2.2.1椭圆及其标准方程-(2)
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)
把x0 x, y0 2y代入方程，得x2 4y2 4,
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆。 4
变式：已知圆x2 y2 9,从这个圆上任意一点P向x轴作 垂线段PP' ,点M 在PP '上，并且PM 2MP ',求点M的轨迹。
y P
x2 y2 1 9
椭圆的标准方程 y
M
F1
O
F2
x
y
F2
O F1
M
x
焦点F1(c,0), F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这里c2 a2 b2
焦点F1(0,c), F2(0,c) y2 x2 1(a b 0) a2 b2
这里c2 a2 b2
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
1
a b 0
a2 b2 c2
上,则ABC的周长为( B )
A.2 3
B.4 3
C.6
D.16
3.当直线y kx 2的倾斜角大于45小于90时，它和
曲线2x2 3 y2 6的公共点的个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以
地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地
例1 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
M的轨迹是什么？为什么？
y
P
解：设点M的坐标为(x, y),
M
点P的坐标为(x0 , y0 ),
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
高中数学选修2-1课时作业6：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1， 即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知椭 3x2 圆方程，有 ＋(3y)2＝1 (y≠0)， 9
2.2.1
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别 .
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2.2.1
跟踪训练 1 已知圆 A： (x＋3)2＋y2＝100， 圆 A 内一定点 B(3， 0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．
解
如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过
点 B，∴|PB|＝r. 又∵圆 P 与圆 A 内切， 圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2 y 2 ∴点 P 的轨迹方程为25＋16＝1.
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2.2.1
探究点二 相关点法求轨迹方程 例 2 如图，在圆 x2＋ y2＝ 4 上任取一点 P， 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足． 当 点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， y0 则 x＝x0，y＝ 2 .从而得 x0＝x，y0＝2y
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2.2.1
x2 2 4．椭圆 ＋y ＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点， 9 求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程．
解 设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y) 9－1＝2 2. ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝
2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
问题拓展
y
例2 如图，已知点B是 圆C：(x+1)2+y2=16上 一动点，A(1, 0)，线 段AB的垂直平分线l 交BC于点M，求M的 轨迹方程. 变题： 已知动圆M过定点A(1, 0) 且与定圆C：(x+1)2+y2=16 内切，求动圆圆心M的轨 迹方程.
l
M C O A
B
x
y
M
C O A
B
x y 1 上的一点，若点P 例2 设点P是椭圆 16 12
到两焦点F1，F2的距离之差为2，则DPF1F2是 （ B ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
2
2
动圆M与圆(x+1)2+y2=36内切，与(x－1)2+y2=4 外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
标准 方程 焦点 a,b,c
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
F1(-c,ห้องสมุดไป่ตู้0) F2(c, 0)
F1(0, c) F2(0, -c)
a2=b2+c2 (a>b>0)
定义应用
例1 平面内到两定点A(-1,0)，B(1,0)的距离之和 等于2的点的轨迹是（ D ） (A)椭圆 (B)圆 (C)直线 (D)线段
共焦点的椭圆系方程：
x2 y2 2 2 1 ( k m , k n ) 2 2 m k n k
轨迹问题
例4 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P做x 轴的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时， 线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y P
M
O D x
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x02 y02 4
将x0 x , y0 2 y代入上述方程
o
相关 点法
P M
D 2x
得 x2 4y2 4
即
x2 y2 1 4
所以，点M的轨迹是一个椭圆.
变式：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1上任一点,
4 求AQ的中点M的轨迹方程.
m4
轨迹问题
例1.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上
任意一点P向x轴作垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，
线段PD中点M的轨迹是什么？
解: 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0
则
x x0
,
y y0 2
y
P(x0, y0 )在圆x2 y2 4上
y2 35
1或
y2 36
x2 35
1
2.已知椭圆
的方程是x a
2 2
y2 25
（1 a
5），它的两个焦
点分别为F1，F2，且 | F1F2 | 8,弦AB过F1，则ABF2的
周长为 4 41 3.椭圆25x2 16y2
1的焦点坐标为
（0， 3 ） 20
4.椭圆 x2 y2 1的焦点为2，则m的值为 5或3
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标 为：__(3_,_0_)、__(_-_3_,0_)_焦距等于___6___;若CD为过 左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
F1
F2
D
|CF1|+|CF2|=2a
（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是
x2 25
所以椭圆的标准方程为：x2 y2 1
25 9
例2：椭圆两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），
且椭圆经过点P
(5 , 3) 22
,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
由椭圆的定义可知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,利用中点坐标公式,
得
x
y
x0 2
y0 ,
1
,
x0 y0
2
2x 1, 2 y.
Qx0,
y0
在椭圆
x2 4
y2
1上,
x02 4
y02
1.
将x0 2x 1, y0 2y代入上式,
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上。
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
目标检测：
(1)已知椭圆的方程为：x2 y 2 1,则 45
a=___5__，b=____2___，c=____1___，
y2 9
1
或
y2 x2 1
25 9
例1、两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
为： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
x2
y2
1
a2 a2 4
又因为椭圆经过点（5，- 3）
22
（5）2 （- 3）2
2 a2
2 a2 4
1
解得 a 10
所以b2 a2 c2 10 4 6，因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1 10 6
练习：
1.a
6,
c
x2
1的椭圆的标准方程为36
2
2
2
2
所 以 a 1 0 又因 c=2，
所以椭圆的标准方程为：
故 b2=a2-c2=10-22=6
x2
y2
1
10 6
解法2:解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方 程为 x2 y2
a2 b2 1(a b 0)
由已知条件可知c=2
所以a2—b2=c2=4，所以b2=a2—4，代入椭圆标准方程得
注: 哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的再认识：
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
得 (2x 1)2 (2 y)2 1. 4
故所求AQ的中点M的轨迹方程是(x 1)2 y2 1. 21
4
例2：如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM， BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求点M的轨迹方 程.
y
M
A
O
Bx
焦点坐标为： (0,-1)、(0,1) ，焦距
y
F2 x
O F1 M
等于___2__;
若曲线上一点M到左焦点F1的距离为3，则 点M到另一个焦点F2的距离等于_2___5___3__， 则∆F1MF2的周长为___2__5___2___ |MF1|+|MF2|=2a
(2)已知椭圆的方程为： x2 y 2 1 ，则 25 16
四、两类标准方程的对照表：
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)在Ｘ轴上
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2