湖南省衡阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年湖南省衡阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的( )A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件2．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=( )A． B．﹣2 C．2 D．3．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞04．如果a＞b，给出下列不等式：（1）＜；（2）a3＞b3；（3）a2+1＞b2+1；（4）2a＞2b．其中成立的不等式有( )A．（3）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）5．已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，a=，b=，B=60°，则A等于( )A．45° B．30° C．45°或135°D．30°或150°6．已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜77．在等差数列{a n}中，已知a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，则a2+a3=( )A．1 B．5 C．D．8．不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是( )A．{x|﹣≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤} C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x≥}9．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为( )A．7 B．15 C．30 D．3110．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为( )A．0 B．﹣2 C． D．﹣311．某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为( )A．20海里B．8海里 C．23海里D．24海里12．如图，点P为△ABC的外心，且，则等于( )A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（每小题5分，共20分）13．不等式的解集为__________．14．若数列{a n}满足：a1=2，a n+m=a m•a n（m，n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n=__________．15．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为__________．16．设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则=__________；（2）所有数对（n，）所组成的集合为__________．三、解答题：（共70分）17．已知等比数列{a n}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值．18．在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．19．若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围．20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．21．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，命题q：不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．22．已知：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）（1）证明数列{a n+2}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=log2（a n+2），设T n为数列{}的前n项和，对一切n∈N*都有T n ＜k，求最小正整数k．2015-2016学年湖南省衡阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的( ) A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由a=1，可得P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}，P⊊M；由P⊆M，则a＜2，可判断【解答】解：若a=1，P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}此时P⊊M若P⊆M，则a＜2，但是不一定是1故“a=1”是“P⊆M”充分不必要条件‘故选D【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用．2．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=( )A． B．﹣2 C．2 D．【考点】等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．3．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．4．如果a＞b，给出下列不等式：（1）＜；（2）a3＞b3；（3）a2+1＞b2+1；（4）2a＞2b．其中成立的不等式有( )A．（3）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是＜不成立；（2）利用函数f（x）=x3在R上单调递增即可得出；（3）取a=1，b=﹣2，满足a＞b，但是a2+1＞b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在R上单调递增即可得出．【解答】解：（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是＜不成立；（2）利用函数f（x）=x3在R上单调递增可得：a3＞b3；（3）取a=1，b=﹣2，满足a＞b，但是a2+1＞b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在R上单调递增可得：2a＞2b．其中成立的不等式有（2）（4）．故选：C．【点评】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5．已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，a=，b=，B=60°，则A等于( ) A．45° B．30° C．45°或135°D．30°或150°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据正弦定理，代入题中数据算出sinA=，结合a＜b得A＜B，可得A=45°，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，B=60°∴由正弦定理，得sinA===∵A∈（0°，180°），a＜b∴A=45°或135°，结合A＜B可得A=45°故选：A【点评】本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．6．已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．7．在等差数列{a n}中，已知a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，则a2+a3=( )A．1 B．5 C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用一元二次方程根与系数关系结合等差数列的性质得答案．【解答】解：∵a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，∴a1+a4 =，由数列{a n}为等差数列，∴a2+a3=a1+a4 =，故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质，训练了一元二次方程根与系数关系的应用，是基础题．8．不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是( )A．{x|﹣≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤} C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x≥} 【考点】一元二次不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式化为一般形式，求出它的解集即可．【解答】解：不等式（x+5）（3﹣2x）≥6可化为2x2+7x﹣9≤0，即（x+1）（2x﹣9）≤0；解这个不等式，得﹣1≤x≤，∴该不等式的解集是{x|﹣1≤x≤}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为( )A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用10．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为( )A．0 B．﹣2 C． D．﹣3【考点】一元二次不等式与二次函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．11．某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为( )A．20海里B．8海里 C．23海里D．24海里【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离，直接利用余弦定理求出CD的距离即可．【解答】解：如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，所以B=180°﹣75°﹣60°=45°，由正弦定理，所以AD===24海里；在△ACD中，AD=24，AC=8，∠CAD=30°，由余弦定理可得：CD2=AD2+AC2﹣2•AD•ACcos30°=242+（8）2﹣2×24×8×=192，所以CD=8海里；故选：B．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．属于中档题．12．如图，点P为△ABC的外心，且，则等于( )A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式，结合三角形外心的性质可得可得==8，同理可得==2，利用向量数量积运算法则计算即可．【解答】解：作PD⊥AC于D，则∵P为△ABC的外心，∴，可得==8同理可得==2=6故选C【点评】本题在三角形中给出外心，求向量数量积的式子．着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．不等式的解集为{x|}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先将不等式右边化成0即移项通分，然后转化成正式不等式，由此解得此不等式的解集，特别注意分母不为0．【解答】解：不等式的解集可转化成即等价于解得：故不等式的解集为{x|}故答案为：{x|}【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．14．若数列{a n}满足：a1=2，a n+m=a m•a n（m，n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n=2n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用赋特殊值法：可令a n=2n，满足条件a m+n=a m•a n，且a1=2，即可得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：由已知a m+n=a m•a n，可知数列{a n}的通项公式符合指数函数模型，即，又a1=2，∴可得a n=2n，即数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n ．故答案为：2n．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，是基础题．15．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．16．设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则=﹣4，1；（2）所有数对（n，）所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项不可能成等比数列，再考虑分别删去a2，a3，即可得到结论；（2）设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．【解答】解：（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得=﹣4若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得=1综上，得=﹣4或=1．（2）设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣a1，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对（n，）=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1，则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：﹣4，1；{（4，﹣4），（4，1）}【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是一道难题．三、解答题：（共70分）17．已知等比数列{a n}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公比q的方程，解方程得q求倒数可得答案．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a1，a3，a2成等差数列，∴a3=a1+a2，∴a1q2=a1+a1q，即q2﹣q﹣1=0，解得q=，∴===【点评】本题考查等比数列的通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．18．在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A﹣B=0，即A=B，又整理已知等式可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可解得C，即可确定出三角形形状．【解答】解：利用正弦定理化简bcosA=acosB得：sinBcosA=sinAcosB，∴sinA cosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，即A=B，又∵（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，可得：（a+b）2﹣c2=3ab，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得：cosC===，∴由C∈（0，π），可得：C=，∴可得：A=B=C=则三角形形状为等边三角形．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及等边三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】（1）作不等式组表示的平面区域，从而求直角三角形的面积；（2）化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z；从而求最值，再确定取值范围即可．【解答】解：（1）作不等式组表示的平面区域如下，，S=×2×2=2；（2）化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z；故过点（2，0）时，z有最小值2，过点（2，2）时，z有最大值2+2×2=6；故目标函数z=x+2y的取值范围为．【点评】本题考查了数形结合的思想应用，简单线性规划问题的解答方法，注意化成斜截式即可．20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】综合题；解三角形．【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，∴b==．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，命题q：不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的a的范围，根据“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：∵命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，即2﹣|x|=a在x∈R内有两个交点，画出函数y=2﹣|x|的图象，如图示：，由图象得：0＜a＜1；命题q：若不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，由于|x﹣2|﹣|x+3|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到﹣3对应点的距离，故它的最大值等于5，故有5﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立即可，解得：a＞或0＜a＜，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：≤a＜1，p假q真时：，解得：a＞，故a∈，化为：a n=2a n﹣1+2，∴a n+2=2（a n﹣1+2），∴数列{a n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．∴a n+2=4×2n﹣1，化为a n=2n+1﹣2．（2）解：b n=log2（a n+2）=n+1，=，∴数列{}的前n项和T n=+…+，=+…++，∴=++…+﹣=+﹣=，∴T n=﹣．∵对一切n∈N*都有T n＜k，∴﹣＜k．∵﹣=＞0．∴数列单调递减，∴．∴对一切n∈N*都有T n＜k的最小正整数k=2．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。