傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质应用

1.2 预备知识
定理 1.2.1（傅里叶积分定理）
若在（-∞，+∞）上，函数 满足一下条件：
（1）在任意一个有限闭区间上面 满足狄利克雷条件；
（2）
，即 在（-∞，+∞）上绝对可积；
则 的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点 处
在它的间断点 处ຫໍສະໝຸດ 定义 1.2.1（傅里叶变换）
设 函 数 满 足 定 理 1.2.1 中 的 条 件 ， 则 称
函数，
记作
＝
性质 2.2.1（ 函数的筛选性质）
对任意连续函数 ，有
性质 2.2.2（ 函数的相似性质） 设 a 为实常数，则：
定义 2.2.5（单位阶跃函数） 函数是单位阶跃函数在 时的导数
这里
称为单位阶跃函数。 性质 2.2.3（ 函数的傅里叶变换）
因为
所以
即 和 1，
和 分别构成了傅里叶变换对。
的解，其中
，
均为常数， 为已知函数
解 根据傅里叶变换的性质 2.1.1（线性性质），性质 2.1.3（微分性 质），性质 2.1.4（积分性质），且记
对原方程两边取傅里叶变换： ,
. 而上式的傅里叶逆变换为
2.3.2 解偏微分方程 例 2.3.4（一维波动方程的初值问题） 用傅里叶变换求定解问题：
如果有 F(ω)＝
，则有
这个式子又叫做 Parseval 等式。
2.2 函数及其傅里叶变换
定义 2.2.1（ 函数） 满足：
的函数是 函数。
定义 2.2.2（
函数）
满足：
的函数是
函数。
定义 2.2.3（ 函数的数学语言表述）
的极限叫做 函数，记作 ＝
定义 2.2.4（
函数的数学语言表述）
的极限叫做
2.3 傅里叶变换的应用 2.3.1 求微分积分方程 依据傅里叶变换的性质 2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边 取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到 像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种 解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。
解 由于未知函数 中 的变化范围为
，
故对方程和初值条件关于 取傅里叶变换，记
定解问题已经改变为求含参变量 的初值问题：
是一个关于 t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为： 由初值条件可知： 因此初值问题的解为：
对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质 2.2.4（ 函数的筛选性质） 原定解问题的解为：
3.拉普拉斯变换的性质及应用
设
常数，
[ƒ1(t)]，
[ƒ2(t)]则：
性质 2.1.2（位移性质）
设
＝ ，则
性质 2.1.3（微分性质）
设＝
，在 ，则：
连续或可去间断点仅有有限个，且
证明 由傅里叶变换的定义有
性质 2.1.4（积分性质）
设
，若，
则：
证明 因为
故由微分性质得
即
定理 2.1.1（卷积定理）
如果
，
，则有：
证明
性质 2.1.6（Parseval 恒等式）
1.前言
1.1 背景
利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变 换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于 A 函数类的函数转化属 于 B 函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。 分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分， 也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯 齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的 成 分 。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在 19 世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的 Oliver Heaviside 奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
＝ -1
定义 1.2.6（卷积） 假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则
ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ 称为ƒ1(t)和 ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)
ƒ1(t)*ƒ2(t)＝
ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ
2.傅里叶变换的性质及应用
2.1 傅里叶变换的性质
性质 2.1.1（线性性质）
3.1 拉普拉斯变换的性质
性质 3.1.1（存在性）
假如在
这个区间上 可以满足如下的条件：
(1)在任意的一个有限的区间上面 分段连续；
(2)
，使得
，
则在半平面
上，
存在，由这个积分确定的
。
性质 3.1.2（线性性质）
设 k1，k2 是常数，
，
性质 3.1.3（微分性质）
若
，且 (n)(t)连续，则：
，则： . .
例 2.3.1 求积分方程
的解 ，其中
解 该积分方程可改写为
为的傅里叶正弦逆变换，故有：
例 2.3.2 求积分方程
在。
其中
是已知函数，而且
的傅里叶变换存
解设
，
知，方程右端第二项 根据卷积定理可得：
。由定义 1.2.6（卷积）可 。故 对方程两边取傅里叶变换，
所以
由傅里叶逆变换，求出原方程的解：
例 2.3.3 求微分积分方程
. 更一般的，∀n∈Z+，有：
更一般的，∀n∈Z+，有：
证明 由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得：
为 的傅里叶变换，记作
。
定义 1.2.2（傅里叶级数）
设函数 的周期为 T，则它的傅里叶级数为：
上式中，
定义 1.2.3（傅里叶逆变换）
定义 1.2.4（拉普拉斯变换）
若函数 满足
积分收敛，那么该积分记作
式中 s 为复数， 为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义 1.2.5（拉普拉斯逆变换）
称为 F(s)的拉普拉斯逆变换