随机变量的方差

f
(
x)


x
2
e
x2 2 2
x0
0
x0
其中 0是常数，求E( X ), D( X ).
1、解： 记 q=1-p


E( X ) kpqk1 p (qk )'
k 1
k 1
求和与求导 交换次序

p( qk )' p(
q
)'
k 1
1 q
1
ab
θ0 μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
np
np(1 p)


(a b) 2 (b a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
五、课堂练习
1、 设随机变量X服从几何分布，概率分布为
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2,… 其中0<p<1,求E(X),D(X)
2、 设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为：
p
无穷递缩等比
级数求和公式

E( X 2 ) k2 pqk1

k 1

p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k1
k 1
qp( qk )+E(X) qp(
q
) 1
k 1
1q p

qp
2 (1 q)3

1 p

2q p2

1 p

2
3. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好.
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
c(1 x2 ) , f (x)
0, 求 E( X ) 和 D( X ).
1 1,
其他.
( x 0)
解 因为 f ( x) 是偶函数,
所以 E( X )

xf ( x)dx
1 cx(1 x2 ) dx 0,

1
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 E( X 2 )
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. 证明 D(C ) E(C 2 ) [E(C )]2 C 2 C 2 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
概率论与数理统计
第二节 方差
方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量.
实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
•
• • • • • •• • •
O
1000
x
• •• • •
p p2
D(X)=E(X2)-[E(X)]2

2
p p2

1 p2

1
p p2
2、解

E( X ) xf (x)dx


x
x
x2
e dx 2 2

Байду номын сангаас
0
2
2
D(X ) E(X 2) E(X )2



x2
f
(x)dx


2
0
2
4 2
2
3 设随机变量 X 的密度函数为
xf
(
x)dx


x
1e
x
dx


E(
X
2)


x2
f
(
x)dx
0



x2
1e
x
dx

2
2

0
因此D( X ) 2
由此可知,指数分布 E（X） ，D（X） 2
方差性质的应用 . 例6 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).
例7 设X ~ N (0,1),求E( X )和D( X ).
解 X的概率密度为
(x)
1
x2
e2
x
2
于是

E( X ) x ( x)dx
1

x2
xe 2 dx 0

2

D( X ) ( x E( X ))2 ( x)dx
1

x2e
x2
2 dx

1

2
若X ~ N (0,1),则 E( X ) 0, D( X ) 1
若X ~ N ( , 2 )，则Z X ~ N（0，1）
E(Z ) 0, D(Z ) 1
而X Z ,由数学期望和方差的性质得
E( X ) E(Z ) E(Z ) E( )
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 , , Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.

1

D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
五、常见分布的期望与方差
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0 p1 n 1,
0 p1
0
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
二、例题讲解
例1 设随机变量 X 具有概率密度
求 D( X ).
1 x, 1 x 0, f ( x) 1 x, 0 x 1,
0, 其他.
解
0
1
E( X ) x(1 x)d x x(1 x)d x
1
0
0,
E( X 2 ) 0 x2(1 x)d x 1 x2(1 x)d x
证明
D( X ) E{[X E( X )]2} E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2
E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) E2( X ).
5. 方差的性质
1 cx2(1 x2 ) dx 1
c x(1 x2 )1 1 c
1 (1 x2 ) 1dx
2( 1)
1 2( 1) 1
1
1 c(1 x2 ) dx 1
1 cx2(1 x2 ) dx
2( 1) 1
2( 1) 1

xf ( x)dx 1


x
2
f
(
x)dx

D(
X
)


于是 D( X ) 1 1 D( X ),
2( 1) 2( 1)
k(k 1) ke 2e k2
k0
k!
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
因此,泊松分布
E( X ) , D( X )
由此可知，泊松分布的 数学期望与方差相等，等于
O
• • • ••
1000
x
2. 方差的定义
设 X 是一个随机变量,若E{[X E( X )]2}存在, 则称 E{[X E( X ) ]2} 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或
Var(X ), 即 D( X ) Var( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为标准差或均方差, 记为 σ( X ).
。泊松分布的 分布率中只含一个参数 ,只要知道 ,
泊松分布就被确定了.
例3 设X ~ U(a,b)，求D( X )。
解 X的概率密度为
f
(
x
)

b
1
a
a xb
0 其它
上节已求得E( X ) a b。方差为 2
D( X ) E( X 2 ) E( X )2

b a
x2
b
1
dx a


a
2
b 2

b
a2
12
因此,均匀分布 E(X
)

a

b
,
D(
X
)

b

a
2
2
12