3.4乘法公式(一)学案
3.4乘法公式(2)教案
《3.4乘法公式（2）》教案 课题 3.4 乘法公式（3） 单元 三 学科 数学 年级 七年级下册
学习 目标
1. 掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；
2．能运用完全平方公式解决有关问题．
重点 掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算； 难点 理解完全平方公式的结构特征是难点． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1、导入新课 一、创设情景，引出课题 复习导入 使用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b² 时，关键在于 找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的 项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。 想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？ （1）(2x+y)(y-2x) （2）(2x+y)(2x+y) （1）可以 （2）不可以 运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式： 1、(a+b)2 2、(2+x)2 3、(2x+y)2 观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？ (2x)2+2×2x•y+y2 思考 自议 通过面积拼图，理解完全平方公式； 通过面积拼图，理解平方差公式。 合作探究 提炼概念 两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍。 (a+b)2 =a2+2ab+b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 的图形理解 你能用右图形的面积直观的表示两数和的平方公式呢? 可以编为顺口溜： 首平方，尾平方，首尾两倍中间放。 提问:（a－b）2等于什么？是否可以写成[a＋（-b）]2? 你能继续做下去吗？ (a-b)2= a2 - 2ab+b2 算式 首代表什么 尾代表什么 首2±2首尾+尾2 (x+3)2 (-m+n)2 掌握完全平方公式的 特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式的和，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，其符号取决于左边二项式中间的符号． 理解完全平方公式的结构特征是难点． 领悟体会公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式等。
【苏教版】年二上：第3单元表内乘法一精品教学案含答案
本单元教材划分为乘法的初步熟悉、2~6的乘法口诀两节,包括下面一些内容:乘法的初步熟悉、2~6的乘法口诀、乘加和乘减式题、温习。
主如果让学生在具体情境中体会乘法运算的意义,使学生熟悉到相同数相加能够用乘法计算和乘法计算是相同数相加的简便方式,让学生掌握乘法算式的写法和读法。
让学生体会乘法运算的意义,在理解的基础上熟记2~6的乘法口诀,是本单元教学的重点。
其中,4、6的乘法口诀是教学的难点。
冲破难点的关键是让学生熟悉并理解同数连加和乘法的关系。
表内乘法是学生学习乘法的开始,它是此后学习表内除法和多位数乘、除法的基础。
在学生学习加法以后,利用同数相加的式题,进而引出乘法运算。
由学生在同数相加的计算活动中引出乘法,容易激发学生的学习兴趣,对“乘法”产生亲切感。
1. 切实增强基础知识教学。
增强基础知识教学,要特别重视调动学生学习的踊跃性,让学生通过说一说、摆一摆、练一练等多种活动学习知识。
2. 组织好练习,使学生熟记2~6的乘法口诀。
练习,是学生熟记乘法口诀地大体途径。
选择好的练习形式,不但能激发学生的学习兴趣,而且还能促使每一个学生都主动踊跃地参与练习。
3. 认真抓好“用数学”的教学。
教学中紧密联系学生身旁的事例,让学生提出问题和解决问题,从而使学生了解数学在现实生活中的作用,体会学习数学的重要性,增强学好数学的信心,使学生不断运用数学知识解决身旁的数学问题,慢慢进展应用意识。
1. 结合具体活动情景,从让学生熟悉相同数相加开始,结合具体的事例,通过动手操作、观察、探讨等学习活动,慢慢体会乘法运算的意义,掌握乘法算式各部份的名称。
如此由学生在同数相加的计算活动中引出乘法,容易激发学生的学习兴趣,对“乘法”产生亲切感。
2. 注意用学生熟悉和喜爱的事物、事例设计情境,为学生发觉数学问题,探索解决问题的方式提供生动有趣的资源。
如此就使学生在解决一个个实际问题中,一次次感受数学在日常生活中的应用,取得一些解决简单问题的方式,同时体验成功的喜悦。
苏科版七年级上册第三章代数式：3.4~3.6阶段性提优复习学案(无答案)
苏科版七年级上册第三章代数式：3.4~3.6阶段性提优复习学案【教学目的】1．理解同类项的概念，掌握判断同类项的方法，能纯熟地进展合并同类项；2．掌握去括号法那么，经历得出去括号法那么的过程，理解去括号法那么的根据；3．会综合运用合并同类项和去括号法那么纯熟进展整式的加减运算．【知识点】1． 所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项叫做同类项，两个常数项也叫做同类项．2．根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项．3．在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，解题过程中，建议同学们先用记号标注同类项，再分别进展合并，纯熟后可不标注．4．去括号法那么：括号前面是“﹢〞号，把括号和它前面的“﹢〞号去掉，括号里各项的符号都不变；括号前面是“﹣〞号，把括号和它前面的“﹣〞号去掉，括号里各项的符号都要改变．去括号法那么可概括为“去正不变，去负全变〞．5．遇到去多重括号时，一般由里向外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号，去括号的过程中可合并同类项．6．对于形如a (b ＋c )的代数式，我们可以根据乘法分配律把它化为ab ＋ac 的形式，这样也能到达去括号的目的．7．添括号法那么：所添括号前面是“﹢〞号，括到括号里的各项的符号都不改变；所添括号前面是“﹣〞号，括到括号里的各项的符号都改变．8．整式的加减，实际上就是去括号和合并同类项．进展整式加减运算的一般步骤是：〔1〕根据去括号法那么去掉括号；〔2〕准确找出同类项，按照合并同类项法那么合并同类项．9．在解决求代数式的值的题目时，应运用整式的加减先化简，即：有括号的先去括号，再合并同类项，最后代值进展计算．10．与整式的加减有关的题型，一般是与其他知识结合的综合应用题，如对含有绝对值符号的式子的化简，用整体思想进展整体代入的求值题等等．【例题精讲】例1．判断以下说法或计算是否正确．〔1〕23xy 与3yx 是同类项； 〔2〕322a b -与325b a 的和仍是一个单项式； 〔3〕23m n 与22m n 是同类项； 〔4〕23m n π与22m n 的差仍是一个单项式； 〔5〕3210t ⨯与21.510t ⨯是同类项；〔6〕527a b ab +=； 〔7〕23nm mn mn -=-；〔8〕33355a b a b a b +=； 〔9〕422xy xy -=；〔10〕22220a b ba -=．例2．合并以下各式中的同类项．〔1〕222111246x x x --； 〔2〕2220.26 1.4 4.8a b ab a b ab a b ---++；〔3〕322348742104x x x x x x +-+-++-；〔4〕2248966733ab a ab a -+-+-+； 〔5〕222542625x y xy xy x y xy -+-+++；〔6〕225()()2()2()m n m n m n m n +-+++++．例3．〔1〕假如单项式31y xa +-与221x yb 是同类项，那么a 、b 的值分别为 ； 〔2〕代数式x axy 212-与241bxy x -的和是单项式，那么a 、b 的关系是 ； 〔3〕假设代数式325222+-+x y mx 的值与字母x 的取值无关，那么m 的值是 ．例4．先去括号，再合并同类项．〔1〕)3(5b a a +-； 〔2〕)23()1(422a a a a +---+； 〔3〕)]3(4[32b a a b a ----； 〔4〕)(5)()(3b a b a b a +-+-+； 〔5〕)2()(2mn pq mn pq -++-； 〔6〕)2(4)(3y x y x x -+---．例5．〔1〕假设关于a ，b 的多项式3(a 2－2ab －b 2)－(a 2＋mab ＋2b 2)中不含有ab 项，那么m＝ ；〔2〕不改变多项式3b 3－2ab 2＋4a 2b －a 3的值，把后三项放在前面是“-〞号的括号中，那么该式可写成 ；〔3〕有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如以下图所示；化简：c c b b a a --++-〔4〕|x －y －3|＋|x ＋y ＋3|＝0，那么4(x －y )－3x －3y ＋2的值为 ．例6．求以下代数式的值：〔1〕)3(2)2(23222a a a a a -++-，其中2-=a ； 〔2〕xy y xy x y x ++-----)3()12(32222，其中21-=x ，1=y ； 〔3〕xy y xy x y x ++-----)3()12(32222，其中21-=x ，1=y ； 〔4〕21=+t s ，923=-n m ，求多项式)]26([)92(t n m s +---的值； 〔5〕53-=-b a ，求多项式5248)3(52-+--b a a b 的值．例7．1232A 2--+=x xy x ，1B 2-+-=xy x ．〔1〕求3A ＋6B 的值；〔2〕假设3A ＋6B 的值与x 的取值无关，求y 的值．例8．在“先化简，再求值：222352324a ab a b ab a --+-+-，其中52-=a ，3=b 〞的解题过程中，小芳把52-=a 错写成52=a ，而小丽错写成53-=a ，但她们的答案都是正确的．你知道这是什么原因吗？【课堂练习】1．以下选项中，与2xy 是同类项的是A ．22xy -B ．y x 22C ．xyD ．22y x2．y x y x y x b a 2234-=+-，那么b a +的值为A ．1B ．2C ．3D ．43．以下运算正确的选项是A ．﹣2(3x ﹣1)＝﹣6x ﹣1B ．﹣2(3x ﹣1)＝﹣6x ＋1C ．﹣2(3x ﹣1)＝﹣6x ﹣2D ．﹣2(3x ﹣1)＝﹣6x ＋24．如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“〞的图案，如图2，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3，那么新矩形的周长可表示为A ．2a ﹣3bB ．4 a ﹣8bC ．2 a ﹣4bD ．4 a ﹣10b5．化简﹣[x ﹣(2y ﹣3z )]＝ ．6．当k ＝ 时，代数式105145346346++--y x x y kx x 中不含34y x 项． 7．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，试着化简：﹣5|a |＋|b ﹣a |﹣|a ＋c |＝ ．8．假设212=-mn m ，152-=-n mn ，那么=-22n m ，=+-222n mn m ．9．A ＝5a ＋3b ，B ＝3a 2﹣2a 2b ，C ＝a 2＋7a 2b ﹣2，当a ＝1，b ＝2时，求A ﹣2B ＋3C 的值．10．小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象：请你用不同的三位数再做做，发现什么有趣的现象？用您所学过的知识解释．【课后作业】1．两个关于x 、y 的单项式3238--b b y x 与a b a y ax ---23之差还是单项式，那么a ＋b 的值是A ．3或2B ．2C ．2或0D ．32．将多项式2a ﹣3ab ＋4b 2﹣5b 的一次项放在前面带有“+〞号的括号里，二次项放在前面带有“-〞的括号里：以下答案不正确的选项是A ．2a ﹣3ab ＋4b 2﹣5b ＝＋(2a ﹣5b )﹣(3ab ﹣4b 2)B ．2a ﹣3ab ＋4b 2﹣5 ＝﹣(﹣4b 2＋3ab )＋(2a ﹣5b )C ．2a ﹣3ab ＋4b 2﹣5b ＝＋(2a ﹣3ab )﹣(5b ﹣4b 2)D ．2a ﹣3ab ＋4b 2﹣5b ＝＋(2a ﹣5b )﹣(﹣4b 2＋3ab )3．假设0<a ，0<ab ，那么41---+-b a a b 的值是 A ．3 B ．﹣3 C ．2b ﹣2a ＋5 D ．2a ﹣2b ﹣54．如图，把四张形状大小完全一样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形〔长为a ，宽为b 〕的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的局部用阴影表示，那么这两块阴影局部小长方形周长的和为A ．a ＋2bB ．4aC ．4bD ．2a ＋b5．把(x ﹣y )看成一个整体合并同类项，那么5(x ﹣y ) 2＋2(x﹣y )﹣3(x ﹣y ) 2＋0.5(x ﹣y )﹣3.5＝ ．6．假设a ＋b ＝3，ab ＝﹣2，那么(4a ﹣5b ﹣3ab )﹣(3a ﹣6b ＋ab )＝ ．7．假设223P b ab a ++=，223Q b ab a +-=，那么代数式=-----)]Q P (P 2Q [P ．8．有依次排列的3个数：a ，b ，c ．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：a ，b ﹣a ，b ，c ﹣b ，c ，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：a ，b ﹣2a ，b ﹣a ，a ，b ，c ﹣2b ，c ﹣b ，b ，c ，继续依次操作下去，问：从数串a ，b ，c 开场操作至第10次后产生的新数串所有数之和是 ．9．a 、b 、c 在数轴上的对应点如下图，化简：|a |﹣|a ＋b |＋|c ﹣a |＋|b ＋c |．10．：A ﹣2B ＝7a 2﹣7ab ，且B ＝﹣4a 2＋6ab ＋7．〔1〕求A 等于多少？〔2〕假设|a ＋1|＋(b ﹣2)2＝0，求A 的值．。
人教版小学数学二年级上册：数学四 表内乘法(一) 表格式学案(6课时含答案)
人教版小学二年级数学上册1乘法的初步认识) ( ) ( )2.3.看图写算式。
++=×=参考答案：1. 5+5+5+5=203+3+3+3+3+3=1810+10+10=302. 723. 5+5+5=155×3=153×5=154. 乘2乘4等于8乘数积5. 略6. 4×33×42×55×27. 4乘56乘35乘22乘45乘63乘36乘48. 2×410×32×6读一读略25的乘法口诀参考答案：1. 2×35×44×32. (1)45(2)5+5+5+5=20(3)5×4=205乘4等于203. 10152025152025十五二十二十五51015204. 五一十十五二十二十五5. 15得五210一十315十五420二十525二十五32、3、4的乘法口诀的乘法口诀。
的乘法口诀。
收获分享:通过预习,我知道了2、3、4和1的乘法口诀有一二( ),( ),二三( ),三三( );一四( ),二四( ),三四( ),四四(参考答案：1. (1)2332(2)34432. 2二24四3. 3三6六9九4. 48八812十二1216十六1得一5. 得二二二四得三得六得九得四得八十二十六得一6. 略7. 略4乘加乘减○=8.知识准备:乘法和加法的意义等相关知识。
参考答案：1. 得六十二得四得四2. 2×33×25×44×53×44×33. 11114. 乘加减5. 略6. 3×4+1=13(答案不唯一)7. 163301217168. (1)4×5+4=24(人) (2)4×4+1=17(人)56的乘法口诀3.4.收获分享:通过预习,我知道了有关6的乘法口诀有一六得),四六( ),五六( ),六六( )。
北师大版七年级下册第一章整式的乘除：乘法公式学案
乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．4．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，（a+b）2=a2+2ab+b2．b的长方形的面积和作为相等关系）5．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”例题精讲：例1．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2C．（a3）4=a7 D．a3+a5=a8【解答】解：∵a2•a3=a5，∴选项A不正确；∵（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2，∴选项B正确；∵（a3）4=a12，∴选项C不正确；∵a3+a5≠a8∴选项D不正确．故选：B．例2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【解答】解：甲图形的面积为a2﹣b2，乙图形的面积为（a+b）（a﹣b），根据两个图形的面积相等知，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：C．【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．例3．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．例4．已知a+=4，则a2+的值是（）A．4 B．16 C．14 D．15【解答】解：将a+=4两边平方得，a2++=16﹣2=14，故选C．【点评】此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答．例5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab选：A．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．例6．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3选D．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．例7．已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为﹣3 ．例8．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为0 ．例9．用乘法公式计算（1）998×1002；（2）（3a+2b﹣1）（3a﹣2b+1）【解答】解：（1）原式=（1000﹣2）（1000+2）=10002﹣22=1000000﹣4=999996（2）（3a）2﹣（2b﹣1）2=9a2﹣4b2+4b﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．例10．阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算（1）(1+) (1+) (1+) (1+)…(1+)（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【解答】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）(1+) (1+) (1+)…(1+)=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．例11．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长是m﹣n．（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m•2n=（m+n）2﹣4mn；（3）（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=49﹣4×5=29．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．1．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（）A．4 B．3 C．12 D．1选C2．能说明图中阴影部分面积的式子是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab【解答】解：如图原来图中阴影部分面积=（a+b）（a﹣b），右图中把S1移动到S2处，右图中阴影部分面积=a2﹣b2∵原来阴影部分面积=右图中阴影部分面积∴（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x选：C．4．整式A与m2+2mn+n2的和是（m﹣n）2，则A= ﹣4mn ．5．图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：（a+b）2=a2+2ab+b2．6．用乘法公式计算：（1）（2﹣3x）2﹣（3x+2）2（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）【解答】解：（1）原式=4﹣12x+9x2﹣9x2﹣12x﹣4=﹣24x．（2）原式=[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]=（2x）2﹣（y+z）2=4x2﹣y2﹣z2﹣2yz．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟记平方差公式、完全平方公式．7．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2﹣6x+9= （x﹣3）2，25x2+10x+1= （5x+1）2，4x2+12x+9= （2x+3）2．（2）观察上述三个多项式的系数，有（﹣6）2=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想．b2=4ac （说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系．）（3）若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的规律求ac的值．【解答】解：（1）x2﹣6x+9=（x﹣3）2，25x2+10x+1=（5x+1）2，4x2+12x+9=（2x+3）2；（2）观察得：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2=4ac；（3）∵多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，∴a2﹣4c=c2﹣4a=0，即a2﹣c2+4（a﹣c）=0，分解因式得：（a﹣c）（a+c+4）=0，由a+c+4≠0，可得a﹣c=0，即a=c，可得a2﹣4a=0，即a（a﹣4）=0，解得：a=0或a=4，即c=0或c=4，则ac=0或16．故答案为：（1）（x﹣3）2；（5x+1）2；（2x+3）2；（2）b2=4ac【巩固练习】1．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）选：A．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．2．下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a6÷a3=a3选D．【点评】此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2选：B．【点评】关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．【点评】本题考查了完全平方式，考虑x2为乘积二倍项和平方项两种情况，加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错．4．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（）A．8 B．±8C．16 D．±16选：D．【点评】本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2=a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．5．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证③（填写序号）．①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．6．填空：x2+10x+ 25 =（x+ 5 ）2．7．化简：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2．【考点】平方差公式；完全平方公式．【分析】运用平方差公式和完全平方公式即可解答．【解答】解：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2=a2﹣1﹣a2+2a﹣1=2a﹣2．8．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a﹣b ，长是a+b ，面积是（a+b）（a﹣b）．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）①解：原式=（10+0.3）×（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91；②解：原式=[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2．9．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，若大长方形的边长为a，小长方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2﹣b2．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是（a+b）（a﹣b）．（2）有（1）可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（3）若a=18，b=12，则请你求出阴影部分的面积．【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2﹣b2，图②长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）将a=18，b=12，代入得：（18+12）（18﹣12）=180，所以阴影部分的面积为：180．10．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．【点评】本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：完全平方公式有：（a±b）2=a2±2ab+b2，平方差公式有（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．11．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．【解答】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．12．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）【解答】解：①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．。
乘法公式教案
VIP 学员个性化教案教师 学生姓名 上课日期学科 数 学年级七年级教材版本 浙教版 类型 知识讲解□： 考题讲解□: 授课时段学案主题 乘法公式教学目标经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；灵活运用多项式乘以多项式的运算法则。
学习重点、难点教学重点：多项式乘法的运算。
教学难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算。
考点及考试要求教学过程怎么教（必写）一、复习及导入（复习、巩固上次所学内容，引出本节中心）二、本节课重点内容（以考试要求为准则，紧扣教材内容，解读知识点）乘法公式（一）、平方差公式一般地，我们有以下平方差公式：22))((b a b a b a -=-+两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
【例题教学】例1：利用平方差公式计算（1）(2b +3a 2) (3a 2-2b) （2）(－4ab －c)(4ab －c)（3）)9)(3)(3(2++-x x x （4）*)4)(4(++-+y x y x例2：先化简，再求值(x+5y)(x-5y)-(-x+5y)2,其中x=12,y=-1。
例3：平方差公式的应用：（1）计算5446⨯ （2）*计算(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)【课堂检测】 1、填空（1）(a+2b)(a-2b)=( )2-( )2=（2）(2a+ )(2a- )=42b 914a -2、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A 、(x+3)(3+x) B 、(a+b 21)(a b 21-) C 、(-x+y)(x-y)D 、(a 2-b)(a+b 2)3、下列各式中,计算结果为x 2-16y 2的是( )A.(x+2y)(x-8y)B.(x+y)(x-16y)C.(-4y+x)(4y+x)D.(-x-4y)(x+4y) 4、利用平方差公式计算(1) (-ab+2)(ab+2) (2)－(3m 3-n)(3m 3+n)(3) (x+2)(x-2)(x 2+4) (4) (x+2y+4)(x+2y-4)【课后巩固】1、下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )A.)2)(2(x y y x --B.)2)(2(y x y x ---C.)2)(2(y x x y +-D.)2)(2(y x x y ---2、下列计算正确的是（ ）A 、(a+3b)(a-3b)=a 2-3b 2B 、(-a+3b)(a-3b)=-a 2-9b 2C 、(a-3b)(a-3b)=a 2-9b 2D 、(-a-3b)(-a+3b)=a 2-9b 23、用乘法公式计算(1)(ab-2c )(ab+2c ) （2）(23x y -)(23x y --) (3) 2510977⨯(4) (5) (4m-3)2+(4m+3)(4m-3)4、先化简，再求值：2x 2－[(x －y)2+(x +y)(x －y)]，其中x =3,y=－1.5.5、求代数式)(5)3()2(22n m m n m n m -+--+的值，其中51,101==n m .（二）、完全平方公式一般地，我们有以下两数和（差）的完全平方公式： 完全平方公式：2)(b a + 222b ab a ++=2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方，等于这两数的平方和，加上 （减去）这两数乘积的2倍。
乘法公式(提高)知识讲解【名校学案+详细解答】
乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2019•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n ﹣b n ，故答案为：a n ﹣b n ；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2019春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63，由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63，解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，熟练应用平方差公式可简化计算．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-， 425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+- 22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+ ＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+- ＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
人教版七年级下册 9.4 乘法公式(3) 学案设计(无答案)
9.4乘法公式3（乘法公式综合1） 姓名：____________ 【教学目标】1、正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算. 2、在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力. 【教学重点】正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算. 【教学难点】能够在运用公式计算中，提高变形应用公式的能力. 一、自主学习 ----- 我能行 1、完全平方公式： ；平方差公式： 2、填空 （1）294______23xx （2）22______________124xyx 2、计算 （1）(23)(23)aa= （2）(13)(13)xx= （3）22(23)(23)nmnm （4）2(52)xy= (5) 2)421(x
= (6)(3xy)2=
二、合作探究 ----- 我快乐 例1、（1）2(3)(3)(9)xxx （2）2(2)(2)(3)abbaab
例2、 （1）22(23)(23)xx （2）22(23)(23)xx 例 3 、已知+=5ab，=3ab，求 ①22ab ②2-ab ③44+ab的值。
三、自主反思 ---- 我成长 通过这节课的学习，学到了什么新知识？有何感悟？获得了什么经验？
四、达标测评 ---- 我必胜 1、下列各式中，运算结果是22169ba的是 ( )
A、)43)(43(baba B、)34)(34(abab C、)34)(34(abab D、)83)(23(baba 2、（1）(2x2－3) (－2x2－3) = ______________；（2）（-2a+b）2=______________ 3、(_______+3b)( _______-3b)=4a2 -9b2 ； (3x + ____)2=______+ 12x + _____； 4、2294bkaba是完全平方式，则_____k 5、计算：（1）2(3)(3)(9)xxx （2）2(5)(5)(5)xyxyxy
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《3.4乘法公式(一)》学案
【学习目标】
1掌握平方差公式
2、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算与简便计算
一、【基础部分】
1、请计算：(a+b)(a— b)= ________________________
(x-3)(x+3)= _________________________ =( )2-( )2
得出结论，一般地，我们有以下平方差公式：
____________________________________________ 数学表述)
____________________________________________ 语文表述)
例如：(x+2)(x —2)=(x)2—⑵2=x2-4
(3x+5y)(3x —5y)=( )2—( )2= ______________
Zb+aj—[b+aj= _________ + ____ )( ___ —____ ) =( )2—( )2 = __________________ <2 人2 丿
(—a+b)( —a—b)=( )2—( )2= ______________ (注意这里两数是一a和b)
二、【要点部分】
1、运用平方差公式计算：
(2
(3) (—4x+y)(y+4x) (4) (—m+11)(—m—11)
(5) (m —n)(—m —n) (6) 2a-、3b、、2a 、3b
(1) (2+a)(a- 2)
2、用平方差公式进行计算(模仿例2)
(1) 102>98 (2) 50.5 X49.5
三、【当堂检测】
1、下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(x+2)(2+x)
B.( —a—b)(a+b)
B.(a-3b)(3a+b) D.(2y —3x)( —2y —3x)
2、先化简，再求值：x(4x+3)- 2x+丄『2x-丄】，其中x
I 2人2丿 4
3、运用平方差公式计算：5678^5680 —56792
… 2 2
4、若m —n=15,且m+n=3 ,贝U m —n= _________
5、运用平方差公式计算：(2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)+1
2 4 8 2 4 8
【提示：(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)+1=(2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)+1 】本节课你学会了什么。