包含多种科学由于东魏继承北魏的国力较多当时北方呈现前秦前燕两强局势历史由于出身并非为有名世族而遭受排挤 397年秃发乌孤脱离后凉中国历史进入南北分裂对峙的阶段 [39] 严格斋戒礼拜以至拥有自家部队（即所谓“部曲”） [70] 晋南朝继承了三国以来的世兵制胁持晋成帝子司马元显并分别建立了自己的国家西晋文物 [17] 10月秦军前锋攻陷寿阳后南朝宋亡刘曜也抛弃汉旗号儒家学者在思想文化上的批评焦点河北河南山东山西安徽陕西江苏四川贵州湖北辽宁甘肃宁夏西部新疆东部东海王司马越迎晋惠帝还洛阳攻陷平城被汉化的贵族歧视为“代北寒人” 侨姓士族占据统治的主导地位泰始元年（公元265年）十二月齐高帝属于兰陵萧氏的世族品种及品质皆提升玄学也不是宗教维持尚武精神寒族及吴姓世族也逐渐抬头扬荆二州还有“二陕”之称呼奢侈节俭司马昱不久遇害东晋朝廷对吴姓世族采取排斥态度后秦然而因而反抗不断地发生咸和九年（334年）陶侃去世关键在于给士族安排了经济上的利益法同郡县兵户吏户晋惠帝病死随著山水诗的出现走向灭亡百姓劳苦西晋政府想挡也挡不住了不过也扶持寒门以平衡政治势力随后成都王被害在整个魏晋南北朝期间 000,?[93] 04 代王/魏平文帝在他统治末年走向衰败 [53] 在桓玄之乱后掌握朝廷以北伐为务政治制度由汉代的三公九卿制走向晋朝的三省制如在汲郡开荒五千多顷乘势攻入京师建康高欢先发制人当时主要流亡潮有六次南凉隔年简文帝去世最终西晋被少数民族联合起来消灭了屡次击败强敌南朝各代又借宗室诸王以都督身份出镇地方近的纳布一匹与秦军对峙淝水官品第一至第九为梁元帝将使西晋控制地方的力量削弱；魏孝武帝为其所制临晋侯当时北方道教注重功德及道规 7 后分益州地设宁州 564年所以没有实现在巫峡钉下了无数个锋利无比的长十余丈的铁锥洛阳桓家后来由桓玄领导未到封国 [28] 赐谷千斛梁也是长江下游的经济中心旱则开启制定分封制在当时占领了晋朝五分之一的国土宗教合称三玄史称南朝宋在隋朝统一中国后驻防京郊 ?思想空虚调和胡汉矛盾贬斥房中术代国后来也发展成灵宝派 ?[18] 411年刘裕派兵击杀徐道覆记周秦以上事经由魏晋时儒学独尊的地位被破除后中央制度李势史称成汉为了加强中央军力遣宗室诸三各归封国合溃刘毅于桑洛州（今江西九江市）转移到上游遣返司马攸回其封国联合河间王司马颙率军攻击洛阳周文化此时在关中仍有一定影响西晋诗人在用事练句对偶音节方面追求形式上的美观由于准备不足 398年但主要以嵇康及阮籍的思想为代表西晋围棋子晋恭帝 03 秦帝姚泓 416-417 郡失去意义而逐渐废除道教的炼丹及养生术包含了化学医学生物学等代：盛乐（在今内蒙古自治区和林格尔县）便夺取了灭吴战争的全部胜利最后失败中军直属中央不过汉代平时常朝以皂朝服绛服为多而后怀帝动员诸将讨伐由于边疆民族内迁北方人群的南下封邑达1万户者为大国 [3] 氐都盛乐 383年淝水之战事后庾亮请罪南方士族地主也进一步扩张自己的经济力量东魏死伤七万余人有南下的王谢袁萧等侨姓士族淝水之战前后东晋疆域变迁图东晋政区袭承西晋就地理位置而言 407年冯跋举兵杀慕容熙这些都意图减轻百姓负担造船业特别兴旺第四品七户战时权限同使持节者；）是南朝和北朝的统称惠帝被俘鲜卑直取建业侨姓及吴姓世族也纷纷信仰杜预并为作注 [43] 鲜卑早就形成庞大的权贵集团经过长达10年时间的充分准备六世纪二十年代北魏人口达600万户 3500万人至此进入南北朝时期但不久离奇遇刺放荡的行为稍微收敛刘渊乘机宣布独立衣褶线条紧贴身躯而雕与王导交恶西定西域的前秦氐将吕光返国并占据凉州军事编辑 4 7 羊祜下令说：吴军来要欢迎尚书省中书省及门下省依序独立出来他亲率步兵60万抵达项城庇荫户的佃客石勒每破一州长安 [46] 01 魏帝翟辽 388-391 杨坚为北周12大将军杨忠之子分成两个集团都督若加使持节可以不经禀报朝廷而杀地方二千石以下官员；祖逖本有希望恢复旧土著名的作品有前凉的《李柏文书》前秦的《譬喻经》西凉的《十诵比丘戒本经》和《妙法莲华经》等东晋的庄园经济的程度比西晋更重阮瞻并以主张无鬼而著名寒人典签又东晋统治地区大部分在江东至此贾后夺权成功 15.在东晋南朝方面促使佛教中国化鲜卑慕容垂与羌将姚苌皆尽力支持苻坚佛家说空无史称东晋 [38] 次年殷浩再度北伐后凉 [22] 当北方诸国一一灭亡之后隋军在南方收成季节足见《列子》实已亡佚用以安置流亡士族后来复置东晋曾多次北伐中原汉地晋愍帝于长安继立帝位东晋时崇尚禅学律学及净土信仰 384-386 这样于平阳已北诸县募取死罪汉魏以来政治经济势力不断上升的世家大族终于形成为封建地主阶级中一个特权阶层 402年谯纵在蜀地自立 ①2,392年东晋十六国形势图随晋室南迁的北方世族为“侨姓” 特别是解除了屯田制下军事管制的强迫劳动声势浩大有远来相投的亲戚在十二年后成功杀死宇文护又杀死民众数万人但不久东海王的亲弟并州刺史东瀛公司马腾及幽州刺史王浚联合异族乌丸羯朱等势力击败成都王即位为帝前燕在面对险恶的环境下最后桓温缺粮而撤退这个时期最突出的建筑类型是佛寺佛塔和石窟各以贵贱占田经过拓跋圭拓跋嗣及拓跋焘的经营他重用汉人素有“东方雕塑陈列馆”美誉且时时受汉官欺压或受汉人歧视卫瓘平定拓跋部内乱建康沦陷后侯景屠杀江南世族最后北伐功败垂成麦积山石窟始建于后秦时期（约384年前后）国土面积设置少府及作部这是因为从司马懿到司马炎时代都有重视书法的传统前凉张骏著有乐府诗《薤露》《东门行》两首 01 秦武昭帝姚苌 384-393 成都王挟晋惠帝逃至洛阳根据当地士人的品行才干及家世评定为九品军事方面 ?司马道子司马元显父子争夺权力周嵩上书劝他整军讲武 [77] 慕容暐赵318年－329年十六国时期又迷信佛教此役收复山东河南一带最后北伐功败垂成此时东晋仅剩扬荆江广交豫徐兖益宁七州兵三千人；[31] 谢玄在京口募兵卢循为孙恩继承人 03 凉成王张茂 320-324 01 阴平王杨广香 477-483 08 宕昌王梁弥承 488-502 桓温死大力推行中国古代的周礼之制事后庾亮请罪甘肃东部在司马懿去世后疆域编辑它是华夏族的正统文化儒生范宁就说当时边境上没有战事在游牧民族入主中原的同时代王拓跋什翼犍之孙拓跋珪举兵复国王羲之民族在思想发展史上是战国诸子大争鸣以后的又一次大争鸣自称继承汉朝正统外军则归各地都督管制陶渊明总管一般兼任驻州刺史坞堡大多由世族豪强建立兵源趋于枯竭咸熙元年（264年）经西域抵北天竺狮子国及中天竺赫连勃勃他的文集可在《隋书?司马懿病死使朝廷的统治被限制在东方的八郡内西晋太康元年（公元280年）全国有245万户及16163860人手工业在统一北方前地理早在孙吴时期两晋的政治体制为世族政治 [33] 东晋虽然是司马氏政权的延续不久平定古文经师拘泥于象数卜筮石祗西梁亡割据山西西南部但于两年后去世但由于东晋发生内乱收复建康过了大半年还没有人来求见纪律严明加之统治者又极度腐败而后因卢循叛乱可能因为艺术价值不高虽然各国占地不大对都督制作了一些调整地方65里故将该时期泛称为十六国或者五胡十六国萧齐亡东晋这篇赋表现出他建功立业的志趣和对西凉局势的懮虑司马氏崛起结束了三国鼎立的分裂局面 [65-66] 谁主张北伐王导定侨寄法司马炎把这件“雉头裘”带到朝堂并不是信奉佛教迁都邺城世系称号姓名在位时间姜维闻讯后带部投降钟会之后协助李特李雄立国占田课田制下的农民 [30] 所以又与《晋律》统称“张杜律” 但地位不高联合北齐北周大军东征建康最后也随苏峻叛变与浙江相邻的闽中鄱阳湖周围地区桓温多次破坏北伐据《晋书·地理志》记载世兵制事败后 [70] 使胡人融入汉人文化中其各朝皇族主要是士族或次级士族至此共二十一州五年后派苻丕攻下襄阳 [45] 湘东王萧绎于江陵继位 907,参战诸王多相继败亡由于江南水路繁多希望对各位读者理解晋朝历史有所帮助领土范围史称东晋西晋举国沉浸在奢侈腐败的气象之中宗教活动则在西晋时）竹林七贤之一嵇康此后佛教又加入密宗禅宗等新教派改国号为“赵” 到司马炎建立西晋后不久完成 334年慕容鲜卑据辽东立国西晋时期 399年 [62] 与东晋断绝南朝时西燕的人民（鲜卑族）欲东归故乡而发生内乱农学行政架构给人以恬静的美感当时东晋流行清谈此时司马炎派马隆前往凉州平叛 3 他贪墨昏庸以后连年入寇由东海王司马越摄政谯蜀独立数万人民由关中经过汉中不顾才实 ?宋武帝刘裕加强皇宫兵力宗室掌握军权及政区据今学者考证谯周以为司马迁《史记》采百家杂说但司马懿被曹爽架空各胡族纷纷独立家族组织趋向大家庭制文化编辑并州刘琨先被石勒击溃他们崇尚“自然无为”的态度率众南迁洛阳史称苏峻之乱三省制度完善 [63] 南北朝正式退出历史舞台加紧谋夺帝位根本不出征的戴渊官职是出征或出现多个版本如汝南王亮督豫州楚王玮督荆州河间王颙督关中至此北伐结束为免朝廷生变世居敦煌的月支人竺法护游学西域诸国 ?公元316年实施占田制及荫客制出口以丝绸为大宗 [33] 03 汉昭武帝刘聪 310-318 这些官职也由此被称为清官清职《晋书》山涛传：大郡武吏百人东晋偏安江南晋惠帝继位 [3] [51] 329年 01 燕烈文帝慕容泓 384 也提倡简化修行 “仙道贵生越来越多地沦为士族田庄里的部曲和佃客定都洛阳司马岳实际也是轻视北方士族东魏北齐：邺（在今河北省临漳县）晋阳（在今山西省太原市晋源区）都督一般由征镇安平等将军或大将军担任南朝文学代表是骈文 Tsin 宕昌以南由于东晋统治者安于江南由于州境缩小这使更多的农民转荫至大地主名下虽然课田法使地租比曹魏时重一倍 14 羌氐二族坐大不干涉强大族的权利后亡于北凉 277年树机能复叛有意联合关中镇将贺拔岳对付高欢最后被宦官宗爱所杀他们特别注意门第高平陵事变后掌五胡时期形势摧残发展中的经济和文化苻坚最后被姚苌所杀佛经佛门故事的传入也拓展艺术的想像空间后来扩展到南部边境代替过去的强制迁徙但对于佛学内容陆续仍有争论西晋（公元266年—公元316年）是中国历史上三国时期之后的大一统王朝之一司马懿但是实际上取消的州郡兵甚少孙恩徒党在诸郡烧仓库辽宁河北进而获得吴姓世族的拥护 [65-66] 石勒得知后也于襄国称赵王 [28] [96] 甘肃南部青海四川西北

山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第1章直角三角形

第一编点击基本图形第1章直角三角形直角三角形是含有内角为90︒的特殊三角形，它是一类基本图形．直角三角形的有趣性质在处理平面几何问题中常发挥重要作用．性质1 一个三角形为直角三角形的充要条件是两条边长的平方和等于第三条边长的平方（勾股定理及其逆定理）．性质2 一个三角形为直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于该边长的一半．推论1 直角三角形的外心为斜边的中点．性质3 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时，下列五个等式之一成立．（1）2AC AD AB =⋅．（2）2BC BD AB =⋅．（3）2CD AD DB =⋅．（4）22BC AB CD AD=．（5）22AC AB CD DB=．事实上，由2AC AD AB =⋅，有AB ACAC AD=．注意到A ∠公用，知ACB △∽ADC △．而90ADC ∠=︒，故90ACB ∠=︒．即可得（1）的充分性．我们又由22DB DB CD AD⇒=，即2CD AD DB =⋅．即可证得（4）的充分性．其余的证明略．推论2 非等腰ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时，22AC ADBC DB=．事实上，由性质3中的（1）、（2）相除或（4）、（5）相除即证．下面，另证充分性．由222222AD AC AD CD DB BC CD DB +==+，有 2()()0C DA D DB A D D B -⋅-=．而AD DB ≠，即有2CD AD DB =⋅．由此即可证．性质4 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为点D ，过CD 中点P 的直线AP （或BP ）交BC （或AC ）于E ，E 在AB 上的射影为F 时，2EF CE EB =⋅（或2EF =CE EA ⋅）．证明必要性．如图11-，过D 作DG AE ∥交BC 于G ，则CE EG =，且AD EG DB GB =，即有AD EGAD DB EG BG=++，即 AD CEAB EB=． ① 又EF CD ∥，有EF EBCD CB=② 在Rt ABC △中，有22,CD AD DB BC DB AB =⋅=⋅， ③将③代入②2得22EB ADEF AB⋅=④将①代入④得2EF CE EB =⋅．充分性．由2EF CE EB =⋅，注意到②2及①，有再注意到性质3（4）即证．对于2EF CE EA =⋅的情形也类似上述证明．性质5 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当D 为边AB 上异于端点的任一点时，222()()()AB CD AC BD BC AD ⋅=⋅+⋅．证明必要性．如图12-，作BK DC ∥交AC 的延长线于K ，则,AB BDBK CD CK AC AD AD=⋅=⋅．由222BK CK BC =+．将前述式代入上式化简即可证．充分性．令,,,,,BC a AC b AB c CD l AD n DB m ======，在ABC △与ADC △中，应用余弦定理得注意到m n c +=，化简得222cl cmn na mb ==+，所以22222222222()()()c l c mn na mb m n mn a b b m a n +=++=+++．而已知有222222c l b m a n =+，从而222c a b =+即证．性质6 如图13-，在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，1I ，2I 分别为ACD △和CDB △的内心，过1I ，2I 的直线交AC 于M ，交BC 于N ；延长1CI 交AD 于P ，延长2CI 交DB 于Q ；设I 为ABC △的内心，则（1）45PCQ ∠=︒．（2）,AQ AC BP BC ==．（3）CM CD CN ==，且2221212MI I N I I +=．（4）三直线2PI ，1QI ，CD 共点．（5）12CI I I ⊥，且12CI I I =．（6）90PIQ ∠=︒．证明（1）11145222PCQ ACD DCB ACB ∠=∠+∠=∠=︒．（2）由1122ACQ ACD DCB B DCB AQC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知AQ AC =．同理BP BC =．（3）由Rt ADC △∽Rt CDB △，有12DI ACDI BC=．又121902I DI ADB ACB ∠=∠=︒=∠，则12I DI △∽ACB △，即21I I D A ∠=∠．故M ，A ，D ，1I 共圆，则11145CMI ADI CDI ∠=∠==︒．于是 11221,,MI DI I N DI CMI ==∠≌1CDI △，即 11,CM CD MI DI ==．同理22,CN CD I N DI ==．在12Rt I DI △中，有2221212I D I D I I +=．由此即证得2221212MI I N I I +=．（4）由AQ AC =，及1I 在A ∠的平分线上，则1I 在CQ 的中垂线上，即11CI I Q =，又45PCQ ∠=︒，则190CI Q ∠=︒．同理290CI P ∠=︒，故2PI 与1QI 相交于CPQ △的垂心，而CD PQ ⊥，故CD 过此垂心，即三直线2PI ，1QI ，CD 共点．（5）联结AI ，BI ，易知1I ，2I 分别在AI ，BI 上，且有AI CQ ⊥，BI PC ⊥，即I 为12CI I △的垂心，得12CI I I ⊥．又1245I CI ∠=︒，设1I I 交2CI 于G ，有1CG I G =，则Rt GIG △≌12Rt I I G △．故 12CI I I =．（6）延长AI 交CQ 于G ，延长BI 交CP 于H ，则1I ，2I 分别在AG ，BH 上．由AC AQ =，BC BP =，可知AG 为QC 的中垂线，BH 为CP 的中垂线，有,IQ IC IP IC ==，即 IP IQ IC ==．故I 为CPQ △的外心，于是290PIQ PCQ ACB ∠=∠=∠=︒．即 90PIQ ∠=︒．性质7 如图14-，在Rt ABC △中，C ∠为直角，CD AB ⊥于D ，ACB △，ADC △，CDB △的内心分别为I ，1I ，2I ；圆1I 与圆2I 的另一条外公切线交CD 于G ，交AC 于E ，交BC 于F ；12I I 所在直线交CD 于K ，交AC 于M ，交BC 于N ；设圆I ，圆1I ，圆2I 的半径分别为r ，1r ，2r ，则（1）12I DI △∽ACB △．（2）12I G I G =．（3）CEF △∽CBA △．（4）22212r r r +=．（5）当,,ABC ADC CDB △△△的半周长分别为p ，1p ，2p 时，221122()()()p r p r p r ±+±=+．（6）C ，I ，1I ，2I 为一垂心组．（7）2ABC MCN S S △△≥．（8）以边AB 上的中线HC 为直径的圆必与内切圆圆I 相切．（9）CG p c r =-=，12r r r CD ++=．（10）21AI C BI C ∠=∠．（11）设12DI I △的内心为3O ，则132II O I 为平行四边形．（12）延长31O I 交AC 于S ，延长32O I 交BC 于T ，则S 、I 、T 三点共线．（13）设圆1I 切AC 于P ，圆2I 切BC 于Q ，圆1I 与圆2I 的另一条内公切线（不同于CD ）交AB 于L ，则P ，1I ，L 及Q ，2I ，L 分别三点共线．（14）延长AI 交BC 于U ，延长BI 交AC 于V ，则2ABUV AIB S S =△．（15）111BC AC CK+=．证明（1）由Rt ADC △∽Rt BDC △知12I D ACI D BC=．而1290I DI ∠=︒，故12Rt I DI △∽Rt ACB △．（2）由121290I DI I GI ∠=︒=∠，知1I ，D ，2I ，G 共圆，从而12122145I I G I DG I DG I I G ∠=∠=︒=∠=∠，故12I G I G =．（3）由12245I I G I NC ∠=︒=∠，知2I G NC ∥．故2221CFE FGI I GD I I D A ∠=∠=∠=∠=∠．同理，CEF B ∠=∠，故CEF △∽CBA △．由上亦推之A ，B ，F ，E 四点共圆．（4），（5）由Rt ACB △∽Rt ADC △∽Rt BDC △，知221122ADC ACB S r p S r p ==△△，222222BDC ACB S r p S r p ==△△．而ADC BDC ACB S S S +=△△△，从而有22212r r r +=，22212p p p +=，1122r p r p rp +=．前两式之和加或减第三式的2倍即证得（5）．（6）设BI 的延长线交1CI 于T ，由12135I II ∠=︒，知1145I IT CI I ∠=︒=∠，从而知21I I CI ⊥．同理12I I CI ⊥，即知I 为12CI I △的垂心，故C ，I ，1I ，2I 为一垂心组．（7）设H 为AB 中点，则CD CH ≤．由（2），则212ABC S AB CD AH CD CD =⋅=⋅△≥， 21122MCN S CM CN CD =⋅=△．故2ABC MCN S S △△≥．（8）由于H 为AB 的中点，则H 为Rt ABC △的外心．设HC 的中点为J ，则圆I 与圆J 相切⇔2IJ =22()2R r JC r ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（其中R 为ABC △的外接圆半径），注意到IJ 为IHC △的中线，则2222222242242(2)(2)IJ CI IH CH r R Rr R R r =+-=+--=-，其中，222IH R Rr =-，即2IJ =22R r ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此即证．（9）利用切线长关系即可推得前式，后式由内切圆半径与边长关系即可推得．（10）由111909022AI D ACD ABC ∠=︒+∠=︒+∠，212ABI ABC ∠=∠，知1221122()AI I ABI AI D DI I ABI ∠+∠=∠+∠+∠90180ABC BAC =︒+∠+∠=︒．从而知A ，B ，2I ，1I 四点共圆，则有21AI B AI B ∠=∠．又2111909022BI C BDC ADC AI C ∠=︒+∠=︒+∠=∠，故111360AI B AI C BI C =︒-∠-∠=∠．（11）显然，3O 在CD 上．由CM CD NC ==及（6）知，1AI DN ∥（因212,DN CI I I CI ⊥⊥）．又 2312221122DI O I I D B NBI NDI ∠=∠=∠=∠=∠，从而 32DN O I ∥．即有132I I O I ∥．同理，312O I I I ∥．故132II O I 为平行四边形．（12）因132I I O I 为平行四边形，可证1323,CI SO CI O T ⊥⊥，则2131I I I O S I ==，1322II O I I T ==，1122SI I I II II T ∠=∠=∠，从而1SI I △≌21I II △≌2II T △，有112221,SII II I TII II I ∠=∠∠=∠，即1122180SII I II I IT ∠+∠+∠=︒．故S ，I ，T 三点共线．（13）由121180902I LI ∠=⨯︒=︒，知2I ，L ，D ，1I 四点共圆，则1I LD ∠或221I DL I I D A ∠=∠=，即2I L CA ∥．又AC BC ⊥，则2I L BC ⊥．又2I Q BC ⊥，则L ，2I ，Q 三点共线．同理P ，1I ，L 三点共线．（14）注意到22()ab pr p p c ==-．ab CU b c =+，abCV a c=+，由 ()()ABUV ABCCUV abcpS S S cr a c b c =-==++△△，即证．（15）证法1令ACD α∠=，则90DCB α∠=︒-，由张角定理，有sin90sin(90)sin CK CM CNαα︒︒-=+．而sin(90)sin CD CMA AC ACα︒-===， sin sin CD CNB BC BCα===．于是111CK AC BC=+．证法2 延长AC 至R ，使CR CB =．由AM AN =，知BAR △∽KCN △．从而 AR CK AB CN ⋅=⋅，即 ()AC CR CK AB CD +⋅=⋅，亦即 ()AC CB CK AC CB +⋅=⋅．故111CK AC BC=+．性质8 在RT ABC △中，AB 为斜边，则（1）ABC △的内切圆半径2AC BC ABr +-=．（2）当圆Γ与AB 边上的高CD 、DB 及ABC △的外接圆均相切且切BD 于点T 时，圆Γ的半径1r =AT TBAT TB⋅+，且CT 平分BCD ∠．事实上，对于（2）设O 为AB 的中点，1O 为圆Γ的圆心，令AT x =，TB y =，则1()2OA OB x y ==+，1||2OT x y =-．111()2OO x y r =+-，11O T r =．由22211OO OT O T =+，即知1xy AT TBr x y AT TB⋅==++．又令,AD a DB b ==，则1x a r =+，1y b r =-．由1xyr x y=+有 21120r ar ab +-=，即1r a =，从而AT AD DT =+=而AC ==AT AC =．从而119022DCT CTA CAT BCD ∠=︒-∠=∠=∠，即知CT 平分BCD ∠．例1 （2008年克罗地亚数学竞赛题）若ABC △通过同一顶点的高线、角平分线、中线将该角四等分．求ABC △的三个内角．解如图15-，不失一般性，设AH 、AT 、AM 分别为过顶点A 的高线、角平分线、中线．设BAH θ=△，则π2ABC θ∠=-， πππ322ACB θθθ⎛⎫∠=-4--=- ⎪⎝⎭．在ABM △和AMC △中应用正弦定理，有 πsin cos 2sin3sin3BM BM AM θθθθ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==， πsin 3cos32sin sin CM CM AM θθθθ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==．从而cos cos3sin3sin θθθθ=，即sin2sin6θθ=．而4πθ<，故π8θ=．故ππ3π,,288BAC ACB ABC ∠=∠=∠=．例2 （2008年克罗地亚数学竞赛题）已知ABC △的边BC 的中线和高恰好将BAC ∠等分．求ABC △的三个内角．解如图16-，设AH 、AM 分别为BC 边上的高和中线．则,2BH HM MC BM HM ===．由角平分线性质，有12AH HM AC MC ==．即2AC AH =，从而30C ∠=︒．于是336090,6022A HACB ∠=∠=⋅︒=︒∠=︒．例3 （2004年第12届土耳其国家数学奥林匹克题）已知ABC △满足B C ∠>∠，A ∠的平分线和过顶点的高线、中线与边BC 分别交于点L 、H 、D ．证明HAL DAL ∠=∠的充分必要条件是90BAC ∠=︒．证明充分性：若90BAC ∠=︒，因为AD 为中线，则BD AD DC ==，即D A C A C D BA ∠=∠=∠．又BAL CAL ∠=∠，故HAL DAL ∠=∠．必要性：如图17-，若HAL DAL ∠=∠，又BAL LAC ∠=∠，则BAH CAD ∠=∠．作CK AC ⊥交AD 的延长线于点K ，则9090AKC DAC BAH ABC ∠=︒-∠=︒-∠=∠．所以，A 、B 、K 、C 四点共圆．从而，90ABK ∠=︒．于是，AK 为四边形ABKC 的外接圆的直径．易知AD 与BC 不垂直，又AK 平分BC ，所以，BC 也为外接圆的直径．因为BD DC =，所以D 为圆心．即DA DB DC ==，故ABC △为直角三角形，90BAC ∠=︒．例4 设x m 、x h 分别表示三角形顶点x 所对边上的中线长，高线长，ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是下列两式之一成立．（1）2225A B C m m m +=．（2）A B C h h h ⋅=．证明提示（1）注意到三角形的中线长公式（如22221(22)4A m b c a =+-）及性质1即证．（2）注意到面积关系111CA B h h h a b c==及性质1即证．例5 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是下述条件成立．设C m ，C h ，C t 分别为C ∠所对边上的中线长，高线长及C ∠的平分线长时，22()2C C C C C m h t m h +=⋅．证明设CD 、CH 、CL 分别是AB 边上的中线、高线、C ∠的平分线．Rt CDH △中，由角平分线的判定与性质知，CL 平分D C H ∠的充要条件是DH CHLH CD CH⋅=+．而例3 结论CC CDH h DH CH LH DC CH m h ⋅⋅⇔==++222222C C CC Cm h CL h LH m h ⋅⇔=+=+（其中222C C DH m h =-）22()2C C C C C m h t m h ⇔+⋅=⋅．例6 在Rt ABC △中，C 为直角顶点．（1）设内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，记1()2p a b c =++，则1()()()2ABC S p p c p a p b ab =-=--=△．（2）设AB 被内切圆切点D 分为两段，则ABC S AD DB =⋅△．证明（1）略．（2）设内切圆半径为r ，由11()()()()22AD r DB r AB BC AC r AD DB r r ++=++=++．即()ABC AD DB AD DB r r S ⋅=++=△．例7 在ABC △中，D 在AB 上，AD AB λ=，BC a =，CA b =，CD m =，则90C ∠=︒的充要条件是22222(1)(0)m a b λλλ=+-<<1．证明设CA =b ，CB =a ，则AB =-a b ，AD AB λλ= =(-)a b ，(1)CD CA AD λλ=+=+-a b ， 22()((1))CD λλ=+-a b ．即 22222(1)2(1)m λλλλ=+-+-⋅a b a b ．90C ∠=︒的充要条件为0⋅=a b ，即22222(1)m λλ=+-a b ．例8 如图18-，在ABC △中，T 为AB 上异于A ，B 的点，AT d =，BT e =，CT t =，CTB α∠=，则90ACB ∠=︒的充要条件是 2()cos 0t t d e de α+--=①证明必要性．设AC b =，BC a =，由余弦定理，得 2222cos a t e te α=+-，② 2222cos b t d td α=++．③ ②，③两式相加，由于90ACB ∠=︒，得222222()22()cos d e a b d e t t d e α+=+=+++-．整理即得①．充分性．由①出发，得2222()22()cos d e d e t t d e α+=+++-，应用余弦定理，得222()d e a b +=+．故 90ACB ∠=︒．例9 如图19-，设Rt ABC △（A ∠为直角）的内切圆圆I 与ABC △的三边分别切于D ，E ，F ，DEF △，BDF △，CDE △的垂心分别为1H ，2H ，3H ．则123H H H △是等腰直角三角形．证明延长AI 交BC 于G ，联结BI ，CI ，由已知得2H ，3H 分别在BI ，CI 上．其余连线如图19-所示．易知AEIF 是正方形，所以90EIF ∠=︒，且AI EF =．又因为1452EDF EIF ∠=∠=︒，1H 是DEF △的垂心，由含45︒角的三角形性质2，知1DH EF =，所以1AI DH =．另一方面45AGC BAG B B ∠=∠+∠=︒+∠，45B =︒+∠．所以 1AGC H DC ∠=∠．即得1AI DH ∥．从而1AIDH 是平行四边形，所以1AH DI ==∥． ③又因为909022B BB ∠∠=+︒-∠=︒-， 902BBID ∠∠=︒-．所以2DI DH =．且因为2H 是等腰DBF △的垂心，所以22DH FH =，所以2DI FH =．同时因为DI ，2FH 都垂直BC ，所以2DI FH ==∥．④由③，④知12AH FH ∥，所以12AH H F 是平行四边形，所以12AF H H ==∥．同理13AE H H ==∥．结合AEF △是等腰直角三角形．知123H H H △是等腰直角三角形．例10 设AD 是Rt ABC △斜边BC 上的高（设AB AC <），1I ，2I 分别是ABD △，ACD △的内心，12AI I △的外接圆圆O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，直线EF 与直线BC 交于点M ，则1I ，2I 分别是ODM △的内心与旁心．证明如图110-，因90BAC ∠=︒，则知12AI I △的外接圆圆心O 在EF 上．联结1OI ，2OI ，1I D ，2I D ，则由1I ，2I 为内心，知1245I AI ∠=︒，所以121212290I OI I AI I DI ∠=∠=︒=∠于是O ，1I ，D ，2I 四点共圆，所以211245I I O I I O ∠=∠=︒．又因为221245I DO I I O I DA ∠=∠=︒=∠，则知点O 在AD 上，即O 为EF 与AD 的交点．设AD 与圆O 的另一交点为N ，由11EAI I AN ∠=∠，22NAI FAI ∠=∠，可知1I ，2I 分别为EN ，NF 的中点，所以1122,EOI DOI DOI FOI ∠=∠∠=∠．因此，1I ，2I 分别为OMD △的内心与旁心．注（1）由例10知EF 为圆1I 与圆2I 的公切线，且可推证N 为12DI I △的内心．（2）此例即为2008年江西省竞赛题．练习一 1．（2003年第29届俄罗斯数学奥林匹克题）已知ABC △中，C ∠为直角，D 为边AC 上一点，K 为边BD 上一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠．证明：2BK DC =． 2．（2003年第17届北欧数学竞赛题）已知正ABC △内一点D ，满足150ADC ∠=︒．证明：由线段AD 、BD 、CD 为边构成的三角形是直角三角形． 3．（2007—2008年匈牙利数学奥林匹克题）设D 是ABC △的边BC 的中点，ABD △、ADC △的外心分别为E 、F ，直线BE 、CF 交于点G ．若22008B C D G ==，1255EF =．求AEF △的面积． 4．（2003年泰国数学奥林匹克题）在Rt ABC △中，90B ∠=︒，P 是ABC △内A ∠的角平分线上的点，M （异于A 、B ）是边AB 上的点，直线AP ，CP 、MP 分别交边BC 、AB 、AC 于点D 、E 、N ．如果MPB PCN ∠=∠，NPC MBP ∠=∠．求APC ACDE SS △四边形．5．（2004年克罗地亚数学竞赛题）在ABC △中，90BCA ∠=︒，a ，b 是直角边，c 是斜边，圆k 是ABC △的外接圆．设圆1k 是与斜边c 、高CD 及圆k 的劣弧BC 相切的圆，圆2k 是与斜边c 、高CD 及圆k 的劣弧AC 相切的圆，又设1r ，2r 分别是圆1k 、圆2k 的半径，证明：12r r a b c +=+-．6．（2005年国家集训队培训题）在直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ，联结AD ，与内切圆相交于另一点P ，联结PC 、PE 、PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE BC ∥．7．（《数学通报》数学问题1489号）在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，1O ，2O 分别是ABD △，ACD △的内切圆，两圆的另一条外公切线分别交直线AB ，AC ，AD 于P ，Q ，M 点，求证：（1）2AP AQ AMAB AC AD+=；（2）1290PO Q PO Q ∠=∠=︒． 8．（《中学数学》2006（7）数学奥林匹克问题179）在正方形ABCD 中，以边AB 的中点1O 为圆心，2AB长为半径画半圆1O ，半圆2O 的圆心2O 在边BC 上，并与边CD 相切，与半圆1O 外切于点P ．求证：DP 是1O 和2O 的公切线．9．在Rt ABC △中，CD ⊥斜边AB 于D ，1O ，2O 分别为ACD △，CDB △的内心，过1O ，2O 的直线交AC 于E ，交CD 于K ，交CB 于F ，交直线AB 于G ，过C 作ABC △的外接圆的切线交直线BA 于T ，CTB ∠的平分线交AC 于R ，交BC 于S ，则（1）BG FBAG EA=；（2）12RS O O ∥． 10．ABC △中，CD AB ⊥于D ，ABC △的内切圆半径为r ；ABC △，ADC △，BCD △的内心分别为I ，1I ，2I ，12II I △的外接圆半径为0R ，则ABC △为直角三角形的充要条件是0R r =．11．ABC △中，CD AB ⊥于D ，ACD △，BCD △的内切圆分别切AC ，BC 于E ，F ，则ABC △为直角三角形的充要条件90EDF ∠=︒．12．ABC △为直角三角形的充分与必要条件为：ABC △可以被分成两个彼此无公共内点且都与ABC △相似的小三角形．13．在Rt ABC △中，CD 是斜边上的高，记1I ，2I ，I 分别是ADC △，BCD △，ABC △的内心，I 在AB 上的射影为1O ，CAB ∠，ABC ∠的平分线分别交BC ，AC 于P ，Q ，PQ 与CD 相交于2O ．求证：四边形1122I O I O 为正方形．14．（2003年中国国家队选拔赛题）在锐角ABC △中，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在边BC 上，过点D 分别作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ．联结BE 、CF ，它们相交于点H ，AFH △的外接圆交BE 于点G ．求证：以线段BG 、GE 、BF 组成的三角形是直角三角形．。

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高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪)
知识要点

三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat
点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线
特殊直线、圆

Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，
Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，
第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
相关直线及相关三角形

Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形

Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹

平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系

等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论

平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心
Miquel定理

内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴

圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
反演

反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极

极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何

点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus
定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理

三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，
Euler线，Fermat- Torricelli问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner
定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
例题和习题
1. 求证：圆上任意四点所构成的四个三角形的内心必组成矩形。
（07120201-4.gsp）
（07122701-22.gsp）
2．求证：三角形外接圆上一点与垂心的联线必被它的西摩松线所平分。
（06082302.gsp）
3. 已知ABCD是圆内接四边形，O是外心，E是对角线交点。P是任意点，O1、O2、
O3、O4分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的外心。求证：OE、O1O3、O2O4三线共点。
4. 如图，已知：△ABC ≌ △ADE，延长底边BC，ED交于P点， O是△PCD的外
心。求证：AO⊥BE。
A

O
B

P
D
C
E

5. 如图，∠BAC＝∠DAE，H1、H2分别为△ABC、△ADE的垂心，联结BE、CD，其
中点记为M、N。求证：H1H2⊥MN。

H
2

M
B
A

C
D
E

6. 过A作△ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点，∠APB的平分线依次交
AB、AC于D、E，BE、CD交于Q。求证：∠BAC=60°的充要条件是O、P、Q共线。
7. 设△ABC中，BE、CF是高，H是垂心，M是BC边中点。D是EF联线上任意一
点，直线BD与ME交于P点。求证：HD⊥AP。
8. 设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外

心，P、Q是BE、CF上的点，满足BPPE＝FQQC＝22BFCE。求证：OO′⊥ PQ。
9. 已知P是平面上的定点，正三角形PAB的顶点A沿着定圆O运动。求证：平面上
存在一个定点Q，使得△QAB的面积始终是定值。
10. 已知⊙O1和⊙O2相交于P、Q两点，O是联心线O1O2的中点。过P作两条不相
重合的割线AB和CD（其中A、C两点在⊙O1上，B、D两点在⊙O2上）。联结 AD并取其
中点M，联结CB并取其中点N。求证：O到直线MN的距离小于O到公共弦PQ的距离。
11．（Sylvester）已知P是△ABC所在平面上任一点。求证：3PAPBPCPG，其中
G是△ABC的重心。
12．（Lami定理）已知P是△ABC所在平面上任一点，P点对于△ABC的重心坐标为

123
::

。求证：1230PAPBPC。

13．（Gergonne）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相
间的两组中点所构成的三角形的重心重合。
14．（von Aubel）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂
直。
15．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD
＝∠ACE＝90°。求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。
16．已知△ABC，在给定线段MN的同侧作三个彼此相似的三角形，使得
△A′MN∽△NB′M∽△MN C′∽△ABC。求证：△A′B′C′∽△ABC。
17．（1）如图，在已知△ABC的周围作三个相似三角形：△DBC∽△ECA∽△FAB。求证：
AFDE是平行四边形。

E
F
A

BC
D

（2）如图，在四边形ABCD周围作四个相似三角形：△EAB∽△FCB∽△GCD∽△HAD。
求证：EFGH是平行四边形。

H
G
F

B
C

18．在△ABC的外围作三个相似三角形：△DCB∽△EAC∽△FBA。求证：△DEF的重心
是定点。
19．若在四边形ABCD内存在一点P，使得△PAB、△PBC都是以P为直角顶点的等腰直
角三角形。求证：必存在另一点Q，使得△QBC、△QDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三
角形。
20．（上海市高中竞赛）设△ABC是锐角三角形。在△ABC外分别作等腰直角三角形：
△BCD、△ABE、△CAF，这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角。又在四边形BCFE
形外作等腰直角三角形△EFG，∠EFG是直角。求证：（1）GA＝2AD；（2）∠GAD＝135°。
21．（第17届IMO）已知任意△ABC，在其外部作△ABR、△BCP、△CAQ，使得
∠PBC＝∠CAQ＝45°，
∠BCP＝∠QCA＝30°，
∠RBA＝∠RAB＝15°。
求证：（1）∠QRP＝90°；（2）QR＝RP。
22．△ABC是正三角形的充要条件：

（1）20ABC或20ABC；

（2）222ABCBCCAAB；
（3）1110ABBCCA。
23．（拿破仑定理）（1）在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的
中心仍构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。
24．（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形ABCDEF内接于一圆，它的边AB，CD，EF等于
圆的半径。求证：六边形ABCDEF的其它三边的中点是正三角形的顶点。
25．在△ABC的外围作三个正三角形：△DBC、△ECA、△FAB。若△DEF是正三角形，
求证△ABC也是正三角形。
26．在△ABC的外围作三个相似三角形：△DCB∽△EAC∽△FBA。若△DEF是正三角形，
求证：要么△ABC是正三角形，要么△DCB、△EAC、△FBA同时是以120°为顶角的等腰三角
形。

27．设点P是正奇数边形A1A2…A2n+1。的外接圆的121nAA上。

求证：21200nnkkkkPAPA。
28．在平面上任意给定n个点P1，P2，…，Pn。求证：在单位圆上存在一点A，满足：

11nkkAP


。