微积分上册习题课用题

例 7(2003) lim(cos x ) ln(1+x
x →0
2)
=
1
。
例 8(2003) 极限 lim[1 + ln(1 + x )] x =
x →0
2
。
例 9(2003) 若 x → 0 时， ( 1 − ax 2 ) 4 − 1 与 x sin x 是等价无穷小，则 a =
⎧ ⎪(cos x )x −2 , x ≠ 0 ，在 x = 0 处连续，则 a = ⎪ a, x =0 ⎪ ⎪ ⎩ 1 3 sin x + x 2 cos x 。 = 例 11(1997) lim x → 0 (1 + cos x )ln(1 + x )
。 。
例 10(1997) 已知 f (x ) = ⎪ ⎨
例 12(1996)
x →∞
⎡ 3 1 lim x ⎢ sin ln 1 + − sin ln 1 + ⎢⎣ x x
x →∞
(
)
(
) ⎤⎥⎥⎦ =
。
n ⎞
。 例 14(1995) lim(1 + 3x ) sin x =
x →0
例 13(1996) 设 lim (
。
⎧ ⎪2 + x 2 , x < 0 (D) ⎪ ⎨ ⎪ 2 + x, ⎪ ⎪ ⎩
⎧2 + x 2 , x < 0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ 2 −x, x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎩
x ≥0
例 27(1995) 设 f (x ) 和 ϕ(x ) 在 (−∞, +∞) 内有定义， f (x ) 为连续函数，且 f (x ) ≠ 0 ， ϕ(x ) 有间断点， 则 。 (A) ϕ[ f (x )] 必有间断点。 (C) f [ϕ(x )] 必有间断点。 例 28(1992) 当 x → 1 时，函数 (B) [ϕ(x )]2 必有间断点。 (D)
例 30(2004) 求极限 lim
(
)
⎜ f (x ) > 0 ， lim f (x ) = 1 ， 且满足 lim ⎜ 例 32(2002) 已知函数 f (x ) 在 (0, +∞) 内可导， ⎜
x →+∞
1 h ⎛ f (x + hx ) ⎞ ⎟ =e x ， 求 f (x ) 。 ⎟ ⎟ ⎜ f பைடு நூலகம்x ) ⎠ h →0 ⎝
x →0
π )x
(
x 2 + 100 + x
)
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微积分上册
习题课部分用题
导数与微分
f ′′′(2) = 2e
3 f (2)
往年考研题
(x )
【例 1】(2006) 设函数 f (x ) 在 x = 2 的某邻域内可导，且 f ′ ( x ) = e f
= 2e 。
dy dx
x =0 3
， f ( 2 ) = 1 ，则 f ′′′ ( 2 ) =
例 17(1993) lim+ x ln x =
x →0
。
1
例 18(1991) 若 x → 0 时， ( 1 + ax 2 ) 3 − 1 与 cos x − 1 是等价无穷小，则 a = 例 19(1990) 设 a 为非零常数，则 lim (
x →∞
。
x +a x ) = x −a
。
例 20(2004) 函数 f (x ) =
dy e 2x ，则 dx e +1
2x x =1
=
。
=
e −1 e2 +1
其中 ϕ(x ) 在 x=1 处连续， 则 ϕ(1) = 0 是 f (x ) 在 x = 1 处可导的 【例 6】 (2003) 设函数 f (x ) = x 3 − 1 ϕ(x ) ， (A) 充分必要条件. (C) 充分但非必要条件 . (B) 必要但非充分条件. (D) 既非充分也非必要条件. 。 b 2 = 4a 6
sin x (cos x − b ) = 5 ，则 a = ，b = x −a (n − 1)x 例 6(2004) 设 f (x ) = lim , 则 f (x ) 的间断点为 x = n →∞ nx 2 + 1
。
例 5(2004) 若 lim
x →0 e
。 。
a = 1 ， b = −4 。
1
2
) 是比 x sin x n 高阶的无穷小，而 x sin x n 是比 (e x
2
− 1 高阶的无
)
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微积分上册
习题课部分用题
(A)
1
(B)
2。
(C)
3
(D) 4 。
x 在 (−∞, +∞) 内连续，且 lim f (x ) = 0 ，则常数 a , b 满足 例 24(2000) 设函数 f (x ) = x →−∞ a + e bx
4x 2 + x − 1 + x + 1 x 2 + sin x 2 + (π 4 n)
1 − cos x x ( 1 − cos x ) 2 x 1 x
例 39(1994) 例 41(1993) 求 lim x
x →−∞
计算 lim tan n
n →∞
例 40(1993) 求 lim x ln(sin + cos ) 例 42(1991) 求 lim+ (cos x
1
例 33(2002) 例 34(2001)
设 0 < x 1 < 3 ， x n +1 = x n (3 − x n ) ( n = 1, 2, 3, " ) ，证明数列 {x n } 的极限存在，并求此极限。 求极限 lim ⎜ ⎜
1
sin t −sin x ⎛ sin t ⎞ ⎟ ，记此极限为 f (x ) ，求函数 f (x ) 的间断点并指出其类型。 ⎠ t →x ⎝ sin x ⎟
⎛ x n +1 凡求: (1)证明 lim x n 存在,并求之 ；(2)计算 lim ⎜ ⎜ ⎜ xn x →∞ x →∞ ⎝ ⎞ xn 2 ⎟ 。 ⎟ ⎟ ⎠
⎤ 1 ⎡ 2 + cos x x ⎢ −1⎥ . 3 x →0 x ⎢ 3 ⎣ ⎦⎥ 1 1 1 1 1 例 31(2003) 设 f (x ) = + − , x ∈ [ , 1). 试补充定义 f (1) 使得 f (x ) 在 [ , 1] 上连续. 2 2 πx sin πx π(1 − x )
| x | sin(x − 2) 在下列哪个区间内有界. x (x − 1)(x − 2)2
(A) (−1, 0)
(B) (0, 1)
(C) (1, 2)
(D) (2, 3)
1 ⎧ ⎪ ⎪f ( ) , x ≠ 0 x ，则 ⎪ 0 , x =0 ⎪ ⎪ ⎩
例 21(2004) 设 f (x ) 在(−∞ , +∞)内有定义，且 lim f (x ) = a ， g (x ) = ⎪ ⎨
。
【例 2】(2006) 设函数 y = y (x ) 由方程 y = 1 − xe y 确定，则 【例 3】(2005) 设 y = (1 + sin x )x ，则 dy
x =π
=
。 −e
=
。 dy
x =π
= y ′( π )dx = −πdx . 。 y = x −1
dy dx
x =1
【例 4】(2004) 曲线 y = ln x 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 【例 5】(2004) 设 y = arctan e x − ln
A
【例 7】(2003) 已知曲线 y = x 3 − 3a 2x + b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2 =
【例 8】(2006) 设函数 y = f (x ) 具有二阶导数，且 f ′(x ) > 0, f ′′(x ) > 0 ， Δx 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，
1
ϕ(x ) 必有间断点。 f (x )
x 2 − 1 x −1 e 的极限 x −1
。 (C) 为 ∞
1
(A) 等于 2
(B) 等于 0
(D) 不存在但不为 ∞
例 29(2006) 设数列 {x n } 满足 0 < x 1 < π, x π +1 = sin x n ( n = 1, 2, ... ) 。
x →∞
。
(A) x = 0 必是 g (x ) 的第一类间断点. (C) x = 0 必是 g (x ) 的连续点.
(B) x = 0 必是 g (x ) 的第二类间断点. (D) g (x ) 在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.
n →∞ n →∞ n →∞
例 22(2003) 设 {a n }, {bn }, {c n } 均为非负数列，且 lim a n = 0 ， lim b n = 1 ， lim c n = ∞ 则必有 (A) (C)
(A)
a < 0，b < 0 。 (B)
a > 0，b > 0 。 (C)
n →∞
a ≤ 0，b > 0 。
(D)
a ≥ 0，b < 0 。
。
例 25(1998) 设数列 x n 与 y n 满足夫 lim x n y n = 0 ，则下列断言正确的是 (A) 若 x n 发散，则 y n 必发散。 (B) 若 x n 无界，则 y n 必有界。
Δy与dy 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若 Δx > 0 ，则