线性规划建模求解

二、对偶规划问题
问题提出 某玻璃制品公司生产高质量的玻璃制 品，包括具有手艺和最精细工艺特性 的床和玻璃门。公司有三个工厂共同 生产窗和玻璃门，其中 工厂1：生产铝框和硬制件 工厂2：生产木框 工厂3：生产玻璃和组装窗和门
已知相关数据如下：
生产每个单位 所需时间（小时） 门 1 2 3 单位利润 （元） 1 0 3 300 窗 0 2 2 500 4 12 18
投入 DMU
产出
职员 营业 储蓄 中间 贷款 数 面积 存款 业务 140 1800 200 1600 130 1000 350 1000 120 135 800 900 450 1300 420 1500
分理处1 15 分理处2 20 分理处3 21 分理处4 20
试对四个分理处进行DEA有效性分析，包 括规模有效分析即C2R，和技术有效分析即 C2GS2。
现在他需要确定将哪一项任务指派给哪一个 人。相关数据如下： 任务 人员 张三 李四 王五 宋六 1 35 47 39 32 2 41 45 56 51 3 27 32 36 25 4 40 51 43 46 工资 /小时 14 12 13 15
五、线性规划应用之一 ——DEA分析
数据包络分析是一种基于线性规划，用 于评价同类型组织绩效相对有效性的工 具手段。这类组织例如学校、医院、银 行分支机构、超市的各营业部等。注意： 各组织具有相同的投入、产出项目，对 应单位也应相同。 有某个银行的4个分理处数据如下：
工厂
每周可用时 间（小时）
任务： 任务： （1）列出问题数学模型，求取总利润最 大时的两种产品产量，并练习制作命令 按钮； （2）当门和窗的单位利润分别在什么范 围内变动时，公司的最优生产计划不变？ （3）如果改变一个工厂可用于生产新产 品的生产时间，结果将如何？ （4）学会看灵敏度分析报告。
数学模型为： Max z=300D+500W 2W ≤12 s.t. 3D+2W ≤18 其中，D、W分别表示生产的门和窗 的个数。
运算结果报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们 的初始值、最终结果、约束条件和有关 约束条件的信息。 其中，目标单元格和可变单元格是用其 行和列命名的，约束单元格是用其列命 名的。初值和终值分别指单元格在本次 求解前的数值和求解后的数值。
敏感性报告解释
提供关于求解结果对“目标单元格”编 辑框中所指定的公式的微小变化，以及 约束条件的微小变化的敏感性信息。含 有整数约束条件的模型不能生成本报告。 对于非线性模型，此报告提供缩减梯度 和拉格朗日乘数；对于线性模型，此报 告中将包含递减成本、影子价格（机会 成本）、目标系数(允许有小量增减额) 以及右侧约束区域。
问题分析与建模 本问题是一个典型的线性规划问题。 食品公司的最终目标是利润最大化，在 本题中用单位贡献表示单位利润。 有目标函数为： Max z=130TV+60M+50SS 其中，TV、M、SS分别表示电视上的 广告时段数、杂志上的广告数目和星期 天增刊上的广告数目。
约束条件有三个： （1）广告总费用≤400万； （2）计划总成本≤100万； （3）总的电视广告时段数目≤5。 表示为： 300TV +150M +100SS ≤4000 90 TV +30 M +40 SS≤1000 TV ≤5
现在要解决的问题是如何确定各种广告活动的 水平（levels）以取得最有效的广告组合 （advertising mix）。相关数据如下：
每种活动的单位资源使用量 资源 电视 广告 广告 预算 计划 预算 电视 时段 单位 贡献 300,000 90,000 1 130 杂志 广告 150,000 30,000 0 60 星期天 增刊广告 100,000 40,000 0 50 可获得 的资源数 400万 100万 5
D1 160 140 190 2
D2 130 130 200 5
D3 220 190 230 4
D4 170 150 1.5
供量 5 6 5
数学模型为： Min z= 160x11+130x12+220x13+170x14 + 140x21+130x22+190x23+150x24 无穷大 + 190x31+200x32+230x33+Mx34 x11+x12+x13+x14 ≤5 x21+x22+x23+x24 ≤6 x31+x32+x33+x34 ≤1.5 x11 +x21 +x31 =2 x12 xij≥0 +x32 =5 x13 +x23 +x33 =4 +x24 +x34=1.5 x14 i=1，2，3；j=1，2，3，4 +x22
1）可变单元格一栏：当门和窗的单位利 润分别在(300-300，300+450)和(500300，+∞)之间变动时，最优解保持不 变。 注意： 注意：①最优解不变，但最优目标函数 值可能发生变化；②分别变动而不是同 时变动，即固定其中一个，另一个可在 适当范围内变动。
2）约束单元格一栏：阴影价格即运筹学中的 影子价格，它是指资源每增加一个单位时目 标函数的增量，即： 工厂1每周可用时间在[4-2，+∞]之间发生变 化时，影子价格恒为0，对目标函数值无影响； 工厂2每周可用时间在[12-6，12+6]之间发生 变化时，影子价格恒为150，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加150， 工厂3每周可用时间在[18-6，18+6]之间发生 变化时，影子价格恒为100，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加100。 注意： 注意：此处也是分别变动，而不是同时变动。
三、运输问题
（一）供需平衡
某食品公司有三个罐头加工厂A1、A2、 A3，四个仓库B1、B2、B3、B4。已知 相关数据如下：
仓库 加工厂 A1 A2 A3 分配量
B1 464 352 995 80
B2 513 416 682 65
B3 654 690 388 70
B4 867 791 685 85
产量 75 125 100
任务： 任务： 求总的运输费用最小的运输策略。建模 求解。
数学模型为：
Min z= 464x11+513x12+654x13+867x14 + 352x21+416x22+690x23+791x24 + 995x31+416x32+690x33+791x34 x11+x12+x13+x14 =75 x21+x22+x23+x24 =125 x31+x32+x33+x34 =100 x11 +x21 +x31 =80 +x22 +x32 =65 x12 x13 +x23 +x33 =70 x14 +x24 +x34 =85 xij≥0 i=1，2，3；j=1，2，3，4
θ=1，说明为弱DEA有效（C2R）； θ=1，且松弛变量或人工变量均为0，说 明为DEA有效（C2R）； DEA有效性分析（C2R）反映的是规模 有效。 练习： 分理处2、3、4的规模有效性分析。借助 运算结果报告。
（二）技术有效性分析
数学模型（D），以对DMU2为例。 Min θ 15 λ1 +20 λ2 +21 λ3 +20 λ4<=20 θ 140 λ1 +130 λ2 +120 λ3 +135 λ4<=130 θ 1800 λ1+1000 λ2 +800 λ3 +900 λ4 >=1000 200 λ1 +350 λ2 +450 λ3 +420 λ4>=350 1600 λ1+1000 λ2+1300 λ3+1500 λ4>=1000 λ1 + λ2 +λ3 + λ4=1 λi>=0， i=1，2，3，4；θ >=0
（三）转运或转载问题
零售商 仓库 工厂 2 1
600
2 3 6 4 4 4 3 6 6 3
5
200
3 3
6
150
2
400 1
7
350
8
300
数学模型格式
Min
ij 运出弧线
∑
所有弧线
ij 运入弧线
c ij x ij
≤ si 起始点i
ij 运出弧线 ij 运入弧线
பைடு நூலகம்
∑x − ∑x ∑x − ∑x ∑x
线性规划
——建模与求解 建模与求解
目录
线性规划问题 对偶规划问题 运输问题 指派问题 线性规划应用之一：DEA分析 线性规划应用值二：零和对策混合策略 附录
一、线性规划问题
问题提出 某食品公司雇佣了一家广告公司来帮助设计 全国性的促销活动，计划最多支付广告公司 服务酬金100万元，广告费用400万元。根 100 400 据该食品公司产品状况，广告公司确定了最 有效的三种广告媒体。 媒体1：星期六上午儿童节目的电视广告 媒体2：食品与家庭导向的杂志广告 媒体3：主要报纸星期天增刊上的广告
极限值报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、 上下限和目标值。含有整数约束条件的模型不 能生成本报告。其中，下限是在满足约束条件 和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某 个可变单元格可以取到的最小值。上限是在这 种情况下可以取到的最大值。
延伸
下面对目标式系数同时变动以及约束限制值同 时变动的情况分别作以延伸。 （1）目标式系数同时变动的百分之百法则 （ The 100 percent rule of simultaneous changes in objective function coefficients）： 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系 数变动量占该系数同方向可容许变动范围的 百分比，而后将各个系数的变动百分比相加 ，如果所得的和不超过百分之一百，最优解 不会改变；如果超过百分之一百，则不能确 定最优解是否改变。