第二节 二重积分的计算
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高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1.
计算 I
D
sin y
y
d
，其中区域
D 为曲线 y
x 及直线
y=x 所围成。
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
第十章第二节_二重积分的计算法剖析讲解
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
y3 )dy
11
1
2
8
【例2】 计算 y 1 x2 y2d , D :由y x, x 1,
D
和y 1所围闭区域 .
y
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1
D y=x
［法1］ DX
:
1 x 1
x
y
1
－1 x o
1x
上式
1
1
dx y
1 x2 y2dy 1
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x、) 在2( x区) 间 上[a连,b续] .
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
先求交点
由
y2
x
(1,-1) 或 (4,2)
y x2
［法1］
DY
:
1
y2
y x
2 y
2
xyd
2
dy
y2 xydx
D
1
y2
55
8
［法2］ 视为X—型域 则必须分割 D D1 D2
0 x 1 D1 : x y
x
D2
:
1
x
x 2
4 y
x
1
x
4
x
xyd
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
第二节二重积分计算
y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12
x2
1x
y 1
x
dx
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y
x，1
xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方 向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x，
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
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2
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D
D
1
D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和
R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d
R2 x 2 d
D
o
2 2
y
y R2 x 2
R
0
dx
R2 x 2
16 3 V 8V1 R 3
2 3 R 3
0
R x dy
x
y
D
o
R
x
24
二重积分的计算法
1
2 ( y )
f ( x , y )dx
6
将二重积分
D
R 2 x 2 y 2 d 写成二次积分，
y
其中D为圆域 x 2 y2 R2 .
y 2 ( x)
解 z R x y 是被积函数， R
2 2 2
D
O
R
2
x
D是X型区域： R x R,
2 2
sin y 0 dy y2 y dx
1
1 2
y
O
x
sin y (y y ) dy 1 sin 1 0 y
17
二重积分的计算法
例 交换积分次序：
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy dx
y
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy
解 积分区域:
第二节
double integral
二重积分的计算法
利用直角坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分
1
二重积分的计算法
本节介绍计算二重积分的方法: 二重积分化为累次积分(即两次定积分).
2
二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 1 ( x)
2
1 ( x ) y 2 ( x ), 1 ( x ) R x , 2 ( x ) R x ,
D
R 2 x 2 y 2 d
R
R
dx
R2 x 2
R2 x 2
R 2 x 2 y 2 dy
7
D是Y型区域：
o
y sin y 2dy
0
0 1
0
1 1 1 2 2 sin y dy (1 cos1) 2 2 0
16
sin y dxdy, D : y x, x y2 计算二重积分 y D 围成. y
解 积分区域:
sin y dxdy y D
y x 2 x y (1,1)
x y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点
2
D
y
y x2 2 x y (1,1)
x y2 O x ( 1 , 1 ), ( 0 , 0 ) 2 y x 积分域既是X型又是Y型
法一
2 ( x d x ( x y ) d x d y 0 2 y )dy
y y
d
x 1 ( y )
d
x 1 ( y )
Y－型
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
c
O
d
c
x
2 ( y)
1
O
x
f ( x , y )dx )dy f ( x , y )d ( c ( y) D
先对x后对y的二次积分
d
也即
f ( x , y )d dy c ( y) D
以曲面 z f ( x , y )为顶的曲顶柱体的体积. z f ( x, y) z 应用计算“平 行截面面积为
已知的立体求 体积”的方法.
O
a
D
y 2 ( x)
y
D
A( x0 )
＊ 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) 是区间 [1 ( x0 ), 2 ( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y ) 为曲边的曲边梯形.
y 1 ( x ) x0 b x
4
二重积分的计算法
是区间 [1 ( x0 ), 2 ( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y ) 为曲边
的曲边梯形.
2 ( x0 )
1 0
z
y 2 ( x)
z f ( x, y)
y
O
a
A( x0 ) ( x ) f ( x0 , y )dy
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
证毕.
23
二重积分的计算法
立体顶部 x 2 z 2 R2 例 求两个底圆半径为 R,且这两个圆柱面的方程 立体底部 x 2 y 2 R2 分别为 x 2 y 2 R2及 x 2 z 2 R 2 .求所围成的
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
(1,1)
y x
x
15
二重积分的计算法
y
1 2
0
1
dx sin y dy
x
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
D
A( x0 )
x [a , b] 有:
A( x )
D
y 1 ( x ) x0 b x
2 ( x )
＊V x f (x , y )fd(x ,y )d
D
A ((x ) d x f x , y )dy a ( a x)
b
1
1 ( x ) 2 ( xb )
2
e · x 0
y2
0 2
2
0
dy 0
o
y
y x
2
ye
0
y2
dy
x
1 4 1 2 y2 2 e d( y ) (e 1) 2 2 0
21
二重积分的计算法
计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题, 而且 又是能否进行计算的问题. 凡遇如下形式积分: sin x 2 2 x2 x dx , sin x dx , cosx dx , e dx , y 2 dx x x e dx , e dx , ln x , 等等, 一定要放在 后面积分.
z R x y
2 2 2
y
是被积函数，
x 1 ( y)
O
R
D
R
y 2 ( x)
x
积分区域： R y R,
1 ( y) x 2 ( y),
1 ( y) R 2 y2 ,
2 ( y) R 2 y 2 ,
R2 y2
D
R 2 x 2 y 2 d
22
二重积分的计算法
定积分与积分变量的记法无关
例 求证
0
a
dx f ( y )dy (a x ) f ( x )dx ( a 0)
0 0
x
a
提示 左边的累次积分中, f ( y )是y的抽象函数, 不能具体计算. 所以, 先交换积分次序. y 积分域 0 x a , 0 y x 可表为 0 y a , y x a a
2 ( x )在区间 [a , b] 上连续. 其中函数 1 ( x )、
y
y 2 ( x)
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D
D
1
D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和
R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d
R2 x 2 d
D
o
2 2
y
y R2 x 2
R
0
dx
R2 x 2
16 3 V 8V1 R 3
2 3 R 3
0
R x dy
x
y
D
o
R
x
24
二重积分的计算法
1
2 ( y )
f ( x , y )dx
6
将二重积分
D
R 2 x 2 y 2 d 写成二次积分，
y
其中D为圆域 x 2 y2 R2 .
y 2 ( x)
解 z R x y 是被积函数， R
2 2 2
D
O
R
2
x
D是X型区域： R x R,
2 2
sin y 0 dy y2 y dx
1
1 2
y
O
x
sin y (y y ) dy 1 sin 1 0 y
17
二重积分的计算法
例 交换积分次序：
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy dx
y
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy
解 积分区域:
第二节
double integral
二重积分的计算法
利用直角坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分
1
二重积分的计算法
本节介绍计算二重积分的方法: 二重积分化为累次积分(即两次定积分).
2
二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 1 ( x)
2
1 ( x ) y 2 ( x ), 1 ( x ) R x , 2 ( x ) R x ,
D
R 2 x 2 y 2 d
R
R
dx
R2 x 2
R2 x 2
R 2 x 2 y 2 dy
7
D是Y型区域：
o
y sin y 2dy
0
0 1
0
1 1 1 2 2 sin y dy (1 cos1) 2 2 0
16
sin y dxdy, D : y x, x y2 计算二重积分 y D 围成. y
解 积分区域:
sin y dxdy y D
y x 2 x y (1,1)
x y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点
2
D
y
y x2 2 x y (1,1)
x y2 O x ( 1 , 1 ), ( 0 , 0 ) 2 y x 积分域既是X型又是Y型
法一
2 ( x d x ( x y ) d x d y 0 2 y )dy
y y
d
x 1 ( y )
d
x 1 ( y )
Y－型
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
c
O
d
c
x
2 ( y)
1
O
x
f ( x , y )dx )dy f ( x , y )d ( c ( y) D
先对x后对y的二次积分
d
也即
f ( x , y )d dy c ( y) D
以曲面 z f ( x , y )为顶的曲顶柱体的体积. z f ( x, y) z 应用计算“平 行截面面积为
已知的立体求 体积”的方法.
O
a
D
y 2 ( x)
y
D
A( x0 )
＊ 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) 是区间 [1 ( x0 ), 2 ( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y ) 为曲边的曲边梯形.
y 1 ( x ) x0 b x
4
二重积分的计算法
是区间 [1 ( x0 ), 2 ( x0 )]为底, 曲线 z f ( x0 , y ) 为曲边
的曲边梯形.
2 ( x0 )
1 0
z
y 2 ( x)
z f ( x, y)
y
O
a
A( x0 ) ( x ) f ( x0 , y )dy
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
证毕.
23
二重积分的计算法
立体顶部 x 2 z 2 R2 例 求两个底圆半径为 R,且这两个圆柱面的方程 立体底部 x 2 y 2 R2 分别为 x 2 y 2 R2及 x 2 z 2 R 2 .求所围成的
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
(1,1)
y x
x
15
二重积分的计算法
y
1 2
0
1
dx sin y dy
x
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
D
A( x0 )
x [a , b] 有:
A( x )
D
y 1 ( x ) x0 b x
2 ( x )
＊V x f (x , y )fd(x ,y )d
D
A ((x ) d x f x , y )dy a ( a x)
b
1
1 ( x ) 2 ( xb )
2
e · x 0
y2
0 2
2
0
dy 0
o
y
y x
2
ye
0
y2
dy
x
1 4 1 2 y2 2 e d( y ) (e 1) 2 2 0
21
二重积分的计算法
计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题, 而且 又是能否进行计算的问题. 凡遇如下形式积分: sin x 2 2 x2 x dx , sin x dx , cosx dx , e dx , y 2 dx x x e dx , e dx , ln x , 等等, 一定要放在 后面积分.
z R x y
2 2 2
y
是被积函数，
x 1 ( y)
O
R
D
R
y 2 ( x)
x
积分区域： R y R,
1 ( y) x 2 ( y),
1 ( y) R 2 y2 ,
2 ( y) R 2 y 2 ,
R2 y2
D
R 2 x 2 y 2 d
22
二重积分的计算法
定积分与积分变量的记法无关
例 求证
0
a
dx f ( y )dy (a x ) f ( x )dx ( a 0)
0 0
x
a
提示 左边的累次积分中, f ( y )是y的抽象函数, 不能具体计算. 所以, 先交换积分次序. y 积分域 0 x a , 0 y x 可表为 0 y a , y x a a
2 ( x )在区间 [a , b] 上连续. 其中函数 1 ( x )、
y
y 2 ( x)