浙江省黄岩中学高中数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示 模夹角第一课时》练习题 新人教版必修4
课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【教学目标】1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模以及两个向量的夹角.2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系. 【知识点】平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a 与b 的夹角为θ,则有下表:名师点拨已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1,即x 1y 2-x 2y 1=0.a ⊥b ⇔x 1x 2=-y 1y 2,即x 1x 2+y 1y 2=0.这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错积相等,垂直横横纵纵积相反.【做一做1】向量m=(1,0),n=(2,-5),则m·n 等于 ( )A.-2B.0C.2D.7 解析:m·n=1×2+0×(-5)=2. 答案:C【做一做2】已知MN=(3,−4),则|MN |等于( ) A.3B.4C . 5D.5解析:|MN|= 32+(-4)2=5. 答案:D【做一做3】若向量a=(4,2),b=(6,m),且a ⊥b,则m 的值是( ) A.12 B .3 C.-3 D.-12 解析:∵a ⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. 答案:D【做一做4】已知a =(3,0),b =(-5,5),则a 与b 的夹角θ= .解析:|a |= =3,|b |= =5a·b=3×(-5)+0×5=-15,则cosθ=a·b|a||b|=3×52=−22.由0≤θ≤π,知θ=3π4,即a与b的夹角为3π4.答案:3π41.投影的坐标表示剖析:由于向量b=(x2,y2)在向量a=(x1,y1)方向上的投影为|b|cosθ=|a||b|cosθ|a|=b·a|a|(θ为a与b的夹角),从而向量b在向量a121211同理可得,向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为|a|cosθ=|a||b|cosθ|b|=a·b|b|=1212x2+y22.向量数量积性质的坐标表示剖析:设两个非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),a与b的夹角为θ.(1)a·b=a1b1+a2b2;(2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;(3)a·a=|a|2⇔|a|= a12+a22;(4)cosθ=a·b|a||b|⇔cosθ=1122a1+a2b1+b2(5)|a·b|≤|a||b|⇔|a1b1+a2b2|≤ a1222·1222.名师点拨在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a·b=a1b1+a2b2以及相关的向量的长度公式和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思想.值得注意的是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可使问题快速得解.题型一数量积的坐标运算【例2】已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于()A.9B.4C.0D.-4解析:∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,∴a 2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.答案:A反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题也可先求出a-b的坐标,再代入【变式训练1】已知向量a与b共线,b=(1,2),a·b=10,求a的坐标.解:∵a与b共线,且a,b都是非零向量,∴设a=λb.∵a·b=10,∴λb·b=λb 2=10.∵b=(1,2),∴b 2=5,∴λ=2.∴a=2b=2(1,2)=(2,4).题型二垂直问题【例2】已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于() A.9 B.4 C.0 D.-4解析:∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,∴a 2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.答案:A【变式训练2】已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(a+c)∥b,c⊥(a+b),则c等于()A.79,73B.-73,79C.73,79D.-79,-73解析:设c=(x,y),则a+c=(x+1,y+2).∵b=(2,-3),且(a+c)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0,即2y+3x+7=0.①又c⊥(a+b),且a+b=(3,-1),∴3x-y=0.②由①②,得x=−7,y=−7.∴c=-79,-7 3.答案:D题型三夹角问题【例3】已知a=(3,1),b=(2,23),(1)求a·b;(2)求a与b的夹角θ.分析:(1)直接用公式a·b=x1x2+y1y2即可;(2)直接用cosθ=12121122.解:(1)a·b=2+2=4(2)cosθ=1212x1+y1x2+y2=33+1×4+12=32.又0°≤θ≤180°,∴θ=30°.【变式训练3】若向量a=(1,2),b=(1,-1),求2a+b与a-b的夹角.解:∵a=(1,2),b=(1,-1),∴2a+b=(3,3),a-b=(0,3),∴(2a+b)·(a-b)=9,|2a+b|=32,|a-b|=3.设向量2a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ=(2a+b)·(a-b)|2a+b||a-b|=32×3=2.∵θ∈[0,π],∴θ=π4,∴2a+b与a-b的夹角为π.【例4】已知在△ABC中,A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值.分析:∠BAC是AB和AC的夹角,转化为求向量的夹角问题.解:AB=(5,1)−(2,−2)=(3,3),AC=(1,4)−(2,−2)=(−1,6),∴AB·AC=3×(−1)+3×6=15.又|AB|=32+32=32,|AC|=(-1)2+62=37,∴cos∠BAC=AB·AC|AB||AC|=32×37=57474.题型四易错辨析易错点考虑问题不全面致错【例5】已知a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角θ为锐角,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,-2)∪-2,1B.1,+∞C.-2,2∪2,+∞D.-∞,1错解:∵a与b的夹角θ为锐角,∴cosθ>0,即a·b=1-2λ>0,得λ<12,故选D.答案:D错因分析:以上错解是由于思考欠全面,由不等价转化而造成的.如当a与b同向时,即a 与b的夹角θ=0°时cosθ=1>0,此时λ=-2,显然是不合理的.正解:∵a与b的夹角θ为锐角,∴cosθ>0,且cosθ≠1,即a·b>0,且a与b方向不同,。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
浙江省黄岩中学高中数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角第一课时》练习题新人教版必修4
56365§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角第一课时【学习目标、细解考纲】1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。
2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。
【知识梳理、双基再现】1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求a b 。
2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）3.向量垂直的判定设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a b ±⇔_________________如：已知A （1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC 是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）cos θ＝__________________________________＝_______________________________如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,a BC b CA ==,则a 与b 的夹角为_________________。
【小试身手、轻松过关】1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ）A.23B.57C.63D.832.已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（）A. B. C. D.43(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--5125252-152mb=(1,)5--3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________。
人教高中数学必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿
《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿尊敬的各位评委大家好：我说课的题目是《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》，下面我从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的教学进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。
根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
高中数学必修四§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
程
（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 及
( x1, y1) 、
(x2 , y2 ) ，那么 | a | 方
式)
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 (平面内两点间的距离公
法 3.向量垂直的判定
设 a (x1, y1) ， b ( x2 , y2 ) ，则 a b
x1 x2 y1 y 2 0
4.两向量夹角的余弦（ 0
）
cos
ab
=
|a | |b|
x1 x2
2
2
x1 y1
y1 y2
2
2
x2 y2
三 .讲解范例： 例 1 已知 A(1， 2)， B(2， 3)， C( 2， 5)，试判断△ ABC 的形状， 并给出证明 .
例 2 设 a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ (精确 2
及
ab
4 cos =
；
| a ||b |
方
5 |a b| ≤ |a||b|
法
3．平面向量数量积的运算律
交换律： a b = b a
数乘结合律： ( a) b = (a b) = a ( b)
分配律： (a + b) c = a c + b c
1
二、讲解新课：
问题与情境及教师活动
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
学生活动
已知两个非零向量 a (x1, y1) ， b ( x2 , y2 ) ，试用 a 和 b 的坐标 表示 a b .
设 i 是 x 轴 上的单 位向 量， j 是 y 轴 上的 单位向 量，那 么 a x1i y1 j ， b x2i y2 j 所以
人教版必修4 数学2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(28张)精选ppt课件
(2)由 x⊥y，得 x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0， ∴k＝t3＋3t， ∴k＋t t2＝t3＋tt2＋3t＝t2＋t＋3
向量模的坐标运算
已 知 A(1 ， 2) ， B(2 ， 3) ， C( － 2 ， 5) ， 试 判 断 △ABC的形状，并给出证明． (链接教材P106例5) [解] △ABC 是直角三角形． ∵A→B＝(2－1，3－2)＝(1，1)， A→C＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， B→C＝(－2－2，5－3)＝(－4，2)．
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运 算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标 表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律 将原式展开，再依据已知计算．
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)． 解：(1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)， ∴a－b＝(－4，0)． ∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0) ＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
∴cos 120°＝（ka|k－a－b）b|·|（a＋a＋b| b），
即－1＝
－2
，
2 2· k2＋（k＋2）2
化简整理，得 k2＋2k－2＝0，解得 k＝－1± 3.
易错警示
没能正确理解夹角范围致误
已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐
角，则实数 λ 的取值范围是( A )
高中数学必修四课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(创新设计)
【预习评价】 (1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________． 解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10 (2) 已 知 a ＝ (2 ， － 1) ， b ＝ (1 ， x) ， 且 a⊥b ， 则 x ＝ ________． 解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2． 答案 2
题型二 平面向量的模
【例 2】 (1)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝
(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． 5
B． 10
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 5
D．10
解析 因为 a⊥c，b∥c，所以22xy－＋44＝＝00，， 解得yx＝＝－2，2， 所以 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝ 10． 答案 B
(2)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的
最小值是________，最大值是________．
解析 由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)， 则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)． 令 y＝|a＋b|＋|a－b| ＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2 θ ＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ， 则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20]． 由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5， (|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4， 即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
2a·b＋|b|2．
【训练1】 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10． (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c． 解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0， (a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
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6365§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角
第一课时
【学习目标、细解考纲】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。
2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。
【知识梳理、双基再现】
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求a b。
2.平面内两点间的距离公式 （１）设a=(x,y), 则2a = ________________或a ________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）
3.向量垂直的判定
设()()1122a=x ,y ,b=x ,y , 则a b ±⇔ _________________
如：已知A （1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC 是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
cos θ＝__________________________________＝_________________
______________
如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,a BC b CA == ,则a 与b 的夹角为_________________。
【小试身手、轻松过关】
1.已知(4,3),(5,6)a b =-= 则23a 4a b=-⋅ （ ） A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知()()a 3,4,b=5,12- 则a b 与夹角的余弦为（ ）
A. B.
C. D.
43
(,)554
3
55--（），433
C.555
-4（，）或（-，）5433)(,)
5554（，或--5125252-
152
m
b=(1,)5-- 3.()a=2,3,b=(2,4),- 则()()a+b a-b =⋅ __________。
4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥ ，且则λ＝__________。
【基础训练、锋芒初显】
5.a=(4,7);b=(5,2)- 则a b=⋅ _______ ()()a =_____ 2a 3b a+2b =-⋅ _______
6.与()a=3,4 垂直的单位向量是__________
A. B. D. 7.a=(2,3),b=(-3,5) 则a b 在方向上的投影为_________
8. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且a=BC,b=CA 则a b 与的夹角为_______ 9.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ABC 为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不等边三角形
10.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为（ ）
A.正方形
B.菱形
C.梯形
D. 矩形
11.已知a+b=2i 8j,a b=8i+16j a b=---⋅ 那么_______（其中i,j 为两个相互垂直的单位向量）
12.已知a=(3,4),b=(5,2),c=(1,1)-- ，则()a b c 等于（ ）
A.-14
B.-7
C.(7,-7)
D.(-7,7)
13.已知A(-1,1),B(1,2),C(3, ) ,则AB AC 等于（ ）
A. B.152
C. D. 14.
已知m ,sin ),m n=9,θθ 则m n 与的夹角为（ ）
A.150º
B.120 º
C.60 º
D.30 º
15.若a=(2,1)- 与 互相垂直，则m 的值为（ ） A.-6 B.8 C.-10 D.10
【举一反三、能力拓展】
16.
求与a=(2,1)b 平行，且大小
17.已知点A （1，2），B(4,-1),问在y 轴上找点C ，使∠ABC ＝90º若不能，说明理由；若能，求C 坐标。
【名师小结、感悟反思】
平面向量的数量积是平面向量的重点，而数量积的坐标运算又是数量积的重点，也是立考的热点、重点，由此可见坐标法更重要。
§2.4.2 平面向量、数量积的坐标表示 模 夹角
第一课时
1.D 6.C
11.-63 16.(4.2)或（-4.-2） 2.A
7.
12.D 17.不能，提示：设C （0,y ）则AC=(1,y-2)- ∴AC CB=4- +(y-2) (-1-y) 2217=-y +y 2=(y-)-<024--恒成立∴AC CB 不垂直于,即ABC ∠≠900,故不能 3.-7 8.450
13.B 4.32 9.A 14.D
10.D 15.C。