20100106复变函数B期末试题A解答
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
复变函数期末考试及答案(珍藏版)
一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题《复变函数》练习题⼀.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平⾯上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是⽆界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平⾯第( ) 象限. A ．⼀ B ．⼆ C ．三 D ．四11. 下列等式成⽴的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。
09级复变函数(B)期末试题(A)
石家庄铁道大学2009-2010学年第2学期2009级本科班期末考试试卷(A)课程名称： 复变函数（B ）考试日期：2010.6.30 考试时间：120分钟考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、填空题（每小题2分，共20分）1.设11z i=-，则()Im z =_________. 2. 当11iz i+=-时，1007550z z z ++的值等于__________. 3. 设sin cos z i αα=+，则z 的三角表示为________.4. 复数乘幂=i i __________.5. 函数()()y xy i x y x z f -+--=222的导数是__________.6. 幂级数nn nz nn ∑+∞=1!的收敛半径为__________. 7. Ln(34)i -+=_______.8. 孤立奇点0=z 是函数32z ze e z --的__________级极点.9.⎰==-23)1(cos z dz z zπ __________. 10. =+∞→n ine nπ)11(lim _________. ——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————学号： 班级： 姓名：二、判断题（每小题2分，共20分）（正确的在题号下写T ，错误的在题号下写F ）1.i i 2< .2. sin z 在复平面内有界.3. 若0z 为()f z 的奇点，则()f z 在0z 不可导.4. 设(,)u x y 的共轭调和函数为(,)v x y ，则(,)v x y 的共轭调和函数为(,)u x y .5. z w =在整个复平面上处处解析.6. 若函数()z f 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.7. 函数z arg 在-1处连续. 8. 若)(z f 在0z 点可导, 则)(z f '在0z 点连续.9. 若0z 是)(z f 的奇点，且0z 不是可去、本性奇点，则0z 必是极点.10. 设)(z f 在单连通域D 内处处解析,且不为0. C 为D 内任意一条简单闭曲线, 则⎰='C dz z f z f 0)()(.三、解答下列各题（每小题9分，共36分）1. 计算41i +.2. 计算2Res[,1](1)ze z z -.3. 讨论级数∑∞=-+-⋅1)1()1(1n nn i n n的收敛性.4. 设)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f . 说明)(lim 0z f z →不存在.——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————四、解答下列各题（每小题8分，共24分）1. 设323v y x y =-，验证v 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之(0)0f =.2. 求函数(1)(1)zz z -+在12z <<内的罗朗展式.3. 2()C e f z d zζξζζ=-⎰设，其中{}:2C z z ==为正向圆周，试求)2)((≠z z f 及)1(f ',(23)f i '+.。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数期末考试试题
复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
《复变函数》期末复习题及答案
复变函数复习题及答案一、判断题(红色的是错误的)1.0的幅角为0.2.i i 2<.3.z z ln 2ln 2=. 4.Lnz Lnz 22=.5.Lnz z Ln 21=. 6.0=-Lnz Lnz .7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2.10.函数()()231z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点，则()0/z f不存在.12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13．设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，则22v u +一定是调和函数.14.函数()zzz f =的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线，则⎰=Cdz z 012. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz nArgz n11=. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 22=+z z .20.∑+∞==-011n n z z .21.0sin lim=∞→zzz .22.若c z f z z =→)(lim 0，则z 0是函数的可去奇点.23.若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则[]0),(Re =∞z f s .25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.二、选择题1．下列各式中表示有界区域的是（ C ）.A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z 2．在映射2z w =下，双曲线122=-y x 在w 平面上的象是（A ）. A.平行于u 的直线 B.平行于v 的直线 C.双曲线 D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是（ B ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是（ C ）.A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第（ A ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6．=Lni ( A )，其中k 是整数. A.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ22 B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22 C.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ24 D. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7．对于幂级数，下列命题中正确的是（ B ）.A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛 D 在收敛圆上，其处处发散8．0=z 是()zz z f 2sin =的（ D ）.A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点 9．在复平面内，关于z sin 的命题中，错误的是（ C ）.A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10．设C 为正向曲线1||=z ，则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π2 11．设()zz z z f 222-+=，则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 212.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条（ A ）. A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线13. 下列积分中，值不为零的是（ D ）（其中C 是正向曲线1||=z ）. A.⎰Czdz B.⎰C dz z z sin C.()⎰-C dz z z 5.01 D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中，绝对收敛的级数为（ D ）. A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D. ∑∞=1n nni 2 15. 2lim1n n nini→∞+-=（ A ）.A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的（ A ）.A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是（ D ）.A.i i 2<B.1sin ≤zC.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛，则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为（ A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的，再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的（ D ）.A.可去奇点B.极点C.本性起点D.非孤立奇点 20.下列级数中条件收敛的是（ B ）.A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B. ∑+∞=0n n n i C. ∑+∞=02n n n i D. ∑+∞=+021n n n i21.下列级数绝对收敛的是（ B ）.()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为（ B ）. A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R z D.1),1ln(=-R z z （∑∞=++-111)1(n n n n z =∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n nn n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z zzz n n n znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001) 23.设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰Cz z d 1= （ A ）. A.i π2 B.π C.0 D.i π2-24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数），则其收敛域是（ D ）.A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a << 三、填空题 1． 设42πiez -=，则=z Re 12． ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3． 方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4．=-⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________. 5． =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6．=⎰=1||z dz z i π2.7． ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析，则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1，则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π；9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u . 10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z，则()=0///f__-９_____________.(()12-=z ze z f z zz z e zz e z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ） 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ，则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2 15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___０_______. 16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=，则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a ____－３ .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 1z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.四、计算题1. 计算()i -1ln ，()1sin -i π和21的值解：()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ（()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+）()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu解：()()()222222222/2ziy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到，i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。
2009-2010复变函数试题答案
北京信息科技大学2009 ~2010 学年第一学期《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷（A ）答案课程所在学院： 理学院 适用专业班级： 测控0801-0803，机械0801-0806 考试形式：(闭卷)一.完成下列各题（本题满分40分，共含10道小题，每小题4分）1.计算i i i i z ++-=11，并求z 的模和辐角。
解； i i i i z ++-=11=12i - ----2||2z = 2,0,1,24Argz k k ππ=-=±± ----22.将复数i z +=3化为三角表示式和指数表示式。
解： 6arg ,2π==z z ),6sin 6(cos2ππi z += ----3 62πie z = ----13.一个复数乘以-i ,它的辐角和模有何改变。
解：由于复数arg 2,ii z z z e i e π-=-=，)2(arg π-=-z i ez iz ， ----3即模不变，辐角减小2π。
-----1 4.判断函数)cos (sin )(x i x e z f y +=是否解析？解：x e y x v x e y x u x ie x e z f y y y y cos ),(,sin ),(,cos sin )(==+=，=∂∂=∂∂yvx e x u y ,cos x e y cos ，x e x v x e y u y y sin ,sin -=∂∂=∂∂ - -----3在复平面上满足柯西-黎曼条件， 所以在复平面上解析。
-------1 5.求方程=+164z 0的所有根。
解： )3,2,1,0(),42sin42(cos 164=+++=k k i k z ππππ -------222,22,22,223210i z i z i z i z -=--=+-=+=-------26.设C 为正向圆周,1=z 计算dz z zz z c⎰-+3sin 33。
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一、 判断题（2×7=14分）：
1. （W）sinz是一个有界函数.
2. （W ）若函数f(z) 的实部和虚部在z0处可微满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.
3. （R）若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.
4. （R）设函数)(zf在复平面上解析，若它有界，则必)(zf为常数.
5. （R）若0z是)(zf的极点，则)(lim0zfzz.
6. （R）若)(zf与)(zg在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则Dzzgzf),()(.
7. （R）如果函数()fz在1z内解析，则11max{()}max{()}.zzfzfz
二、 单项选择题(本大题共3×4＝12分)
1. 下列结论不正确的是 A .
A. 函数)(zf在扩充复平面内的孤立奇点（包括无穷远点）的留数之和为零；
B. 函数)(zf“在区域D内解析” 与“在区域D内积分与路径无关” 等价；
C. 如果)(zf在闭曲线C围成的闭区域D上除极点外解析，则)(zf在D上只有有限个奇点；
D. 函数ivuzf)(在区域D内解析的充要条件是在D内v是u的共轭调和函数.
2. 方程014258zzz 在|z|<1内根的个数为 C .
（A） 8； （B）1； （C） 5； （D）0.
3. 已知izizw312312将区域1,11zzzD保角地映射成区域 C .
A. 3arg0w； B. 32arg3w；
C. 3arg32w； D. 0arg3w.
上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷）解答
（ 2009 至 2010学年 第一学期 ）
班级号_______________________ 学号______________ 姓名
课程名称 复变函数B 成绩
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4. 设C为正向圆周11z,那么Czzdz33)1()1(的值是 A
A. i83； B i43； C. i43 ； D. i83
三、填空题（本大题共3×6＝18分）
1. 函数21z在2z处的泰勒展开式为1122)2(21nnnznz．
2. 设函数 2371,Cfzdz C：2||z，则
iif2612)1('
.
3. 当a 0.5 时，函数xyiyxazfarctan)ln()(22在区域
0x
内解析.
4. 函数zezfzsin)(11 在扩充复平面上的所有奇点是,,1k，它们的奇点类型
分别是 本性奇点，一阶级点，非孤立奇点（极点要指出其级）.
5. ii的主值为)22(ke.
6. idzezzzz321213 .
题号 一 二 三 四 五 六 七
得分
批阅人(流水阅
卷教师签名处)
我承诺，我将
严格遵守考试纪
律。
承诺人：
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四、 计算题（本大题共6×3＝18分）
1. 设C为正向圆周|z|=1，求I=dzzecz21.
1]0),([Rezfs
izfsidzzecz2]0),([Re221＝因此，
2. 利用留数计算积分)0()(3sin022adxaxxx的值.
aeI32
.
3.利用留数求积分 )10(,cos21202aaad 的值.
.12))(1(cos2121||202aazazdziaadz
,||0,1!2111)(4212zzzzzezf
z
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五、共形映射（7×2＝14分）
1. 求将扇形域 4arg0,2zz映射成单位圆|w|<1的函数(需要画图).
.)16()16()16()16(24242424zizzizw
2. 试作一单叶解析函数w=f(z)，把|z|<1映射成|w|<1,并且使f(0)=1/2，f’(0)>0 .
.12/12zzw
六、 证明题（8×3＝24分）
1. 用两种方法证明0是函数ze1的本性奇点。
解：首先，0是函数ze1的孤立奇点。
1） 当zzezez/1/10;00时，时，
所以，0是函数ze1的本性奇点。
2）321!31!2111zzzez
主要部分有无穷多项，所以，0是函数ze1的本性奇点。
2. 利用柯西不等式证明：设函数)(zf在圆 :12Cz 内解析，且在C上连续，4020
是)(zf在C上取得的最大值，证明：2010|)1('|f．
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解：根据柯西不等式，我们有
.2010240202|)1('|Mf
3. 叙述并证明代数学基本定理。
解：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。
证明一
寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当|z| ≥ r时，就有
|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），
是在D的内部的某个点z0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，
p(z0) = 0。也就是说，z0是p(z
)的一个零点（根）。
证明二
由于在D之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整个复平面上，|p(z)|的最小值在
z0取得。如果|p(z0)| > 0，那么1/p
在整个复平面上是有界的全纯函数，这是
因为对于每一个复数z，都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|。利用刘维尔定理（有界
的整函数一定是常数），可知1/p是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所
以p(z0) = 0。
证明三
这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数，使得p(z)的每一个根的绝
对值都小于R；这个数一定存在，因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一
个r > R，考虑以下的数：
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其中c(r)是中心为0，半径为r的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个
数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N，由于r > R，所以
它也是p(z)的零点的总数目。另一方面，n/z沿着c(r)的积分除以2πi，等于
n
。但这两个数的差为：
被积分的有理表达式中的分子，次数最多是n − 1，而分母的次数是n + 1。因
此，当r趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于N − n，因此有N = n。