抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线及其标准方程
解析答案
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y， 抛物线 在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一 xy) 的轨迹所在的曲线是 ________( 个作答). 解析 设动点Q(x′，y′)， 则有x′＝x＋y, y′＝xy，又有x2＋y2＝1， 即(x＋y)2－2xy＝1， 所以x′2－2y′＝1， 故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.
答案
知识点二
抛物线的标准方程
思考 抛物线标准方程有何特点？
答案 (1)点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于 0 的常数，其几 何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原 p 点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2.
答案
梳理
一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故
2
1 0 ， B. 4
2
1 ， 0 C. 4
1 0 ， D. 8
1 解析 由 y＝2x ，得 x ＝2y， 1 1 所以 p＝4，故焦点坐标为0，8.
解析答案
1
2 3 4 5
2.焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( D ) A.y2＝2x C.y2＝－4x 解析 B.x2＝4y D.y2＝4x
故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2.
解析答案
类型三 例3
抛物线的实际运用
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射
入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口
径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准
抛物线及其标准方程
美丽的赵州桥
夜色下的喷泉
绚烂的烟花
我们知道，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象是一条抛物线， 而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物 线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
2
几 何 画 板 演 示
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定 直线l(l不经过点F)的距离相等 的点的轨迹叫抛物线.
8 （0，-2）
焦点坐标 （5，0） 1 （0，—） 5 8
准线方程 x=-5
y= -— x= —
y=2 8 5 8
1
(3)(4) 一 定 要 先 把方程化为标准 方程,再求焦点 坐标和准线方程
例2.已知抛物线y 2 4 x 的焦点为F, P为抛物线上一点， 且点P的横坐标为4，求 PF .
解：由抛物线方程y 4x, 知 准线方程为x 1.
1 4
y2 x
（3）焦点到准线的距离是2
y 2 4x 或 y2 4x 或 x2 4x 或 x2 4x
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
(1)
(2)
(3) (4)
（- —，0）
· M
o
F
x
正常数 p的几何意义是
焦点到准线的距离
思考：
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点， 焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y
o
x
o
x
o
x
o
y
x
(1)
2.4.1抛物线及其标准方程
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图 象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意 义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上 第二：一次项的系数决定了开口 方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的 距离 等于点M到准线的距离则点M的坐 标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是 抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最 小值。 若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
抛物线及其标准方程-ppt
P
则 p ，q如图。
PF PM , p 1 1
故 1 1 1 1 2 4a
4a 4a
M
pq p p p
等p于, q（
y
FQ
O
x
N
y
lo
x
F（0,－2）
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，
并且
p 2
=
2，p
=
4
，所以所求抛物线的
标准方程是 x2 =－8y .
返回
yl
Fo
x
X=1
2.4.1抛物线及其 标准方程
喷泉
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢?
二次函数
y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征 ： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条
定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l M
·F
l M
·F
l
·M
·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
提出问题：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H 是L上
任意一点，过点 F 作MH L，线段FH的垂直平分线m交 MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？
4
（2000.全国）过抛物线
y 2 的a焦x(点a 作0)一条直线 F
交抛物线于 ，P两点Q，若线段 与 P的F长分别F为Q ，则
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。
这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。
抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。
这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。
除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。
这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。
另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。
这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。
在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
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高二数学必修2-1教案19
抛物线及其标准方程
教学目标:掌握抛物线的定义，会推导抛物线的标准方程，能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程．
教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导
教学难点：抛物线标准方程的推导
教学过程
一、问题情景
我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当
0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线，那么当e=1时是什么曲线呢？这就是今天我们
要学习的第三种圆锥曲线—抛物线，以及它的定义和标准方程．
二、数学构建
1．抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F
叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．Array 2．抛物线的标准方程：
设定点F到定直线l的距离为p(p>0)．
（1）建系设点
（2）点的集合（几何关系）
（3）代数方程
（4）化简方程得y2=2px（p>0）
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不
【例1】（1）已知抛物线的标准方程y 2=ax ，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2)，求它的标准方程。
【例2】点 M 与点到（4，0）的距离比它到直线 l :x +5=0的距离小1，求点 M 的轨迹方程．
【例3】求焦点在x 轴上且截直线2x-y+1=0程.
【例4】斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长.
说明：抛物线 y 2=2px （p >0）上一点A (x o ,y o )到焦点(,0)2p F 的距离 0||2
p AF x =+这就是抛物线的焦半径公式。
焦点弦长|AB |=x 1+x 2+p . 四、学力发展
1．根据下列条件写出抛物线的标准方程
①焦点是F （3，0）；②准线方程是1
4
x =-；③焦点到准线的距离是2 2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 ①y 2=20x ② 2
1
2
x y =
③2y 2+5x =0 ④x 2+8y =0
3．①抛物线 y 2=2px (p >0)上一点 M 到焦点的距离是 ()2
p
a a >
，则点 M 到准线的距离是__________，点 M 的横坐标是__________,
②抛物线 y 2=12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________.
4．若抛物线y 2=2px （p >0）上一点 M 与焦点 F 的距离|MF |=2p ，则点 M 的坐标为__________.
5．已知抛物线方程为标准方程，焦点在 y 轴上，抛物线上一点M (a ,-4)到焦点 F 的距离为5，则抛物线方程为__________， a 的值等于_____________.
6．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点，如果x 1+x 2=6，则|AB |的值为_______.
补充例题
【例1 】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点M (-3,m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 m 的值。
【例2】若P1P2为抛物线C: y 2=2px （p >0）的一条焦点弦，F 为C 的焦点.
求证：
1
2112
.||||PF P F P +=
【例3】 在抛物线y 2=2x 上求一点 P ，使 P 到焦点 F 与到点A(3,2)的距离之各最小。
【例4】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切。
五、课外作业
（1）
1．点P 到点F(4, 0)的距离比它到直线l: x=－6的距离小2，则点P 的轨迹方程是
（A ）y 2=
61x （B ）y 2= （C ）y 2=16x （D ）y 2=4x 2．抛物线上的点(－5, 25)到焦点F(m, 0)的距离是6，则抛物线的标准方程是
（A ）y 2=－2x, y 2=－18x （B ）y 2=－4x, y 2=6x
（C ）y 2=－4x （D ）y 2=－18x, y 2=－36x
3．在抛物线y 2=8x 上有一点P ，它到焦点的距离是20，则点P 的坐标是 （A ）(18, 12) （B ）(18, －12)
（C ）(18, 12)或(18, －12) （D ）(12, 18)或(12, －18) 4．抛物线y 2=2px (p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>2
p
)，则点M 的横坐标是 （A ）a+
2p （B ）a －2
p
（C ）a+p （D ）a －p 5．如图所示，方程x=ay 2与y=ax+b 2(ab≠0)的图象只能是
（A ） （B ） （C ） （D ）
6．抛物线y 2=
41
x 关于x －y=0对称的抛物线的焦点坐标是 （A ）(0, 116) （B ）(0, －116) （C ）(116, 0) （D ）(－1
16
, 0)
7．抛物线方程是y 2=2px(p>0)，点(－2, 3)到其焦点的距离是5，则p= .
8．已知A(0, 4)，P 是抛物线y=x 2
+1上任意一点，则|PA|的最小值是 . 9．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m 后，则水面宽是 .
10．动圆M 过点F(0, 2)与直线y=－2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 . 11．求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点(－3, 2)；
（2）焦点在直线x －2y －4=0上.
12．若抛物线y 2=－2px(p>0)上有一点M ，且M 的横坐标为－9，它到焦点的距离是10，求抛物线方程和M 点的坐标。
（2）
1．经过点P(4, －2)的抛物线的标准方程是
（A ）y 2=x 或x 2=y （B ）y 2=－x 或x 2=8y （C ）x 2=－8y 或y 2=x （D ）x 2=－8y 或y 2=－x
2．平面上动点P 到定点F(1, 0)的距离比到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是
（A ）y 2=2x （B ）y 2=4x （C ）y 2=2x 和y=0(x≤0) （D ）y 2=4x 和y=0(x≤0) 3．探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是
（A ）11.25cm （B ）5.625cm （C ）20cm （D ）10cm 4．抛物线y=ax 2(a<0)的焦点坐标是
（A ）(
21a, 0) （B ）(0, 21
a) （C ）(0, 14a ) （D ）(0,－14a
) 5．动圆与定圆A: (x+2)2+y 2=1外切，且和直线x=1相切，则动圆圆心的轨迹是 （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线
6．方程mx+ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn≠0)在同一坐标系中的图象大致是
（A ） （B ） （C ） （D ）
7．抛物线y 2=2x 上两点A, B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是 .
8．以y 轴为对称轴，焦参数p=
2
1
的抛物线的标准方程是 . 9．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m 后，则水面宽是 .
10．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y 2=－4x 上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是 .。