浙江省衢州市2016年4月高三年级教学质量检测数学文科试卷(2016.4)
2016年高考浙江文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2016年浙江，文1，5分】已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5P =，{}1,2,4Q =，则()U P Q =（ ）（A ）{}1 （B ）{}3,5 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}1,2,3,4,5 【答案】C【解析】{}2,4,6U P =，(){}{}{}2,4,61,2,41,2,4,6U P Q ==，故选C ．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． （2）【2016年浙江，文2，5分】已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）（A ）//m l （B ）//m n （C ）n l ⊥ （D ）m n ⊥ 【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α，∴//m β或m β⊂或m β⊥，l β⊂，∵n β⊥，∴n l ⊥，故选C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． （3）【2016年浙江，文3，5分】函数2sin y x =的图象是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】∵()22sin sin x x -=，∴函数2sin y x =是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ；由2sin 0y x ==， 则2x k π=，0k ≥，则,0x k k π=±≥，故函数有无穷多个零点，故选B ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．（4）【2016年浙江，文4，5分】若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，夹在两条斜率为l 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）（A ）35 （B ）2 （C ）32 （D ）5【答案】B【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线y x b =+分别经过A ，B 时，平行线间的距离相等．联立方程组30230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()2,1A ，联立方程组30230x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得()1,2B ．两条平行线分别为1y x =-，1y x =+，即10x y --=，10x y -+=．∴平行线间的距离为1122d --==，故选B ．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题． （5）【2016年浙江，文5，5分】已知a ，0b >且1a ≠，1b ≠，若log 1a b >，则（ ）（A ）()()110a b --<（B ）()()10a ab -->（C ）()()10b b a --<（D ）()()10b b a -->【答案】D【解析】若1a >，则由log 1a b >得log log a a b a >，即1b a >>，此时0b a ->，1b >，即()()10b b a -->，若01a <<，则由log 1a b >得log log a a b a >，即1b a <<，此时0b a -<，1b <，即()()10b b a -->， 综上()()10b b a -->，故选D ．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．（6）【2016年浙江，文6，5分】已知函数2f x x bx =+（），则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】()f x 的对称轴为2b x =-，()2min 4b f x =-．（1）若0b <，则224b b ->-，∴当()2bf x =-时，()()f f x 取得最小值224b b f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等．∴“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的充分条件．（2）若()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则()min 2bf x ≤-，即242b b-≤-，解得0b ≤或2b ≥．∴“0b <”不是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的必要条件，故选A ．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． （7）【2016年浙江，文7，5分】已知函数f x （）满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x R ∈（ ） （A ）若()f a b ≤，则a b ≤ （B ）若()2b f a ≤，则a b ≤ （C ）若()f a b ≥，则a b ≥ （D ）若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B 【解析】（A ）若()f a b ≤，则由条件()f x x ≥得()f a a ≥，即a b ≤，则a b ≤不一定成立，故A 错误，（B ）若()2b f a ≤，则由条件知()2x f x ≥，即()2a f a ≥，则()22a b f a ≤≤，则a b ≤，故B 正确，（C ）若()f a b ≥，则由条件()f x x ≥得()f a a ≥，则a b ≥不一定成立，故C 错误，（D ）若()2b f a ≥，则由条件()2x f x ≥，得()2a f a ≥，则22a b ≥，不一定成立，即a b ≥不一定成立，故D 错误，故选B ．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．（8）【2016年浙江，文8，5分】如图，点列{}n A 、{}n B 分别在某锐角的两边上，且112n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，n N *∈，112n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，n N *∈，（P Q ≠表示点P 与Q 不重合）若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（ ） （A ）{}n S 是等差数列 （B ）{}2n S 是等差数列 （C ）{}n d 是等差数列 （D ）{}2n d 是等差数列【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1OA a =，1OB b =，112n n n n A A A A b +++==，112n n n n B B B B d +++==，由于a ，b 不确定，则{}n d 不一定是等差数列，{}2nd 不一定是等差数列，设1n n n A B B+∆的底边1n n B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得()111n nn n a n b h OA h OA a nb +++-==+，()22111n n n n a n b h OA h OA a nb++++++==+，两式相加可得，21222n n n h h a nb h a nb ++++==+，即有212n n n h h h +++=，由12n n S d h =⋅，可得212n n n S S S +++=， 即为211n n n n S S S S +++=--，则数列{}n S 为等差数列，故选A ．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2016年浙江，文9，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3． 【答案】80；40【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为22442464⨯⨯+⨯=cm 2，体积为22432⨯=cm 3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是26224⨯=cm 2，体积为328=cm 3；所以几何体的表面积为264242280+-⨯= cm 2，体积为32840+=cm 3．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题． （10）【2016年浙江，文10，6分】已知a R ∈，方程()22224850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 【答案】()2,4--；5【解析】∵方程()22224850a x a y x y a +++++=表示圆，∴220a a =+≠，解得1a =-或2a =．当1a =-时，方程化为224850x y x y +++-=，配方得()()222425x y +++=，所得圆的圆心坐标为()2,4--，半径为5；当2a =时，方程化为225202x y x y ++++=，此时2254144502D E F +-=+-⨯=-<，方程不表示圆．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题． （11）【2016年浙江，文11，6分】已知()()22cos sin 2sin 0x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ． 【答案】2；1【解析】∵2222cos sin 21cos 2sin 212cos 2sin 212sin 214x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， ∴2A =，1b =．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．（12）【2016年浙江，文12，6分】设函数()3231f x x x =++，已知0a ≠，且()()()()2f x f a x b x a -=--，x R ∈，则实数a = ，b = ． 【答案】2-，1【解析】∵()3231f x x x =++，∴()()()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++-++=+-+,∵()()()()()()2223222222x b x a x b x ax a x a b x a ab x a b --=--+=-+++-，且()()()()2f x f a x b x a -=--，∴232223203a b a ab a a a b--=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或03a b =⎧⎨=-⎩（舍去）．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．（13）【2016年浙江，文13，4分】设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是 ． 【答案】()27,8【解析】如图，由双曲线2213y x -=，得21a =，，∴222c a b =+=．不妨以P 在双曲线右支为例，当2PF x ⊥轴 时，把2x =代入2213y x -=，得3y =±，即23PF =，此时1225PF PF =+=，则128PF PF +=；由12PF PF ⊥，得22221212416PF PF F F c +===，又122PF PF -=，① 两边平方得：22121224PF PF PF PF +-=，∴126PF PF =，②联立①②解得：117PF =+，217PF =-+，此时1227PF PF +=+．∴使12F PF ∆为锐角三角形的12PF PF +的取值范围是()27,8．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． （14）【2016年浙江，文14，4分】如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．【答案】6【解析】如图所示，取AC 的中点O ，∵3AB BC ==，∴BO AC ⊥，在Rt ACD ∆'中，()22156AC =+=．作D E AC '⊥，垂足为E ，15306D E ⨯'==．6CO =，266D C CE CA '===，∴6EO CO CE =-=．过点B 作//BF BO ，作//FE BO 交于点F ，则EF AC ⊥．连接D F '．FBD ∠'为直线AC 与BD '所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴6BF EO ==．2263032EF BO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭．则FED ∠'为二面角D CA B '--的平面角， 设为θ．则2223030303025102cos 5cos 33D F θθ⎛⎫⎛⎫'=+-⨯⨯=-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 1θ=时取等号． ∴D B '的最小值2106233⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．∴直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值6632BF D B ==='． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．（15）【2016年浙江，文15，4分】已知平面向量a ，b ，1a =，2b =，1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则a e b e⋅+⋅的最大值是 ． 【答案】7 【解析】a e b e a e b e e e⋅⋅⋅+⋅=+，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，当e 与a b +共线时，取得最大值．∴()22max27a e b ea b a b a b ⋅+⋅=+=++⋅=．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2016年浙江，文16，14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若2cos 3B =，求cosC 的值．解：（1）正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（2）2cos 3B =，∴25sin 1cos B B =-=．21cos cos22cos 19A B B ==-=-，245sin 1cos A A =-=．∴()2154522cos cos cos cos sin sin 3927C A B A B A B ⎛⎫=-+=-+=-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2016年浙江，文17，15分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，121n n a S +=+，*n N ∈．（1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和．解：（1）∵24S =，121n n a S +=+，*n N ∈．∴124a a +=，2112121a S a =+=+，解得11a =，23a =，当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S =+﹣，两式相减得()1122n n n n n a a S S a +==--﹣，即13n n a a +=，当1n =时，11a =，23a =，满足13n n a a +=，∴13n na a +=，则数列{}n a 是公比3q =的等比数列，则通项公式13n n a -=． （2）1232n n a n n ---=--，设1232n n nb a n n -=--=--，则013122b =--=，23221b =--=，当3n ≥时，1320n n --->，则1232n n n b a n n -=--=--，此时数列{}2n a n --的前n 项和 ()()()2913522351131322n n n n n n n n T --++---+=+-=-，2,12,13,23511,235112,32nn n n nn n T n n n n n n n ⎧⎪==⎧⎪⎪⎪===⎨⎨--+≥⎪⎪--+⎩⎪≥⎪⎩． 【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n }是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．（18）【2016年浙江，文18，15分】如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =． （1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值． 解：（1）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥；所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥．又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥．所以BF ⊥平面ACFD ． （2）∵BF ⊥平面ACFD ；∴BDF ∠是直线BD 和平面ACFD 所成的角；∵F 为CK 中点，且//DF AC ；∴DF 为ACK ∆的中位线，且3AC =；∴32DF =；又3BF =；∴在Rt BFD ∆中，921342BD =+=，3212cos 21DF BDF BD ∠===； 即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为21．【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．（19）【2016年浙江，文19，15分】如图，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -．（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．解：（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线1x =-的距离，抛物线定义得，12p=，即2p =．（2）由（1）得，抛物线方程为24y x =，()1,0F ，可设()2,2t t ，0t ≠，1t ≠±，∵AF 不垂直y 轴，∴设直线AF ：()10x sy s =+≠，联立241y x x sy ⎧=⎨=+⎩，得2440y sy --=．124y y =-，∴212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又直线AB 的斜率为221tt -，故直线FN 的斜率为212t t -，从而得FN ：()2112t y x t -=--，直线BN ：2y t =-，则2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设(),0M m ，由A 、M 、N 三点共线，得222222231t t t t t m t t +=+---， 于是22222111t m t t ==--，得0m <或2m >．经检验，0m <或2m >满足题意． ∴点M 的横坐标的取值范围为()(),02,-∞+∞．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．（20）【2016年浙江，文20，15分】设函数()311f x x x =++，[]0,1x ∈，证明：（1）()21f x x x -+≥；（2）()3342f x <≤． 解：（1）因为()311f x x x =++，[]0,1x ∈，且()()4423411111x x x x x x x ----+-==+--，所以41111x x x -≤++， 所以23111x x x x-≤-++，即()21f x x x ≥-+． （2）因为01x ≤≤，所以3x x ≤，所以()()()()31211113333111222122x x f x x x x x x x x -+=+≤+=+-+=+≤++++； 由（1）得，()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，且311119312224412f ⎛⎫⎛⎫=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()34f x >；综上，()3342f x <≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．。
2016.4数学(文科)试题参考答案
p 1, p 2 2 2 圆心 C 的轨迹 的方程是： y 4 x ……………………………5 分 A P （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 x my 1 ， x my 1 y 2 4my 4 0 …………………6 分 联立方程组 2 O F y 4x 2 B 则 y1 y2 4m, y1 y2 4 0, 16m 16 0 ……………8 分 设 P(1, t ) ，则 y t y t y t t t 第 19 题图 …10 分 k1 1 1 , k3 2 ， k2 1 1 2 x1 (1) my1 2 my2 2 ( y t )(my2 2) ( y2 t )(my1 2) k1 k3 1 (my1 2)(my2 2) 2my1 y2 (2 tm)( y1 y2 ) 4t ………………………………………………12 分 m2 y1 y2 2m( y1 y2 ) 4 2m (4) (2 tm) 4m 4t m2 (4) 2m 4m 4
f (0) a b 1 ……………………………………………………………………4 分 M 1 f (2) 3a b 1
两式相加得 a 1 ，即 a 的最大值为 1 （此时 b 2 ）…………………………………………6 分 （Ⅱ）问题等价于： x [0, 2] 时， f ( x) max f ( x) min 当
D
4 5 A B ……………………………7 分 9 1 2 5 2 （Ⅱ）由 S ab sin C a 8 5 2 9 得： a b 6 ………………………………………………………………………9 分 CD 3, BC 6 1 2 又 cos C cos( 2 A) cos 2 A (1 2sin A) ……………………11 分 9 △ BCD 中，由余弦定理得： BD2 CD2 BC 2 2CD BC cos C 1 32 62 2 3 6 41 9 BD 41 ……………………………………………………………………14 分 2sin A cos A
2016年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目求的）．1.已知全集{}12,3456U =,,,,，集合{}13,5P =,，{}124Q =,,，则()U P Q =U ð（ ）.A.{}1B.{}3,5C.{}1,2,4,6 D.{}1,2,3,4,52.已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）. A. //m lB. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥3.函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.4.若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„… 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）.5.已知a ，0b >，且1a ≠，1b ≠，若log >1a b ，则（ ）. A.()()110a b --< B. ()()10a a b --> C.()()10b b a --<D. ()()10b b a -->6.已知函数()2f x x bx =+，则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x …且()2,xf x x ∈R …. A.若()f a b „，则a b „ B.若()2bf a „，则a b „ C.若()f a b …，则a b … D.若()2b f a …，则a b … 8.如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ， 体积是______3cm.10. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____， 半径是______.11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________. 12．买《全归纳》即赠完整word 版高考真题设函数()3231f x x x =++．已知0a ≠，且()()()()2–––f x f a x b x a =，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．13．设双曲线22–13y x =的左、右焦点分别为1F ，2F ．若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______．14．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD =90ADC ∠=︒．沿直线AC 将ACD △翻折成ACD '△，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．俯视图D 'ABCD •••n+115．已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，·1=a b ．若e 为平面单位向量，则··+a e b e 的最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cosC 的值．17.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和.18.（本题满分15分）如图所示，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =.（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.FEBCDA19.（本题满分15分）如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. （1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.NF M BAx yO20. （本题满分15分）设函数()311f x x x=++，[]0,1x ∈.证明： （1）()21f x x x -+…； （2）。
2016年高考浙江卷文数试题(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则(C U P) Q=A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n3.函数y=sin x2的图象是4.若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若1log>ba，则A.(1)(1)0a b--< B. (1)()0a a b-->C. (1)()0b b a--< D. (1)()0b b a-->6.已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x满足：()f x x≥且()2,xf x x≥∈R.A.若()f a b≤，则a b≤ B.若()2bf a≤，则a b≤C.若()f a b≥，则a b≥ D.若()2bf a≥，则a b≥8.如图，点列{}{},n nA B分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n nA A A A A A n++++=≠∈N，*1122,,n n n n n nB B B B B B n++++=≠∈N.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 已知)0()sin(2sin cos 22>++=+A b wx A x x ϕ,则A= ,b=12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ．（Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3. （I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80 ；40． 10.【答案】(2,4)--；5．11. 1． 12．【答案】－2；1． 13．【答案】．14．【答案】6615．三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =. （2）由2cos 3B =，得sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，sin A = 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【结束】 17.【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识. 【结束】 18.【答案】（1）证明详见解析；（2. 【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以 AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以 BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥， 所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，32BF DF ==，得cos 7BDF ∠=，所以直线BD 与平面ACFD .考点：空间点、线、面位置关系、线面角. 【结束】 19.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ . 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y xx sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t--，从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ . 考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -≤-++，所以()21.f x x x ≥-+(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >，综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (文科)解析版
D.若 f (a) 2b ，则 a b
【答案】B
考点：函数的奇偶性.
【思路点睛】先由已知条件可得 f x 的解析式，再由 f x 的解析式判断 f x 的奇偶性，进而对
选项逐个进行排除．
8.如图，点列 An , Bn 分别在某锐角的两边上，且 An An1 An1An2 , An An2 , n N* ，
10.已知 a R ，方程 a2x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是
______.
5.已知 a，b>0，且 a≠1，b≠1，若 loga b>1 ，则（ ）
A. (a 1)(b 1) 0
B. (a 1)(a b) 0
C. (b 1)(b a) 0
D. (b 1)(b a) 0
【答案】D
考点：对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 loga b 1时，一定要注意对 a 分为 a 1和 0 a 1两种情况进行讨论，否
【思路点睛】先求出 nnn1 的高，再求出 nnn1 和 n1 n1 n2 的面积 Sn 和 Sn1 ，进而
根据等差数列的定义可得 Sn1 Sn 为定值，即可得 Sn 是等差数列．
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）
9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
Bn Bn1 Bn1Bn2 , Bn Bn2 , n N* .(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn AnBn ， Sn 为 △An Bn Bn1 的
面积，则（ ）
A.Sn 是等差数列
B. Sn2 是等差数列
最新2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】
2016年浙江省高考数学试卷（文科）12一．选择题（共8小题）31．【2016浙江（文）】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，4Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）5A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 6【答案】C7【解析】解：∁U P={2，4，6}，8（∁U P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．92．【2016浙江（文）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，10n满足m∥α，n⊥β，则（）11A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n12【答案】C13【解析】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，14∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，15∵n⊥β，∴n⊥l．163．【2016浙江（文）】函数y=sinx2的图象是（）171A ．B ．C ．18D ．19【答案】D20【解析】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，21∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；22由y=sinx2=0，23则x2=kπ，k≥0，24则x=±，k≥0，25故函数有无穷多个零点，排除B，26274．【2016浙江（文）】若平面区域，夹在两条斜率为1的平28行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）29A ．B ．C ．D ．30【答案】B312【解析】解：作出平面区域如图所示：3233∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．34联立方程组，解得A（2，1），35联立方程组，解得B（1，2）．36两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．37∴平行线间的距离为d==，38395．【2016浙江（文）】已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若loga b＞1，则（）40A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 41D．（b﹣1）（b﹣a）＞042【答案】D433【解析】解：若a＞1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b44﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，45若0＜a＜1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b46＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，47综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，486．【2016浙江（文）】已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））49的最小值与f（x）的最小值相等”的（）50A．充分不必要条件B．必要不充分条件51C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件52【答案】A53【解析】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin （x）=﹣．54（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值55f （﹣）=﹣，56即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．57∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．58（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，59则fmin （x ）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．60∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条61件．6247．【2016浙江（文）】已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，63x∈R．（）64A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b65C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b66【答案】B67【解析】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，68即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，69B．若f（a）≤2b，70则由条件知f（x）≥2x，71即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，72则a≤b，故B正确，73C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|74不一定成立，故C错误，75D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一76定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，778．【2016浙江（文）】如图，点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上，且78|An An+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表79示点P与Q不重合）若dn =|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）805681 A ．{S n }是等差数列 B ．{S n 2}是等差数列 82C ．{d n }是等差数列D ．{d n 2}是等差数列 83【答案】A84【解析】解：设锐角的顶点为O ，|OA 1|=a ，|OB 1|=b ， 85|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ， 86由于a ，b 不确定，则{d n }不一定是等差数列， 87{d n 2}不一定是等差数列，88设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ，89由三角形的相似可得==，90==，91两式相加可得，==2，92即有h n +h n+2=2h n+1，93由S n =d•h n ，可得S n +S n+2=2S n+1，94即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，95则数列{Sn }为等差数列．96故选：A．979899二．填空题（共7小题）1009．【2016浙江（文）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何101体的表面积是cm2，体积是cm3．102103【答案】80；40．104【解析】解：根据几何体的三视图，得；105该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，106表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；107上部为正方体，其棱长为2，1087表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；109所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，110体积为32+8=40cm3．11110．【2016浙江（文）】已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示112圆，则圆心坐标是，半径是．113【答案】（﹣2，﹣4），5114【解析】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，115∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．116当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，117配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；118当a=2时，方程化为，119此时，方程不表示圆，12012111．【2016浙江（文）】已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则122A= ，b= ．123【答案】；1．124【解析】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x125=1+（cos2x+sin2x）+11268=sin（2x+）+1，127∴A=，b=1，12812．【2016浙江（文）】设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣129f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．130【答案】﹣2；1．131【解析】解：∵f（x）=x3+3x2+1，132∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）133=x3+3x2﹣（a3+3a2）134∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x 135﹣a2b，136且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，137∴，解得或（舍去），13813．【2016浙江（文）】设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若139点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．140【答案】（）．141【解析】解：如图，1429由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，143∴．144不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，145把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，146此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；147由PF1⊥PF2，得，148又|PF1|﹣|PF2|=2，①149两边平方得：，150∴|PF1||PF2|=6，②151联立①②解得：，152此时|PF1|+|PF2|=．153∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．1541551014．【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，156∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦157的最大值是．158159【答案】160【解析】解：如图所示，取AC的中点O ，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，161在Rt△ACD′中，=．162作D′E⊥AC，垂足为E ，D′E==．163CO=，CE===，164∴EO=CO﹣CE=．165过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′166为直线AC与BD′所成的角．167则四边形BOEF 为矩形，∴BF=EO=．168EF=BO==．169则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．17011则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，171cosθ=1时取等号．172∴D′B的最小值==2．173∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．174故答案为：．17517615．【2016浙江（文）】已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若177为平面单位向量，则||+||的最大值是．178【答案】179【解析】解：||+||=，180其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，181当与共线时，取得最大值．182∴=．18318412三．解答题（共5小题）18516．【2016浙江（文）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，186已知b+c=2acosB．187（1）证明：A=2B；188（2）若cosB=，求cosC的值．189【解析】（1）证明：∵b+c=2acosB，190∴sinB+sinC=2sinAcosB，191∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，192∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），193∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．194∴A=2B．195（II）解：cosB=，∴sinB==．196cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．197∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19817．【2016浙江（文）】设数列{an }的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，199n∈N*．200（Ⅰ）求通项公式an ；201（Ⅱ）求数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和．20213【解析】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．203∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，204解得a1=1，a2=3，205当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，206两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，207即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，208满足an+1=3an，209∴=3，则数列{an }是公比q=3的等比数列，210则通项公式an =3n﹣1．211（Ⅱ）an ﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，212设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，213则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，214当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，215则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，216此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣217=，21814219则Tn ==．22022118．【2016浙江（文）】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，222∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．223（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；224（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．225226【解析】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：227∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；228∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；229∴BF⊥AC；230又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；231∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；232∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；233∴BF⊥平面ACFD；23415（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；235∴∠BD F是直线BD和平面ACFD所成的角；236∵F为CK中点，且DF∥AC；237∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；238∴；239又；240∴在Rt△BFD 中，，cos；241即直线BD和平面ACFD 所成角的余弦值为．24224324419．【2016浙江（文）】如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物245线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，246（Ⅰ）求p的值；247（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB 248垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．24916250【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到251直线x=﹣1的距离，252由抛物线定义得，，即p=2；253（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，254t≠±1，255∵AF不垂直y轴，256∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），257联立，得y2﹣4sy﹣4=0．258y1y2=﹣4，259∴B（），260又直线AB 的斜率为，故直线FN 的斜率为，261从而得FN ：，直线BN：y=﹣，26217则N （），263设M（m，0），由A、M、N 三点共线，得，264于是m==，得m＜0或m＞2．265经检验，m＜0或m＞2满足题意．266∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．26726820．【2016浙江（文）】设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：269（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2270（Ⅱ）＜f（x ）≤．271【解析】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，272且1﹣x+x2﹣x3==，273所以≤，274所以1﹣x+x2﹣x3≤，275即f（x）≥1﹣x+x2；27618（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，277所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；278由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，279且f （）=+=＞，280所以f（x ）＞；281综上，＜f（x ）≤．282283284285286287288289290291292293294绝密★启封前2952016年浙江省高考数学试卷（文科）296一、选择题（本大题8小题，每题5分，共40分）2971．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，298则（∁U P）∪Q=（）299A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，3005}301192．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥302β，则（）303A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3043．函数y=sinx2的图象是（）305A ．B ．306C ．D ．3074．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两308条平行直线间的距离的最小值是（）309A ．B ．C ．D ．3105．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若loga b＞1，则（）311A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0312C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞03136．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）314的最小值相等”的（）315A．充分不必要条件 B．必要不充分条件31620C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3177．已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（）318A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b 319C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b 3203213228．如图，点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An323≠An+1，324n∈N*，|Bn Bn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若325dn =|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）326 327A．{Sn }是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列328D．{dn 2}是等差数列329330二、填空题（本大题7小题，9、10、11、12每题6分，13、14、15每题4 331分，共36分）3329．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是333cm2，体积是cm3．3342133533610．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标337是，半径是．33833911．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，340b= ．34134212．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x 343﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．34434513．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，346且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．3473483493503513522214．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，353沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值354是．35535635715．已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，358则||+||的最大值是．359360三、解答题（本大题5小题，共74分）36116．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．362（1）证明：A=2B；363（2）若cosB=，求cosC的值．36436536636736836937037137237317．（15分）设数列{an }的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．37423（Ⅰ）求通项公式an ；375（Ⅱ）求数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和．37637737837938038138238338438538638738838918．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，390BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．391（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；392（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．39339439539639739839919．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 400到y轴的距离等于|AF|﹣1，40124（Ⅰ）求p的值；402（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB 403垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．40440540620．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：407（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2408（Ⅱ）＜f（x ）≤．4094104114124134144154164172016年浙江省高考数学试卷（文科）418419一、选择题4201．【解答】解：∁U P={2，4，6}，（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4214，6}．42225故选C．4234242．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥425α，426∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．427故选：C．4284293．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，430∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；431由y=sinx2=0，则x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个432零点，排除B，433故选：D4344354．【解答】解：作出平面区域如图所示：43643726∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．438联立方程组，解得A（2，1），439联立方程组，解得B（1，2）．440两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．441∴平行线间的距离为d==，442故选：B．4434444454465．【解答】解：若a＞1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，447此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，448若0＜a＜1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，449此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，450综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，451故选：D．4524536．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin （x）=﹣．454（1）若b＜0，则﹣＞﹣，45527∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f （﹣）=﹣，456即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．457∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．458（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，459则fmin （x ）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．460∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条461件．462故选A．4634647．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，465即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，466B．若f（a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f（a）≥2a，则2a≤f（a）467≤2b，468则a≤b，故B正确，469C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b| 470不一定成立，故C错误，471D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一472定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，473故选：B4742829475 8．【解答】解：设锐角的顶点为O ，|OA 1|=a ，|OB 1|=c ， 476|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ，477由于a ，c 不确定，则{d n }不一定是等差数列，{d n 2}不一定是等差数列， 478设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ，479由三角形的相似可得==，480==，两式相加可得，==2，481即有h n +h n+2=2h n+1，由S n =d•h n ，可得S n +S n+2=2S n+1， 482483 即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n ， 484则数列{S n }为等差数列． 485故选：A ．486487488 二、填空题4899．【解答】解：根据几何体的三视图，得；490该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，491表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；492上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；493所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．494故答案为：80；40．49549610．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，497∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．498当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，499配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；500当a=2时，方程化为，501此时，方程不表示圆，502故答案为：（﹣2，﹣4），5．50350411．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）505+1506=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，507故答案为：；1．5083050912．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，510∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）511∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x 512﹣a2b，513且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，514∴，解得或（舍去），515故答案为：﹣2；1．51613．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴．517不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，518把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，519此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；520由PF1⊥PF2，得，521又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：，522∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：，523此时|PF1|+|PF2|=．52431∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案525为：（）．52652752814．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，529在Rt △ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，530D′E==．531CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．532过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′533为直线AC与BD′所成的角．534则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．535则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．536则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，537cosθ=1时取等号．538∴D′B的最小值==2．53932∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为：．54015．【解答】解：||+||=，541其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，542当与共线时，取得最大值．543∴=．故答案为：．544545三、解答题54616．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，547∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，548∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），549∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．550∴A=2B．551（II）解：cosB=，∴sinB==．552cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．553∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．5545553317．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．556∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，557当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，558即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，559∴=3，则数列{an }是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n﹣1．560（Ⅱ）an ﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，561设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，562则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，563当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，564则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，565此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和566Tn =3+﹣= ，567则Tn ==．56856918．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：570∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；57134∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；572又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；573∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；574∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD；575（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；576∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；577∵F为CK中点，且DF∥AC；578∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；579又；580∴在Rt△BFD 中，，cos；581即直线BD和平面ACFD 所成角的余弦值为．5825835843519．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A 585到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；586（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，587t≠±1，588∵AF不垂直y轴，∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），589联立，得y2﹣4sy﹣4=0． y1y2=﹣4，∴B （），590又直线AB 的斜率为，故直线FN 的斜率为，591从而得FN ：，直线BN：y=﹣，则N （），592设M（m，0），由A、M、N 三点共线，得，593于是m==，得m＜0或m＞2．594经检验，m＜0或m＞2满足题意．595∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．59659720．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，59836且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，599所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；600（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，601所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；602由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，603且f （）=+=＞，所以f（x ）＞；604综上，＜f（x ）≤．60560660760860937。
浙江省衢州市高三数学4月教学质量检测试题 文(含解析)
浙江省衢州市2015届高三数学4月教学质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,a b 为正实数，则“1a >且1b >”是“1ab >”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：“1a >且1b >”，根据不等式的性质，必有“1ab >”，故为充分条件.如果“1ab >”，不一定有“1a >且1b >”，比如110,2a b ==.故不是必要条件.选B. 考点：1、不等式；2、充要条件.2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A. 3y x x =+B. log a y x =C.3xy = D.1y x=-【答案】A 【解析】试题分析：对A. 3y x x =+既是奇函数又是增函数；对B.log a y x =，不是奇函数，又不一定是增函数 对C.3xy =是增函数，但不是奇函数；对D.1y x=-，取121,1x x =-=，则有1211x x ->-，故不能说1y x=-是增函数.故选A. 考点：函数的性质.3.若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. //,,//l n l nαβαβ⊂⊂⇒ B. ,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥C. ,//l n m n l m ⊥⊥⇒D. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：对A. ,l n 有可能为异面直线，故不正确；对B. ,l β有可能斜交，也有可能平行，故不正确；对C. ,l n 可以相交，也可以是异面直线，故错；对D.由于l βP ，故在β内存在直线l l 'P ，又l α⊥，所以l α'⊥，根据平面与平面垂直的判定定理可知，αβ⊥.故选D. 考点：空间直线与平面的位置关系.4.将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的 一个可能取值为（ ） A.3π-B.6πC.3πD.56π 【答案】D考点：三角函数的图象.5.若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ） A. 10 B. 46+526+ D. 46 【答案】C 【解析】试题分析：若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 的标准方程为22(2)(2)9x y ++-=，由于弦长为6，即为直径，所以2220,1a b a b --+=+=，则22323()()(23)526a b a b a b+=++≥=+ C. 考点：1、直线与圆；2、柯西不等式.6.在ABC ∆中，若1AB =u u u r ，3AC =u u u r AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，则AB BCBC⋅=u u u r u u u ru u u r （ ）A. 312- C. 123 【答案】B【解析】试题分析：由||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r知，AB AC ⊥，所以ABC ∆是直角三角形.，||2BC =，利用数量积的几何意义得11122||||AB BC BA BC BC BC ⨯=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，选B.考点：平面向量.7.已知∈a R ，若函数21()|2|2=--f x x x a 有三个或者四个零点，则函数2()41=++g x ax x 的零点个数为（ ） A. 1或2 B. 2C. 1或0D. 0或1或2【答案】A考点：函数的零点.8.设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y 均满足2222212122x y x x y x ++++-+≤2a b +取值范围为（ ）A. (]0,2B. []1,2C. [)1,+∞D. [)2,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：设12(1,0),(1,0)F F -2222212122x y x x y x ++++-+=P的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，其方程为22121x y +=.曲线1(0,0)a x b y a b +=>>为如下图所示的菱形ABCD ，11(,0),(0,)C D a b.由于2222212122x y y x y y ++++-+≤112,1a b≤≤，即21a b ≥≥.所以122b+≥+=.选D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）9.设全集=U R，集合{}{}2|10,|20,=+≤=-<A x xB x x则=I A B，=UA B，R=Bð．【答案】(1];(,)--∞-∞+∞U【解析】试题分析：{|1},{|A x xB x x=≤-=<<，所以(((,)RA B A B B==-∞=-∞+∞I U Uð.考点：集合与不等式.10.设函数1()2cos()26π=+f x x，则该函数的最小正周期为，值域为，单调递增区间为．【答案】74;[2,2];[4,4],33k k kπππ-π-π-∈Z.【解析】试题分析：最小正周期24Tππω==，值域为[2,2]-.由12226k x kππππ-+≤+≤得7122626k x kππππ-+≤≤-，744()33k x k k Zππππ-+≤≤-∈即单调递增区间为7[4,4]()33k k k Z ππππ-+-∈. 考点：三角函数的性质.11.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为 3cm ，外接球的表面积为 2cm ．【答案】203；12π 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是一棱长为2的正方体截去一三棱锥所得的组合体（如下图所示），其体为311202222323V =-⨯⨯⨯⨯=，它的外接球就是正方体的外接球，其直径为2R ==.2412S R ππ==1D 1考点：1、三视图；2、空间几何体的体积及表面积.12.设不等式组0,24,24≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩x x y x y 所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ；若直线1=-y ax 与区域D 有公共点， 则a 的取值范围是．俯视图侧视图（第11题图）【答案】47;[,) 34+∞【解析】试题分析：由24 24 x yx y+=⎧⎨+=得44(,)33B.易得(0,4),(0,2)A C.所以区域D的面积为2 21212BF CF MF MF a=-=-=，所以点M在双曲线上，.考点：圆锥曲线.14.定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a ，仍是等比数列,则称()f x 为“等比函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数:①()3=xf x ；②3()=f x x ； ③2()=f x x； ④2()log ||=f x x .则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ． 【答案】②③考点：1、等比数列；2、新定义.15.在∆ABC 中，0⋅=u u u r u u u r AC BC ，点M 在BC 边上，且满足2=u u u u r u u u u rBM MC ，则cos ∠MAB 的最小值为 ． 【答案】32【解析】试题分析：因为0⋅=u u u r u u u r AC BC ，所以90C ∠=o.建立坐标系如图所示，设(,0),(0,),(0,3)A a M b B b ，则(,),(,3)AM a b AB a b =-=-u u u u r u u u r，2242244224222269cos 109(3)(9)AM AB a a b b a a b b AM AB a b a b θ++===++++u u u u r u u u r g u u u u r u u u r g 222242242244431119109610210a b a b a a b b b a=-=-≥-=+++++..小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）,C 所对的边分别为,,a b csin cos A a C =． （Ⅰ）求角C 的大小；cos A B +取得最大值时，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（Ⅰ）6Cπ=；（Ⅱ）ABC ∆为等腰三角形.【解析】试题分析：（Ⅰ）由sin cos A a C =变形得sin aA=，由正弦定理变形得: sin sin c a C A =，从而得sin sin a c AC ==cos C C =，所以tanC =在三角形中，0C π<<，所以6C π=.cos A B+的最大值，需将角,A B 换掉一个.由(1)知56B A π=-，所以cos A B+5cos()6A A π=+-1sin 2A A A =+1sin 2A A =+，即cos A B +sin()3A π=+.cos A B +取得最大值时2,63A B ππ==，6C π=，故此时ABC ∆为等腰三角形.试题解析：sin cosA a C=结合正弦定理变形得:sin sina cA C== 3分cosC C=,tan C=, …………………………………6分∵0Cπ<<,∴6Cπ=；…………………………………………………7分（Ⅱ）由(1)知56B Aπ=-………………………………………………………8分cos A B+5cos()6A Aπ=+-1sin2A A A=+1sin2A A=+sin()3Aπ=+11分∵56Aπ<<, ∴7336Aπππ<+<………………………………12分当32Aππ+=时cosA B+取得最大值1, ………………13分此时2,63A Bππ==,6Cπ=, …………………………………………14分故此时ABC∆为等腰三角形 . ……………………………………15分考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.17.（本小题满分15分）已知数列{}na是首项为2的等差数列，其前n项和nS满足14n n nS a a+=⋅．数列{}nb是以12为首项的等比数列，且123164b b b=．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb的前n项和为nT，若对任意n∈*N不等式121111142nnTS S Sλ+++≥-L恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）2na n=，1()2nnb=；（Ⅱ）λ的取值范围为(,3]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设将等差数列等比数列的通项公式代入求得{}na的公差d及{}nb的公比q即可得数列{}n a、{}n b的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2na n=，所以(1)nS n n=+，从而1111(1)1n S n n n n ==-++， 12111111111(1)()()122311n S S S n n n +++=-+-++-=-++L L .又11(1)12211212n n n T -==--.由此可知，对任意*n N ∈，121111142n n T S S S λ+++≥-L 成立等价于131112124n n λ+--≥+恒成立.所以14λ小于等于1311212n n +--+的最小值.显然1311212n n +--+对∈n *N 递增，min 13113113()2122244n n +--=--=+，从而31344λλ≥⇒≤. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1114()a a a d =+，解得2d =，∴2n a n=…………………………………………………………………4分由31232211644b b b b b ==⇒=，从而公比2112b q b ==，∴1()2n n b = …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111(1)1n S n n n n ==-++ ∴12111111111(1)()()122311n S S S n n n +++=-+-++-=-++L L10分 又11(1)12211212n n n T -==--，……………………………………………12分 ∴对任意*n N ∈，121111142n n T S S S λ+++≥-L 等价于 131112124n n λ+--≥+…………………………………………………13分 ∵1311212n n +--+对∈n *N 递增， ∴min 13113113()2122244n n +--=--=+， ………………………14分∴31344λλ≥⇒≤.即λ的取值范围为(,3]-∞ ……………………15分 考点：数列与不等式. 18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==PA AD ，1=AB，=AC （Ⅰ）证明：//MN 平面PCD ；（Ⅱ）求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线MN 与平面PAD． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面PCD 内找一条与MN 平行的直线.结合题设可取取PD 中点E ，连结NE ，CE ， 易得四边形MNEC 为平行四边形，从而//MN CE ，问题得证.（Ⅱ）思路一：斜线与平面所成的角，就是斜线与其在该平面内的射影所成的角，故首先作出直线MN 在平面PAD 内的射影. 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ，那么MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的角，在Rt MNF ∆中，即可求出直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．思路二，易证得,,AB AC AP 两两互相垂直，故可分别以,,AB AC AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取PD 中点E ，连结NE ，CE ．N Q 为PA 中点，//12NE AD ∴=， 又M 为BC 中点，底面ABCD 为平行四边形，1//2MC AD ∴=．D B（第18题图）//NE MC ∴=，即MNEC 为平行四边形， ……………………4分 ∴//MN CEEC ⊂Q 平面PCD ，且MN ⊄平面PCD ，//MN ∴平面PCD ． ……………………………………………7分（其它证法酌情给分） （Ⅱ）方法一：PA ⊥Q 平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ．则MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的角， ……………………10分 由1AB =，AC =2AD =，得AC CD ⊥， 由AC CD AD MF ⋅=⋅，得2MF =， 在Rt AMN ∆中，1AM AN ==，得MN =在Rt MNF ∆中，2NF ==tan 5MF MNF FN ∴∠===,直线MN 与平面PAD……………………15分 方法二：PA ⊥Q 平面ABCD ，PA AB ⊥，PA AC ⊥，又1AB =Q，AC =2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，AB AC ⊥． ……………………………9分D如图，分别以,,AB AC AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz-，则13 (,,0)2M，(0,0,1)N，(0,0,2)P，(1,3,0)D-，13(,,1)22MN∴=--u u u u r，(0,0,2)AP=u u u r，(1,3,0)AD=-u u u r，……………………11分设平面PAD的一个法向量为(,,)n x y z=r，则由2030zAB nx yAD n⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r ru u u r r，令1y=得(3,1,0)n=r，……13分设MN与平面PAD所成的角为θ，则36sin cos,22MN nθ=<>==u u u u r r5tan5θ⇒=，MN∴与平面PAD所成角的正切值为15．………………………15分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间直线与平面所成的角.19.（本小题满分15分）如图，设抛物线C：22(0)=>y px p的焦点为F，过点F的直线1l交抛物线C于,A B 两点，且||8=AB，线段AB的中点到y轴的距离为3.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线2l与圆2212+=x y切于点P，与抛物线C切于点Q,求∆FPQ的面积.（第19题图）【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）2PQF S ∆=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用焦点弦公式12||AB x x p =++及弦AB 的中点的坐标即可求出p ，从而求得抛物线C 的方程；（Ⅱ）由于2l 与O e 相切，所以222,||||OP PQ PQ OQ r ⊥=-.点F 到直线2l 的距离即为FPQ ∆的高.所以只要求出直线2l 的方程及点Q 的坐标即可.设2:l y kx m =+，由2l 与O e 相切且直线2l 与抛物线相切可得两个含,k m 的方程，解这个方程组可得,k m 的值，从而求出直线2l 的方程及点Q 的坐标. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 由题意知1232x x +=，126x x ∴+=， ………………………3分 又128AB x x p =++=，2p ∴=， ………………………6分 故抛物线C 的方程为24y x =； ………………………………………7分 （Ⅱ）设2:l y kx m =+，由2l 与O e 相切得22212m k =⇒=+ ① …………………………………9分 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩222(24)0k x km x m ⇒+-+= （*）Q 直线2l 与抛物线相切，222(24)40km k m ∴∆=--= 1km ⇒= ②……………………11分由 ①，②得1k m ==±，∴方程（*）为2210x x -+=，解得1x =，(1,1)Q ∴±，PQ ∴====； ………………13分 此时直线2l 方程为1y x =+或1y x =--，∴令(1,0)F 到的距离为d =1122PQF S PQ d ∆∴=⋅==． ………………………15分 考点：直线与圆锥曲线.20.（本小题满分14分）已知函数2()2=++f x ax bx c (∈x ,R 0)≠a（Ⅰ）若1,0=-=a c ，且()=y f x 在[1,3]-上的最大值为()g b ，求()g b ； （Ⅱ）若0>a ，函数)(x f 在[8,2]--上不单调，且它的图象与x 轴相切，求(1)2-f b a的最小值.【答案】（Ⅰ）212,(1)(),(13)96,(3)--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩b b g b b b b b ；（Ⅱ）min (1)()42=-f b a ．【解析】试题分析：（Ⅰ）将1,0=-=a c 代入得222()2()=-+=--+f x x bx x b b ，对称轴是直线=x b .由于[1,3]x ∈-，所以分1<-b ，13-≤≤b ，3>b 三种情况讨论.（Ⅱ）(1)222f a b cb a b a++=--，为了求其最小值，可将其中的一个字母换掉.函数)(x f 的图象和x 轴相切，所以22140()4∆=-=⇒=c b b ac a a，这样222111()(1)242222++++++===----b c b bf a b ca a a ab b b a b aa a，接下来就考虑求出b a 的范围.因为)(x f 在[8,2]--上不单调，所以对称轴2(8,2)2=-=-∈--b b x a a ，即(2,8)∈ba.设(2,8)2(0,6)=∈⇒-∈bt t a，则2222111()12(1)1844422422++++++===----b b t t f t t a a b b at t a116[(2)8]42t t =-++-，这样利用重要不等式即可求出其最小值.试题解析：（Ⅰ）1,0=-=a c 时，222()2()=-+=--+f x x bx x b b ， ∴对称轴是直线=x b ，①1<-b 时， max ()(1)12=-=--f x f b②当13-≤≤b 时，2max ()()==f x f b b③当3>b 时，max ()(3)96==-+f x f b综上所述，212,(1)(),(13)96,(3)--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩b b g b b b b b ； ………………………………6分（Ⅱ）∵函数)(x f 的图象和x 轴相切，∴22140()4∆=-=⇒=c b b ac a a， ∵)(x f 在[8,2]--上不单调， ∴对称轴2(8,2)2=-=-∈--b bx a a∴(2,8)∈ba222111()(1)242222++++++===----b c b bf a b ca a a ab b b a b aa a， 设(2,8)2(0,6)=∈⇒-∈bt t a， ∴2222111()12(1)1844422422++++++===----b b t t f t t a a b b at t a1161[(2)8]8]4424=-++≥+=-t t ， ∴min (1)()42=-f b a，此时当且仅当24(0,6)6-=∈⇒=t t ．………14分 考点：函数及其最值.。
2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】
一．选择题（共 8 小题） ） C ． {1 ， 2， 4， 6} D ． {1 ， 2， 3， 4， 5}
1． 【 2016 浙江（文）】已知全集 U={1 ， 2， 3， 4 ， 5， 6} ，集合 P={1 ， 3， 5} ， Q={1 ， 2 ， 4} ， 则（ ?U P）∪ Q= （ A ． {1} B ． {3 ， 5} 【答案】 C 【解析】 解： ? UP={2 ， 4 ， 6} ， （ ? UP）∪ Q={2 ， 4 ， 6} ∪ {1 ， 2， 4}={1 ， 2 ， 4 ， 6} ． 2． 【 2016 浙江（文）】已知互相垂直的平面 则（ ） A ． m ∥ l B ． m ∥ n C． n ⊥ l D ． m ⊥ n 【答案】 C 【解析】 解：∵互相垂直的平面 ∴ m ∥ β或 m ? β或 m ⊥β ， l? β ， ∵ n⊥ β ， ∴ n⊥ l ． 3． 【 2016 浙江（文）】函数 y=sinx 的图象是（
R． （ 7． 【 2016 浙江（文）】已知函数 f （ x ）满足： f （ x ）≥ |x|且 f （ x ） ≥ 2 ， x∈ b B ．若 f （ a） ≤ 2 ，则 a≤ b D ．若 f （ a） ≥ 2 ，则 a≥
b b
）
【解析】 解： A ．若 f （ a） ≤ |b|，则由条件 f （ x） ≥ |x|得 f （ a） ≥ |a|， 即 |a|≤ |b|，则 a≤ b 不一定成立，故 B ．若 f （ a）≤ 2 ， 则由条件知 f （ x ） ≥ 2 ， 即 f （ a） ≥ 2 ，则 2 ≤ f （ a）≤ 2 ， 则 a≤ b，故 B 正确， C．若 f （ a）≥ |b|，则由条件 f （ x ） ≥ |x|得 f （ a） ≥ |a|，则 |a|≥ |b|不一定成立，故 D ．若 f （ a） ≥ 2 ，则由条件 定成立，故 D 错误， 8． 【 2016 浙江（文）】如图，点列 {A n} 、{B n} 分别在某锐角的两边上，
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衢州市2016年4月高三年级教学质量检测试卷数 学（文）命题者：江浩丰 祝建丰 姚灵芝 审题者:徐金明考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2．试卷共4页，三大题，共20小题.满分150分，考试时间120分钟. 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效. 参考公式：球的表面积公式 24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高试卷Ⅰ一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的．） 1.设集合{}245A y y x x ==-+，集合{}210B x x =-=，则A B = （▲） .A {}1-.B {}1 .C {}1,1,5-.D ∅2.设3p x <：，13q x -<<：，则p 是q 成立的（▲） .A 充分必要条件 .B 充分不必要条件 .C 必要不充分条件 .D 不充分不必要条件 3.已知直线()12:20,:62160l mx y l x m y +-=+--=，若12//l l ，则实数m 的值是（▲） .A 32-.B 2.C 322-或.D 322或- 4.设函数21log (2),1()2,1xx x f x x +-<⎧=⎨≥⎩ ，则2(6)(log 3)f f --=（▲）.A 1.B 7 .C 1-.D 25.已知,a b是任意的两个向量,则下列关系式中不．恒成立的是（▲） .A a b a b +≥- .B a b a b ⋅≤⋅.C ()2222a ba ab b -=-⋅+.D ()3322333a b a a b a b b -=-⋅+⋅-6. 设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()()0OP OF OP OF +⋅-=（O 为坐标原点），且12|||PF PF ，则双曲线的离心率为（▲）A ．22 B 2 C ．2D 7．已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合: ①{}(,)lg M x y y x == ② {}(,)cos sin M x y y x x ==+ ③1(,)M x y y x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭④{}(,)3xM x y y e ==- 其中是“Ω集合” 的所有序号是（▲） .A ②③ .B ②④ .C ①②④.D ①③④8．如图，已知棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -，M 是正方形''BB C C 的中心，P 是''AC D ∆内（包括边界）的动点，满足PM PD =,则点P 的轨迹长度是（▲）A ．2 B ．2C ． D第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分．把正确答案填在答题卡中的横线上．）9. 若sin()6πα-=45-，则cos()3πα+= ▲ ； cos(2)3πα-= ▲ .10．已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 ▲ ； 表面积是 ▲ ．11．若实数,x y 满足不等式组20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则；z y x =-最小值是 ▲ ．4xz y =+的最大值是 ▲ 12.已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ▲ ； 221aba +的最大值是 ▲ .13.若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ,且20,||||OA AB AC OA AB ++==,则CA CB ⋅= ▲ .14.已知,b c ∈R 二次函数2()2f x x bx c =++在区间()1,5上有两个不同的零点，则()()15f f ⋅的取值范围__▲ _. 15. 定义(,),(2a b a bM a b a b ++-=∈、R )已知数列{}n a 满足()120,1a a a a =>=，12*2(,2)()n n nM a a n a ++=∈N 若201520163a a a -=，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（本题满分14分）已知2()cos cos f x x x x =⋅+ （I ） 试求函数()f x 的单调递增区间；（II ）△ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3()2f C =ABCV 的最小值.17．（本题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，11*20()n n n n a a a a n +++-=∈N（I ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式; （II ）若()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数t 的取值范围.18. (本题满分15分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //BC AD ，AB BC ⊥，侧面PAB ABCD ⊥底面，3PA AD ==，6BC =,PB =（I ）若PC 中点为E ，求证：//DE PAB 平面；（II ）若60oPAB ∠=，求直线DC 与平面PAB 成角的余弦值．19. (本题满分15分)如图，过抛物线24x y =的对称轴上一点()()0,0P m m >作直线1l ，1l 与抛物线交于,A B 两点.（I ）若0OA OB ⋅<(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；（II ）过点P 且与1l 垂直的直线2l 与抛物线交于C,D 两点, 设AB CD 、的中点分别为M N 、求证：直线MN 必过定点,并求出该定点坐标（用m 表示）.20. (本题满分15分)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，,,a b c ∈R （I ）当1a =时， ()0f x <的解集与不等式112x >-的解集相同，求函数()f x 的解析式； （II ）若1x ≤,1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（II ）条件下若b ax x g +=λ)( )1(>λ,求证：当1≤x 时，λ2)(≤x g ．衢州市2016年4月高三教学质量检测数 学（文）参考答案一、 选择题1.B2.C3.A4.A5.D6. D7. B8.D二、填空题 9.45;725- 10．23;3 11. 4- ; 1 12．14. ()0,16; 15.7255三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.解：（I）21()cos cos sin(2)62f x x x x x π=⋅+=++Q222262k x k πππππ∴-+≤+≤+ 36k x k ππππ∴-+≤≤+ ()f x ∴的单调递减区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦………………………………7分（II ）13()sin(2),sin(2)122,622662f C C C C k k Zπππππ=++=∴+=∴+=+∈Q ，,0,.66C k k Z C C ππππ∴=+∈<<∴=Q224(14(13ABC a b ab a b ab b a ⎤++-⎤⎣⎦==++-≥⎢⎥⎦V ，当且仅当2a b =时，取等号 . ………………………………………………14分 17．解：（I ）由()11302n n n n a a a a n --+-=≥得：()11122n n n a a --=≥……3分 又111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2等差数列 ∴112(1)21nn n a =+-=-，即：121n a n =-…………………..6分 （II ）法1:∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121tn n ⎛⎫-≥ ⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立……………8分设()24122(1)n n c n n -=≥-，则221222232232311222n n c n n n n n n c n n n n n n++--+--====+>--- ∴当2n ≥时，{}n c 为递增数列………………………………………………. 12分∴2152n c c ≥=所以t 的取值范围为：15(,]2-∞……………………………………………….15分法2∵()1110n n ta a +-+≥对任意2n ≥的整数恒成立，即11102121tn n ⎛⎫-≥ ⎪+-⎝⎭恒成立∴2412(1)n t n -≤-对任意2n ≥的整数恒成立令1,n m -=∴248332422m m t m m m++≤=++ 令()3242f m m m =++∵()*22,,+m m N f m ⎫≥∈∞⎪⎪⎝⎭在单调递增 ∴()()min 1512t f m f ≤==所以t 的取值范围为：15(,]2-∞18证明（I ）取PB 的中点F ，连结AF ，EF∴//EF AD 且EF AD =，∴ADEF 为平行四边形。
//DE EF ∴，且DE 不在平面PAB 内 AF 在平面PAB 内，所以//DE PAB 面………………………..7分 （II ）0,3601tan ,2A PAB GAB PA PB PAB GAB ⊥⊥∴⊥∴∠==∠=∴∠=∴ 过作AG//CD 交BC 于点G ，面PAB 面ABCD,AB BC BC 面就是所求的线面角...................9分，，由余弦定理得AB=6，直线DC 与平面PAB 分19. 解：（I ）(1)设 A(11,x y )．B 22(,)x y 1:l y kx m =+代入抛物线24x y =的方程化简得240x kx m --= ………………………………………………………………….…2分∵0m > ∴216160k m ∆=+>恒成立12124,4,x x k x x m +==-……………………………………………………………………………………..4分因为22121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m =+=+++=++++ ，则22(1)(4)40k m km k m +-++< ，即240m m -<，……………………6分 又因为0m >，解得04m <<……………………………………………….7分 （II ）()()()22112212221212122121222,,2,,:44404,4,2......................8,2,22222,)........................................y kx mA x xB x x l y kx m x yx kx m x x k x x m y y k m x x y y M k k m N m k k=+⎧=+⎨=⎩--=+==-+=+++⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭+证明：设联立方程组得分同理得(-() (1212)02.......................................................................15MN y k x m k m ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭∴+分直线方程为：过定点 定点为，分20. (本题满分15分) 解:（I ）{}()112302x x f x x ><<∴=-的解集为，的两根为2,3 ()()2030f f =⎧⎪∴⎨=⎪⎩…………2分 解得5,6b c =-=()256f x x x ∴=-+………………………………………………………………………………4分（II ） (0), (1), (1)f c f a b c f a b c ==++-=-+ 2(1)(1)2(0)a f f f ∴=+--又|| 1 , |()|1x f x ≤≤ 时 |(1)|1, |(1)|1, |(0)|1f f f ∴≤-≤≤|2||(1)(1)2(0)||(1)||(1)|2|(0)|4a f f f f f f ∴=+--≤+-+≤….8分 22a ∴-≤≤ ……………………………………………………….9分（III ） (0), (1), (1)f c f a b c f a b c ==++-=-+由1[(1)(1)](0)2(0)1(1)[(1)(1)]2(1)(0)a f f f f c f a b c b f f f a b c c f =+--==++=---=-+=⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩得……..11分 11(1)[(1)(1)](0)[(1)(1)]22g a b f f f f f λλλ∴=+=⋅+--+--11(1)(1)(0)22f f f λλλ+-=+-- 11(1)[(1)(1)](0)[(1)(1)]22g a b f f f f f λλλ-=-+=-⋅+-++--11(1)(1)(0)22f f f λλλ-+=--+ 1, |(1)|1, |(1)|1, |f f f λ>≤-≤≤ 11|(1)||(1)(1)(0)|22g f f f λλλ+-∴=+--11222λλλλ+-≤++= 11|(1)||(1)(1)(0)|22g f f f λλλ-+∴-=--+11222λλλλ-+≤++=() g x x 是关于的一次函数，故由一次函数的单调性知：||1, |()|2x g x λ≤≤对一切有…………………………………………………15分。