中考数学第一章数与式第四节二次根式课件
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2024年九年级中考数学一轮复习课件+第一章 数与式+第四节 二次根式+
(ab)2 020×a＝－3×312 020×(－3)＝－3.
【答案】 －3
考点3 二次根式的运算
典例3
如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1,0,1,2.则表
示数2－ 5<0的点P应落在
()
A．线段AB上 C．线段OC上
B．线段BO上 D．线段CD上
【解析】 ∵4＜5＜9，∴2＜ 5 ＜3，根据不等式的性质3，得－2 ＞－ 5 ＞－3，“左、中、右同加上2”得，0＞2－ 5 ＞－1，∴P应落 在线段BO上，故选择B.
C．x＜2
D．x≠2
2．要使式子 x－3有意义，则 x 可取的一个数是
___4_(答__案__不__唯__一__)_____.
( A)
核心考点
二次根式的性质
3．化简 8的正确结果是 A．4
B．±4
C．2 2
D．±2 2
4．若|a－ 3|＋ 9a2－12ab＋4b2＝0，则 ab＝
A． 3
B．92
C．4 3
典例 2
考点 2 二次根式的性质
已知 a，b 满足等式 a2＋6a＋9＋ b－1＝0，则 a2 021b2 020＝________. 3
【解析】 根据非负数的性质——几个非负数的和为0，则必然每
a2＋6a＋9＝0， 一个非负数为0，得 b－13＝0，
a＝－3， 解得 b＝13，
故a2 021b2 020＝
第一章 数与式
第四节 二次根式
概念：形如 aa__≥____0的式子叫做二次根式，
实质上
a是a的算式平方根.二次根式
a具有双重
非负性：a≥0且 a≥0
二 次 根 式相关概念同 最 被 被类 简开 开二 二方 方次 次数 数根 根中 的式 式不 因： ：含 数几 同能 是个 时开 整二 满得 数次 足尽 ，根 两方 因式 个的 式化 条因 是成 件数 整最 的或 式简 二因二 次式次 根式根式
中考数学一轮复习 第一单元 数与式 第4讲 二次根式课件
2021/12/8
第三十页，共三十四页。
2.计算(jìsuà1n8): - 8 = 2 .
2021/12/8
第三十一页，共三十四页。
易错题3 计算(jìsuàn):2( +1)÷ 1 ×( -1).3
3 1
解析(jiě xī) 原式=2( +1)×( 3 -1)×( -31)=4 -2 2 -2 6+4. 3
a(⑨ a 0),
a
(⑩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0).
3. =a b · (aa≥b0,b≥0).
4. a = b
a
b (a ≥0,b >0).
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第七页，共三十四页。
学法提点
a是2 一个非负数,只有当a是正数或0时, = =a才a 2 是(成a立) 2的;运用 积、商的平方根的性质化简二次根式(gēnshì)时,注意成立的条件是等号右边的被开 方数必须是非负数.
2021/12/8
第十三页，共三十四页。
6.(2018·南京(nán jīnɡ),10,2分)计3 算 6× -8 的结果是 .2
2021/12/8
第十四页，共三十四页。
7.(2018·天津,14,3分)计算(jìsuà6n)( +3 )( 6 - )3 的结果等于3.
2021/12/8
第十五页，共三十四页。
n
n
第1 5 2×个数 1:当 2-n=5 2时, 1= 2
×5
-1 5
1= ×5 =1 1 . 5
2
2
15 5
1 × 1 - 5 n 1= ×5 n
5
2
2
1 2- 1 5 2
中考数学总复习 第一篇 考点聚焦 第一章 数与式 第4讲 二次根式及其运算课件
1．(2016·梧州)若式子 m－3 有意义，则 m 的取值范围是( C ) A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0 D．m≤0
2．(2016·贵港)式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C ) A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．(2016·桂林)计算 3 5－2 5的结果是( A ) A. 5 B．2 5 C．3 5 D．6
广西专用
第4讲 二次根式及其运算
1．二次根式的概念 式子 a(a≥0) 叫做二次根式．
2．二次根式的性质 (1) a(a≥0)是一个 非负数 ．
(2)( a)2＝ a(a≥0)
．
a（a＞0） ； (3) a2＝|a|＝ 0（a＝0） ；
－a（a＜0） Ｗ.
3．二次根式的运算 (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
[对应训练]
2．(1)(2016·柳州)计算：2 2－ 2＝( B )
A．3 2
B. 2
C．2
D．1
(2)计算： ① 24× 13－4×
81×(1－ 2)0；
解：原式＝2 6× 33－4× 42×计算正确的是( B ) A. 5－ 3＝ 2 B．3 5×2 3＝6 15 C．(2 2)2＝16 D. 33＝1
1 5．(2016·玉林)要使代数式 1－2x有意义，则 x 的最大值是_2___．
【例 1】 (2016·南宁)若二次根式 x－1有意义， 则 x 的取值范围是_x_≥_1_．
1．“双重非负性” 算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0；
二是算术平方根 a的值是非负数， 即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐
中考数学总复习：第一单元 数与式 4第四课时二次根式
二次根式
考点一：二次根式的相关概念
1.二次根式的定义 形如式子 (a≥0)叫做二次根式.
a
2.二次根式性质
( a)2 a
a2 a
3.最简二次根式
(1)被开方数不含分母，分母不含被开方数. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
4.同类二次根式 化成最简二次根式以后，被开方数相同
➢ 典型例题解析
范围是ห้องสมุดไป่ตู้x 1
.
x -2且x 1
➢ 典型例题解析
1. 下列各式属于最简二次根式的是 ( )
B
A.
B.
8
C.
D.
x2 1
y3
1 2
2.在
11
、、、
50 27
中7与5
12 2是同1类二次根式的是
6
1、 . 75 27
➢ 典型例题解析
1. 若实数a＜b，则化简 结果是
A.a+b B.a-b C.-a-b
(1)二次根式的加减:合并同类二次根式. (2).二次根式的乘法：
a • b aba 0,b 0
(3).二次根式的除法公式:
a a （a≥0,b＞0）.
b
b
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：
（1） 24 18 1 3
(2) 3( 2 3) 24 6 3
➢ 典型例题解析
【例4】 计算：
的 D.-a+b
()
(a b)2
D
2.若
(x 2)2，则2的取值x范围是
。
x≤2
3. 当m≥2时，化简：
4 4m m2 m 2
4.已知x,y为实数，且
x-y=
。
考点一：二次根式的相关概念
1.二次根式的定义 形如式子 (a≥0)叫做二次根式.
a
2.二次根式性质
( a)2 a
a2 a
3.最简二次根式
(1)被开方数不含分母，分母不含被开方数. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
4.同类二次根式 化成最简二次根式以后，被开方数相同
➢ 典型例题解析
范围是ห้องสมุดไป่ตู้x 1
.
x -2且x 1
➢ 典型例题解析
1. 下列各式属于最简二次根式的是 ( )
B
A.
B.
8
C.
D.
x2 1
y3
1 2
2.在
11
、、、
50 27
中7与5
12 2是同1类二次根式的是
6
1、 . 75 27
➢ 典型例题解析
1. 若实数a＜b，则化简 结果是
A.a+b B.a-b C.-a-b
(1)二次根式的加减:合并同类二次根式. (2).二次根式的乘法：
a • b aba 0,b 0
(3).二次根式的除法公式:
a a （a≥0,b＞0）.
b
b
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：
（1） 24 18 1 3
(2) 3( 2 3) 24 6 3
➢ 典型例题解析
【例4】 计算：
的 D.-a+b
()
(a b)2
D
2.若
(x 2)2，则2的取值x范围是
。
x≤2
3. 当m≥2时，化简：
4 4m m2 m 2
4.已知x,y为实数，且
x-y=
。
中考数学第一章数与式第4节二次根式课件56
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
◆教材回顾
◆突破考点（ 考点一 考点二 考点三 ）
关 爱 ！
大 ！ 感 受 夫 子 的
生 活 中 感 受 他 的
学 识 、 道 德 和 日
位 置 上 ， 让 学 生
放 在 跟 别 人 平 等
爱 ， 但 他 总 把 自
。 深 受 弟 子 们 的
代 文 化 的 集 大 成
行 高 尚 ， 是 我 国
孔 子 博 古 通 今 ，
孔子以卓有成效的实践， 改变了教育对象限于统治阶层的历 史传统，开创了平民教育的新纪元。
子游回答说：“以前我听先生说过，‘君子学习 了礼乐就能爱人，小人学习了礼乐就容易指使。”
孔子说：“学生们，言偃的话是对的。我刚才说 的话，只是开个玩笑而已。”
【评析】
对孔子的言行可有三种理解： 一、知错即改。 二、为维护自己的形象，给
自己找台阶。 三、始终端作教师的架子，
到了哪里都不忘训人。 三种理解可以综合起来看。
的人极度悲痛又为谁极度悲痛呢？”
【评析】
颜渊因贫病三四十岁就早死了。孔子很伤心，反复念叨着： “唉！老天要了我的命！”体现了孔子对弟子爱的深沉！ 孔子最推崇的颜渊死了。孔子极其悲痛。跟着他的人说他太悲 痛了。孔子反问：“不为这样的人悲痛，还能为谁悲痛呢？”显示
了孔子对弟子爱的深厚。
伟常从的己敬者古德
【译文】
中考数学复习第1部分第一章数与式第四节二次根式课件
第四节 二次根式
考点一 二次根式的概念 (5年2考)
例1 (2018·济宁中考)若二次根式 x 1 在实数范围内有意
义，则x的取值范围是 ．
【分析】 根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【自主解答】二次根式 x 1 实数范围内有意义的条件是x
－1≥0，解得x≥1.故答案为x≥1.
二次根式有意义的条件 (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的 条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． (2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数均为非 负数外，还必须保证分母不为零．
4．(2017·鄂州中考)若y＝ －3 ____.
x1 ＋ 2
1 x －6，则xy＝ 2
5．已知(a＋6)2＋ b2 2b 3 ＝0，则2b2－4b－a的值为__0__．
考点三 二次根式的运算 (5年2考)
例3 (2018·聊城中考)下列计算正确的是(
)
【分析】 利用二次根式的运算法则即可求出答案．
1．(2017·潍坊中考)若代数式 x 2 有意义，则实数x的取
值范围是( B )
x 1
A．x≥1
B．x≥2
C．x＞1
D．x＞2
1
2．(2018·白银中考)使得代数式 x 3 有意义的x的取值范
围是_x_＞__3_．
考点二 二次根式的性质 (5年1考)
例2 (2017·东营中考)若|x2－4x＋4|与 2x y 3 互为相
【自主解答】 A．不是同类二次根式，无法计算，故错误；
B.
，故正确；C.
，故错误；D.
，故错误．故选B.
若几个非负数之和等于0，则每个非负数均为0.由此建立方 程组，即可求得相关字母的值．我们学过的非负数有三类：
考点一 二次根式的概念 (5年2考)
例1 (2018·济宁中考)若二次根式 x 1 在实数范围内有意
义，则x的取值范围是 ．
【分析】 根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【自主解答】二次根式 x 1 实数范围内有意义的条件是x
－1≥0，解得x≥1.故答案为x≥1.
二次根式有意义的条件 (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的 条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． (2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数均为非 负数外，还必须保证分母不为零．
4．(2017·鄂州中考)若y＝ －3 ____.
x1 ＋ 2
1 x －6，则xy＝ 2
5．已知(a＋6)2＋ b2 2b 3 ＝0，则2b2－4b－a的值为__0__．
考点三 二次根式的运算 (5年2考)
例3 (2018·聊城中考)下列计算正确的是(
)
【分析】 利用二次根式的运算法则即可求出答案．
1．(2017·潍坊中考)若代数式 x 2 有意义，则实数x的取
值范围是( B )
x 1
A．x≥1
B．x≥2
C．x＞1
D．x＞2
1
2．(2018·白银中考)使得代数式 x 3 有意义的x的取值范
围是_x_＞__3_．
考点二 二次根式的性质 (5年1考)
例2 (2017·东营中考)若|x2－4x＋4|与 2x y 3 互为相
【自主解答】 A．不是同类二次根式，无法计算，故错误；
B.
，故正确；C.
，故错误；D.
，故错误．故选B.
若几个非负数之和等于0，则每个非负数均为0.由此建立方 程组，即可求得相关字母的值．我们学过的非负数有三类：
中考数学第一章数与式第4课时二次根式课件96
渗透解答 题
约6
中
2015
二次根式化简运(未单 独涉及)
渗透解答 题
约6
中2016Fra bibliotek算术平方根
填空11 4
易
2017
二次根式化简(未单独 涉及)
渗透解答 题
约6
中
课前小练
B B D
课前小练
B
考点梳理
考点一：平方根、算术平方根和立方根
平方 根
一个数x的平方等于a，那么x叫做a的 平方根，记作
数的开方
——他们都在动!!!
物体的空间位置随时间的变化， 叫机械运动，它是自然界最简单最基 本的运动形式。
在物理学中，研究物体做机械运 动的分支叫力学。
问题1：该如何描述物体的运动呢？
诗人用气势磅礴来描述大河中的水流，用 矫捷如燕来描述运动员轻盈的舞姿，画家用汽 车后面的线条来表示风，来描述车辆的飞驰。
计算：
重难点突破
方法点拨 二次根式的混合运算，正确观察式子的特点是关键.
重难点突破
方法点拨 根据数轴化简二次根式，关键是根据数轴上点的位 置确定数的正负和大小，然后根据 ＝ 化简.
举一反三
重难点突破
12 a－b
举一反三
重难点突破
B
A
广东真题
1.(2016·广东) 9的算术平方根为___3_______.
一、物体的运动
1. 运动是___________ 的; 一切物体都在不停________________.
谁能准确描述下列物体的运动？ 如：雄鹰在空中翱翔
足球的飞滚 树叶、纸张的飘落 海浪的汹涌澎湃
一、物体的运动
1. 运动是___________ 的; 一切物体都在不停________________.
中考数学冲刺复习 第一章 数与式 第4课 二次根式课件
第三页，共十二页。
【考点(kǎo diǎn)2】二次根式的运算
【例2】计算(jìsuàn)：
(1) 1 2 3
4
(2)
32 8
2
解：原式 2 3 3 2
3 3 2
解：原式 4 2 2 2 2
42 2
325325
2
2
解：原式 3 2 5
18 5 13
第四页，共十二页。
内容(nèiróng)总结
第一章 数与式。|a|。x≥0且x≠1。=2xy－y2－2，。【例3】如图，实数(shìshù)a，b在数轴上的位置， 化简：。解：由图可得:a＞0, a－b＜0，。【变式3】若x＜－3，化简：。x≥－1且x≠2。解：由图可得: a－1 ＜0，a+b＞0,。= 1+b.
第十二页，共十二页。
3
2
解：原式 3 x 1 x y 3
2 x3 x 5 x
x2y x y
第八页，共十二页。
B组
6．已知|1＋a|＋ b 7 0，a＋b＝(
A．－8
B．－6
C．6
7．看图，化简式子(shìzi) a12 ab
)C D．8
解：由图可得: a－1＜0，a+b＞0, 所以(suǒyǐ)原式= |a－1|+ (a+b) =－(a－1)+a+b
___x ___13____； (2)若代数式 x 有意义时， 则实数x的取 值范围是___x_≥___0x _且_1_x．≠1
【变式1】(1)若 4 2 x为二次根式， 则实数x的取
值范围是___x_≤__2____．
(2)若代数式
x 有意义时， 则实数x的
取值范围是___x_>_－_x _2_2__．
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问题1：该如何描述物体的运动呢？
诗人用气势磅礴来描述大河中的水流，用 矫捷如燕来描述运动员轻盈的舞姿，画家用汽 车后面的线条来表示风，来描述车辆的飞驰。
问题1：该如何描述物体的运动呢？
诗人用气势磅礴来描述大河中的水流，用 矫捷如燕来描述运动员轻盈的舞姿，画家用汽 车后面的线条来表示风，来描述车辆的飞驰。
典型例题
1. 在下列物体的运动中，可视作质点的物
体有(
)
A. 从北京开往广州的一列火车
B. 研究转动的汽车轮胎
C. 研究绕地球运动时的航天飞机
D. 表演精彩芭蕾舞演员
E. 参加一百米跑竞赛的运动员在冲刺过程中
F. 在斜下推力的作用下，沿水平面滑动的箱子
G. 计算子弹从枪口到靶心的飞行时间
H. 测量子弹穿过一张薄纸的时间。
科学家呢？
一、物体的运动
不了解运动就 不了解自然
一、物体的运动
1. 运动是___________ 的; 一切物体都在不停________________.
一、物体的运动
1. 运动是___________ 的; 一切物体都在不停________________.
谁能准确描述下列物体的运动？ 如：雄鹰在空中翱翔
考点三 二次根式的运算 (5年2考)
【分析】 根据二次根式的乘法法则进行计算即可求 出结果．
二次根式的加减运算实质上是合并被开方数相同的二次 根式；二次根式的乘除法要按照法则进行运算，特别是 二次根式的乘法中能用乘法公式的，要用乘法公式运算． 运算结果一定要化为最简二次根式或整式．
《质点-参考系和坐标系》
第四节 二次根式
知识点一 二次根式的概念
2．最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含 能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二 次根式．
知识点二 二次根式的性质
知识点三 二次根式的运算 1．二次根式的加减：先将二次根式化成 最__简__二__次__根__式___，
再将 被__开__方__数__相__同___的二次根式进行合并．
一、物体的运动
难道我们真的无法描述物体的运动？ 例: 飞机以某速度从南京飞向北京, 研究
火车在城市之间运行
一、物体的运动
难道我们真的无法描述物体的运动？ 例: 飞机以某速度从南京飞向北京, 研究
火车在城市之间运行
我们是否要考虑 飞机本身大小？
一、物体的运动
难道我们真的无法描述物体的运动？ 例: 飞机以某速度从南京飞向北京, 研究
(2)物体的形状大小远远小于所研究 的距离, 此物可当作质点.
(3)物体的自身大小在所研究的问题 中不起主要作用.
物理方法——根据所研究问题的性质和 要，抓住问题中的主要因素，忽略其次要因 素，建立一种理想化的模型，使复杂问题得 到简化，这是一种重要的科学研究方法。质 点就是这样一个理想化模型。
物理方法——根据所研究问题的性质和 要，抓住问题中的主要因素，忽略其次要因 素，建立一种理想化的模型，使复杂问题得 到简化，这是一种重要的科学研究方法。质 点就是这样一个理想化模型。
这是一种科学抽象。那以前接触过这样 的物理模型吗？
物理方法——根据所研究问题的性质和 要，抓住问题中的主要因素，忽略其次要因 素，建立一种理想化的模型，使复杂问题得 到简化，这是一种重要的科学研究方法。质 点就是这样一个理想化模型。
这是一种科学抽象。那以前接触过这样 的物理模型吗？
——光滑的水平面、轻质弹簧。
考点二 二次根式的性质 (5年0考)
【分析】 直接利用数轴上a，b的位置，得出a＜0， a－b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出 答案．
讲：二次根式性质的易错点 在应用二次根式的性质时，一定要保证开方开出的数 是非负数，留在根号下的数也是非负数，这是比较容 易出错的地方． 练：链接变式训练4
雄鹰在展翅翱翔
火箭飞向苍穹的太空
请同学们看下面生活中的一些例子:
雄鹰在展翅翱翔
火箭飞向苍穹的太空
小朋友在奔跑
上述六个例子给你最强烈的感觉是什么?
上述六个例子给你最强烈的感觉是什么?
——他们都在动!!!
物体的空间位置随时间的变化， 叫机械运动，它是自然界最简单最基 本的运动形式。
在物理学中，研究物体做机械运 动的分支叫力学。
火车在城市之间运行
车箱的颤动我 们考虑吗？Biblioteka 我们是否要考虑 飞机本身大小？
一、物体的运动
难道我们真的无法描述物体的运动？ 例: 飞机以某速度从南京飞向北京, 研究
火车在城市之间运行
车箱的颤动我 们考虑吗？
我们是否要考虑 飞机本身大小？
我们已经很自然的忽略某些次要因素 （如形状、大小），只关心主要的方面。
请同学们看下面生活中的一些例子:
请同学们看下面生活中的一些例子:
地球在转动
请同学们看下面生活中的一些例子:
地球在转动
乌龟在跑
请同学们看下面生活中的一些例子:
地球在转动
乌龟在跑
手在动
请同学们看下面生活中的一些例子:
请同学们看下面生活中的一些例子:
雄鹰在展翅翱翔
请同学们看下面生活中的一些例子:
2. 物体和质点 (1) 质点的概念： (2) 你是如何理解质点模型的? (3) 实际物体哪些情况下都可简化为质点?
(3)物体能否看作质点是有条件的 物体的大小和形状在研究问题时可
以忽略不计
结论：实际物体在下列三种情况下
都可简化为质点:
(1)物体的各部分的运动情况都相同, 此物体一般可当作质点.
2．二次根式的乘除法法则
实数的运算法则、运算律在二次根式中仍然适用，二次 根式的运算结果一定要化成最简二次根式．
考点一 二次根式的概念 (5年0考)
【分析】 根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【自主解答】 由题意得2x－10≥0，解得x≥5.故选B.
求代数式中字母的取值范围通常可以转化为解不等式(组) 的问题．
典型例题
1. 在下列物体的运动中，可视作质点的物
体有( ACFG )
足球的飞滚 树叶、纸张的飘落 海浪的汹涌澎湃
一、物体的运动
1. 运动是___________ 的; 一切物体都在不停________________.
谁能准确描述下列物体的运动？
如：雄鹰在空中翱翔
足球的飞滚 树叶、纸张的飘落 海浪的汹涌澎湃
精确描述 之难
一、物体的运动
难道我们真的无法描述物体的运动？