苏教版高中数学选修(2-1)-3.2知识归纳：浅谈空间距离的几种计算方法 (1)
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 3.2.3 空间的角的计算》
,a b ，12,l l 所成的角为a ，平面α的法向量为n ，a 与n 的夹角为_________＝_________的大小为,θαβ、的法向量分别为12,n n ，则|cos θ两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等． 12,n n 分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦121212,||||n n n n n n >= 直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． 二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．的方向向量与平面α的法向量的夹角等于(3,2,1)a =-，(1,2,0)b =4已知二面角--l αβ，α的法向量为(1,2,1),n β=-的法向量为(1,3,1)m =-，若二面角--l αβ为锐角，则其余弦值为________．三、典题导引题型一：求两条异面直线所成的角例1如图1，在直三棱柱111-ABC A B C 中，90ACB ∠=，2AC BC ==，14AA =，若,M N 分别是11,BB CC 的中点，则异面直线AM 与1A N 所成角的大小为________图1题型二、求线面角例2如图2，在直棱柱1111-ABCD A BC D 中，//AD BC ，90BAD ∠︒＝，AC BD ⊥，113BC AD AA ＝，＝＝1证明：1AC B D ⊥； 2求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值．图2题型三、求面面角 例3 如图3，在直三棱柱111-A BC ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ＝＝，14A A ＝，点D 是BC 的中点． 1求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； 2求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．图3四、课堂练习如图4，在直三棱柱111-ABC A B C 侧棱和底面垂直的棱柱中，AB BC ⊥，13AB BC AA ＝＝＝，线段1AC A B ，上分别有一点E F ，，且满足2AE EC ＝，12BF FA ＝1求证：平面1A BC ⊥平面11A ABB ；2求二面角--F BE C 的平面角的余弦值．图4五、课堂小结。
苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题：空间向量处理距离问题
空间向量处理距离问题1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||(AB AB AB x =⋅=即 ,A B d =其中,A B d 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。
例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，M 、N 分别为'BD 和'CC 中点且MN 是'BD 和'CC 的公垂线段。
求直线'BD 与'CC 间的距离。
证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为111(,,)222M ，1(0,1,)2N 。
||MN =2==， ∴直线'BD 与'CC 间的距离是2。
例2：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=︒，''60BAA DAA ∠=∠=︒，求体对角线'AC 长。
解：∵''AC AB AD AA=++， ∴2|'|(')AC AB ADAA =++==∴体对角线'AC 。
例3：已知正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD 外的一点P 到正方形各顶BCAB'DC'A'D'点的距离都为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==。
求线段MN 的长。
解：如图所示，以DB 中点O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，则相关各点坐标为A，B，(0,D，(0,0,2P 。
∵::5:8PM MA BN ND ==，∴02)51188M +++，18N +，即M，N，(MN =-。
∵25||7MN ==， ∴线段MN 的长为7。
★异面直线上两点距离公式EF =其中，d 是异面直线a 和b 的距离，θ为a 和b 所成的角，m 、n 分别是异面直线a 、b 上的点E 、F 到公垂线'AA 与a 、b 的交点A 、'A 的距离。
苏教版高中数学选修(2-1)-3.2考点总结：空间向量与立体几何
空间向量与立体几何一、教学目的：1.以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活。
2.在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用。
3.在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力。
4.通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力。
5.在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质。
使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力。
二、知识纲要（一）空间的直线与平面1.平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途。
2.空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线(1)公理四（平行线的传递性）：等角定理。
(2)异面直线的判定：判定定理、反证法。
(3)异面直线所成的角：定义（求法）、范围。
3.直线和平面平行于平面和平面平行(1)直线与平面平行：直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质。
(2)平行平面：两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质。
4.直线和平面垂直(1)直线和平面垂直：定义、判定定理。
(2)三垂线定理及逆定理。
（二）空间向量5.空间向量及其运算(1)空间向量及其加减与数乘运算（几何方法）。
(2)共线向量定理与共面向量定理。
(3)空间向量基本定理。
(4)两个向量的数量积：定义、几何意义。
6.空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系：坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示。
苏教版高中数学选修2-1知识讲解_空间向量的坐标表示_提高
空间向量的坐标表示： ：【学习目标】1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的加法、减法的坐标运算；3.能通过坐标运算判断向量的共线关系.【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =x a +y b +z c ．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p |p =x a +y b +z c ，x 、y 、z ∈R}，这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a 、b 、c }称为空间的一个基底．a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）空间直角坐标系中的坐标 x y z Okj i给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a=a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)=。
空间距离高三数学知识点
空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。
掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。
一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。
假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。
距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。
二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。
我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。
通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。
三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。
我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。
通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。
四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中，距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域，还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式，包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中，我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离，比如在导航系统中计算两地之间的距离，或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
浅谈空间距离的几种计算方法
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离：点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
空间中距离问题的解法
空间中距离问题的解法
一、空间中距离问题的定义
空间中的距离问题，是两个或多个物体在空间中的距离。
它可以表示为两物体之间的直线距离（欧氏距离）或弧线距离（空间弧线距离）。
二、求解空间中距离问题的方法
1. 欧几里得距离法：欧几里得距离（Euclidean Distance）是一种测量两个点之间距离的算法，它用来计算两个点之间的距离，并称为欧几里得距离。
该算法通常应用于空间中的点对点距离的计算，其表达式如下：
d = √[(x1-x2)+(y1-y2)+(z1-z2)]
2. 空间弧线距离法：空间弧线距离（Spherical Arc Distance）是一种在曲面表面上测量两个点之间距离的算法。
它用来计算两个点之间的距离，并称为空间弧线距离。
该算法通常应用于空间中的弧线距离的计算，其表达式如下：
d = R * θ
其中，R表示曲面表面的曲率半径，θ表示两个点之间的角度。
三、总结
空间中的距离问题，可以用欧几里得距离和空间弧线距离算法来计算。
欧几里得距离法适用于计算两个点之间的直线距离，而空间弧
线距离法则适用于计算两个点之间的弧线距离。
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浅谈空间距离的几种计算方法
【摘要】
空间的距离是从数量角度进一步表示空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】
空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法
【正文】
空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离
两点间的距离的计算通常有两种方法：
1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离
在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
其中最难计算的是一般三角形的面积，这类面积的计算通常是已知三边，先求出一个角的余弦值，再求出次角的正弦值，然后用正弦面积公式算出面积。
例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。
解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4，
4322432c o s 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C 815)87(1sin 2=-=∴C ， 4
1538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC ， AD BC S ABC ⋅=∆2
1 又， 2153415
322=⨯==∴∆BC
S AD ABC ，∴点A 到BC 的距离为215。
三、点到平面的距离
求解点到平面的距离常用的方法有以下几种：
1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。
2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。
例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。
又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。
3、用等体积法求解点面距离。
B。