论文傅里叶变换的可视化及应用研究

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傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信、物理学等领域。

它以法国数学家傅里叶的名字命名，是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的和的过程。

傅里叶变换在这些领域中起到了至关重要的作用。

傅里叶变换的基本思想是将一个函数分解成许多不同频率的正弦和余弦函数，这些函数合在一起就可以表示原始函数。

傅里叶变换将时域的函数转换为频域的函数，可以用于分析信号的频谱特性。

通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频率、振幅、相位等信息，从而更好地理解和处理信号。

在信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于滤波、降噪、频谱分析等方面。

例如，在音频信号处理中，傅里叶变换可以将时域的声音信号转换为频域的频谱图，从而可以清晰地观察到声音的频率成分，进而进行音频信号的分析和处理。

在图像处理中，傅里叶变换可以将图像转换为频域，通过对频域的处理可以实现图像的压缩、增强、去噪等操作。

在通信领域，傅里叶变换被广泛应用于调制、解调、频谱分析等方面。

例如，在调制过程中，傅里叶变换可以将信号转换到频域，从而实现信号的频谱分析和频率选择。

在解调过程中，傅里叶变换可以将接收到的信号转换到时域，从而实现信号的恢复和解码。

傅里叶变换在通信系统中的应用使得信号的处理更加高效和准确。

在物理学中，傅里叶变换也是一种重要的工具。

例如，在量子力学中，波函数可以通过傅里叶变换表示，从而描述粒子的运动状态。

在光学中，傅里叶变换可以用于描述光的传播和干涉现象。

在电磁学中，傅里叶变换可以用于分析电磁波的传播和衍射现象。

傅里叶变换在物理学中的应用使得对波动现象的研究更加深入和全面。

傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域都有着广泛的应用。

它可以将一个函数分解成许多不同频率的正弦和余弦函数的和，从而实现对信号的频谱特性的分析和处理。

傅里叶变换的应用使得我们能够更好地理解和处理信号，从而推动了相关领域的发展和进步。

傅里叶变换可视化

傅里叶变换可视化（实用版）目录1.傅里叶变换简介2.傅里叶变换的应用3.傅里叶变换可视化4.傅里叶变换可视化工具5.结论正文一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的算法，它可以将一个信号从时域转换到频域。

通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱成分，从而更好地理解其特性。

二、傅里叶变换的应用傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，例如：1.音频处理：在音频处理中，傅里叶变换可以帮助我们提取音频信号的频率特征，从而实现音质改善、降噪等目的。

2.图像处理：在图像处理中，傅里叶变换可以应用于图像的频谱分析、图像增强、图像去噪等任务。

3.通信系统：在通信系统中，傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而优化通信系统的性能。

三、傅里叶变换可视化傅里叶变换可视化是一种将傅里叶变换结果以图像形式展示的方法，这有助于我们更直观地理解信号的频谱特性。

通过傅里叶变换可视化，我们可以观察到信号在不同频率下的能量分布情况。

四、傅里叶变换可视化工具有许多软件和在线工具可以帮助我们实现傅里叶变换可视化，例如：1.MATLAB：MATLAB 是一种常用的科学计算软件，其中自带的图像处理工具箱可以帮助我们实现傅里叶变换可视化。

2.Python：Python 是一种流行的编程语言，有许多相关的库（如NumPy、SciPy、Matplotlib 等）可以方便地实现傅里叶变换可视化。

3.在线工具：网上有许多在线傅里叶变换可视化工具，用户只需上传信号或图像数据，便可生成相应的可视化结果。

五、结论傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，它在许多领域都发挥着重要作用。

关于傅里叶变换的毕业论文

关于傅里叶变换的毕业论文傅里叶变换是数学中的一种重要工具，它可以将一个函数分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

傅里叶变换具有广泛的应用领域，包括信号处理、图像处理、通信等。

本文将介绍傅里叶变换的基本原理和应用，并探讨其在图像处理中的具体应用。

首先，我们来介绍傅里叶变换的基本原理。

傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程。

具体而言，对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，e^(-jωt)表示复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换可以将函数f(t)分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，F(ω)即是每个频率分量的幅度和相位。

傅里叶变换可以用于信号处理中的频谱分析。

对于一个信号，它可以看作是由不同频率的波形叠加而成。

利用傅里叶变换，我们可以将信号分解成各个频率分量，并分析每个频率分量的贡献。

这对于了解信号的特征和处理信号具有重要意义。

傅里叶变换还可以用于图像处理中的频域滤波。

在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪、增强或者去除某些频率分量等操作。

利用傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，然后对频域图像进行操作，最后再将频域图像转换回时域，得到处理后的图像。

这种频域滤波的方法可以更好地处理一些特定问题，比直接在时域进行图像处理要有效。

本文将主要研究傅里叶变换在图像处理中的应用。

首先，我们将介绍离散傅里叶变换(DFT)的算法和实现方法。

然后，我们将探讨图像的频谱分析和频域滤波方法，并通过实验验证其效果。

最后，我们将讨论傅里叶变换在图像压缩和图像识别中的应用，并对其进行探讨和分析。

在实验部分，我们将选取一些常见的图像进行频谱分析和频域滤波。

首先，我们将通过傅里叶变换将图像转换到频域，并绘制出图像的频谱图。

然后，我们将对频域图像进行滤波操作，例如去除高频分量或者增强低频分量。

最后，我们将将处理后的频域图像转换回时域，并与原始图像进行对比和分析。

浅谈傅里叶变换及其应用（小论文）

浅谈傅里叶‎变换及其应‎用一．由来傅里叶变换‎（Fouri‎er变换）是一种线性‎的积分变换‎。

因其基本思‎想首先由法‎国学者约瑟‎夫·傅里叶系统‎地提出，所以以其名‎字来命名以‎示纪念。

二．概要介绍1.傅里叶变换‎能将满足一‎定条件的某‎个函数表示‎成三角函数‎（正弦和/或余弦函数‎）或者它们的‎积分的线性‎组合。

在不同的研‎究领域，傅里叶变换‎具有多种不‎同的变体形‎式，如连续傅里‎叶变换和离‎散傅里叶变‎换。

最初傅里叶‎分析是作为‎热过程的解‎析分析的工‎具被提出的‎。

——（1）2.傅里叶变换‎的逆变换容‎易求出，而且形式与‎正变换非常‎类似。

3.正弦基函数‎是微分运算‎的本征函数‎，从而使得线‎性微分方程‎的求解可以‎转化为常系‎数的代数方‎程的求解。

在线性时不‎变的物理系‎统内，频率是个不‎变的性质，从而系统对‎于复杂激励‎的响应可以‎通过组合其‎对不同频率‎正弦信号的‎响应来获取‎。

三．计算方法连续傅里叶‎变换将平方‎可积的函数‎f（t）表示成复指‎数函数的积‎分或级数形‎式。

这是将频率‎域的函数F‎(ω)表示为时间‎域的函数f‎（t）的积分形式‎。

连续傅里叶‎变换的逆变‎换 (inver‎se Fouri‎er trans‎form)为即将时间域‎的函数f（t）表示为频率‎域的函数F‎(ω)的积分。

一般可称函‎数f（t）为原函数，而称函数F‎(ω)为傅里叶变‎换的像函数‎，原函数和像‎函数构成一‎个傅里叶变‎换对（trans‎form pair）。

四．应用领域傅里叶变换‎在物理学、声学、光学、结构动力学‎、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域‎都有着广泛‎的应用。

例如在信号‎处理中，傅里叶变换‎的典型用途‎是将信号分‎解成幅值分‎量和频率分‎量。

五．简介离散傅‎里叶变换的‎应用。

DFT在诸‎多多领域中‎有着重要应‎用，下面仅是颉‎取的几个例‎子。

傅里叶变换在信号处理中的应用研究

傅里叶变换在信号处理中的应用研究傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一种数学分析方法，它可以将时间域中的信号，转换为频率域中的信息，从而更好地理解和分析信号，并且用于众多领域中，包括音频、视频、通信等等。

一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是一种把时间域函数（或序列）转换为频域函数（或序列）的方法。

对于一般函数f(x)，它在时间轴上是一个函数，我们可以将它分解为按照正弦和余弦函数的形式的无穷多项级数的和。

而这些正弦和余弦函数的频率分别是ω1、ω2、...、ωN。

对于频率为ωn的正弦函数，其表示形式为：sin (nωx)同样，对于频率为ωn的余弦函数，其表示形式为：cos (nωx)这样，我们就可以使用这些正弦和余弦函数来拟合任何函数，得到它们的频率分量。

二、傅里叶变换的数学公式傅里叶变换的数学表现形式为：FT[x(t)](ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt其中，t是时间域，ω是频率域，x(t)是时间域的信号，FT[x(t)](ω)是信号x(t)在频率为ω处的信号值。

这个数学公式看上去很复杂，但是我们可以做一些简化和抽象，来帮助我们更好地理解傅里叶变换的实际应用。

三、傅里叶变换在信号处理中的应用1. 音频信号处理音频信号是傅里叶变换的主要应用领域之一。

在音频信号处理领域，傅里叶变换可以实现音频信号的频域分析、降噪、压缩等操作。

例如，我们可以通过傅里叶变换将一个音频文件分解出它的频率分量，并且去除一些噪声或不需要的分量，从而得到更好的音频效果。

2. 图像处理傅里叶变换也是图像处理领域中常用的一种方法。

通过傅里叶变换，我们可以将一幅图像分解为不同频率的分量，可以去除噪声，也可以进行图像压缩等操作。

例如，我们可以使用傅里叶变换来处理一幅数字图片，将其变成不同频率的分量，并去除噪声或不需要的分量，得到更优质的图像效果。

3. 通信信号处理在通信领域中，我们经常会使用傅里叶变换来处理信号，解析信号中包含的信息。

傅里叶公式的基本原理及应用探析

傅里叶公式的基本原理及应用探析傅里叶公式是应用于信号处理和频谱分析领域的基本数学工具。

它的原理和应用至关重要，对于深入理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将对傅里叶公式的基本原理和应用进行探析，以帮助读者更好地理解和应用这一公式。

一、傅里叶公式的基本原理傅里叶公式是以法国数学家傅里叶命名的，它描述了一个信号可以由一系列正弦波的叠加表示。

更具体地说，傅里叶公式将一个连续函数分解成一系列基本频率的正弦波，这些正弦波的振幅和相位决定了原函数在不同频率上的贡献。

傅里叶公式可以用如下的数学表达式表示：\[F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i k x} dx\]其中，\(f(x)\)是原始函数，\(F(k)\)是频谱函数，表示在频率\(k\)处的幅度和相位，并且\(i\)是虚数单位。

根据傅里叶公式，我们可以将一个信号分解成多个正弦波的叠加，这样可以更好地理解信号的频率变化和波形特征。

傅里叶公式为我们提供了一种评估信号频谱的方法，是信号分析和处理的基础。

二、傅里叶公式的应用1. 信号处理傅里叶公式在信号处理中有着广泛的应用。

通过将一个信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域变换到频域，实现对信号频谱的分析。

这对于音频、图像、视频等信号的处理和优化具有重要作用。

傅里叶变换可以帮助我们了解信号中的频率分布情况，从而进行滤波、降噪、压缩等操作。

2. 通信系统在通信系统中，傅里叶变换被广泛应用于频域信号处理。

通过将信号从时域转换到频域，可以方便地进行频谱分析、带宽分配、信号调制等操作。

傅里叶变换还可以帮助我们评估通信系统的频率响应和时域特性，从而提高系统的传输效果和信号质量。

3. 图像处理在图像处理领域，傅里叶变换可以用于频域滤波和图像增强。

通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频谱图，进而通过滤波操作去除噪声和干扰，提高图像的质量和清晰度。

傅里叶变换在图像压缩、纹理分析、图像识别等方面也有广泛的应用。

傅里叶变换的原理与应用

傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是一种数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中广泛应用。

它的原理基于傅里叶级数的推广，通过将一个信号或函数分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而揭示了信号的频域特征。

傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来解释。

假设我们有一个周期性的信号，比如一个正弦波。

我们可以将这个信号表示为一个幅度和相位不同的一系列正弦函数的和。

通过傅里叶变换，我们可以将这个信号从时域转换到频域，得到一个频谱图，显示出信号中各个频率成分的强度。

除了周期性信号，傅里叶变换也适用于非周期性信号。

对于非周期性信号，我们可以使用傅里叶变换的连续版本，即傅里叶积分。

通过对信号进行积分，我们可以得到信号在频域上的表示，同样可以得到频谱图。

傅里叶变换的应用非常广泛。

在信号处理领域，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析、信号压缩等。

例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶变换将音频信号从时域转换到频域，然后对频域信号进行滤波，去除噪声或增强特定频率的声音。

在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、边缘检测、图像增强等。

通过将图像从空域转换到频域，我们可以对图像进行频域滤波，去除噪声或增强图像的某些特征。

傅里叶变换还在物理学中有重要应用。

在光学中，傅里叶变换可以用于光学成像和光学信号处理。

通过将光学信号转换到频域，我们可以对光学信号进行滤波、调制等操作，从而实现图像的重建和信号的处理。

在量子力学中，傅里叶变换可以用于描述波函数的性质，从而揭示量子系统的行为。

除了以上应用，傅里叶变换还在工程学、经济学、地球物理学等领域中有广泛应用。

在工程学中，傅里叶变换可以用于信号处理、控制系统设计、通信系统等。

在经济学中，傅里叶变换可以用于时间序列分析、经济预测等。

在地球物理学中，傅里叶变换可以用于地震信号处理、地震勘探等。

总之，傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以将信号从时域转换到频域，揭示信号的频率特征。

傅里叶变换的原理和应用涵盖了多个领域，对于理解和处理信号、图像以及其他物理现象具有重要意义。

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论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究作者：吴晓龙院系：物理系专业：物理学（师范）学号： 1070600080指导教师：郭怀明日期： 2011年5月9日中文提要傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。

傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。

本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。

关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化AbstractFourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization目录一、引言 (1)二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用 (1)2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 (1)2.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现 (2)2.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用 (3)三、DFT、FFT的可视化及应用 (4)3.1 DFT、FFT的数学依据 (4)3.2 FFT的Matlab可视化实现 (5)3.3 FFT的实际应用 (6)四、广义傅里叶级数的可视化及应用 (8)4.1 广义傅里叶级数的数学依据 (8)4.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现 (9)4.3 广义傅里叶级数的实际应用 (9)五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义 (11)六、总结及结论 (12)附录 (13)参考文献 (17)致谢 (18)英文原文 (19)中文译文 (30)一、引言傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫·傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT ）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。

傅里叶分析在很多方面都有应用，但直到快速傅里叶变换（FFT ）的诞生才把傅里叶分析推向了高潮。

1965年，Cooley 和Tukey 两人在《计算机科学》上发表了《机器计算傅里叶级数的一种算法》一文，之后 FFT 开始大规模应用。

时至今日，傅里叶分析已被广泛的应用于信号分析、信号处理、光谱分析、量子力学、天体物理学、微分方程求解、地质勘探、医学、生物学等领域，成为数据分析的一种有效的基础手段。

同时，结合各领域自身的特点，以傅里叶分析为基础而发展起来的其他更有效的分析方法也得到了广泛的实际应用。

比如小波分析以及Z 变换，在信号分析中应用都很广泛。

但毋庸置疑，以傅里叶级数、傅里叶变换、DFT 、FFT 为基础的傅里叶分析依然是一种不可替代的简单而有效的分析方法。

二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 2.1.1 傅里叶级数傅里叶级数以三角函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,...x x x x nx nx ⋯为展开函数，可以证明三角函数系是正交归一①的。

以2l 为周期的任意周期函数()f x 的傅里叶级数形式为：011(cos sin)2n n n n n a a x b x llππ∞=++∑（2-1-1）1()cos l n l n a f x xdx ll π-=⎰ (1,2,3,n =…) 1()sinl n ln b f x xdxllπ-=⎰(1,2,3,n =…)01()l la f x dx l-=⎰若()f x 满足狄里克雷充分条件，即：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则()f x 的傅里叶级数收敛于1[()()]2f x f x -++。

()f x 亦可写为复数形式的傅里叶级数：()n i xl n r f x eπα∞=-∞=∑（2-1-2）①R.Courant ，D.Hilbert.Methods of Mathematical Physics （Volume I ），Wiley ，1989，49-501()2n ixl ln lf x edx lπα--=⎰(0,1,2,ν=±±…)2.1.2 傅里叶变换对定义在(,)-∞∞上的非周期函数()f x ，在傅里叶级数形式中令半周期l →∞可得傅里叶积分公式形式，且若()f x 满足条件：（1）在任意有限区间内满足狄里克雷条件，（2）()f x 在(,)-∞∞上绝对可积，则()f x 的傅里叶积分收敛于1[()()]2f x f x -++。

其展开形式为：()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰（2-1-3）1()()cos A f x xdx ωωπ∞-∞=⎰1()()sin B f x xdxωωπ∞-∞=⎰()f x 亦可写为复数形式傅里叶积分：1()()2i xf x F ed ωωωπ∞-∞=⎰（2-1-4）()()i xF f x edx ωω∞--∞=⎰其中第二式即为傅里叶变换式，第一式又称傅里叶逆变换式。

可以看出，两变换式前的系数存在一个自由度，因此变换式与对应的级数展开式之间也会相差一常数因子。

同时也可以看出，变换的展开系数本身数值的绝对大小并不具有切实的物理意义，其相对大小才真正具有意义。

2.2 傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab 可视化实现在给定()f x 形式后，运用Matlab 中的积分命令“int()”②可以实现对傅里叶级数、傅里叶变换中系数的计算，或运用傅里叶变换命令“fourier()”②直接实现傅里叶变换，进一步作图可得到傅里叶变换的直观图像。

下面我们就来看一个简单而典型的例子，以方波为例看看一个函数的傅里叶级数在MatLab 中是怎样可视化实现的：例1.1：以T 为周期的方波()f t 的傅里叶级数的可视化。

()f t = H ()22t ττ-≤≤0 (,)2222TT t t ττ-≤<-<<②张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003从定义式（2-1-2）可以很容易得到()f t 的k 级傅里叶展开系数为2/2/21k itTk H edt Tπττα--=⎰，由积分命令int()计算可得sink H k k Tπταπ=，又/20/21H H dt TTτττα-==⎰，故有基波及谐波振幅为0H A Tτ=，sink H k A k Tπτπ=。

用MatLab 中的stem()函数做出基波及各级谐波振幅的直观图像，这里令H=1，T=2，0.25τ=，图像如下（计算、作图程序见附录）图1.1 方波的傅里叶级数谱图1.2 方波脉冲的傅里叶变换谱从图中可以清晰地看出基波及各级谐波的振幅对比，振幅随级次的衰减、变化的趋势一目了然。

我们还可以做一些拓展，来看看傅里叶级数与傅里叶变换之间存在的微妙联系。

在例1.1中令T →∞则()f t 变为方波脉冲，其对应的傅里叶变换如图1.2。

与图1.1对比可以看出实际上图1.2中的谱线就是图1.1中傅里叶级数谱的包络线，只是幅值大小相差π倍。

这也从侧面反映出了傅里叶级数与傅里叶变换之间的紧密联系。

2.3 傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用数学物理方程中波动方程（如一维波动方程：20tt xx u a u -=）、输运方程（如一维热传导方程：20t xx u a u -=）的空间部分的本征函数解构成正交完备的三角函数系，因此可用傅里叶级数法或傅里叶变换法进行求解。

傅里叶级数法适用于求解定义在有限区域内的问题，而傅里叶变换法则适用于求解定义在无限区域上的问题。

同样的，傅里叶变换法可以看作是傅里叶级数法由有限区域向无限区域的一个推广，二者本质上没有区别，只是适用范围不同罢了。

傅里叶级数法的基本思想是：在已知泛定方程在给定边界条件下的本征函数解系的前提下，将方程两侧展开为相应的傅里叶级数的形式，由本征函数系的正交性，对比系数得到一系列的关于解的各级傅里叶展开系数的相对简单的微分方程，通过结合初始条件对这一系列微分方程进行求解得出解的各级傅里叶展开系数，从而确定原问题的解。

众所周知，这些数学物理方程是从许多实际的问题中提炼出来的，因此解决这些数理方程本身就是对实际问题的处理，只要将方程中相应的参数对应于实际问题中的参量，就可以解决实际问题了。

为了更直观的体会傅里叶级数法解微分方程中的应用，我们用一个一维振动问题为例来看一下：例1.2：一维振动方程定解问题：③2cos sintt xxu a u A x tlπω-=0,0x xx x lu u====(0)x l<<00(),()tt tu x u xϕψ====从物理实际上看，这个方程可以对应为一个受迫振动问题，方程右侧实际上就是振动源的振动形式。

由于我们已经知道对应的齐次泛定方程20tt xxu a u-=在边界条件00,0x xx x lu u====下的本征函数解系为cosnxlπ(0,1,2,...)n=。

因此可将方程的两侧同时以函数系cos n xlπ(0,1,2,...)n=为基底做傅里叶余弦级数展开，得到级数形式的方程222''2[]cos cos sinn nnn a nT T x A x tl l lπππω∞=+=∑00(0)cos cosn nn nn nT xl lππϕ∞∞===∑∑，'00(0)cos cosn nn nn nT xl lππψ∞∞===∑∑其中nT是方程的解的第n个傅里叶级数展开系数，nϕ、nψ分别是函数()xϕ、()xψ的第n个傅里叶展开系数。