一致有界定理
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲一、泛函分析课程说明(一) 课程代码 08130013(二) 课程英文名称:Functional Analysis(三) 开课对象: 数学与应用数学专业本科生(四) 课程性质:泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》(五) 教学目的通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础(六) 教学内容本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。
通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。
习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。
(七) 学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72学时学分数： 4 学分教学时数具体分配(八) 教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九) 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。
平时成绩占30％，期末成绩占70％。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间教学要点:1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X3 有理点集是可数稠密集4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间教学时数:12学时教学内容第一节度量空间第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间考核要求：第一节度量空间（识记）第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）第六节压缩映射原理及其应用（领会与应用）第七节线性空间（领会与应用）第八节赋范线性空间和Banach空间（领会与应用）第二章有界线性算子和连续线性泛函教学要点:1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3 掌握线性同构的概念教学时数：16学时教学内容第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数考核要求：第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）第三章内积空间和Hilbert空间教学要点:1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系教学时数：20学时教学内容：第一节内积空间的基本概念第二节投影定理第三节 Hilbert空间中的规范正交系第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）第三节 Hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函（领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）第四章Banach空间中的基本定理教学要点:1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理2 掌握弱收敛和强收敛的概念3 理解Baie纲定理教学时数：16学时教学内容第一节泛函延拓定理第二节 C[a,b]的共轭空间第三节共轭算子第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理考核要求：第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节 C[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会，应用）第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）第五章线性算子的谱教学要点:1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程教学时数：8学时教学内容第一节谱的概念第二节有界线性算子谱的基本性质第三节紧集和全连续算子第四节自伴全连续算子的谱论第五节具对称核的积分方程考核要求：第一节谱的概念（识记，领会）第二节有界线性算子谱的基本性质（领会，应用）第三节紧集和全连续算子（领会，应用）第四节自伴全连续算子的谱论（领会，应用）第五节具对称核的积分方程（领会，应用）三、推荐教材和参考书目《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com。
《泛函分析》课程标准
《泛函分析》课程标准英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。
一致有界性定理
一致有界性定理
一致有界有or不需要一定数量的样本来被验证。
它说明，一片集合中一个概率分布的所有样本点的概率，不论样本数量如何，都会被管定，并能够在有限区域内不断变动，但它们不会变动到集合的外面。
一致有界性定理是由大数定律引出的扩展结果，它限制了实质类型的概率分布的变化，提升了任意大的样本多样性变动的稳定性。
这就意味着，只要数据类型满足一致有界性，样本数量多少，概率值都能达到一个稳定值，越靠近该稳定值，样本越精准。
例如，大数定律表明，当样本数量受限，想要得到一个准确的概率值是不可能的，但是一致有界定理前提，任何概率分布的样本点概率都有上界和下界，而且概率值即使在随机样本数量较小的情况下，也能达到该稳定值，使得概率分布的结果更加准确。
Banach空间及其相关定理
课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收敛性
非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收敛性沈晓鹰;马巧珍【摘要】讨论了具有奇异振动外力项的Kuramoto-Sivashinsky方程ut+ △2u+ △u+u· ▽u=g(x,t)+ε-ρh(t/ε),u|t=τ=uτ和相应的Kuramoto-Sivashinsky方程ut+△2u+△u+u· ▽u=g(x,t),u |t=τ=uτ在外力项g(x,t),h(x,t/ε)仅满足平移有界而非平移紧时H2per空间中一致吸引子Aε的存在性,进一步证明了第一个方程的一致吸引子Aε的一致有界性,并且,当ε→0+时,Aε收敛到第二个方程的吸引子A 0.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】6页(P168-173)【关键词】Kuramoto-Sivashinsky方程;一致吸引子;一致有界性;收敛性【作者】沈晓鹰;马巧珍【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.29令ρ∈[0,1]和ε>0,考虑如下Kuramoto-Sivashinsky方程K-S方程在一维空间的情形是由文献[1]在研究Belousov-Zhabotinsky反应的扰动状态时提出的.高维空间中的情形是由文献[2]在研究缓慢燃烧的外焰热传导过程中提出的.目前,它已被学术界认为是无穷维动力学中具有代表性的模型之一,许多作者对其进行了研究.1993年,郭柏灵等在文献[3]中获得了广义K-S方程在中全局吸引子的存在性.1996年,郭柏灵,高洪俊又在文献[4]中研究了环状区域中轴对称K-S 方程的全局吸引子.2000年,王冠香等在文献[5]中给出了一维周期边界条件下K-S 方程的有限维渐近吸引子; 2008年,王素云等在文献[6]中证明了广义的K-S方程在和中全局吸引子的存在性; 2011年,李嘉,李杨荣在文献[7]中证明了当Ω的区间长度L满足一定条件时,K-S方程生成的动力系统在整个2(Ω)空间上存在全局吸引子.然而,上面的文献考虑的都是自治系统.本文将应用文献[8-10]中提出的方法证明非自治K-S方程一致吸引子的存在性,以及吸引子Aε的一致有界性和收敛性.不失一般性,定义记和‖·‖分别表示H的内积和范数,算子A=Δ2,λi(i=1,2,…)是A的第i个特征值.C 是任意常数,每一行甚至同一行都不相同.为了证明本文的主要结论,下面的概念和抽象结果是需要的,详细内容请看文献[8-9]. 定义1[8]函数φ (R;X)被称为是正规的,如果对任意的ε>0,存在η>0使得引理1[8]设φ).则对任意的τ∈R,假设1令{T(h)|h≥0}是作用在符号空间Σ上的一族算子,满足i) T(h)Σ=Σ,∀h∈R+;ii) 平移恒等式,Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ),∀σ∈Σ,t≥τ,τ∈R,h≥0.引理2[9]设E是一致凸Banach空间,则满足假设1的过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在E中有紧的一致(关于σ∈Σ)吸引子AΣ,且i) 有有界一致(关于σ∈Σ)吸收集B0;ii) 满足一致(关于σ∈Σ)条件(C).为了证明方程(1)和(2)的一致吸引子,先证明方程给定问题(5)的一固定的外力项是f0的平移族.Hs(f0)和Hω(f0)分别是f0在和中的壳.定理1对任意给定的V.问题(5)存在唯一的解u(t)满足证明根据标准的Galerkin方法[11]，很容易得到解的存在唯一性.定理2设,则问题(5)在H中存在一个有界吸收集,即存在时间t0,常数ρ0>0,I0>0,使得对所有的t≥t0,有证明用u与(5)作内积,并利用和Poincaré不等式得‖u‖2+‖Δu‖2-2‖u‖2≤‖f(t)‖2,另外,对式(8)从t到t+1积分得定理3设,则问题(5)在W中存在一个有界吸收集,即存在时间t1,常数ρ1>0,I1>0,使得对所有的t≥t1,有证明在H中用-Δu与(5)作内积,并利用Cauchy不等式得‖‖u‖2+(Cλ1-2-η)‖‖f(t)‖2,令t1=t0+1,则当t≥t1时,定理4设,则问题(5)在V中存在一个有界吸收集,即存在时间t2,常数ρ2>0,使得对所有的t≥t2,有证明在H中用Δ2u与(5)作内积,并利用Cauchy不等式得‖Δu‖2+‖Δ2u‖2≤‖‖Δ2u‖2+C‖u‖‖Δu‖‖Δ2u‖‖f(t)‖2+‖Δ2u‖2≤‖Δu‖2+‖Δ2u‖2+‖u‖2‖‖f(t)‖2,‖Δu‖2≤α3‖‖f(t)‖2,定理5设,则方程(5)生成的过程族Uf(t,τ),f∈H(f0)存在紧的一致(关于f∈H(f0))吸引子AH(f0)且证明由定理4和引理2可知,只需证明过程族Uf(t,τ),f∈H(f0)在空间V中满足一致(关于f∈H(f0))条件(C).因为A-1是空间H中的紧连续算子,由经典的谱理论可知,存在序列{,设Vm=span{ω1,…,ωm}是空间V的m维子空间,Pm:V→Vm是标准正交投影.对任意的u∈D(A)可分解为:在空间V中用Au2与(5)式做内积,可得‖Δu2‖2≤‖由引理2,当m充分大时,对任意的ε>0,推论1设 (R;H),则方程(1)生成的过程族在V中存在紧的一致吸引子Aε.推论2设 (R;H),则方程(2)生成的过程族在V中存在紧的一致吸引子A0.定理6设,则v(t)是方程证明用Δ2u与式(19)在H上作内积,并利用和Young不等式得根据Gronwall引理得‖ε.定理7设,则一致吸引子Aε在V上是一致有界的,即证明令u是方程(1)在初值uτ∈V下的解.对∀ε>0,考虑方程wt+Δ2w+Δw+B(w+v,w+v)=g(x,t),w|t=τ=uτ.定理8设,则当ε→0+时,一致吸引子Aε收敛到A0,即为了证明定理8,首先需要比较当初始值相同时,方程(1)和(2)的解.记定理9对∀ε∈(0,1],τ∈R和∀uτ∈B*,令证明由于误差w(t)是方程令q(t)=w(t)-v(t),其中,v(t)是方程(21)的解,则q(t)满足‖‖q‖2≤,为了研究一致吸引子的收敛性,实际上需要定理9更一般的形式,其对应的方程簇为: 对任意的ε∈(0,1],令定理10如下不等式成立,证明用和分别替换uε,g和h,重复定理9的证明,且依然满足式(26),过程族是(V×H(gε),V)连续的.定理8的证明对任意的ε>0,令uε∈Aε.方程(30)存在一个有界完全轨道ε(t),且外力项使得.对任意固定的L≥0,考虑结合定理10,当t=0和τ=-L时,有另一方面,A0关于∈H(g)一致吸引.于是,对任意的δ>0,存在不依赖于L和的T=T(δ)≥0,使得令L=T,结合上述两个不等式,可得Furthermore, the uniform (w.r.t.ε) boundedness of a class of uniform attractors Aε are verified as well as the convergence of the attractors Aε for the first equation to the attractor A0 of the second one as ε→0+.。
中英文对照表
中英文对照表（按笔画排列）一画一一映射one to one mapping一阶（全）微分形式不变性（total）differential form invariance of first order 一致连续性uniform continuity一致连续（的）uniformly continuous一致连续性定理uniform continuity theorem一致收敛uniform convergence一致收敛的uniformly convergent一致收敛函数序列uniformly convergent sequence of functions一致有界的uniformly bounded一致有界原理uniform boundedness principle一致有界定理uniform boundedness theorem一致有界函数序列uniformly bounded sequence of functions一致有界级数uniformly bounded series一致有界集uniformly bounded set二画二元函数binary function二阶导数second derivative二重极限double limit几何级数geometric series三画三角函数trigonometric function三角函数表trigonometric table三角不等式triangle inequality三角级数trigonometric series下极限lower limit；inferior limit下和lower sum下限lower limit；lower edge下界lower bound下类lower class下积分lower integral下确界infimum；greatest lower bound上极限upper limit；superior limit上和upper sum上限upper limit；upper edge上界upper bound上类upper class上积分upper integral上确界supremum；least upper bound子集subset子序列subsequence四画开区间open interval开覆盖open cover开集open set开域open domain; open region无穷大infinitely great; infinity无穷大的阶order of infinity无穷大量infinitely large quantity无穷小infinitesimal无穷小的阶order of infinitesimals无穷小等价infinitesimals equivalence无穷小数列infinitesimal sequence of number无穷限反常积分infinite limit improper integral无穷积分infinite integral无穷级数infinite series无限开覆盖infinite open cover无限区间infinite interval无限区域infinite region无限维的infinite dimensional无界函数unbounded function无界集unbounded set无理数irrational number不可导underivativity不连续点discontinuous point; point of discontinuity 不定积分indefinite integral不定式indeterminate expression不动点原理fixed point principle区间interval区间套nested intervals区间套定理nested intervals theorem比较原则comparison principle比较法relative method切线方程tangential equation中间变量intermediate variable中值公式mean value formula中值定理mean value theorem内函数interior function内点interior point内部interior牛顿-莱布尼茨公式Newton-Leibniz formula牛顿切线法Newton tangents method反三角函数anti-trigonometric function; inverse trigonometric function; inverse circular function反函数inverse function反函数定理inverse function theorem反常积分improper integral介值性定理intermediate value theorem; location principle分划partition分段连续性piecewise continuity分段连续函数piecewise continuous function分段函数piecewise function分部积分法integration by parts分部求和公式summation by parts formula分割subdividing; segmentation; excision; section分量函数component function区域region; domain切平面tangent plane切点point of contact; point of tangency双曲抛物面hyperbolic paraboloid双纽线lemniscate双侧曲面two sided surface方向导数directional derivative方邻域square neighborhood贝塞尔不等式Bessel inequality贝塔函数 -function五画正无穷大plus infinity可去间断点removable discontinuous point 可求长的rectifiable可求长性rectifiability可求积性squarability可导derivable可积integrable可微differentiable可微函数differentiable function左导数left derivative左邻域left neighborhood左极限left limit; limit on the left左连续left continuous; continuous on the left右导数right derivative右邻域right neighborhood右极限right limit; limit on the right右连续right continuous; continuous on the right 凸函数convex function凸区域convex region归结原则resolution principle凹函数concave function凹区域concave region外积outer product外函数outer function外点outer point外微分exterior differentiation半开半闭区间half open half closed interval发散divergence对数求导法logarithm derivation method对数函数logarithmic function对数螺线logarithmic spiral平面点列plane point range平面点集plane point set正交orthogonal正交函数系system of orthogonal functions 正弦级数sine series正项级数positive term series右手法则right-hand rule边界boundary发散divergence六画有上界函数upper bounded function有下界函数lower bound function有限开覆盖finite open cover有限维的finite dimensional有限区间finite interval有限增量公式finite increment formula 有限覆盖定理finite cover theorem有界函数bounded function有界点集bounded set of points有界集bounded set有界数列bounded number sequence有理函数rational function有理数rational有势场potential field存在域domain of existence达布下和Darboux lower sum达布上和Darboux upper sum达布和Darboux sum光滑曲线smooth curve曲边梯形curved trapezoid曲率curvature曲率半径radius of curvature曲率圆circle of curvature曲率形式curvature form曲线的曲率curvature of a curve曲率张量curvature tensor曲率向量curvature vector曲顶柱体curved cylinder同阶无穷大量infinitely large quantity of the same order 同阶无穷小量infinitesimals quantity of the same order 因变量dependent variable自变量independent variable自变量增量increment of independent variable全序total order负无穷大minus infinity闭区间closed interval闭区间套nested closed intervals闭域closed region; closed domain闭集closed set导函数derived function导数derivative导数极限定理limit of derivative theorem收敛converge收敛区间convergence interval; interval of convergence收敛半径convergence radius收敛准则convergence criterion收敛点point of convergence收敛域convergence domain; convergence region向量vector向量场vector field向量函数vector function交错级数alternating series压缩映射原理contracting mapping principle全微分total differential全微分方程total differential equation; exact differential equation 全增量total increment优级数majorizing series优级数判别法majorizing series discriminance达朗贝尔判别法D'Alembert's ratio test七画麦克劳林公式Maclaurin formula严格凸函数strictly convex function严格凹函数strictly concave function严格单调函数strictly monotonic function极大值maximum value极小值minimum value极值extreme value极值点extreme point极坐标变换polar coordinates transformation极限limit连续continuous连续函数continuous function连通性connectivity; connectedness连续可微性continuous differentiability抛物线法parabola formula邻域neighborhood狄利克雷判别法Dirichlet principle; Dirichlet criterion狄利克雷函数Dirichlet function条件收敛conditional convergence条件极值extremum with a condition间断点discontinuous point初始条件initial condition初等函数elementary function局部有界性local boundedness局部保号性local sign-preserving局部利普希茨条件local Lipschitz condition阿基米德有序域Archimedically ordered field阿基米德性Archimedean余项remainder term余弦函数cosine function余集complementary set含参量积分integral with parameter含参量反常积分improper integral with parameter 阿贝尔引理Abel lemma阿贝尔判别法Abel criterion阿贝尔定理Abel theorem阿贝尔变换Abel transformation八画奇函数odd function偶函数even function拐点inflection point; point of inflection拉格朗日公式Lagrange formula拉格朗日余项Lagrange remainder term; Lagrange residual term 拉格朗日乘数法Lagrange multiplicator method拉格朗日函数Lagrange function拉贝判别法Raabe criterion非正常下确界improper infimum非正常上确界improper supremum非正常极限improper limit垂直渐近线vertical asymptote周期函数periodic function周期曲线periodic curves变下限的定积分definite integral of variable lower limit变上限的定积分definite integral of variable upper limit变化率rate of change变换transformation单侧导数one sided derivative单侧极限one sided limit单侧曲面one sided surface单值对应single valued correspondence单值函数single valued function单调有界定理monotonic bounded theorem 单调函数monotonic function单调数列monotonic number sequence单连通区域simply connected region单射injective mapping定义域domain定积分definite integral直积direct product直径diameter函数行列式functional determinant; jacobian 位势函数potential function法平面normal plane法线normal line孤立点isolated point细度fineness空心邻域hollow neighborhood和函数summable function欧拉公式Euler formula欧拉积分Euler integral九画弧长length of arc弧微分arc differential柯西中值定理Cauchy mean value theorem; mean value theorem of Cauchy 柯西判别法Cauchy attribute柯西准则Cauchy criterion指数函数exponential function映射mapping矩形法rectangle method复合函数composite function复连通区域complex connected region待定系数法undetermined coefficient method差商difference quotient逆映射inverse mapping逆变换inverse transformation面积area面积元素element of area绝对收敛absolute convergence绝对值absolute value柱面坐标变换cylinder coordinates transformation显函数explicit function泰勒公式Taylor formula泰勒级数Taylor series泰勒展开式Taylor expansion界点boundary point十画费马定理Fermat theorem根的存在定理existence theorem of root原函数primitive function原像preimage; primary image振幅amplitude换元积分法integration by substitution致密性定理compactness theorem积分区间integral interval积分曲线integral curve积分和integral sum积分变量integral variable积分型余项integral residual term积分常数integration constant积分中值定理integral mean value theorem值域range高阶无穷小量infinitesimals quantity of the higher order 高阶导数higher order derivative高阶微分higher order differential递增数列increasing number sequence递减数列decreasing number sequence被积函数integrand高斯公式Gauss formula调和harmonic调和级数harmonic series部分和partial sum部分和序列sequence of partial sums部分和函数列function sequence of partial sums 逐项微分differentiation term by term逐项积分integration term by term逐项地in terms by terms通项general term通项公式the formula of general term圆邻域circular neighborhood格林公式Green theorem根式判别法radical criterion十一画基本初等函数fundamental elementary function 基本周期fundamental period梯形法trapezoidal rule常量函数constant function符号函数sign functional斜渐近线oblique asymptote渐近线asymptote减函数decreasing function像image偏导函数partial derivative偏导数partial derivative偏增量partial increment隐函数implicit function隐函数定理implicit function theorem隐函数的存在性定理existence theorem of implicit function 混合偏导数mixed partial derivative球坐标变换spherical coordinates transformation梯度gradient累次极限repeated limit累次积分repeated integral距离distance十二画最大（小）值定理maximum（minimum）value theorem 链式法则chain rule幂函数power function超平面hyperplane傅里叶系数Fourier coefficient等价无穷小量equivalent infinitesimals quantity等比级数geometric series等值面contour surface等值矩阵contour matrix散度divergence斯托克斯公式Stokes formula雅可比行列式Jacobi determinant雅可比矩阵Jacobi matrix十三画及以上瑕点improper point瑕积分improper integral跳跃间断点jump discontinuous point稠密性denseness微分differential微积分学基本定理fundamental theorem of calculus微商differential coefficient; derivative微分中值定理differential mean value theorem; mean value theorem of differential 数列number sequence数轴number axis截面面积sectional area聚点cluster point; accumulation point聚点定理cluster point theorem; accumulation point theorem 黑塞矩阵Hesse matrix模module稳定点stable point黎曼函数Riemann function黎曼积分Riemann integral黎曼和Riemann sum增函数increasing function增量increment。
泛函分析教学大纲_2
泛函分析课程教学大纲第一部份前言一、课程基本信息1.课程类别：专业选修课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4.备选的教材：《实变函数与泛函分析基础（第二版）》，程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编，高等教育出版社，2004.二、课程性质和目标本课程性质是数学与应用数学专业的一门专业选修课。
本课程的教学目的是通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。
三、课程学时与学分教学时数： 64 学时学分数： 4 学分教学时数具体分配：第二部份教学内容及其要求第七章度量空间和赋范线性空间1．教学目标：要求学生理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间等概念，并掌握压缩映射原理。
2．.教学重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间3．教学难点：稠密集、可分空间4．教学时数5．教学内容纲要第一节度量空间的进一步例子第二节度量空间的极限，稠密集，可分空间一、度量空间中的点列二、某些具体空间中收敛点列三、稠密集与可分空间第三节连续映射一、连续映射的定义二、连续映射的性质第四节柯西点列和完备度量空间一、柯西点列二、完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用一、压缩映射定理二、压缩映射定理应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间一、赋范线性空间二、Banach空间6. 课程资源（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。
（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。
（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。