高中平面几何讲义

高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。

求证：直线AD、BF CE三线共点。

2．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD＝∠ACE＝90°求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。

3．已知梯形ABCD中，AD∥BC。

分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE和正方形DCHF。

连接EF，设线段EF的中点为M。

求证：MA＝MD。

4．△ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边于D点。

求证：ND⊥AM (06061602．gsp)5．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，求证：A、O、O1、O2四点共圆。

（Salmon定理）6．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，O′是A、O、O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。

求证：（1）O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心！B C（2）记△ABC的九点圆心为N i 。

作O′E⊥BC，垂足为E。

则N i E∥AD！(06051705．gsp) (06052901．gsp)B C7．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。

求证：△PO1B∽△PO2D。

（06060301．gsp）D8．设I是圆外切四边形ABCD的内心，求证：△IAB，△IBC，△ICD，△IDA的垂心共线。

9．已知凸四边形ABCD满足：AB+AD=BC+CD，延长BA，CD交于E点，延长BC，AD交于F点。

求证：EB+ED=FB+FD（或EA+EC=FA+FC）。

（05123102．gsp）E10．（06.8.9）设A、B、C、D是椭圆22221x ya b+=上四点。

若直线AB、CD的斜率之积22AB CDbk ka=，则直线AC、BC或直线AD、BC的斜率之积也必等于22ba。

（注：这时经过A、B、C、D四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆22221x ya b+=的离心率──ca。

）（06080901．gsp）（06081201．gsp）1．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。

求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。

B C【证明】取△ABC的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（Salmon圆）。

易知△AO1O2∽△ABC，且O1O2是AD的垂直平分线。

作顶点A关于BC边的对称点A′，易看出△AO′D∽△AOA′。

设BC边高的垂足为G，再取AO连线的中点L，则LG 是△AOA′的中位线，进而知△AO′D∽△ALG。

得∠O′DA＝∠LGA。

……………①再作外心O关于BC的对称点O′，由AH＝2OM＝OO′知A O′经过九点圆心Ni。

（注：△AHNi≌△O′ONi）由LM∥A O′知∠ADC＝∠LMG；在直角梯形AOMG中，得∠LMG＝∠LGM。

故∠ADC＝∠LGM。

……………②而∠LGM＋∠LGA＝90°。

将①、②代入得∠O′DA＋∠ADC＝90°。

∴ O ′D ⊥BC 。

2．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。

记△ABC 的九点圆心为N i 。

作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。

则N i E ∥AD 。

（叶中豪提供）B C【证明】作LK ⊥AH 。

由AH ＝2OM ，Ni F ＝（OM ＋HG ）/2易知AK ＝Ni F 。

……………① 又因O ′L 在BC 上的射影是EF ，而AL 在AG 上的射影是AK ，且两者夹角相等（都等于12B C ∠-∠），故O L ALEF AK'=。

……………② 由①、②知Rt △AO ′L ∽Rt △Ni EF 。

得∠AO ′L ＝∠Ni EF 。

……………③ME B C而由下图，又易知∠AO ′L ＝∠ADC 。

……………④ 由③、④得∠Ni EC ＝∠ADC ， ∴ Ni E ∥AD 。

B C3．△ABC 中，AH 是BC 边上的高，D 是直线BC 上任一点。

O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，N 、N 1、N 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的九点圆心。

设O ′是A 、O 、O 1、O 2所共圆（Salmon 圆）的圆心，作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。

则H 、E 、N 、N 1、N 2五点共圆。

（闵飞提供）【证明】引理△ABC 中，记外心O 关于BC 边的对称点为O ′，则九点圆心Ni 是A O ′的中点。

（证略）O'C如下图，作A 、O 、O 1、O 2诸点关于BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。

再以A 点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H 、N 、N 1、N 2一定共圆。

（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon 圆的一半！）再在Salmon 圆上取A ″，使AA ″∥BC 。

因此O ′E 所在直线是AA ″的中垂线。

作A ″关于BC 边的对称点A ″′。

易知AA ″′的中点恰是E ，于是E 也在上述位似后的圆上。

5．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。

求证：△PO1B∽△PO2D。

（叶中豪提供）D【证法1】（田廷彦提供）B如上图，延长CP 交△ABC 的外接圆于Q 。

连接QA 、QB 、QO 1、AO 2。

在等腰△O 1BQ 和等腰△O 2AD 中，由于∠BO 1Q ＝2∠BCQ ＝2∠ACD ＝∠AO 2D ，故△O 1BQ ∽△O 2AD 。

………① 又在△PAQ 中，由正弦定理()()()()2112sin sin sin sin sin sin sin sin sin 180/sin sin sin /PAB BAQ DAC BCQ DAC DCA PQ PAQ PA PQA CBA CBA CBA CDA AC R R CDA CBACBA AC R R ∠+∠∠+∠∠+∠∠====∠∠∠∠-∠∠====∠∠其中R 1、R 2分别是△BAC 和△DAC 的外接圆半径。

而12sin BQ R BCQ =∠，22sin DA R ACD =∠， 故12R BQ DA R =。

由此PQ BQ PA DA=， 又∠BQP ＝∠BAC ＝∠PAD ，∴ △PQB ∽△PAD 。

………②由①、②，即可知O 1、O 2是相似三角形PQB 和PAD 中的对应点，从而得△PBO 1∽△PDO 2。

证毕。

【证法2】（柳智宇提供）柳智宇证法如下图，延长AP 、CP 分别交△ACD 的外接圆于C ′、A ′。

首先证明△DA ′C ′∽△BAC ，而O 1、O 2分别是这两个三角形的外心。

然后说明P 是这对相似三角形中的自对应点，从而△PBO 1∽△PDO 2（具体过程略）。

【证法3】（邓煜提供）见下图，在AB 上取点Q ，使得△APQ ∽△ADC （具体过程略）。

C邓煜证法重心坐标{}123::μμμ其余三点的坐标分别为：{}123::μμμ-，{}123::μμμ-，{}123::μμμ-。

直线d ，d 1，d 2，d 3的坐标分别为：123111::μμμ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，123111::μμμ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，123111::μμμ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，123111::μμμ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

易算出Newton 线d 0的坐标为：222123111::μμμ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。