高等数学(上)试题A卷答(08.01)

2007-2008 秋季高等数学期末考试试题 A 卷参考答案 2008/1/14
一．填空题（本题共有 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分。 ） 1． 4;
2 2． ; 3
３． 2008! ; ４．
π
4
; ５．
1 1 + x2
dx 。
二．选择题（本题共有 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分。 ） １． （D）; 2. （C）; ３． （C）; ４． （B）; ５． （C） 三．计算下列各题（本题共有 5 道小题，每小题 6 分，满分 30 分）
又 λ > 0, 1 − λ > 0 ，因此 λ (1 − λ ) f (ξ 1 ) − f (ξ 2 ) ≥ 0 ， 即原不等式成立。
[
]
（本题满分 10 分） 过抛物线 y = x 上一点 P a, a 七．
2
(
2
) 作切线, 问 a 为何值时，所作
的切线和抛物线 y = − x + 4 x − 1 所围图形的面积最小。
x
∫
π
0
′ f ( x ) d x = ( x f ( x )) π 0 − ∫ x f ( x ) dx = − ∫ sin x dx = −2 .
0 0
π
π
1
5．求过点(0, 2, 4)且与两平面 x + 2 z = 1 和 y − 3 z = 2 平行的直线方程。
解 已知二平面的法向量为 n1 = (1, 0, 2) ， n2 = (0, 1, − 3) 。 则所求直线的方向向量为 s = n1 × n2 = (−2, 3, 1) ， 故所求直线的方程为
[ ]
λ < 1 时，
∫
λ
0
f ( x ) dx ≥ λ
∫
1 0
f ( x ) dx 。
证：
2
∫
λ
0
f ( x ) dx − λ
λ
0
∫
1 0
f ( x ) dx
λ
0
=
∫
f ( x ) dx − λ
λ
0
∫
f ( x ) dx − λ
1
∫ λ f ( x ) dx
1
= (1 − λ )∫ f ( x ) dx − λ
ξ
。
ϕ ( x) = x2 f ( x) ，
显然 φ (x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 ξ∈(0，1) 使
ϕ ′(ξ ) = 2ξ f (ξ ) + ξ 2 f ′(ξ ) = 0 .
f ′(ξ ) = − 2 f (ξ )
即有
ξ
，
ξ∈(0，1)
六． （本题满分 10 分） 设函数 f ( x ) 在 0, 1 上连续且单调减少。证明：当 0 <
令 S ′( a ) = 0,
a = 1 , S ′′( a ) = 8 > 0 ，
因此 a = 1 时， S(a)= =
4 是所求
G
x y−2 z−4 。 = = 3 1 −2 ⎛ π π⎞ , ⎟ 内至少有一个根。 ⎝ 2 2⎠
（本题满分 10 分） 证明方程 sin x + x + 1 = 0 在开区间 ⎜ − 四． 证
设辅助函数 f ( x ) = sin x + x + 1 ，
则
⎡ π π⎤ f (x)在 ⎢ − , ⎥ 上连续。 ⎣ 2 2⎦
解 因为
dx dy = 4 cos θ ， = 2 sin θ ，故 dθ dθ
dy 4 cos θ = = 2 cot θ ， dx 2 sin θ
又
d ⎛ dy ⎞ ⎟ 2 d y d ⎛ dy ⎞ dθ ⎜ ⎝ dx ⎠ = −2csc θ = −csc3θ ． = = ⎟ dx dx 2 dx ⎜ 2sinθ ⎝ dx ⎠ dθ
2
解: 过抛物线 y = x 上一点 P a, a
2
(
2
) 的切线方程为
y = 2ax − a 2
此切线和抛物线 y = − x + 4 x − 1 的交点坐标为联立方程：
2
2 ⎧ ⎪ y = 2ax − a , 的解。 ⎨ 2 y = − x + 4 x − 1 . ⎪ ⎩
设交点的横坐标为 x1 , x2 ,
∫ λ f ( x ) dx
= λ (1 − λ ) f (ξ 1 ) − λ (1 − λ ) f (ξ 2 ) = λ (1 − λ )[ f (ξ 1 ) − f (ξ 2 )]
其中 0 < ξ 1 ≤
λ ≤ ξ2 ≤ 1。 因 f ( x ) 在 [0, 1] 上是单调减少的， 所以有 f (ξ 1 ) ≥ f (ξ 2 ) ，
π π π π π π ⎛ π⎞ π f ( ) = sin + + 1 = + 2 > 0 ， f ( − ) = sin ⎜ − ⎟ − + 1 = − < 0 2 2 2 2 2 2 ⎝ 2⎠ 2
由零点定理知， 在开区间 ⎜ −
⎛ π π⎞ , ⎟ 内至少有一点 ξ∈ ⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞ ⎜ − , ⎟ ，使得 f (ξ)=0。 ⎝ 2 2⎠
故方程 sin x + x + 1 = 0 在开区间 ⎜ −
⎛ π π⎞ , ⎟ 内至少有一个根。 ⎝ 2 2⎠
五． （本题满分 10 分）设函数 f (x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导， 且 f (1)=0，
证明至少存在一点 ξ∈(0，1)，使 f ′(ξ ) = − 证
设辅助函数
2 f (ξ )
1.
解
求
x →+∞
∫ ( arctan t ) lim
0
x
2
dt
x2 + 1
.
易知这是一个
∞ 型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。 ∞
2
( arctan x ) 原式 = lim
x →+∞
x
= lim
x →+∞
x2 + 1 π2 2 ( arctan x ) = x 4
；
x2 + 1
⎧ x = 2 (1 − cosθ ) dy d 2 y ２．设 ⎨ ， 求 ， ． dx dx 2 ⎩ y = 4sinθ
x1 < x2 ，则
x1 + x2 = 4 − 2a, x1 x2 = 1 − a 2 , x2 − x1 = 2 2a 2 − 4a + 3
所指面积 S ( a ) =
∫
x2 x1
(− x 2 + 4 x − 1 − 2ax + a 2 ) d x
3 4 2 = (2a − 4a + 3) 2 3
2
3．
解
∫ x + sin x dx ；
原式
1 + cos x
=∫
d ( x + sin x ) = ln x + sin x + C x + sin x
4．设 f ( x ) = ∫
解 因为 所以
π sin t dt ，求 ∫ f ( x ) dx 。 0 π t x sin t dt ， f ( x) = ∫ π t sin x f ′( x) = , f (π ) = 0 x