苏科版张家港二中八年级上期中数学试卷含答案解析初二数学期中试题

2015-2016学年江苏省苏州市张家港二中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将选择题的答案填在答题纸相对应的位置上）1．2的算术平方根是( )A． B．2 C．±D．±22．2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为384401000米，用四舍五入法取近似值，精确到1000000米，并用科学记数法表示，其结果是( )A．3.84×107米 B．3.8×107米C．3.84×108米 D．3.8×108米3．在实数：，π，，﹣中，无理数的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．化简|2﹣|+=( )A．2 B． C．2﹣2 D．2﹣26．一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，它的图象大致为( )A．B．C．D．7．点P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，则( )A．2x=y B．2x=﹣y C．﹣x=y D．|﹣2x|=|y|8．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的值为( ) A．0 B．1 C．﹣1 D．（﹣3）20159．下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的有( )①1，2，3；②12a，5a，13a（其中a为正数）；③12，22，32；④，，．A．1组B．2组C．3组D．4组10．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用h，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车到达乙地时两车相距120km；②甲、乙两地之间的距离为300km；③快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；④图中点B的坐标为（3，75）．其中，正确的结论有( )A．1个B．2 C．3个D．4个二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案直接填在答题纸相对应的位置上．）11．=__________．12．点P（﹣2，﹣3）到原点的距离是__________．13．比较大小：4__________7．（填“＞”、“=”、“＜”）14．的平方根是__________；﹣3的绝对值是__________．15．函数y=中自变量x的取值范围是__________．16．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y=﹣2x+6上，则y1与y2大小关系是__________．17．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为__________．18．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________．19．函数y=﹣3x+2的图象上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，则点P的坐标为__________．20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为__________．三、解答题：本大题共9大题，共70分．解答时应写出必要的计算过程、推演21．求下列各式中x的值：（1）9x2﹣121=0；（2）64（x+1）3=125．22．计算：（1）|﹣3|+（π+1|0﹣+；（2）（+）×﹣4．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．24．在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．（1）图中格点正方形ABCD的面积为__________；（2）若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为__________；（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为__________．25．已知y﹣1与x成正比例，且x=﹣2时，y=4（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值；（3）如果自变量x的取值范围是0≤x≤5，求y的取值范围．26．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）折叠后，DC的对应线段是__________，CF的对应线段是__________；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．27．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=的图象相交于点B（2，a）．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y轴围成的三角形的面积；（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是C，若点D与点O、B、C能构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．28．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．（1）小亮行走的总路程是__________m，他途中休息了__________min；（2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？29．如图，直线y=kx﹣2与x轴、y轴分别交于B、C两点，OB：OC=．（1）求B点的坐标和k的值．（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，①试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；②探索：当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2；③在②成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省苏州市张家港二中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将选择题的答案填在答题纸相对应的位置上）1．2的算术平方根是( )A． B．2 C．±D．±2【考点】算术平方根．【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个数的算术平方根．【解答】解：，2的算术平方根是，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．2．2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为384401000米，用四舍五入法取近似值，精确到1000000米，并用科学记数法表示，其结果是( )A．3.84×107米 B．3.8×107米C．3.84×108米 D．3.8×108米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：384401000米=3.84×108米．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．在实数：，π，，﹣中，无理数的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数的个数．【解答】解：π，是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数．4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点P（3，﹣5）在第四象限．故选D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．化简|2﹣|+=( )A．2 B． C．2﹣2 D．2﹣2【考点】实数的运算．【专题】计算题．【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣+=2，故选A【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，它的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】直接根据一次函数与系数的关系进行判断．【解答】解：∵k＜0，b＜0，∴一次函数图象在二、三、四象限．故选B．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．7．点P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，则( )A．2x=y B．2x=﹣y C．﹣x=y D．|﹣2x|=|y|【考点】点的坐标．【分析】根据二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：由P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，得y=﹣2x，故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，利用二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题关键．8．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的值为( )A．0 B．1 C．﹣1 D．（﹣3）2015【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得（a+b）2015的值．【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1=2，b﹣1=﹣5，解得：a=3，b=﹣4，∴（a+b）2015=﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．9．下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的有( )①1，2，3；②12a，5a，13a（其中a为正数）；③12，22，32；④，，．A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①、12+22≠32，故不是直角三角形；②、（12a）2+（5a）2=（13a）2，故是直角三角形；③、122+222≠322，故不是直角三角形；④、（）2+（）2=（）2，故是直角三角形．故选B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．10．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用h，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车到达乙地时两车相距120km；②甲、乙两地之间的距离为300km；③快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；④图中点B的坐标为（3，75）．其中，正确的结论有( )A．1个B．2 C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：①根据图形直接得出，快递车到达乙地时两车相距120km，故①正确；②甲、乙两地之间的距离为：120+3×60=300（km），故此选项正确；③设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则3（x﹣60）=120，x=100，故③正确；④因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，所以图中点B的横坐标为3+=3，纵坐标为120﹣60×=75，故④正确；故选：D．【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案直接填在答题纸相对应的位置上．）11．=2．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．【解答】解：==×=2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．12．点P（﹣2，﹣3）到原点的距离是．【考点】勾股定理；坐标与图形性质．【分析】作PA⊥x轴于A，连接OP，则∠OAP=90°，OA=2，PA=3，由勾股定理求出OP即可．【解答】解：作PA⊥x轴于A，连接OP，如图所示：则∠OAP=90°，∵P（﹣2，﹣3），∴OA=2，PA=3，由勾股定理得：OP===，即点P（﹣2，﹣3）到原点的距离是；故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理求出OP是解决问题的关键．13．比较大小：4＜7．（填“＞”、“=”、“＜”）【考点】实数大小比较．【分析】根据平方的幂越大底数越大，可得答案．【解答】解：（4）2=48，72=49，∴，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数比较大小，先算平方，再比较底数的大小．14．的平方根是±；﹣3的绝对值是3﹣．【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．【分析】根据开平方，可得一个数的平方根，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．【解答】解：=9，9的平方根是，﹣3的绝对值是3﹣，故答案为：±3，3﹣．【点评】本题考查了实数的性质，一个正数有两个平方根，差的绝对值是大数减小数．15．函数y=中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：y=中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠3；故答案为：x≥﹣2且x≠3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y=﹣2x+6上，则y1与y2大小关系是y1＞y2．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解答】解：∵直线y=﹣2x+6中，k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜2，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．18．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．19．函数y=﹣3x+2的图象上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，则点P的坐标为（﹣，3）或（，﹣3）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出x的值，即可得解．【解答】解：∵点P到x轴的距离等于3，∴点P的纵坐标的绝对值为3，∴点P的纵坐标为3或﹣3，当y=3时，﹣3x+2=3，解得，x=﹣；当y=﹣3时，﹣3x+2=﹣3，解得x=；∴点P的坐标为（﹣，3）或（，﹣3）．故答案为：（﹣，3）或（，﹣3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，“点P到x轴的距离等于3”就是点P的纵坐标的绝对值为3，求出点P的纵坐标是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为．【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．【解答】解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，即PA+PC的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题：本大题共9大题，共70分．解答时应写出必要的计算过程、推演21．求下列各式中x的值：（1）9x2﹣121=0；（2）64（x+1）3=125．【考点】立方根；平方根．【分析】（1）移项后系数化成1，再开方即可得出答案；（2）先开立方，即可求出答案．【解答】解：（1）9x2﹣121=0；9x2=121x2=x=±，x1=，x2=﹣；（2）64（x+1）3=125，4（x+1）=5，x=．【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．22．计算：（1）|﹣3|+（π+1|0﹣+；（2）（+）×﹣4．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用平方根定义计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用二次根式的乘法法则计算，合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3+1﹣3+2=3；（2）原式=4+3﹣2=4+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．【考点】平方根；立方根．【分析】根据平方根和立方根得出2a﹣1=9，3a+b﹣1=8，求出a、b的值即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1=9，a=5，∵3a+b﹣1的立方根是2，∴3a+b﹣1=8，∴b=﹣6，∴2a﹣b=16，∴2a﹣b的平方根是±4．【点评】本题考查了对平方根和立方根定义的应用，关键是能根据题意得出算式2a﹣1=9和3a+b﹣1=8．24．在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．（1）图中格点正方形ABCD的面积为5；（2）若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为10；（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为17．【考点】勾股定理．【专题】作图题；网格型．【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由正方形的面积公式即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AC的长，再由正方形的面积公式即可得出结论；（3）画出符合条件的正方形，再求出其面积即可．【解答】解：（1）∵AB==，∴S正方形ABCD=5．故答案为：5；（2）∵正方形ABCD的边长为，∴AC==，∴以AC为一边的正方形的面积=10．故答案为：10；（3）如图，S正方形EFGH=（）2=17．故答案为：17．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．25．已知y﹣1与x成正比例，且x=﹣2时，y=4（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值；（3）如果自变量x的取值范围是0≤x≤5，求y的取值范围．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】函数思想．【分析】（1）根据y﹣1与x成正比例列式为y﹣1=kx，把x=2，y=4代入上式得k的值，可得到y与x之间的函数关系式；（2）将点（a，﹣2）代入（1）中所求的函数的解析式求a的值；（3）根据自变量x的取值范围是0≤x≤5，利用函数解析式来求y的取值范围．【解答】解：（1）∵y﹣1与x成正比例，∴设y﹣1=kx，将x=﹣2，y=4代入，得∴4﹣1=﹣2k，解得k=；∴y与x之间的函数关系式为：；（2）由（1）知，y与x之间的函数关系式为：；∴﹣2=a+1，解得，a=2；（3）∵0≤x≤5，∴0≥﹣x≥﹣，∴1≥﹣x+1≥﹣，即．【点评】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．26．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质即可得出；（2）∠2=∠BEF．由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；（3）根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，继而可求得CF=BC﹣BF．【解答】解：（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；（2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．故答案为：BC′，C′F．【点评】此题考查了图形的翻折变换、矩形的性质、勾股定理的运用，有一定的难度，需要综合运用折叠的性质及勾股定理，注意相等线段之间的代换．27．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=的图象相交于点B（2，a）．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y轴围成的三角形的面积；（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是C，若点D与点O、B、C能构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；（2）根据描点法，可得函数图象，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：OC∥BD，根据BD=OD，可得答案；OB∥CD，根据点平移的方向，平移的距离相同，可得答案．【解答】解：（1）正比例函数y=的图象经过点B（2，a），得a=×2=1，B（2，1）．一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣5）与B（2，1），得，解得，一次函数的解析式为y=2x﹣3；（2）如图：，S=×3×2=3；（3）如图2：，当OC∥BD，BD=OC时，1﹣3=﹣2，即D1（2，﹣2）；当OC∥BD，BD=OC时，1+3=4，即D2（2，4）；当OB∥CD，OB=CD时，B点向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到O点，C点向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点D4（﹣2，﹣4）．综上所述：点D与点O、B、C能构成平行四边形，点D的坐标为（2，﹣2）（2，4），（﹣2，﹣4）．【点评】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法是求函数解析式的关键，描点法画函数图象；利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，分类讨论是解题关键．28．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．（1）小亮行走的总路程是3600m，他途中休息了20min；（2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）纵坐标为小亮行走的路程，其休息的时间为纵坐标不随x的值的增加而增加；（2）根据当50≤x≤80时函数图象经过的两点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可．【解答】解：（1）3600，20；（2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，当x=50时，y=1950；当x=80时，y=3600∴解得：∴函数关系式为：y=55x﹣800．②缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，把x=60代入y=55x﹣800，得y=55×60﹣800=2500．∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．29．如图，直线y=kx﹣2与x轴、y轴分别交于B、C两点，OB：OC=．（1）求B点的坐标和k的值．（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，①试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；②探索：当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2；③在②成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，表示出OB与OC，根据已知等式确定出k的值，即可求出B的坐标；（2）①过A作AD垂直于x轴，可得AD为三角形AOB的高，根据三角形面积公式列出S 与x的关系式即可；②令S=2，求出x的值，确定出A的坐标即可；③在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，分别求出P 的坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=kx﹣2，令x=0，得到y=﹣2，即C（0，﹣2）；令y=0，得到x=，即B（，0），由OB：OC=，得到=，解得：k=2，即B（1，0）；（2）①过A作AD⊥x轴，垂足为D，由题意得：A（x，2x﹣2），即AD=2x﹣2，则△AOB的面积S与x的函数关系式S=×1×（2x﹣2）=x﹣1；②令S=2，得到x﹣1=2，即x=3，把x=3代入得：2x﹣2=6﹣2=4，即A（3，4）；③在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，分四种情况考虑：当OA=OP1=5时，P1（﹣5，0）；当AP2=OP2时，P2为线段OA垂直平分线与x轴的交点，由A（3，4），得到OA中点坐标为（1.5，2），且垂直平分线方程为y=﹣x+，令y=0，得到x=，此时P2（，0）；当OP3=OA=5时，P3（5，0）；当OA=AP4=5时，由AD⊥OP4，得到D为OP4的中点，即OP4=2OD=6，此时P4（6，0），综上，P的坐标为（﹣5，0）；（，0）；（5，0）；（6，0）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．。