非弹性散射-确定末态的积分方程
弹性散射,非弹性散射 s分波的微分散射截面 第七章 散射理论
一、概念与名词解释 1. 弹性散射，非弹性散射 二、计算 1. 粒子受到势场 U(r)=α/r 2 散射，求 s 分波的微分散射截面. 2. 慢速粒子受到势能为 U(r)=α/r 4 的场散射，求 s 分波的散射截面. 3. 用玻恩近似法求粒子在势能 U(r)=U0exp(- α2 r2) 的场中散射时的散射截面. 4. 用玻恩近似法求粒子被势场 U(r)=U0exp(-r/a) 散射时的微分散射截面. 5. 用玻恩近似法求粒子在势场 U(r)= α/r 2 (α>0)中散射的微分散射截面. Ze 2 /r - r/b (r a) 6. 用玻恩近似法求粒子在势能为 U(r) b a 2 /Ze 2 的场中散射 (r a), 0 时的微分散射截面. 7. 考虑中子束对双原子分子 H2 的散射. 中子束沿 z 方向入射，两个氢原子核位 于 x=+a 处 . 中子和电子无相互作用，中子与氢原子核即质子之间的短程作用 可取为 试用玻恩近似计算散 V( r ) -V0 [ (x - a) (y) (z) (x a) (y) (z)]. 不考虑反冲， 射振幅及微分截面. 8. 若散射势是定域可分离势 r ' V r ' ' v(r)v(r' ), 写出并求解ψ(+) 的积分方程， 求 散射振幅和这种势场下的玻恩近似. 三、综合题 1. 考虑一个质量为 m 的粒子在一维势 V(x) 上的散射. (1) 证明 G E (x) 1 eikx dk 是能量为 E 的与时间无关的薛定谔方程 2 - E - 2 k 2 /2m i
在出射波边界条件下的自由粒子格林函数； (2) 写出一个沿正 x 方向的入射波能量本征函数所满足的积分方程，并在玻恩近 V0 ( x a/2) 似下求势能为 V(x) 的反射概率. 讨论 E 在什么范围取值时，所 0 ( x a/2) 采用的近似准确度较高.
07 热中子非弹性散射,S(α, β)
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第七讲（2004年2月26日）中子弹性散射——热运动及化学键效应参考文献——J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory (Addison-Wesley, Reading,1966), chap 2. S. Yip, 22.111 Lecture Notes (1975), chap 7.G. I. Bell and S. Glasstone, Nuclear Reactor Theory (Van Nostrand Reinhold, New York, 1970), chap 7.所有的截面都是相互作用空间位置的点函数。
核相互作用的范围远小于任何常见能量的中子波长，因此可以认为中子相互作用是发生在一个点上而非发生在一个有限范围的区域上。
本讲侧重于讨论弹性散射截面)(E σ与入射中子能量E 之间的依赖关系，E 指实验室系（LCS ）下的中子能量。
在上次课程里，已经推导出能量转移核形式的出射中子能量分布，但没有提及方程（6.1）对能量的依赖关系，其原因就是)('E E F →)(E σ远复杂于。
对于处于热中子能区的中子，研究)('E E F →)(E σ必须考虑到热运动及靶原子化学键结合能的影响。
关于这些影响有更多内容可以讨论，不仅是)(E σ，还需要考虑二阶微分散射截面。
本讲只讨论总截面，对于双微分散射截面的讨论将在以后进行。
关于'2/dE d d Ωσ)(E σ随能量变化的定性理解可以参考第二讲。
我们在2003年第三讲里提到过，当入射中子的速度远大于靶核速度时，从简化运动学分析的角度来说，假定靶核静止不动是一个很好的近似。
在第四讲关于截面的讨论中，采用这种近似把一个二体碰撞问题转化为等效的单体问题——在势场V(r)中的粒子散射。
这里，矢量r 指中子对靶核的相对位置。
非弹性散射的强吸收模型
4.4非弹性散射的强吸收模型许多非弹性散射的测量结果强烈吸收了激发低态的粒子，这些粒子表现出较大的横截面（与小角度以外的弹性截面相当）和在前半球强烈达到顶点的角度分布， 振荡或衍射结构作为弹性角分布。
这些属性是直接反应的特征，我们可以用简单的术语来理解它们，就像我们在前面部分中用于弹性散射的那些。
4.41绝热近似两个基本特征是使用集体模型和绝热近似。
我们发现，简单的半经典或衍射理论的应用需要相对较短的波长或相当高的能量;在这种情况下，低激发态的激发能远小于轰击能量;绝热近似完全忽略它们，使得基态和激发态被认为是近似退化的，并且可以在相同的基础上处理弹性和非弹性散射。
如果我们用集体旋转模型的话，核结构的物理现象就能被观察。
那么非球形核的激发简单旋转，并且可忽略的激发能意味着旋转速率比碰撞对的通过慢得多。
因此我们可以确定核的旋转模式，计算每个特定方向的散射，然后在方向上求平均值。
在衍射模型的应用中，我们需要计算来自非球形黑核模型（例如椭球体）的衍射散射的振幅。
我们需要多种的近似值。
用坐标来表示核的方向记作§然后我们计算振幅f(0.§)，这对特定角度的散射有特殊的作用。
核的每个量子态包括一个方位的特定分布，其概率由其波函数的平方模数给出，{ΦA (§)}2为了获得两个特定量子态A1和A2之间的跃迁振幅，我们需要采取矩阵元素在两个状态之间的f 。
4.17f 1,2 θ =∫ψA 2∗(ζ)f (0,ζ)ψA 1(ζ)dζ 弹性散射的特定情况由对角矩阵元素给出4.18f el =f 0,0 θ =∫[ψA 0 ζ ]2f (0,ζ)dζ图4.7（强吸收体系下非弹性散射角分布的例子，除了90Zr+t 所示的弹性横截面用于比较.弹性散射的曲线是用光纤模型获取的，然而非弹性散射用直接反应代表，用DWBA 来计算。
整个曲线和虚线是应用两种不同的光学模型计算得到的。
）如果ΦA是基态的波函数，将方程解释为基本原子核取向的简单平均值，由概率{ΦA(§)}2加权，。
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
§6 散射问题
§6 散射问题在量子力学中，散射现象也称为碰撞现象，主要研究粒子与力场、粒子与粒子的碰撞过程，这有很重要的实际意义。
如研究气体放电、气体分子碰撞、原子内部结构等。
§6.1 一般描述 1. 几个概念弹性散射（弹性碰撞）．．．．．．．．．．：粒子与粒子碰撞过程中，只有动能的交换，粒子内部状态不改变的碰撞。
非弹性散射（非弹性碰撞）．．．．．．．．．．．．：粒子与粒子碰撞过程中粒子内部状态发生改变（如原子被激发或电离）的碰撞。
课程主要讨论弹性碰撞．．．．．．．．．．。
微分散射截面．．．．．．： 设一束粒子沿z 轴入射粒子A ，A 称为散射中心，碰撞引起A 的运动可略去。
粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角?称为散射角．．．。
单位时间内散射到垂直于散射方向的小面积元dS 上的粒子数与dS 、入射粒子流强度N 成正比，与dS 到A 的距离r 平方成反比，即Ω=Nd rdSNdn 2~ 引入比例系数)(ϕθ,qΩ=Nd ,q dn )(ϕθ (6.1.1))(ϕθ,q 与入射粒子、散射中心的性质及相互之间的作用和相对动能有关。
量纲关系：22][1][1][L q TL N Tdn =→==)(ϕθ,q 具有面积的量纲，称为微分散射截面．．．．．．。
∫∫∫=Ω=ππϕςθϕθϕθ020sin )()(d d ,q d ,q Q (6.1.2)称为总散射面积．．．．．。
2. 散射面积量子力学解法 以散射中心为坐标原点，)(r U 表示入射粒子与散射中心间的相互作用势能，散射体系的薛定鄂方程为 ψψψµE U =+∇−222h (6.1.3) 令 22222hh p E k ==µ (6.1.4)µµk p v h ==(6.1.5) )(2)(2r r V h µ=(6.1.6) 薛定鄂方程改为 0)]([22=−+∇ψψr V k (6.1.7) 由于探测散射粒子在离散射中心很远处，即→∝r ，此时0)(→r U 。
大学课件_计算传热学_第五章非稳态问题的求解方法
第5章 非稳态问题的求解方法1.1 通用输运方程()()()()()t t f q Γv tφφρφρφφ,grad div div =++-=∂∂ ( 5-1 )5.1 显式Euler 方法考虑1D, 定速度，常物性，无源项的特例22xx u t ∂∂Γ+∂∂-=∂∂φρφφ ( 5-2 ) 时间向前，空间中心差分，得FD 与FV 相同形式代数方程()t x x u nin i n i n i n i nin i∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+Γ+∆--+=-+-++21111122φφφρφφφφ( 5-3 ) 可写成()ni n i n i n i c d c d d 1112221-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=φφφφ ( 5-4 ) 其中()xtu c and x t d ∆∆=∆Γ∆=2ρ ( 5-5 ) d 表示时间步长与特征扩散时间()Γ∆/2ξρ的比。
后者代表一个扰动由于扩散通过∆x 一段距离所需时间。
c 表示时间步长与特性对流传递时间x u ∆/的比。
后者代表一个扰动由于对流通过∆x 一段距离所需时间。
c 成为Courant number, 为CFD 中一个关键的参数。
此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。
方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。
用矩阵表示：n n A φφ=+1 ( 5-6 )观察函数：()∑---=-=in i ni n n 211φφφφε( 5-7 )如果系数矩阵A 的本征值中有大于1，则ε随着n 的增加而增加。
如果本征值全部小于1，则ε是递减的。
一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示ji n n j e ασφ= ( 5-8 )其中，α为波数，可取任意值。
∙ 无条件发散：φn 无条件随n 增加→|σ|>1 ∙无条件稳定：φn 无条件随n 降低→|σ|<1代入差分方程，得到本征值为：()αασsin 2cos 21c i d +1-+= ( 5-9 )考虑特殊情况，∙ 无扩散：d=0, →σ >0, 无条件发散，充分条件∙无对流：c=0, →当cos α= -1时，σ最大，→d<1/2，无条件收敛，充分条件从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A 的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）d c d 2and 5.0<<( 5-10 )第一个条件要求()Γ∆<∆22x t ρ ( 5-11 )表示，每当∆x 减少一半，时间步长需减少到1/4. 第二个条件要求2Pe or2<<Γ∆cell xu ρ ( 5-12 )这同前述的用1D 稳态对流/扩散问题的CDS 要求是一致的。
散射前后光的波长或光子能量PPT课件
均匀吸收和选择吸收
• 若材料在可见光范围对各种波长的吸收程度相同，则称为均匀吸收，它随吸收程 度的增加使颜色从灰变到黑；
• 若材料对某一波长吸收系数很大而对另一波长吸收系数很小，则称为选择吸收， 透明材料的选择吸收使其呈不同的颜色。
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光的色散和散射
在真空中，光以恒定的速度传播，与光的频率无关。然而， 在通过任何材料时，光的传播速度要发生变化，而且不同频 率的光在同物质中的传播速度也不同；
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光的反射与折射图
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反射系数和透射系数 根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件可以得到光波在反射前后和折射 前后的能量变化规律。反射光的功率对入射光的功率之比称为反射系数(反 射比)。经过折射进入第二介质的光为透射光，透射光与入射光功率之比称 为透射系数。
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例如：
空气 105 cm-1
玻璃 102 cm-1 金属 104 ~ 105 cm-1
金属实际上是不透明的
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金属、半导体和电介质材料吸收系数与电磁波长的关系
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• 上图所示是材料的光吸收系数与电磁波波长的关系。由图可见，在电磁波可见光区，金属和半导体介质对 其吸收都是很大的，但电介质材料，包括玻璃、陶瓷、高聚物等材料在可见光波谱区吸收系数很小，具有 良好的透过性。
南京理工大学化工学院在材料中如果有光学性能不均匀的微小结构区域例如含有小粒子的透明介质光性能不同的晶界相气孔或其它夹杂物都会引起一部分光束被散射由于散射光在前进方向上的强度减弱了对于相分布均匀的材料其减弱的规律与吸收规律具有相同的形式散射系数南京理工大学化工学院南京理工大学化工学院光散射分类根据散射前后光子能量或光波波长变化与否分为弹性散射与非弹性散射弹性散射
第18章微观粒子的散射
2
(q2
1 +1/
a2 )2
23
若入射粒子能量很高
qa = 2ka sin(ϑ / 2) 1 (大角度才成立)
σ
(ϑ )
=
mZ ′Ze2
8πε0k 2=2
2
sin 4
1
(ϑ
/
2)
——经典的Rutherford散射公式. 注意：上式成立的
条件与ϑ有关，只有较大ϑ时才成立.
ϑ
高速带电粒子被中性原子散射，散射中心的原子核被 核外电子屏蔽，这种屏蔽的Coulomb场可表示为
U (r)
=
−
Z ′Ze2
4πε 0
1 r
exp
−
r a
有效屏蔽半径
∫ σ (ϑ)
=
2m =2q
Z ′Ze2
4πε 0
2
∞ 0
exp
−
r′ a
sin(qr′)dr
′
2
=
2m =2
Z ′Ze2
∞
∑ ψ i =ψ 0 exp(ikz) =ψ 0 (2l +1)il jl (kr)Pl (cosϑ) l=0
∑∞
≈ψ 0 (2l +1)il
l=0
1 kr
sin
kr
−
lπ
2
Pl
(cos
ϑ
),
(r
→ ∞)
——不同相位的球面波叠加——每个球面波称为分波
7
有心力场且轴对称条件下，Schrödinger方程的解
∞
≈ψ0
l=0
Al kr
sin
kr
−
lπ
2
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此式的形式解为
x x G Ea H 0 i
(2.3.11)
利用完全性条件(2.3.6)，上式可记为
G g
b b
eiq ( x x) gb b ( ) b* ( ) dq 3 (2 ) Ea Ebq i 1
(2.3.12)
因为
2 2 ka 2 q 2 Ea a , Ebq b 2m 2m
(2.3.13)
再由能量守恒定律(2.3.9)，可得
2 2 Ea Ebq kb q 2 2m
(2.3.14)
于是式(2.3.12)也可以表示为
2m eiq ( x x) gb b ( ) b* ( ) 2 2 dq 3 2 (2 ) kb q i 1
2.3.2 确定末态的积分方程
从弹性散射的讨论中已经知道，为了得到散射幅公式， 最好先将有关的薛定谔方程改写为李普曼-许温格方 程。为此，可将式(2.3.1)右侧因子视为“源”，与该 非齐次微分方程相应的格林函数所满足的方程为
Ea H 0 G x , x ; Ea x x (2.3.10)
(2.3.15) 于是，在非弹性散射情况下，与薛定谔方程(2.3.1)相 应的确定末态的积分方程为
x a
1 2m e b * b ( ) b ( ) 2 4 x x
ik x x
m a 2 2
e b b ( ) b* ( ) x x x V a dxd b