2018届高三数学每天一练半小时：第84练 极坐标与参数方程 Word版含答案

1．(2016·安庆一模)在极坐标系中，点(2，π
3)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为( )
A ．2 B. 4＋π2
9
C.
1＋π2
9
D. 3
2．(2016·马鞍山二模)直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝6，圆C ：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos θy ＝sin θ
(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为( ) A ．32＋1 B ．3 2 C ．32－1
D ．32＋2
3．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 1
2y ＝t －1
2
B.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝sin t y ＝1
sin t
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos t y ＝1
cos t
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝1
tan t
4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的图象为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
5．直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋2t y ＝2＋t
(t 为参数)被圆x 2
＋y 2
＝9截得的弦长为( )
A.125
B.
125
5 C.955
D.
910
5
6．(2017·黄山质检)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A ．4 3
B ．5 3
C ．4
D ．5
7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin(θ＋π
3
)
D ．ρ＝4sin(θ－π
3
)
8．(2016·皖南八校联考)若直线l ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2t y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ为参数)相切，则实数m 为( ) A ．－4或6 B ．－6或4 C ．－1或9 D ．－9或1
二、填空题
9．已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2
y ＝t
(t ∈R )，则它
们的交点坐标为________．
10．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B
分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为
________．
11．已知曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋cos t
y ＝3＋sin t (t
为参数)，C 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝8cos θ
y ＝3sin θ(θ为参数)．若曲
线C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2
，Q 为曲线C 2上的动点，则线段PQ 的中点M 到直线C 3：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2t y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值为________．
12．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：ρsin 2
θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t ，y ＝－4＋22
t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等比
数列，则a 的值为________.
答案精析
1．D [由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3
＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3
可知，点(2，π
3
)的直角坐标为(1，3)，圆
ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2＋y 2
＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.]
2．A [由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6，圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝1，则圆心到直线的距离d ＝
6
2
＝32，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为32＋1.] 3．D [由xy ＝1，知x 取非零实数即可，而选项A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制．] 4．C [由ρcos θ＝4sin θcos θ，得cos θ＝0或ρ＝4sin θ.即θ＝k π＋π2或x 2＋y
2
＝4y ，所以方程表示的是一条直线和一个圆．]
5．B [由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t ，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋
5t ×25
，
y ＝2＋
5t ×
1
5
，
把直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2
＋y 2
＝9，
得(1＋2t )2
＋(2＋t )2
＝9，5t 2
＋8t －4＝0， |t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－852＋165＝125，
弦长为5|t 1－t 2|＝1255
.]
6．A [直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2
＝16，圆心坐标为(0,0)，则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝
222＝2，所以直线被圆截得的弦长为242
－22
＝4 3.]
7．A [圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝4，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，圆x 2
＋(y －2)2
＝4与直线x ＝2显然相切．]
8．A [由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t
y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝m ＋5sin θ
(θ
为参数)，得曲线C ：x 2
＋(y －m )2
＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
|m －1|
22
＋1
＝5，解得m ＝－4或m ＝6.] 9．(1，25
5
)
解析 由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)得x 2
5
＋y 2
＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2y ＝t
(t ∈R )得x ＝54
y 2
，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
5＋y 2＝1，
x ＝5
4
y 2
，则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2
＝－4(舍去)，则x ＝54
y
2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为(1，25
5)．
10．1
解析 消掉参数θ，得到曲线C 1的普通方程为(x －3)2
＋y 2
＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是单位圆，所以|AB |的最小值为3－1－1＝1. 11.855
解析 曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2
9＝1，曲线C 1
为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．当t ＝π
2时，点P 的坐标为(－4,4)．Q 为曲线C 2上的动点，
设Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ)，
直线C 3的参数方程化为普通方程为x －2y －7＝0， 点M 到直线C 3的距离d ＝
5
5
|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值85
5.
12．1
解析 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为y 2
＝2ax ，将直线l 的参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t y ＝－4＋22
t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，得到t 2
－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.
设直线上的M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )．因为|MN |2
＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2
＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝t 1t 2，解得a ＝1.。