2020_2021学年新教材高中数学1.2空间向量基本定理课件新人教A版选择性必修第一册
合集下载
1-2 空间向量基本定理(教学课件)—— 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
D.则 a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底
解析：在 A 中，若 a b ， b c ，则 a 与 c 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确； 在 C 中，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x, y, z) ，使 p xa yb zc ， 故 C 正确； 在 D 中， a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确. 故选 BCD.
（2）因为 CE
CC CE
1 2
jk
，
AG
AD
DG
i
1 2
k
，
所以 cos
CE ，AG
|
CE AG CE || AG
|
1 2
j
k
i
5 5
1 2
k
2 5
.
22
2 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 5 .
1.已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且
A 为( )
A. 5 ， 1， 1
2
2
B. 5 ，1， 1
2
2
C.
5 2
，1，
1 2
D.
5 2
，1，
1 2
解析：由题意知 d a b c e1 e2 e3 e1 e2 e3
e1 e2 e3 ( )e1 ( )e2 ( )e3 ，
又d
e1
（1）求证： EF //AC ；
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设 ，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF
解析：在 A 中，若 a b ， b c ，则 a 与 c 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确； 在 C 中，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x, y, z) ，使 p xa yb zc ， 故 C 正确； 在 D 中， a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确. 故选 BCD.
（2）因为 CE
CC CE
1 2
jk
，
AG
AD
DG
i
1 2
k
，
所以 cos
CE ，AG
|
CE AG CE || AG
|
1 2
j
k
i
5 5
1 2
k
2 5
.
22
2 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 5 .
1.已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且
A 为( )
A. 5 ， 1， 1
2
2
B. 5 ，1， 1
2
2
C.
5 2
，1，
1 2
D.
5 2
，1，
1 2
解析：由题意知 d a b c e1 e2 e3 e1 e2 e3
e1 e2 e3 ( )e1 ( )e2 ( )e3 ，
又d
e1
（1）求证： EF //AC ；
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设 ，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF
空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册优秀课件
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
高中数学人教A选择性必修一第一章 1.2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用
MN BC
1
1 2 25×
＝ 1100， 2
故异面直线
MN
与
BC1
所成角的余弦值为
10 10 .
三、求距离(长度)问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC⊂α ，线段 BD⊂β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝____2_6___.
又 SA＝2 2，所以 SC＝ SA2＋AC2＝4 ， 因此 cos〈S→C，A→B〉＝SS→→CC·AA→→BB＝4×4 2＝21 ， 所以SC与AB所成角的大小为60° .
12345
4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°， PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为____7____.
→→ AE·DC → →
＝
AE DC
62×2＝
6 6
.
故直线
AE
与
DC
的夹角的余弦值为
6 6.
反思 感悟
求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝ a·b ，求〈a，b〉的大小，进
|a||b| 而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别 是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
证明 因为—AC→1 ＝A→B＋A→D＋—AA→1 ＝A→B＋A→D＋13—AA→1 ＋23—AA→1 ＝A→B＋13—AA→1 ＋A→D＋23—AA→1 ＝A→B＋B→E＋A→D＋D→F＝A→E＋A→F， 所以—AC→1 ，A→E，A→F共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
空间向量基本定理 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件
例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是 错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
例题解析
①根据空间基底的定义，三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线， 故正确． ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若O→P＝2O→A－2O→B－2O→C，由于 2－2－2＝－2≠1，则 P， A，B，C 四点不共面，故错误． ④若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量 c 与 a，b 共面，则{a，b， c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数 x，y，使得 a＋b＝x(b＋c) ＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则 a，b，c 共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出 矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能够成空间的一个基底，故正确．故选 D.
选择性必修一第一章
1.2 空间向量基本定理
人教A版高中数学选择性必修1《空间向量基本定理》第2课时课件
1 2
|
a
|2
1 2
|
a
||
c
|
cos 60
1 2
|b
|2
1 2
|
b
||
c
|
cos 60
0.
所以 MN 所以 MN
AC1 AC1.
向量问题的解 还原为几何问题的解
高中数学
用向量方法解决立体几何问题的路径
立体几何问题
转
①适当选取基底
化
向
向量问题
向量 运算
②用基向量表示相关向量 量
③将相关向量的问题转化
高中数学
高中数学
例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N
在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 MN 1 ON，
AP
3 4
AN ，用向量
OA,
OB,
OC 表示OP.
2 O
问：是否一定能做到？
答：OA, OB, OC 不共面，
可以构成空间的一个基底． A
PN C
空间向量基本定理保证了可行性．
M
B
高中数学
例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N
在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 MN 1 ON，
AP
3 4
AN ，用向量 OA,
OB,
OC 表示OP.
2 O
问：如何进行表示？
答：可以利用向量线性运算的
运算法则，如三角形法则、 A 平行四边形法则等．
PN C
国家中小学课程资源
空间向量基本定理（2）
年 级：高二
学 科：数学（人教A版）
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理(共25张ppt)
Ԧ + (Ԧ + )
Ԧ ，
整理得Ԧ + = Ԧ + + ( + )，
Ԧ
假设三向量共面，建立
=1
x,y的方程组，若有解，
则 = 1 ，假设不成立，则不共面，可作为基底.则不可作基底；若无解，
+ =0
则可作基底.
归纳总结
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不
Ԧ
，，
Ԧ
不共面，
Ԧ
由共面向量的充要条件可知，向量=
Ԧ Ԧ + ，Ԧ = Ԧ − 均与，共面，
Ԧ
所以应该选择.
Ԧ
2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的
一个基底，那么点，，，是否共面?
解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面，
Ԧ
由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(，)，
使得 = Ԧ + ，从而 = + = Ԧ + + ，
Ԧ
又由思考1的方法可证明唯一性ԦFra bibliotekԦ
Ԧ
新知生成
一、空间向量基本定理
如果三个向量，，
Ԧ
不共面，那么对任意一个空间向量
Ԧ
，存在唯一
Ԧ
代替两两垂直的
Ԧ
向量Ԧ，Ԧ，，你能得出类似的结论吗？
过点作 = ，
Ԧ
= ， = ，对于任一空间向量
Ԧ
，作
Ԧ
= ，
Ԧ
过点作直线//交平面于点，则 = + .
又，共线，因此存在唯一的实数，使得
Ԧ
= ，
Ԧ
Ԧ ，
整理得Ԧ + = Ԧ + + ( + )，
Ԧ
假设三向量共面，建立
=1
x,y的方程组，若有解，
则 = 1 ，假设不成立，则不共面，可作为基底.则不可作基底；若无解，
+ =0
则可作基底.
归纳总结
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不
Ԧ
，，
Ԧ
不共面，
Ԧ
由共面向量的充要条件可知，向量=
Ԧ Ԧ + ，Ԧ = Ԧ − 均与，共面，
Ԧ
所以应该选择.
Ԧ
2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的
一个基底，那么点，，，是否共面?
解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面，
Ԧ
由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(，)，
使得 = Ԧ + ，从而 = + = Ԧ + + ，
Ԧ
又由思考1的方法可证明唯一性ԦFra bibliotekԦ
Ԧ
新知生成
一、空间向量基本定理
如果三个向量，，
Ԧ
不共面，那么对任意一个空间向量
Ԧ
，存在唯一
Ԧ
代替两两垂直的
Ԧ
向量Ԧ，Ԧ，，你能得出类似的结论吗？
过点作 = ，
Ԧ
= ， = ，对于任一空间向量
Ԧ
，作
Ԧ
= ，
Ԧ
过点作直线//交平面于点，则 = + .
又，共线，因此存在唯一的实数，使得
Ԧ
= ，
Ԧ
人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理上课课件
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
答案: (1)×
(2)√
(3)√
(4)√
)
)
2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},
作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出
发的三条棱所对应的向量作为基底.
典例解析
1
例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且 = 3
因此，如果, , 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个
空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ y + z 。
我们称 xi, y, z分别为向量p在, , 上的分向量。
定理解析
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
答案: (1)×
(2)√
(3)√
(4)√
)
)
2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},
作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出
发的三条棱所对应的向量作为基底.
典例解析
1
例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且 = 3
因此，如果, , 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个
空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ y + z 。
我们称 xi, y, z分别为向量p在, , 上的分向量。
定理解析
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
1.2空间向量基本定理(2课时)(教学课件)高二数学教学一课到位(人教A版2019选择性)
人教A版选择性必修第一册
第一章 空 间 向 量 与 立 体 几 何
1.2《 空间向量基本定理》 （1课时）
教学目标
学习目标：1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向
量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间
向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理）
教学重点：空间向量基本定理、基底与基向量、利用基底表示空间
向量.
教学难点：空间向量基本定理及其意义的理解和运用.
一 复习导入——平面向量基本定理（导学）
二 探究新知1——空间向量基本定理（互学）
（一）探究
二 探究新知1——空间向量基本定理（互学）
（二）空间向量基本定理
由上探究，类似平面向量基本定理，我们可得如下定理：
九 课堂小结
今天我们学习了哪些内容？
1.认识与理解了空间向量基本定理及其意义，基底与基向量， 以及单位正交基底；（数学抽象）
2.根据空间向量基本定理，熟练掌握了利用基底表示空间向量 的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理）
十 学生自评
请小老师组对所负责组员的 课堂表现进行评价
十 一
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型.
空间向量基本定理
六 小组合作、讨论交流(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下 列问题：
方法提示：这道题考察了空间向量基本定理的实际运用.
七 成果展示(迁移变通)
温馨提示：利用空间向量解决立体几何
八 提升演练(检问题测是我实们学践习空) 间向量的意义所在.54 4八 提升演练(检测实践)
思考2：你能类比探究过程，证明空 间向量基本定理成立吗
第一章 空 间 向 量 与 立 体 几 何
1.2《 空间向量基本定理》 （1课时）
教学目标
学习目标：1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向
量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间
向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理）
教学重点：空间向量基本定理、基底与基向量、利用基底表示空间
向量.
教学难点：空间向量基本定理及其意义的理解和运用.
一 复习导入——平面向量基本定理（导学）
二 探究新知1——空间向量基本定理（互学）
（一）探究
二 探究新知1——空间向量基本定理（互学）
（二）空间向量基本定理
由上探究，类似平面向量基本定理，我们可得如下定理：
九 课堂小结
今天我们学习了哪些内容？
1.认识与理解了空间向量基本定理及其意义，基底与基向量， 以及单位正交基底；（数学抽象）
2.根据空间向量基本定理，熟练掌握了利用基底表示空间向量 的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理）
十 学生自评
请小老师组对所负责组员的 课堂表现进行评价
十 一
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型.
空间向量基本定理
六 小组合作、讨论交流(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下 列问题：
方法提示：这道题考察了空间向量基本定理的实际运用.
七 成果展示(迁移变通)
温馨提示：利用空间向量解决立体几何
八 提升演练(检问题测是我实们学践习空) 间向量的意义所在.54 4八 提升演练(检测实践)
思考2：你能类比探究过程，证明空 间向量基本定理成立吗